章末综合检测课件：第一章 特殊平行四边形

第一章特殊平行四边形章末综合检测一、选择题(每小题4分,共40分)1.[2020天津中考]如图,四边形OBCD是正方形,O,D两点的坐标分别是(0,0),(0,6),点C在第一象限,则点C的坐标是(

)A.(6,3) B.(3,6) C.(0,6) D.(6,6)【解析】

因为四边形OBCD是正方形,所以CD⊥OD,BC⊥OB,OB=BC=OD=6,所以点C的坐标是(6,6).故选D.

【解析】由题意,得AC=AD=BD=BC,∴四边形ACBD是菱形,∴AB平分∠CAD,CD平分∠ACB,AB⊥CD.由题中条件无法判定四边形ACBD是正方形,∴AB和CD不一定相等.故选D.3.如图,正方形ABCD的边长为4cm,则阴影部分的面积为(

)A.4cm2

B.8cm2C.12cm2

D.16cm2

4.[2020浙江宁波中考]如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD为中线,延长CB至点E,使BE=BC,连接DE,F为DE的中点,连接BF.若AC=8,BC=6,则BF的长为(

)A.2 B.2.5 C.3 D.4

6.

如图,AC,BD是菱形ABCD的对角线,E,F是BD上两点,且BE=DF,连接AE,CE,AF,CF,添加一个条件使四边形AECF是正方形,这个条件可以是(

)A.∠AEB=∠CFDB.BE=OEC.∠ABE=∠CDF

D.AC=2OE【解析】在菱形ABCD中,AC⊥BD,OA=OC,OB=OD,∵BE=DF,∴OE=OF,∴四边形AECF是菱形.若AC=2OE,结合OE=OF,可得AC=EF,∴菱形AECF是正方形.其他条件均无法判定四边形AECF是正方形.故选D.

8.[2020山东潍坊期末]如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O,顺次连接平行四边形ABCD各边中点得到一个新的四边形,给出下列四个条件:①AC⊥BD;②△ABO的周长等于△CBO的周长;③∠DAO=∠CBO;④∠DAO=∠BAO.如果从中选择一个条件可以使这个新的四边形成为矩形,那么这样的条件个数是(

)A.1 B.2 C.3 D.4【解析】顺次连接平行四边形ABCD各边中点,利用三角形中位线性质可得,新的四边形是平行四边形.①若AC⊥BD,则利用“有一个角是直角的平行四边形是矩形”可判定新的四边形是矩形;②∵四边形ABCD是平行四边形,∴AO=OC,BO=DO,∵△ABO的周长等于△CBO的周长,∴AB=BC,根据等腰三角形的性质可知BO⊥AC,∴BD⊥AC,同①可判定新的四边形是矩形;③∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠CBO=∠ADO,∵∠DAO=∠CBO,∴∠ADO=∠DAO,∴AO=OD,∴AC=BD,可利用“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”判定新的四边形是菱形,不符合题意;④在平行四边形ABCD中,∠DAO=∠BAO,易得平行四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,同①可判定新的四边形是矩形.∴①②④符合题意.故选C.

10.[2020浙江绍兴中考]如图,点O为矩形ABCD的对称中心,点E从点A出发沿AB向点B移动,移动到点B停止,延长EO交CD于点F,则四边形AECF形状的变化依次为(

)A.平行四边形→正方形→平行四边形→矩形B.平行四边形→菱形→平行四边形→矩形C.平行四边形→正方形→菱形→矩形D.平行四边形→菱形→正方形→矩形【解析】连接AC,由对角线互相平分的四边形为平行四边形可知,点E在移动过程中,四边形AECF始终为平行四边形.特殊地,当EF⊥AC时,四边形AECF为菱形,当点E与点B重合时,四边形AECF是矩形.故四边形AECF的形状依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形.故选B.二、填空题(每小题4分,共24分)11.[2020江苏连云港中考]如图,将5个大小相同的正方形置于平面直角坐标系中,若顶点M,N的坐标分别为(3,9),(12,9),则顶点A的坐标为

.

【解析】

如图,∵顶点M,N的坐标分别为(3,9),(12,9),∴MN∥x轴,MN=9,BN∥y轴,∴正方形的边长为3,∴BN=6,∴B(12,3).∵AB∥MN,∴AB∥x轴,∴A(15,3).12.如图,在菱形ABCD中,∠BCD=50°,BC的垂直平分线交对角线AC于点F,垂足为E,连接BF,DF,则∠DFC的度数是

.

13.[2020黑龙江哈尔滨期中]已知四边形ACDE为平行四边形,延长EA至点B,使EA=BA,连接BD交AC于点F,连接AD,BC.若BD=DE,则当∠E=

°时,四边形ABCD为正方形.

【解析】

∵四边形ACDE为平行四边形,∴AE∥CD,AE=CD.∵EA=BA,∴AB∥CD,AB=CD,∴四边形ABCD是平行四边形.∵四边形ACDE为平行四边形,∴AC=DE.∵BD=DE,∴AC=BD,∴▱ABCD是矩形.当∠E=45°时,∵BD=DE,∴∠E=∠EBD=45°,∴∠BDE=90°.∵AC∥DE,∴∠AFB=∠BDE=90°,即AC⊥BD,∴四边形ABCD为正方形.4514.如图,∠MON=90°,矩形ABCD的顶点C,D分别在射线ON,OM上滑动,AB=9,BC=6,在滑动过程中,点A到点O的最大距离为

.

15.[2019北京中考]在矩形ABCD中,M,N,P,Q分别为边AB,BC,CD,DA上的点(不与端点重合).对于任意矩形ABCD,给出下面四个结论:①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形;②存在无数个四边形MNPQ是矩形;③存在无数个四边形MNPQ是菱形;④至少存在一个四边形MNPQ是正方形.所有正确结论的序号是

.

【解析】在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,连接PM,QN,若PM与QN均经过点O,则四边形MNPQ为平行四边形.此时若PM=QN,则四边形MNPQ为矩形;若PM⊥QN,则四边形MNPQ为菱形.有的矩形不存在以点M,N,P,Q为顶点的正方形.故正确的结论是①②③.

三、解答题(共56分)17.(6分)[2019云南中考]如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AO=OC,BO=OD,且∠AOB=2∠OAD.(1)求证:四边形ABCD是矩形.(2)若∠AOB∶∠ODC=4∶3,求∠ADO的度数.【解析】

(1)∵AO=OC,BO=OD,∴四边形ABCD是平行四边形.∵∠AOB=∠OAD+∠ODA=2∠OAD,∴∠OAD=∠ODA,∴AO=DO,∴AC=BD,∴四边形ABCD是矩形.(2)由(1)知四边形ABCD是矩形,∴AB∥CD,∴∠ABO=∠ODC.∵∠AOB∶∠ODC=4∶3,∴∠AOB∶∠ABO=4∶3,∴∠BAO∶∠AOB∶∠ABO=3∶4∶3.∵∠BAO+∠AOB+∠ABO=180°,∴∠ABO=54°.∵∠BAD=90°,∴∠ADO=90°-54°=36°.

【分析】(1)先根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,得到四边形ABCD是平行四边形,再根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形,即可证明结论.(2)先根据菱形的性质及勾股定理得到AO的长,再在Rt△AEC中根据斜边上的中线等于斜边的一半计算即可.【解析】

(1)∵AB∥DC,∴∠BAC=∠DCA.∵AC平分∠BAD,∴∠BAC=∠DAC,∴∠DAC=∠DCA,∴AD=DC.∵AB=AD,∴AB=DC,∴四边形ABCD是平行四边形.又∵AB=AD,∴四边形ABCD是菱形.

19.(8分)如图,边长为8的正方形ABCD的对角线AC,BD交于点O,M是AB边上一动点,ME⊥AO,MF⊥BO.(1)求证:四边形OEMF为矩形.(2)连接EF,求EF的最小值.

20.(10分)[2020河南郑州枫杨外国语学校期中]已知:如图,在▱ABCD中,G,H分别是AD,BC的中点,E,O,F均是对角线BD上的四等分点,顺次连接G,E,H,F.(1)求证:四边形GEHF是平行四边形.(2)当▱ABCD满足

条件时,四边形GEHF是菱形.

(3)若BD=2AB,探究四边形GEHF的形状,并说明理由.

21.(12分)[2020山西中考]综合与实践问题情境:如图1,点E为正方形ABCD内一点,∠AEB=90°,将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°,得到△CBE'.延长AE交CE'于点F,连接DE.

图1

图2

猜想证明:(1)试判断四边形BE'FE的形状,并说明理由;(2)如图2,若DA=DE,请猜想线段CF与FE'的数量关系并加以证明.

22.(12分)[2019甘肃天水中考]如图1,对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.(1)概念理解:如图2,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,四边形ABCD是垂美四边形吗?请说明理由.(2)性质探究:如图1,四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O,AC⊥BD.试证明:AB2+CD2=AD2+BC2.(3)问题解决