2021年版课程标准《图形与几何》领域的解读与思考

数学课程标准《图形与几何》领域的解读与思考《课程标准（2021年版）》把原来实验稿的“空间与图形”修订为“图形与几何”，更突出体现了几何学的本质：以图形作为重要的研究对象，以空间形式作为分析和探讨的核心。图形与几何的课程内容，以发展学生的空间观念、几何直观、推理能力为核心展开，主要包括：空间和平面基本图形的认识，图形的性质、分类和度量；图形的平移、旋转、轴对称，相似和投影；平面图形基本性质的证明；物体和图形的位置及运动的描述，运用坐标描述图形的位置和运动。下面我就以下两个方面来谈一谈。一、“图形与几何”领域课程内容变化与分析第一、二学段“图形与几何”课程内容，分为图形的认识、测量、图形的运动、图形与位置四个部分。（一）图形的认识课标修订前后立体图形的认识部分内容的对比：

修订前修订后第一学段（1）通过实物和模型辨认长方体、正方体、圆柱和球等立体图形。

（2）辨认从正面、侧面、上面观察到的简单物体的形状。［参见例1］

（3）辨认长方形、正方形、三角形、平行四边形、圆等简单图形。

（4）通过观察、操作，能用自己的语言描述长方形、正方形的特征。

（5）会用长方形、正方形、三角形、平行四边形或圆拼图。

（6）结合生活情境认识角，会辨认直角、锐角和钝角。

（7）能对简单几何体和图形进行分类。

1.能通过实物和模型辨认长方体、正方体、圆柱和球等几何体。2.能根据具体事物、照片或直观图辨认从不同角度观察到的简单物体（参见例11）。3.能辨认长方形、正方形、三角形、平行四边形、圆等简单图形。4.通过观察、操作，初步认识长方形、正方形的特征。5.会用长方形、正方形、三角形、平行四边形或圆拼图。6.结合生活情境认识角，了解直角、锐角和钝角。7.能对简单几何体和图形进行分类（参见例20）。

第二学段（1）了解两点确定一条直线和两条相交直线确定一个点。

（2）能区分直线、线段和射线。

（3）体会两点间所有连线中线段最短，知道两点间的距离。

（4）知道周角、平角的概念及周角、平角、钝角、直角、锐角之间的大小关系。

（5）结合生活情境了解平面上两条直线的平行和相交（包括垂直）关系。

（6）通过观察、操作，认识平行四边形、梯形和圆，会用圆规画圆。

（7）认识三角形，通过观察、操作，了解三角形两边之和大于第三边、三角形内角和是180°。

（8）认识等腰三角形、等边三角形、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形。

（9）通过观察、操作，认识长方体、正方体、圆柱和圆锥，认识长方体、正方体和圆柱的展开图。

（10）能辨认从不同方位看到的物体的形状和相对位置。［参见例1］1．结合实例了解线段、射线和直线。2．体会两点间所有连线中线段最短，知道两点间的距离。3．知道平角与周角，了解周角、平角、钝角、直角、锐角之间的大小关系。4．结合生活情境了解平面上两条直线的平行和相交（包括垂直）关系。5．通过观察、操作，认识平行四边形、梯形和圆，知道扇形，会用圆规画圆。6．认识三角形，通过观察、操作，了解三角形两边之和大于第三边、三角形内角和是180°。7．认识等腰三角形、等边三角形、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形。8．能辨认从不同方向（前面、侧面、上面）看到的物体的形状图（参见例32）。9．通过观察、操作，认识长方体、正方体、圆柱和圆锥，认识长方体、正方体和圆柱的展开图。

从这个表中可以看到，课标修订前后在图形的认识部分只有一些细小的变化，第二学段的内容标准删除“两点确定一条直线”和“两条相交直线确定一个点”。“图形与几何”领域，将几何学习的视野拓宽到学生生活的空间，强调空间和图形知识的现实背景，从第一学段开始使学生接触丰富的几何世界。《标准（2021年版）》突出用观察、描述、制作、从不同的角度观察物体、认识方向、制作模型等活动，发展学生的空间观念和图形设计与推理（合情推理与演绎推理）的能力。《标准（2021年版）》在第二学段还增加了知道扇形这一内容。扇形的认识，各版本教材均作为选学内容，在《数学课程标准（实验稿）》中没有认识扇形的要求。在“统计与概率”部分却明确提出了通过实例认识扇形统计图的内容标准，考虑到知识的系统性、逻辑性和连贯性，以及学生认识扇形统计图的需要，《课标（2021年版）》在认识圆的基础上，增加了初步认识扇形。（二）测量第一学段中测量的内容可以分成三部分，一是关于度量单位及其统一性的意义的理解；二是关于长度的测量问题；三是关于面积的测量问题。除了探索规则图形的周长、面积和体积公式并会应用外，《课程标准（2021年版）》还要求能测量一些不规则图形的周长，如由规则图形组合而成的图形的周长、圆形或杨树叶形的周长，并给出了测量树叶周长的两种方法，对测量误差也给予了分析。第二学段中的内容包括了角的度量、部分图形的面积公式，以及体积的意义、度量单位和一些常见立体图形的体积的探索，还有“通过操作，了解圆的周长与直径的比为定值，掌握圆的周长公式；探索并掌握圆的面积公式，并能解决简单的实际问题”。第一、二学段都应关注估测的问题。《课程标准（2021年版）》在长度、面积和体积三个维度上都提出了估测的要求：第一学段要求“能估测一些物体的长度，并进行测量”，“会估计给定简单图形的面积”；第二学段要求“体验某些实物（如土豆等）体积的测量方法”。第二学段还明确要求在掌握有关周长、面积、体积公式的基础上，“解决简单的实际问题”，解决问题既是学习过程的重要环节，也是学习数学的主要目的。（三）图形的运动运动是世间万物的基本特征，是物质存在的基本形式。所谓图形的运动，在义务教育数学课程中最基本的形式有两种：一是形状和大小不变，仅仅位置发生变化（合同运动）；二是形状不变而大小变化（相似运动）。在第一、二学段中图形的运动主要是合同运动，包括图形的平移、旋转和轴对称。课标修订前后具体目标有一些具体的变化：

修改前修改后第一学段1.结合实例，感受平移、旋转、对称现象。2.能在方格纸上画出一个简单图形沿水平方向、竖直方向平移后的图形。3．通过观察、操作，初步认识轴对称图形。并能在方格纸上画出简单图形的轴对称图形。1.结合实例，感受平移、旋转、轴对称现象。2.能辨认简单图形平移后的图形。3.通过观察、操作，初步认识轴对称图形。第二学段1.用折纸等方法确定轴对称图形的对称轴，能在方格纸上画出一个简单的轴对称图形。2.能利用方格纸按一定比例将简单图形放大或缩小，体会图形的相似。3.通过观察实例，认识图形的平移与旋转，能在方格纸上将简单图形平移或旋转旋转90°。4.欣赏生活中的图案，灵活运用平移、对称和旋转在方格纸上设计图案。

1．通过观察、操作等活动，进一步认识轴对称图形及其对称轴，能在方格纸上画出轴对称图形的对称轴；能在方格纸上补全一个简单的轴对称图形。2．通过观察、操作等，在方格纸上认识图形的平移与旋转，能在方格纸上按水平或垂直方向将简单图形平移，会在方格纸上将简单图形旋转90°。3．能利用方格纸按一定比例将简单图形放大或缩小。4．能从平移、旋转和轴对称的角度欣赏生活中的图案，并运用它们在方格纸上设计简单的图案。《标准》在第一学段适当降低了要求，去掉了在方格纸上作图的要求，而将其放入了第二学段。这样就使得两个学段的层次更为明确：第一学段，结合实例，通过观察、操作，直观认识平移、旋转和轴对称。第二学段，通过在方格纸上作图等活动，定量刻画运动，体会平移、旋转、轴对称的特征；体会图形的相似。总体上看：修改后的课标在这部分降低了难度，更加强调观察与操作，积累学生数学活动经验。过程中大量的操作性活动，有利于学生积累数学活动经验，教学中应当予以充分的重视。这些画图和设计图案的活动，既可以加深学生对图形对称性的理解，又能激发他们的学习兴趣，感悟数学的美及其应用价值，应当认真落实《标准》的这些要求。（四）图形与位置第一、二学段“图形与位置”的内容是按两条线索展开的：一是确定物体的相对位置；二是辨认方向和使用路线图。（如下图）把“图形与位置”的教学内容分成“确定物体的相对位置”、“辨认方向与使用路线图”两部分，可以让我们看出两方面内容是有区别的。但是它们并非截然分开，而是有联系的，无论是上下、前后、左右，还是东、南、西、北，都既可以用来描述物体的相对位置，又可以用来说明方向。例如，“把数学书放在作业本的上面”、“电梯上行”，前者表示相对位置，后者表示方向。第一学段中确定物体位置的方式有两种，一是“上、下、左、右、前、后”，二是“东、南、西、北”。前者是一种相对位置的确定，它与观察者和参照物有关；后者是绝对位置的确定，不受观察者的影响，只与参照物有关。第二学段的要求主要有以下几个方面。在方位的基础上，进一步定量地刻画物体的位置《课程标准（2021年版）》要求“了解比例尺；在特定的情境中，会按给定的比例进行图上距离与实际距离的换算”，这为定量刻画物体的位置奠定基础；还要求“根据物体相对于参照点的方向和距离确定其位置”，这实际上也是用数对表示位置，是极坐标的雏形。方位在具体问题中的应用《课程标准（2021年版）》要求“会描述简单的路线图”，引导学生运用已学知识解决实际问题。路线图就是从初始点出发到达终点的行径，由于描述路线图的过程中参照点不断变化，随之需要确定的方向、距离也不断变化，所以正确地描述路线图对学生具有挑战性。描述路线图的活动，不仅能检验学生对方位的理解与认识，而且有助于学生体会数学的价值，增强学习的兴趣，促进空间观念的发展。用有序数对确定物体的位置日常生活中学生已经有用数对确定位置的经验，如确定教室里、电影院中的座位等。因而只要引导学生注意数对的顺序，“能在方格纸上用数对（限于正整数）表示位置，知道数对与方格纸上点的对应”的要求不难达到。应当注意“数对”里的数限于正整数，不要用分数，更不要用字母表示。二、在教学中如何凸显《图形与几何》领域的核心概念（一）图形的认识——抽象图形特征，发展空间观念在第一、二学段中，学生将在日常生活中积累了有关图形认识经验的基础上，通过观察、想象、比较、归纳、概括、推理等方式，认识常见的立体图形和平面图形，探索它们的性质；在观察、想象、推理和图形的相互转换过程中发展空间观念，逐步学会用数学的眼光看待丰富的图形世界，体会图形在现实生活中的广泛应用。1、基于对实物的观察与操作，抽象图形特征在图形的认识当中，是先讲立体，再讲平面，再回到立体。人是生活在三维的空间中，正如一个婴儿从出生落地，他所有接触的东西，看到的东西，实际上都是体，他的奶瓶，他玩的积木都是体，住的大楼里，所有东西都是体，在这个过程中儿童积累了很多立体的物体，因此所有的几何体，都具有直观的实物的模型的。基于这样的生活经验，学生可以从认识立体图形开始，“通过实物和模型等辨认长方体、正方体、圆柱和球等几何体”。例如在认识长方体、正方体、圆柱和球时，组织学生观察实物如牙膏盒、魔方、皮球等，让学生通过看一看、摸一摸、说一说等活动来认识它们、辨认它们，经历从实物到几何图形的抽象过程。又如在认识长方形、正方形等平面图形时，是在学生认识长方体、正方体、圆柱和球的基础上，先让学生从不同的角度观察长方体、正方体、圆柱体等的表面，再运用描一描、印一印等方法抽象出长方形、正方形、圆等平面图形。像这样从具体到抽象，从实物到图形，从整体到局部的安排，揭示了立体图形与平面图形的关系，符合学生的认知特点。第二学段要求“结合生活情境了解平面上两条直线的平行和相交（包括垂直）关系”。而学生理解两条直线平行的位置关系是比较困难的，所以在教学时，可以利用两根铁轨作为实物原型来描述，两根铁轨不相交以及它们之间的距离处处相等的事实，都揭示了平行线的本质，但铁轨无法总是笔直的延伸，所以在从实物到几何图形的抽象过程中还需要想象，这有助于学生发展抽象能力和空间观念。从对实物的观察与操作过程中来认识图形的特征和性质，既符合学生认识事物的规律，也符合数学课程的目标要求。这样的过程有助于学生发展能力，初步体会数学的思想方法，发展积极的情感与态度。2、基于图形的想象和图形之间的转换，发展空间观念空间观念作为《课程标准（2021年版）》内容的核心概念，是“图形与几何”学习的核心目标之一。为了促进学生对空间的理解与把握、发展空间观念，《课程标准（2021年版）》安排了投影与视图、展开与折叠等内容，为学生提供进行二维图形与三维图形之间转换的素材。关于视图和投影，小学阶段是观察物体，例如，搭一搭，看一看，指出从前面、侧面、上面看到的形状。从不同方向看到物体的形状图，实际上是一个平面图，就是从水平方向对物体所做的一个投影，也就是拍照。拍照的结果，虽然不是真正意义上的视图，但是它的确实现了，把三维空间向二维空间的一个转换的过程，这为第三学段的正式视图和投影打下比较好的基础。所以，在教学时，可以先让学生借助学具搭一搭图中的立体图形，再观察所搭的立体图形，指出从前面、侧面、上面看到的形状，帮助学生实现由三维空间向二维空间的转换，发展空间观念。“认识长方体、正方体和圆柱的展开图”，体现了三维图形与二维图形之间相互转换的具体要求，目标是在图形转换中引导学生观察、抽象、想象，发展空间观念。所以，在教学中应注重展开与折叠的操作过程，通过想象实现图形之间的转换。例如在教学“正方体展开图”时，可以让学生先想一想可能会是什么样子，然后再通过操作，去验证自己的想法。在进行折叠和展开的操作过程，通过想象，学生认识到立体图形的结构和展开图之间的对应关系。这样有利于发展学生的空间想象力，促进空间观念的形成。认识图形过程中大量的操作性活动，有利于学生积累数学活动经验，发展学生空间观念，教学中应当予以充分的重视。（二）图形的运动——体会研究方法，增强直观能力现实生活中存在着大量的图形的变换的现象，学生有丰富的生活经验，例如，电梯、地铁列车在平行移动；钟面指针、自行车轮、电风扇叶片在旋转运动；许多年画、卡通动物、建筑物的形状具有对称性。这些现象为儿童学习图形的变换提供了丰富多彩的现实背景。通过图形的运动探索发现并确认图形的一些性质，有助于学生发展几何直观能力和空间观念，有利于学生提高研究图形性质的兴趣、体会研究图形性质可以有不同的方法。“图形的运动”内容常用的教学策略有哪些？策略一：结合生活实例，在观察与比较中认识图形的运动课程内容的选择要贴近学生实际，有利于学生体验、思考与探索。因为儿童的抽象思维需要具体形象思维与生活经验给予支撑，对感知图形运动这样抽象概念来说尤其重要。小学阶段关于图形的运动定位在积累感性体验，形成初步认识。在生活中有很多图形或图案呈现出对称、平移或旋转的形式，通过对称、平移、旋转变换同样可以设计制作美丽的图案。因此，在教学中，我们可以多收集一些这样的素材，通过学生的观察、比较，引导学生从运动变化的角度去发现不同的图形变换。例如，教学“图形的变换”时丰富教材中的典型素材，注意融入了像道闸，车轮，钟摆等素材并利用信息技术动态呈现，让学生进一步感知旋转现象。在教学“轴对称变换时”，借助一组学生在生活中喜闻乐见的民族特点浓厚的素材。这样做，一方面有利于激发学生学习图形运动的兴趣，另一方面使学生进一步体会到数学与生活的密切联系，发展学生的概括能力。策略二：借助操作活动，帮助学生加深认识、体会变换的特征加强学生操作活动，也是提高图形变换教学成效的一个策略。操作是一种重要的实践活动。图形变换的操作主要是在方格纸上画一个图形经某变换后的图形和剪对称图形。应鼓励学生动手操作，并在操作过程中积极思考，发展思维能力。例如在教学《图形的旋转》一课时，可以让学生借助学具进行有关旋转的操作活动，感受图形的旋转运动，进而引导让学生感悟旋转的三要素即中心点、角度、方向，这为后面在方格纸上画图提供实物支撑。策略三：注重从变换的角度，引导学生欣赏图形、设计图案学习图形的运动这一内容的重要目的是使学生运用数学的眼光看待现实世界，因此，教学中应鼓励学生从运动变换的角度欣赏图形，设计图案。既可以加深学生对图形平移、旋转和轴对称的理解，又能激发他们的学习兴趣，感悟数学的美及其应用价值。在生活中随处可见的美丽图案，学生在观察这些图案时，可以发现其中包含的熟悉的图形；可以运用数学的眼光分析图案的组成；可以欣赏这些各具特色的图案，发现其中蕴涵的对称美、和谐美、简明美；可以以此为启发，发挥自己的个性和创造力，亲自动手设计图案。例如教学北师大版教材《图形变换》这一内容，三角形ABCD经过怎样的运动得到风车图案的？风车图案又是经过怎样的运动得到长方形的？……教师借助信息技术，动态呈现三角形ABCD经过平移或旋转等运动后形成的美丽图形和图案，鼓励学生从变换的角度欣赏图形与图案，感受其中蕴涵的对称美、和谐美、简明美。并能从不同角度观察图形，识别不同的基本图形发生了怎样的变换之后，形成了同一个图形，激发学生的创造性思维，为后面学习灵活应用对称、平移和旋转自己设计、制作图案做了孕伏。策略四：注重相关知识的联系，发展空间想象力和解决问题的能力1.从运动变换的角度认识图形在认识图形的教学过程中，可以借助变换，动态直观的刻画图形的属性。例如：长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形、圆、长方体、正方体、圆锥等图形，在认识他们的特征时可以通过平移、旋转、对称的变换，清晰直观地发现图形隐含着的特点。2.从运动变换的角度理解度量小学阶段，在平面几何和立体几何的面积和体积公式的推导过程中，时刻都能感受到变换的重要作用。三角形、平行四边形、梯形、圆的面积公式的推导过程中，会用到拼凑、割补等多种推导的方法，这些方法的实质是图形的变换。总之，小学阶段有关图形的运动的目标的达成是一个循序渐进的过程，教师在课堂教学中应该注重多种策略的运用，并以图形的运动教学为载体，注重培养学生的几何直观，帮助学生建立空间观念。（三）图形与位置——发展空间观念，提高推理能力日常生活中常常需要确定物体的位置，学习“图形与位置”，可以使学生更好地把握生活的空间。通过学习确定图形位置的方法，运用不同的方法确定物体的位置，可以发展学生的空间观念和推理能力。“图形与位置”教学的总体建议：空间与人类生存和居住密切相关，了解、探索和把握空间，能使孩子更好地生存、活动和成长。“位置与方向”的内容是“空间观念”在教材中的具体呈现，因此，发展学生的空间观念是“位置与方向”教学的核心目标。1、在“位置与方向”的教学中，如何更好地发展学生的空间观念呢？（1）充分利用学生的生活经验。学生的空间知识来自于丰富的现实原型，与现实生活关系非常紧密，这是他们理解和发展空间观念的宝贵资源。让学生在“教室里”、“校园内”、“电影院中”、“上学路上”等熟悉的情境中学习“位置与方向”的内容，不仅可以激发学习的兴趣，而且有利于更好地认识空间，发展空间观念。（2）让学生经历生活经验回忆、观察、操作、想象、描述、思考、交流、分析、推理、表示等活动过程。发展空间观念的途径是多样化的，在教学中我们只有让学生经历了多样化的数学活动过程，才能逐步发展空间观念。（3）倡导自主探索与合作交流的教学方式。以被动的听讲和练习为主的方式，很难形成空间观念。培养空间观念需要大量的实践活动，学生需要有充分的时间和空间去经历多样化的数学活动过程，这不仅需要自主探索、亲身体验，更需要合作交流。2、在图形与位置的教学中，应处理好以下几个问题（1）如何充分利用学生的已有经验？学生在生活中获得了很多对“方向与位置”的认识，可能这些认识是零散、模糊的，与教学的要求并不相符，教学中如何充分利用学生的已有经验？例如在教学四年级《用数对确定位置》一课，面对学生不同的表示方法，教师应进行归类，选择有代表性的方法，倾听学生的心声。在所有的学生理解不同的表示方法之后，通过不同表示方法的对比，让学生体会到确定位置要统一标准。最后引导学生掌握用数对确定位置的方法：确定学生在教室中的位置，要以教师面向学生的位置为观测点，竖排叫做列，横排叫做行。确定第几列一般是从