河北深州市2022年高考数学四模试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知函数，(x)=sin(5+*),>0,陷<9，A，,。]为“X)图象的对称中心，若图象上相邻两个极值点玉，々

满足归-%|=1，则下列区间中存在极值点的是()

2.设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且/(x)+g(x)=(x+l)2-2"l贝⑴—g6=()

A.-1B.0C.1D.3

3.已知集合4={%|-2<x<4},集合B={x|V-5x-6>0},则Ap|8=

A.{x|3<%<4}B.{x|x<4或x>6}

C.{x|-2<x<-l}D.{%]-1<x<4}

4,若函数y=2sin(2x+e)的图象过点(g,l),则它的一条对称轴方程可能是()

a(a<Z?)

5.定义运算。㊉人=1则函数/。)=1㊉2、的图象是().

b(a>b)

6.在满足0<%<%44,=力的实数对（七,y）（i=l,2,…,”，…）中，使得玉+/+…+x,z<3x”成立的正整

数〃的最大值为（）

A.5B.6C.7D.9

7.若非零实数。、。满足2"=3"，则下列式子一定正确的是（）

A.b>aB.b<a

C.\b\<\a\D.例>问

8.AAbC是边长为26的等边三角形，E、尸分别为A3、AC的中点，沿旅把AA石尸折起，使点A翻折到点P

的位置，连接PB、PC,当四棱锥。一3”上的外接球的表面积最小时，四棱锥P—5CEE的体积为（）

A5GR3>/3„A/6n35/6

A.------B.------C.-----D.------

4444

9.设xeR,则“|x-l|<2"是"/ex”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必条件

10.在复平面内，一^复数（i为虚数单位）的共甄复数对应的点位于（）

1-z

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3x-y-2<0

11.若X，）'满足（x-yNO,且目标函数z=«x+2勿（a>0/>0）的最大值为2,则4“+16〃的最小值为（）

2x+y>0

A.8B.4C.2>/2D.6

12.已知/（x）=Acos（0x+e）［A>0,口>0,陷的部分图象如图所示，则/（x）的表达式是（）

A.2cos—x+—B.2cosx+—

U414

C.2cos2.x---D.2cos—x---

I4j(24)

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.下表是关于青年观众的性别与是否喜欢综艺“奔跑吧，兄弟”的调查数据，人数如下表所示:

不喜欢喜欢

男性青年观众4010

女性青年观众3080

现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取〃个人做进一步的调研，若在“不喜欢的男性青年观众”的人中抽取

了8人，则”的值为.

10

14.设(V5+X)=<7()+dyX,++••吗(/”)，则。2=，

(6Z0+4X,++...+4Z|Q—(q+q+tZs+.••+6)的值为.

15.(3x-l)-^--lj的展开式中的常数项为.

16.曲线八*)=(/+x)/“x在点(1,AD)处的切线方程为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)某工厂4，8两条相互独立的生产线生产同款产品，在产量一样的情况下通过日常监控得知A,B生产

线生产的产品为合格品的概率分别为P和2p-l(0.5</?<!).

■A生产线OB生产或

70

（1）从4,3生产线上各抽检一件产品，若使得至少有一件合格的概率不低于99.5%,求"的最小值处.

（2）假设不合格的产品均可进行返工修复为合格品，以（1）中确定的P。作为，的值.

①已知A,3生产线的不合格产品返工后每件产品可分别挽回损失5元和3元.若从两条生产线上各随机抽检1000件

产品，以挽回损失的平均数为判断依据，估计哪条生产线挽回的损失较多？

②若最终的合格品（包括返工修复后的合格品）按照一、二、三等级分类后，每件分别获利1（）元、8元、6元，现从A,

8生产线的最终合格品中各随机抽取10（）件进行检测，结果统计如下图；用样本的频率分布估计总体分布，记该工厂

生产一件产品的利润为X,求X的分布列并估算该厂产量2000件时利润的期望值.

✓7Y

18.（12分）已知函数/（为二丁①*。）.

e

（1）求函数/（x）的单调区间；

（2）当时，如果方程有两个不等实根内，马，求实数，的取值范围，并证明王+马〉2.

19.（12分）如图1,四边形ABC。是边长为2的菱形，ZBA£>=60°,E为CD的中点，以跳为折痕将MCE折起

到AP8E的位置，使得平面P3EL平面ABCD,如图2.

C

（1）证明：平面2钻_1_平面P8E;

（2）求点。到平面Q46的距离.

20.（12分）已知｛q｝为等差数列，｛"｝为等比数列，｛4｝的前〃项和为S“，满足4=3,4=1,/?2+S,=10,

a5-2b2=a3.

（1）求数列｛4｝和圾｝的通项公式;

2

丁,〃为奇数,1

⑵令g=js“，数列｛%｝的前“项和r”，求心.

b,„〃为偶数

21.（12分）如图，在四棱锥尸―A3CD中，底面ABCD是矩形，”是Q4的中点，平面ABCD,且

PD=CD=4,AD=2.

（1）求AP与平面C08所成角的正弦.

（2）求二面角M—C8—P的余弦值.

22.（10分）某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每位市民仅有一次参加机会，通过

随机抽样，得到参与问卷调查的100人的得分（满分：100分）数据，统计结果如表所示：

组另U[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,1001

男235151812

女051010713

（1）若规定问卷得分不低于70分的市民称为“环保关注者”，请完成答题卡中的2x2列联表，并判断能否在犯错误概率

不超过0.05的前提下，认为是否为“环保关注者”与性别有关？

（2）若问卷得分不低于80分的人称为“环保达人”.视频率为概率.

①在我市所有“环保达人”中，随机抽取3人，求抽取的3人中，既有男“环保达人”又有女“环保达人”的概率；

②为了鼓励市民关注环保，针对此次的调查制定了如下奖励方案：“环保达人”获得两次抽奖活动；其他参与的市民获

得一次抽奖活动.每次抽奖获得红包的金额和对应的概率.如下表：

红包金额（单位：元）1020

32_

概率

44

现某市民要参加此次问卷调查，记X(单位：元)为该市民参加间卷调查获得的红包金额，求X的分布列及数学期

望.

n(ad-bcY

附表及公式：K2=n=a+b+c+d

(a+b)(c+d)(a+c)S+d)

Pg.k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A

【解析】

结合已知可知，37=1可求丁，进而可求。，代入f(x),结合/(g)=0,可求。，即可判断.

【详解】

•・,图象上相邻两个极值点王，士满足|与1=1，

・,.-T=1BPT=2,

2

:.co=兀,/(x)=sin(7rx+°),且/(g)=sing%+。)=0,

・\2冗+(p=k兀,keZ,

3

4,4,/(x)=sin(;rx_g;r),

当X=—L时,=-1为函数的一个极小值点，而-，€(-£,0).

666

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了正弦函数的图象及性质的简单应用，解题的关键是性质的灵活应用.

2.C

【解析】

先根据奇偶性，求出/(x)-g(x)的解析式，令x=l,即可求出。

【详解】

因为F(X)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，/(x)+g(x)=(x+l)2-2"i,用-X替换X,得

/(r)+g(r)=(r+l)2-2-z,

化简得_/(x)+g(x)=(x_l)2_2r+l即/(x)_g(x)=2-z_(x_l)2

令％=1,所以/(l)-g(l)=2°—0=l,故选C。

【点睛】

本题主要考查函数性质奇偶性的应用。

3.C

【解析】

由5x—6>0可得(x-6)(x+l)>0,解得x<-l或x>6,所以3={x|x<-l或x>6},

又A={x|-2cx<4},所以AcB={x[—2<x<T},故选C.

4.B

【解析】

把已知点坐标代入求出9,然后验证各选项.

【详解】

7/JT1TT7T

由题意2sin(—+9)=1,sin(—+夕)=—,(p=2k7i或(p=2k兀+—，keZ,

33262

不妨取°=一£或9=[,

62

TT7T

若°=],则函数为y=sin(2x+5)=cos2x,四个选项都不合题意，

TT77TT77TTTT

若°=—2,则函数为y=2sin(2x—々)，只有彳=生时，sin(2x---)=1,即工=々是对称轴.

663363

故选：B.

【点睛】

本题考查正弦型复合函数的对称轴，掌握正弦函数的性质是解题关键.

5.A

【解析】

由已知新运算a㊉b的意义就是取得。力中的最小值,

/、Il,x>0

因此函数.f(x)=l㊉2'=…c，

'2,x<0

只有选项A中的图象符合要求，故选A.

6.A

【解析】

InX；Iny；,、Inf、

由题可知：0<%<y44,且X”短可得一L,构造函数/中)=——(0<z<4)求导，通过导函数求出/?(r)

xiy<t

的单调性，结合图像得出=2,即2WX]<e得出3x“<3e,

从而得出〃的最大值.

【详解】

因为0<%<y<4,xJ=婷

则Inxf=In，即yiInxj=x,.Inyi

lnxInv,

整理得----;=——.令f=x,.=y.,

七力

设硝)=则(0<区4),

1,,

,.—,Z-1,Inzii.

贝n"叶，

令〃'(f)>0,则0<f<e,令/(。<0,则e</<4,

故〃(。在(0,e)上单调递增，在(e,4)上单调递减，则/?(e)=l,

e

因为七<y，〃(%)="(y),

由题可知：〃(f)=；ln4时，则，mm=2,所以2W，<e,

所以2<%<e<y,<4,

当x“无限接近e时，满足条件，所以24x,<e,

所以要使得内+/+…+ZT<3x“<3ea8.154

故当西=迎=£=Z=2时，可有工1+/+工3+Z=8<8.154,

故〃一1«4,即力<5,

所以：〃最大值为5・

故选：A.

【点睛】

本题主要考查利用导数求函数单调性、极值和最值，以及运用构造函数法和放缩法，同时考查转化思想和解题能力.

7.C

【解析】

令2"=3"=f，则/>0,将指数式化成对数式得〃、b后,然后取绝对值作差比较可得.

【详解】

令2"=3"=f，则f>0,，a=log2f=黑，b=log,t=^~,

lg2lg3

|lg/|_|lg/|(lg3-lg2)

・第第曙>o,因此，>例.

lg3-Ig21g3

故选：c.

【点睛】

本题考查了利用作差法比较大小，同时也考查了指数式与对数式的转化，考查推理能力，属于中等题.

8.D

【解析】

首先由题意得，当梯形BCFE的外接圆圆心为四棱锥P-BCFE的外接球球心时，外接球的半径最小，通过图形发现,

的中点即为梯形3CEE的外接圆圆心，也即四棱锥P—5CEE的外接球球心，则可得到PO=OC=J5,进而可

根据四棱锥的体积公式求出体积.

【详解】

如图，四边形BCEE为等腰梯形，则其必有外接圆，设。为梯形5CEE的外接圆圆心，

当。也为四棱锥P-8CEE的外接球球心时，外接球的半径最小，也就使得外接球的表面积最小，过A作8c的垂线

交BC于点M,交所于点N,连接PM,PN,点。必在AM上,

E、产分别为AB、AC的中点，则必有AN=PN=MN,

ZAPM=90.即△4W为直角三角形.

对于等腰梯形8CEE,如图:

F、”分别为A3、AC.8c的中点,

必有MB=MC=MF=ME,

所以点M为等腰梯形BCFE的外接圆圆心，即点。与点M重合，如图

：.PO=℃=；BC=C,PA^ACP-Pd2=132-3=m，

所以四棱锥尸-BCFE底面BCFE的高为P0PA=W逆=血,

AM3

”-1c_13。._131-行_3指

Vp_BCFE_5sBe庄力_§X]SAA5C力-5X7X5X25/3x3X5/2-

故选：D.

【点睛】

本题考查四棱锥的外接球及体积问题，关键是要找到外接球球心的位置，这个是一个难点，考查了学生空间想象能力

和分析能力，是一道难度较大的题目.

9.B

【解析】

解出两个不等式的解集，根据充分条件和必要条件的定义，即可得到本题答案.

【详解】

由|x—l|v2,得-lv%v3,又由fvx,得Ovxvl,

因为集合{x|0v%vl}u{x|-lvx<3},

所以叫X-11<2”是“fvX，，的必要不充分条件.

故选：B

【点睛】

本题主要考查必要不充分条件的判断，其中涉及到绝对值不等式和一元二次不等式的解法.

10.D

【解析】

将复数化简得z=l+2i,z=1-2i,即可得到对应的点为(1,-2)，即可得出结果.

【详解】

2=含=图罟=对应的点位于第四象限・

故选:。.

【点睛】

本题考查复数的四则运算，考查共期复数和复数与平面内点的对应，难度容易.

11.A

【解析】

作出可行域，由z=ac+2力(a>0/>0),可得y=三.当直线y=-2x+三过可行域内的点3(1,1)时,

2b2b2h2h

z最大，可得a+28=2.再由基本不等式可求4〃+16b的最小值.

【详解】

作出可行域，如图所示

az

由z=ar+2Ay(a>0,Z?>0),可得y=-----%+一.

2b2b

Cl77

平移直线>=-=x+打，当直线过可行域内的点8时，怖最大，即2最大，最大值为2・

2b2b2b

、

解方程组｛3x-'y-c2=0，得[x=\/

x-y=0[y=1

:,a+2b=2(a>O.b>0).

4a+16〃=4"+42h>2yj4ax42h=2“^=2"=8，

.CL—\

fa=2b

当且仅当4"=4?J即《，《1时，等号成立.

a+2b-2b--

1I2

二.4"+16"的最小值为8.

故选：A.

【点睛】

本题考查简单的线性规划，考查基本不等式，属于中档题.

12.D

【解析】

由图象求出A以及函数)，=/(x)的最小正周期T的值，利用周期公式可求得。的值，然后将点(2,2)的坐标代入函

数y=/(x)的解析式，结合。的取值范围求出。的值，由此可得出函数y=/(x)的解析式.

【详解】

由图象可得4=2,函数y=/(x)的最小正周期为7=2x11-看)=?，二3=/=|^

将点(不代入函数y=/(X)的解析式得了仁卜2COS(Tx看+“=2,

得cos[*+?=1,

K7T71兀3兀r、兀、冗

"'------<(O<-,------<(p-\------<------,则0H--=0,(0=------,

2244444

因此，/(x)=2cos|^y-^.

故选：D.

【点睛】

本题考查利用图象求三角函数解析式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.32

【解析】

由已知可得抽取的比例，计算出所有被调查的人数，再乘以抽取的比例即为分层抽样的样本容量.

【详解】

Q1

由题可知，抽取的比例为一=—,被调查的总人数为40+10+30+80=16()人，

405

则分层抽样的样本容量是：*160=32人.

故答案为：32

【点睛】

本题考查分层抽样中求样本容量，属于基础题.

14.7201

【解析】

2

利用二项展开式(a+b)"的通式Tr+l=可求出生；令(0+%严=%+aix+a2x+---aiOx'°中的x=1,

X——1得两个式子，代入/++••・+4o)-—(4++。5+•♦,+%)可得结果.

【详解】

利用二项式系数公式，岂=^(收)%2=72(比2,故%=720,

%+q+...+6!|Q=(5/2+1)”,6ZQ-q+%一•・•+4。—(0-1)1°,

故(％+a2+4+...+。］0)—(卬+/+仆+*,'+49)

=(/+4+...+4。)(%—%+a,.+4。)=(V2+1)|0(^2—I)10=1,

故答案为：720；1.

【点睛】

本题考查二项展开式的通项公式的应用，考查赋值法，是基础题.

15.31

【解析】

由二项式定理及其展开式得通项公式得：因为［2-1］的展开式得通项为=(/)'•25-r.Q/T,则

(3x—1)•仔—1］的展开式中的常数项为：3x(—1)，仁+(-1)5以=14,得解.

【详解】

解：&=(j)"25,

则(3x——1］的展开式中的常数项为：

3X(-1)4.2y-(-l)5.2。C=31.

故答案为：31.

【点睛】

本题考查二项式定理及其展开式的通项公式，求某项的导数，考查计算能力.

16.2x-y-2=0

【解析】

求函数的导数，利用导数的几何意义即可求出切线方程.

【详解】

解：•.•/(x)=(x2+*lnx,

/(x)=(2x+l)lnx+(x2+%)•—=(2x+l)lnx+x+l,

则/⑴=2,

又/(1)=0,即切点坐标为(1,0),

则函数在点(1,犬1))处的切线方程为y=2(x-l),

即2x—y—2=0,

故答案为：2x-y-2=0.

【点睛】

本题主要考查导数的几何意义，根据导数和切线斜率之间的关系是解决本题的关键.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)p°=0.95(2)①8生产线上挽回的损失较多.②见解析

【解析】

(1)由题意得到关于P的不等式，求解不等式得到P的取值范围即可确定其最小值；

(2)①.由题意利用二项分布的期望公式和数学期望的性质给出结论即可；

②.由题意首先确定X可能的取值，然后求得相应的概率值可得分布列，最后由分布列可得利润的期望值.

【详解】

(1)设从A,B生产线上各抽检一件产品，至少有一件合格为事件C,设从A,B生产线上抽到合格品分别为事件加，

N,则N互为独立事件

由已知有p(")=p,p(N)=2〃-l(0.5<p<l)

贝!Ip(C)=l-pC)=l-p(MN)=l—p(而)p(R)=1-(1-p)(2-2/?)>0.995

解得pN0.95,贝!)P的最小值p0=0.95

(2)由(1)知A，8生产线的合格率分别为0.95和0.9,即不合格率分别为0.05和0.1.

①设从A，B生产线上各抽检1000件产品，抽到不合格产品件数分别为X-X2,

则有X~3(l(XX),0.05),X2~3(1000,().1),所以A，B生产线上挽回损失的平均数分别为:

£(5Xj=5EX]=5x1000x0,05—250,E(3X2^—3EX2=3x1000x0.1=300

所以3生产线上挽回的损失较多.

②由已知得X的可能取值为10,8,6,用样本估计总体，则有

p(X=10)=^^=U,〃(X=8)=60+40Lp(X=6)=竺±竺=2

20040200220040

所以X的分布列为

X1086

11]_9

P

40240

11]9

所以EX=10x—+8x—+6x匕=81(元)

40240

故估算估算该厂产量2000件时利润的期望值为2000x8.1=16200(元)

【点睛】

本题主要考查概率公式的应用，二项分布的性质与方差的求解，离散型随机变量及其分布列的求解等知识，意在考查

学生的转化能力和计算求解能力.

18.(1)当。〉0时，/(x)的单调递增区间是单调递减区间是(1,”)；当。<0时，f(x)的单调递增区间是

(1,+8),单调递减区间是(—8,1)；(2)fo,-L证明见解析.

Iej

【解析】

(1)求出了'(X)，对a分类讨论，分别求出，(刈>0,/'(》)<0的解，即可得出结论；

(2)由(1)得出Ax)=/有两解时/的范围，以及看,羽关系，将玉+x,>2,等价转化为证明但(二>2,

U-

不妨设玉>%，令他=西一々，则/〃>O，即证(加一2)，"+加+2>0,构造函数

g(x)=(x—2)，+x+2(x>0),只要证明对于任意x>(),g(x)>0恒成立即可.

【详解】

(1)/(x)的定义域为凡且广(只，(1丁).

e

1—Y1—Y

由一•〉()，得X<1；由一<0,得x>l.

ee

故当a>0时，函数/(x)的单调递增区间是(-8,1),

单调递减区间是(1,+8)；

当a<0时，函数/(x)的单调递增区间是(1,”)，

单调递减区间是(-8,1).

(2)由⑴知当。=1时，/(x)=4,且f(x)=.f(D=—.

e0Hxe

当尤时，当时，

<0/U)<05x>0/(x)>0.

，当0<f<』时，直线y=r与y=/(x)的图像有两个交点,

e

•.・实数f的取值范围是［o,1)

••・方程/(X)=t有两个不等实根斗，,

—=二=xX1

r,x.=te',x2=te,

ex'e*

xx即

：.x,-x2^t(e'-e^,

要证玉+々>2,只需证+e*)>2,

即证('f).+*)>2,不妨设王〉x,.

—9

令加=%一/，则加〉°，em>1，

则要证」_____Z〉2，即证(初一2)*+根+2〉0・

em-1

令g(x)=(x-2)e"+x+2(x>0),则g'(x)=(尢-l)e"+1.

令h(x)=(x-l)ex+1,贝(Jh\x)=xex>0，

r.h(x)=(x-l)e'+1在(0,+8)上单调递增，.•/(x)>〃(0)=0.

.•.g'(x)>0,，g(x)在(0,+8)上单调递增，

g(x)>g(0)=0,即(x-2)ex+x+2>0成立，

即0—2)6加+加+2>0成立+x2>2.

【点睛】

本题考查函数与导数的综合应用，涉及到函数单调性、极值、零点、不等式证明，构造函数函数是解题的关键，意在

考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于较难题.

19.(1)证明见解析(2)昱

2

【解析】

(1)由题意可证得PELAB,ABLBE,所以AB,平面P3E,则平面PA8_L平面P3E可证；

(2)解法一：利用等体积法由VP_ADB=VD_APB可求出点。到平面PA6的距离；解法二：由条件知点。到平面Q钻的

距离等于点E到平面Q46的距离，过点E作/归的垂线，垂足尸，证明所，平面计算出后尸即可.

【详解】

解法一：(1)依题意知，因为CELBE,所以PELBE.

又平面平面ABCD,平面平面ABCD=BE,PEu平面PBE,

所以PE_L平面ABCD.

又ABi平面ABCD,

所以

由已知，ABC。是等边三角形，且E为CO的中点，所以BE_LCD.

因为所以AB，BE.

又PEcBE=E，所以A3_L平面28E.

又ABi平面所以平面RLB_L平面P3E.

由（1）知，平面AB£>,且PE=1，

所以三棱锥P—ABO的体积V='x6xl=也.

33

在RfAPBE中,PE=1，BE=6得PB=2,

由（1）知，ABL平面PBE,所以A8_LFB,

所以^&ABP~2,

设点。到平面A45的距离。，

则三棱锥E—PAB的体积V'=Lx2xd=3,得”=走.

332

解法二：（1）同解法一；

（2）因为DEHAB,ABI平面Q4B，平面Q4B，

所以OE〃平面以18.

所以点E到平面PAB的距离等于点D到平面PAB的距离.

过点E作95的垂线，垂足/，即EF_LPB.

由（1）知，平面/VLB，平面PBE,平面B48c平面EFu平面PBE,

所以耳'_L平面RS,即砂为点。到平面B钻的距离.

由（1）知，PELBE,

在RfAPBE中,PE=1，BE=6得PB=2.

又PExBE=PBxEF,所以EF=@.

2

所以点。到平面PAB的距离为旦.

2

【点睛】

本题主要考查空间面面垂直的的判定及点到面的距离，考查学生的空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力.求点

到平面的距离一般可采用两种方法求解：①等体积法；②作（找）出点到平面的垂线段，进行计算即可.

2（4，，1）

20.（1）q,=2〃+1,%=2"T；（2）7；n=-^-+-.

"2n2/i+i3

【解析】

（1）设｛%｝的公差为d，｛a｝的公比为q,由基本量法列式求出4g后可得通项公式；

（2）奇数项分一组用裂项相消法求和，偶数项分一组用等比数列求和公式求和.

【详解】

(1)设｛4｝的公差为d,｛。,｝的公比为/由4+52=10,%-2%=。3.得：

q+6+d=10d=2

3+4d—2q=3+2d[q=2

.•.4=3+2(〃-1)=2〃+1,b„=21'-'；

(2)由%=3,4=2〃+1得S“=〃(〃+2),

21I,

”为奇数时，。"=不=-------%，〃为偶数时，%=2一，

Snn〃+2

^2,1=(C|+C3+,"+C2n-l)+(C2+C4+…+，2")

+...+(-^---^)]+(2+20..+22"T)=l--U^£2=H+Mzll.

2〃-12〃+l2〃+l1-42〃+l3

【点睛】

本题考查求等差数列和等比数列的通项公式，考查分组求和法及裂项相消法、等差数列与等比数列的前〃项和公式，

求通项公式采取的是基本量法，即求出公差、公比，由通项公式前“项和公式得出相应结论.数列求和问题，对不是

等差数列或等比数列的数列求和，需掌握一些特殊方法：错位相减法，裂项相消法，分组（并项）求和法，倒序相加

法等等.

4

21.（1）

5

⑵亚.

10

【解析】

分析：（1）直接建立空间直角坐标系，然后求出面的法向量和已知线的向量，再结合向量的夹角公式求解即可；（2）

先分别得出两个面的法向量，然后根据向量交角公式求解即可.

详解：

（I）••'ABC。是矩形，

AAD上CD,

又•••PD工平面ABCQ,

APD±AD,PDLCD,即PD,AD,CD两两垂直，

•••以。为原点，DA,DC,£>P分别为％轴，轴，z轴建立如图空间直角坐标系，

由尸0=CD=4,AD=2,得A（2,0,0）,B（2,4,0）,C（0,4,0）,D（0,0,0）,尸（0,0,4）,M（l,0,2）,

贝！]Q=(—2,0,4),BC=(-2,0,0),砺=(1,4,—2),

设平面CM3的一个法向量为勺=（X]，x，zJ,

BCn^=0-2%j=0

则即《0,令％=1,得玉=0,Z]=2,

巧+4%—24

.,•瓦=(O,L2),

8__4

275-75-5

4

故AP与平面CMB所成角的正弦值为-.

（2）由（1）可得定=（0,4,T）,

设平面PBC的一个法向量为〃2