北京一五六中学2024届数学高二第二学期期末考试模拟试题含解析

北京一五六中学2024届数学高二第二学期期末考试模拟试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．中，角、、的对边分别为，，，若，三角形面积为，，则()A．7 B．8 C．5 D．62．已知命题R，使得是幂函数，且在上单调递增．命题：“R，”的否定是“R，”，则下列命题为真命题的是（）A． B． C． D．3．设全集，集合，，则（）A． B． C． D．4．某校有高一学生n名，其中男生数与女生数之比为6:5，为了解学生的视力情况，现要求按分层抽样的方法抽取一个样本容量为n10的样本，若样本中男生比女生多12人，则n=（A．990 B．1320 C．1430 D．15605．双曲线的焦点坐标是A． B． C． D．6．在极坐标系中，为极点，曲线与射线的交点为，则（）A． B． C． D．7．等差数列an中的a2 ，  A．5 B．4 C．3 D．28．已知、是双曲线的两焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）A． B． C． D．9．．设(x1,y1),(x2,y2A．x和y的相关系数为直线l的斜率B．x和y的相关系数在0到1之间C．当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同D．直线l过点(10．复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限11．在个排球中有个正品，个次品.从中抽取个，则正品数比次品数少的概率为（）A． B． C． D．12．若不等式2xlnx≥－x2＋ax－3对x∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围是()A．(－∞，0) B．(－∞，4] C．(0，＋∞) D．[4，＋∞)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．将红、黑、蓝、黄个不同的小球放入个不同的盒子，每个盒子至少放一个球，且红球和蓝球不能放在同一个盒子，则不同的放法的种数为________.(用数字作答)14．已知等比数列的首项为，且，则__________.15．已知数列的前项和为，，且满足，若，，则的最小值为__________．16．函数的单调递增区间为__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知的展开式的各项系数之和等于的展开式中的常数项.求：(1)展开式的二项式系数和；(2)展开式中项的二项式系数.18．（12分）已知函数的定义域为；（1）求实数的取值范围；（2）设实数为的最大值，若实数，，满足，求的最小值.19．（12分）某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯，在某学院大一年级名学生中进行了抽样调查，发现喜欢甜品的占.这名学生中南方学生共人。南方学生中有人不喜欢甜品.（1）完成下列列联表：喜欢甜品不喜欢甜品合计南方学生北方学生合计（2）根据表中数据，问是否有的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；（3）已知在被调查的南方学生中有名数学系的学生，其中名不喜欢甜品；有名物理系的学生，其中名不喜欢甜品.现从这两个系的学生中，各随机抽取人，记抽出的人中不喜欢甜品的人数为，求的分布列和数学期望.附：.0.150.1000.0500.0250.0102.0722.7063.8415.0246.63520．（12分）已知函数，函数，记集合.（I）求集合；（II）当时，求函数的值域.21．（12分）在某校科普知识竞赛前的模拟测试中，得到甲、乙两名学生的6次模拟测试成绩(百分制)的茎叶图.(I)若从甲、乙两名学生中选择一人参加该知识竞赛，你会选哪位？请运用统计学的知识说明理由；(II)若从甲的6次模拟测试成绩中随机选择2个，记选出的成绩中超过87分的个数为随机变量ξ，求ξ的分布列和均值.22．（10分）已知函数讨论函数的单调性；当时，求函数在区间上的零点个数.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】分析：由已知及三角形的面积公式可求bc，然后由a+b+c=20以及余弦定理，即可求a．详解：由题意可得，S△ABC=bcsinA=bcsin60°∴bcsin60°=10∴bc=40∵a+b+c=20∴20﹣a=b+c．由余弦定理可得，a2=b2+c2﹣2bccos60°=（b+c）2﹣3bc=（20﹣a）2﹣120解得a=1．故选A．点睛：本题综合考查正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式等知识的综合应用，解题的关键是灵活利用公式．考查计算能力．2、C【解题分析】

利用复合命题的真值表进行判断即可，注意中的幂函数的系数为1，而中的小于的否定是大于或等于．【题目详解】命题令，解得，则为幂函数，且在上单调递增，因此是真命题，命题“，”的否定是“，”，因此是假命题，四个选项中的命题为真命题的是，其余的为假命题，故选C．【题目点拨】（1）幂函数的一般形式是，而指数函数的一般形式是；（2）我们要熟悉常见词语的否定，若“大于”的否定是“小于或等于”，“都是”的否定是“不都是”，“至少有一个”的否定是“一个都没有”等．3、B【解题分析】

求得，即可求得，再求得，利用交集运算得解.【题目详解】由得：或，所以，所以由可得：或所以所以故选：B【题目点拨】本题主要考查了对数函数的性质，还考查了补集、交集的运算，属于基础题.4、B【解题分析】

根据题意得出样本中男生和女生所占的比例分别为611和511，于是得出样本中男生与女生人数之差为611【题目详解】依题意可得(611-511)×n【题目点拨】本题考考查分层抽样的相关计算，解题时要利用分层抽样的特点列式求解，考查计算能力，属于基础题。5、C【解题分析】分析：由题意求出，则，可得焦点坐标详解：由双曲线，可得，故双曲线的焦点坐标是选C.点睛：本题考查双曲线的焦点坐标的求法，属基础题.6、B【解题分析】分析：将两方程联立求出，再根据的几何意义即可得到OA的值.详解：由题可得：，由的几何意义可得，故选B.点睛：考查极坐标的定义和的几何意义：表示原点到A的距离，属于基础题.7、D【解题分析】

求导，根据导数得到a2,a4030是方程x【题目详解】由题意可知：f'x=x2-8x+6，又a2,a4030是函数f∴log2【题目点拨】本题考查了等差数列的性质，函数的极值，对数运算，综合性强，意在考查学生的综合应用能力.8、C【解题分析】

设为边的中点，由双曲线的定义可得，因为正三角形的边长为，所以有，进而解得答案。【题目详解】因为边的中点在双曲线上，设中点为，则，,因为正三角形的边长为，所以有，整理可得故选C【题目点拨】本题考查双曲线的定义及离心率，解题的关键是由题意求出的关系式，属于一般题。9、D【解题分析】因回归直线一定过这组数据的样本中心点(x点睛：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求a,b，写出回归方程，回归直线方程恒过点10、A【解题分析】

化简求得复数为，然后根据复数的几何意义，即可得到本题答案.【题目详解】因为，所以在复平面内对应的点为，位于第一象限.故选：A【题目点拨】本题主要考查复数的四则运算和复数的几何意义，属基础题.11、A【解题分析】分析：根据超几何分布，可知共有种选择方法，符合正品数比次品数少的情况有两种，分别为0个正品4个次品，1个正品3个次品，分别求其概率即可。详解：正品数比次品数少，有两种情况：0个正品4个次品，1个正品3个次品，由超几何分布的概率可知，当0个正品4个次品时当1个正品3个次品时所以正品数比次品数少的概率为所以选A点睛：本题考查了超几何分布在分布列中的应用，主要区分二项分布和超几何分布的不同。根据不同的情况求出各自的概率，属于简单题。12、B【解题分析】

分析：由已知条件推导出a≤x+2lnx+3x,x>0，令y=x+2lnx+3【题目详解】详解：由题意2xlnx≥-x2所以a≤x+2lnx+3x设y=x+2lnx+3由y'=0，得当x∈(0,1)时，y'<0，当x∈(1,+∞)时，所以x=1时，ymin=1+0+3=4，所以即实数a的取值范围是(-∞,4].点睛：利用导数研究不等式恒成立或解不等式问题，通常首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、30【解题分析】

先计算小球放入3个不同的盒子的放法数目，再计算红球和蓝球放到同一个盒子的放法数目，两个相减得到结果．【题目详解】将4个小球放入3个不同的盒子，先在4个小球中任取2个作为1组，再将其与其它2个小球对应3个盒子，共C42A33=36种情况，若红球和蓝球放到同一个盒子，则黑、黄球放进其余的盒子里，有A33=6种情况，则红球和蓝球不放到同一个盒子的放法种数为36－6=30.故答案为：30【题目点拨】本题考查排列组合及简单的计数原理的应用，注意用间接法，属于基础题．14、【解题分析】

先由等比数列的通项公式得到，进而得到，再根据等比数列的性质得到结果.【题目详解】设等比数列的公比为，因为，根据等比数列的通项公式的计算得到：，所以.由等比数列的性质得到：.故答案为：128.【题目点拨】这个题目考查了等比数列的通项公式的写法，以及等比数列的性质的应用，题目比较基础.对于等比等差数列的小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公比或者公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质.15、-14【解题分析】分析：由，即利用等差数列的通项公式可得：当且仅当时，．即可得出结论．详解：由由，即．

∴数列为等差数列，首项为-5，公差为1．可得：，

当且仅当时，．

已知，

则最小值为即答案为-14.点睛：本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式与求和公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16、【解题分析】

先求得函数的定义域，然后根据复合函数同增异减求得函数的单调递增区间.【题目详解】由解得或，由于在其定义域上递减，而在时递减，故的单调递增区间为.【题目点拨】本小题主要考查复合函数单调区间的求法，考查对数函数定义域的求法，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)【解题分析】

根据通项公式,求出二项式的常数项,再求出的展开式的各项系数之和,根据题意可以求出的值；(1)直接运用二项式展开式二项式系数和公式求解即可；(2)运用二项式的通项公式即可求出展开式中项的二项式系数.【题目详解】二项式的通项公式为：,令,因此的展开式中的常数项为：,在中,令,所以的展开式的各项系数之和为,由题意可知：.,(1)因为,所以展开式的二项式系数和为；(2)因为,所以二项式的通项公式为：,令,所以展开式中项的二项式系数为：.【题目点拨】本题考查了二项式通项公式的应用,考查了数学运算能力,区分是二项式的系数还是项的系数是解题的关键.18、（1）；（2）【解题分析】

（1）由定义域为R，只需求解|x﹣3|+|x|的最小值，即可得实数m的取值范围（2）根据（1）实数t的值，利用柯西不等式即可求解最小值．【题目详解】(1)函数的定义域为R，那么|x﹣3|+|x|﹣m≥0对任意x恒成立，∴只需m≤（|x﹣3|+|x|）min，根据绝对值不等式|x﹣3|+|﹣x|≥|x﹣3﹣x|＝3∴3﹣m≥0，所以m≤3，故实数m的取值范围（﹣∞，3]；（2）由（1）可知m的最大值为3，即t＝3，那么a2+b2+c2＝t2＝9，则a2+1+b2+1+c2+1＝12，由柯西不等式可得（）（a2+1+b2+1+c2+1）≥（1+1+1）2＝9，∴（），当a＝b＝c时取等号，故得的最小值为．【题目点拨】本题主要考查函数最值的求解，转化思想和柯西不等式的应用．属于中档题19、(1)列联表见解析.(2)有的把认为“南方学生和北方学生在选甜品的饮食习惯方面有差异”.(3)分布列见解析；.【解题分析】分析：（1）根据数据填写表格，（2）根据卡方公式得，再与参考数据比较得可靠率，（3）先列随机变量可能取法，再利用组合数求对应概率，最后根据数学期望公式求期望.详解：（1）喜欢甜品不喜欢甜品合计南方学生602080北方学生101020合计7030100（2）由题意，，∴有的把握认为“南方学生和北方学生在选甜品的饮食习惯方面有差异”.（3）的所有可能取值为0，1，2，3，，，，，则的分布列为0123所以的数学期望.点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值.20、（1）（2）【解题分析】

（Ⅰ）由g（x）≤0得42x﹣5•22x+1+16≤0，然后利用换元法解一元二次不等式即可得答案；（Ⅱ）化简函数f（x），然后利用换元法求解即可得答案．【题目详解】解：（I）即，，令，即有得，，，解得；（II），令则，二次函数的对称轴，【题目点拨】本题考查了指、对数不等式的解法，考查了会用换元法解决数学问题，属于中档题．21、(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ)答案见解析.【解题分析】

(1)由题意考查两人的平均值均为82，方差甲乙分别为，结合方差可知乙的方差小，即乙发挥更稳定，故可选择学生乙参加知识竞赛.(2)由题意可知：ξ的所有可能取值为0，1，2，结合超几何分布概率公式求得概率值，得到分布列，然后计算可得均值为.【题目详解】(I)学生甲