小学数学5年级培优奥数讲义 第02讲-等差数列（含解析）

第02讲等差数列

学习目标

*：

?掌握等差数列的基本概念，首项、末项、公差等;

会掌握等差数列的常用公式，并能灵活运用。

0知识梳理

一、数列的概念

按一定顺序排成的一列数叫做数列。数列中的每一个数都叫做项，第一项称为首项，最后

一项称为末项。数列中共有的项的个数叫做项数。

如：2、5、8、11、14、17、20、…从第二项起，每一项比前一项大3，递增数列

100、95、90、85、80、…从第二项起，每一项比前一项小5,递减数列

二、等差数列与公差

一个数列，从第二项起，每一项与与它前一项的差都相等，这样的数列的叫做等差数列,

其中相邻两项的差叫做公差。

三、常用公式

等差数列的总和=（首项+末项）X项数+2

项数=（末项-首项）+公差+1

末项=首项+公差x（项数-1）

首项=末项-公差x（项数-1）

公差=（末项-首项）+（项数-1）

等差数列（奇数个数）的总和=中间项x项数

中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数,

也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数.

毫典例分析

考点一：等差数列的基本认识

例1、下面的数列中，哪些是等差数列？若是，请指明公差，若不是，则说明理由。

①6,10,14,18,22,98；

②1,2,1,2,3,4,5,6；

③1,2,4,8,16,32,64；

④9,8,7,6,5,4,3,2；

⑤3,3,3,3,3,3,3,3；

⑥1,0,1,0,I,0,1,0；

例2、把比100大的奇数从小到大排成一列，其中第21个是多少？

例3、已知一个等差数列第9项等于131,第10项等于137,这个数列的第1项是多少？第19

项是多少？

例4、2、4、6、8、10、12、…是个连续偶数列，如果其中五个连续偶数的和是320,求它们

中最小的一个.

例5、5、8、11、14、17、20、…，这个数列有多少项？它的第201项是多少？65是其中的第

几项？

考点二：等差数列求和

例1、一个等差数列2,4,6,8,10,12,14,这个数列各项的和是多少？

例2、15个连续奇数的和是1995,其中最大的奇数是多少？

例3、小马虎计算1到2006这2006个连续整数的平均数。在求这2006个数的和时，他少算

了其中的一个数，但他仍按2006个数计算平均数，结果求出的数比应求得的数小1。小马虎

求和时漏掉的数是。

例4、下列数阵中有100个数，它们的和是多少？

111213...1920

121314…2021

131415...2122

202122…2829

考点三：等差数列的应用

例1、已知数列：2,1,4,3,6,5,8,7,问2009是这个数列的第多少项？

例2、在11〜45这35个数中，所有不被3整除的数的和是多少？

例3、如图2,用火柴棍摆出一系列三角形图案，按这种方式摆下去，当25时，按这种方式

摆下去，当25时，共需要火柴棍根。

例4、将一些半径相同的小圆按如下所示的规律摆放：第1个图形中有6个小圈，第2个图形

中有10个小圈，第3个图形中有16个小圈，第4个图形中有24个小圈，…，依此规律，第

6个图形有个小圈。

oOOoOO

OOOOOOIooooo

oOOOOOOIooooo

oO。。。。0ooooo

oooooo_o

第1个图形第2个图形第3个图形第4个图形

续实战演练

»£课堂狙击

1、在数列3、6、9……，201中，共有多少数？如果继续写下去，第201个数是多少?

2、全部三位数的和是多少？

3、求下列方阵中所有各数的和:

1、2、3、4,…49、50；

2、3、4、5、...50、51；

3、4、5、6、...51、52；

49、50、51、52、...97、98；

50、51、52、53、...98、99。

4、若干人围成16圈，一圈套一圈，从外向内圈人数依次少6人，如果共有912人，问最外圈

有多少人？最内圈有多少人？

5,有一串数，已知第一个数是6,而后面的每一个数都比它前面的数大4,这串数中第2003

个数是。

6、一个剧院共有25排座位，从第一排起，以后每排都比前一排多2个座位，第25排有70个

座位，这个剧院共有个座位。

7、一个五层书架共放了600本书，已知下面一层都比上面一层多10本书。最上面一层放本书,

最下面一层放本书。

8、有10只盒子，54个乒乓球，能不能把54个乒乓球放进盒子中去，使各盒子的乒乓球数不

相等？

9、有一堆粗细均匀的圆木，堆成如下图的形状，最上面一层有7根园木，每面下层增加1根,

最下面一层有95根，问：这堆圆木一共有多少根？

10、有一个六边形点阵，如下图，它的中心是一个点，算做第一层，第二层每边有两个点，第

三层每边有三个点……这个六边形点阵共100层，问，这个点阵共有多少个点？

＞课堂反击

1、观察右面的五个数：19、37、55、a、91排列的规律，推知。=

2、2,5,8,11,14……是按照规律排列的一串数，第21项是多少？

3、在等差数列6,13,20,27,…中，从左向右数，第个数是1994.

4、有20个数，第1个数是9,以后每个数都比前一个数大3.这20个数相加，和是多少？

5、把210拆成7个自然数的和，使这7个数从小到大排成一行后，相邻两个数的差都是5,

那么，第1个数与第6个数分别是多少？

6、已知数列2、3、4、6、6、9、8、12、…，问:这个数列中第2000个数是多少？第2003个

数是多少？

7、把248分成8个连续偶数的和，其中最大的那个数是多少？

8、观察下列四个算式：Y20=20,2V()=1°，1牛()=S1三2喂5。从中找出规律，写出第五个算

1242o1O

式：。

9、若干个硬币排成左下图，每个硬币所在行的硬币数与所在列的硬币数相减得出一个差(大数

减小数)，如对于外差为7-5=2,所有差的总和为。

O直击赛场

1、从1开始的奇数：1,3,5,7,……其中第100个奇数是

2、(2006年，第4届，希望杯，4年级，1试)观察下列算式:

24-4=6=2x3,

2+4+6=12=3x4

2+4+6+8=20=4x5

然后计算：2+4+6+.......+100=o

3、（2005年，第3届，走美杯，5年级,决赛）从正整数1〜N中去掉一个数，剩下的0—1）

个数的平均值是15.9,去掉的数是o

就重点回顾...

一、等差数列的定义

⑴定义：从第二项起，每一项都比前一项大（或小）一个常数（固定不变的数），这样的数列

我们称它为等差数列.

⑵首项：一个数列的第一项，通常用q表示

末项：一个数列的最后一项，通常用％表示，它也可表示数列的第〃项。

项数：一个数列全部项的个数，通常用〃来表示；

公差：等差数列每两项之间固定不变的差，通常用d来表示；

和：一个数列的前〃项的和，常用S,,来表示.

二、等差数列的相关公式

（1）三个重要的公式

①通项公式：递增数列：末项=首项+（项数-1）、公差，%=4+（〃-l）xd

递减数列：末项=首项-（项数-l）x公差，a”=q

②项数公式：项数=（末项-首项”公差+1

③求和公式：和=（首项+末项）X项数+2

(2)中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数,

也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数.

耍学霸经验

»£本节课我学到

＞我需要努力的地方是

第02讲等差数列

教学目标

、掌握等差数列的基本概念，首项、末项、公差等；

二掌握等差数列的常用公式，并能灵活运用。

家知识梳理；

区一、数列的概念'

按一定顺序排成的一列数叫做数列。数列中的每一个数都叫做项，第一项称为首项，最后

一项称为末项。数列中共有的项的个数叫做项数。

如：2、5、8、11、14、17、20、…从第二项起，每一项比前一项大3,递增数列

100、95、90、85、80、…从第二项起，每一项比前一项小5,递减数列

二、等差数列与公差

一个数列，从第二项起，每一项与与它前一项的差都相等，这样的数列的叫做等差数列,

其中相邻两项的差叫做公差。

三、常用公式

等差数列的总和=（首项+末项）X项数+2

项数=（末项-首项）+公差+1

末项=首项+公差x（项数-1）

首项=末项-公差X（项数-1）

公差=（末项-首项）+（项数-1）

等差数歹I」（奇数个数）的总和=中间项X项数

中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数,

也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数.

个典例分析

室与

考点一：等差数列的基本认识

例1、下面的数列中，哪些是等差数列？若是，请指明公差，若不是，则说明理由。

①6,10,14,18,22,...»98；

②1,2,1,2,3,4,5,6；

③1,2,4,8,16,32,64；

④9,8,7,6,5,4,3,2；

⑤3,3,3,3,3,3,3,3；

⑥1,0,1,0,I,0,1,0；

【考点】等差数列的基本认识

【解析】①是，公差d=4.

②不是，因为数列的第3项减去第2项不等于数列的第2项减去第1项.

③不是，因为4-2声2-1.

④是，公差仁/.

⑤是，公差"=0.

⑥不是，因为第1项减去第2项不等于第2项减去第3项。

例2、把比100大的奇数从小到大排成一列，其中第21个是多少？

【考点】等差数列的基本认识

【解析】该数列为等差数列，首项为101,公差为2,第21个数的项数为21.则101+(21-1)x2=141

例3、已知一个等差数列第9项等于131,第10项等于137,这个数列的第1项是多少？第19

项是多少？

【考点】等差数列的基本认识

【解析】把数列列出来：83,89,95,101,107,113,119,125,131,137,143,149,155,161,167,173,179,185,191

答案：191

例4、2、4、6、8、10、12、…是个连续偶数列，如果其中五个连续偶数的和是320,求它们

中最小的一个.

【考点】等差数列公式的简单运用

【解析】利用等差数列的“中项定理”，对于奇数个连续自然数，最中间的数是所有这些自然数

的平均值，五个连续偶数的中间一个数应为320+5=64,因相邻偶数相差2,

故这五个偶数依次是60、62、64、66、68,其中最小的是60.

答案：60

例5、5、8、11、14、17、20、…，这个数列有多少项？它的第201项是多少？65是其中的第

几项？

【考点】等差数列公式的简单运用

【解析】它是一个无限数列，所以项数有无限多项.第“项=首项+公差x5-l),所以，第201

项=5+3x(201—1)=605，X't于数歹!J5,8,11)…，65，有：n=(65-5)4-3+1=21,即65是

第21项.

答案：无限多项；第201项是605;65是第21项

考点二：等差数列求和

例1、一个等差数列2,4,6,8,10,12,14,这个数列各项的和是多少？

【考点】等差数列的求和

【解析】根据中项定理，这个数列一共有7项，各项的和等于中间项乘以项数，即为：8x7=56.

答案：56

例2、15个连续奇数的和是1995,其中最大的奇数是多少？

【考点】等差数列的求和

【解析】由中项定理，中间的数即第8个数为：1995+15=133,所以这个数列最大的奇数即第

15个数是：133+2x05-8)=147

答案：147

例3、小马虎计算1到2006这2006个连续整数的平均数。在求这2006个数的和时，他少算

了其中的一个数，但他仍按2006个数计算平均数，结果求出的数比应求得的数小1。小马虎

求和时漏掉的数是。

【考点】等差数列的求和

【解析】少的这个数应该给每一个数都补上1,才能使结果正确，共要补上2006,因此这个漏

掉的数是2006»

例4、下列数阵中有100个数，它们的和是多少？

II1213…1920

121314...2021

131415•••2122

202122•••2829

【考点】数阵中的等差数列

【解析】方法一：用基本公式算所给数列的和，可以一行行算，或者一列列算，然后把所得的

和相加.(比

较慢，这里不再写具体过程)

方法二:每一行或者每一列的和均构成一个等差数列，利用等差数列和=中间项x项数.

先看行，因为是偶数行没有中间项，首项=11+12+…+20=(11+20)x10+2=155,

末项=20+21+…+29=(20+29)x10+2=245或者=155+(10-1)x10=245.这100

个数之和=(155+245)x10+2=2000.按列算同上.

方法三：从右上到左下的对角线上的数都是20,沿此对角线对折，上下重叠的两数之

和都是40,所以这100个数的平均数是20,这100个数之和=20x100=2000.

答案：2000

考点三：等差数列的应用

例1、已知数列：2,1,4,3,6,5,8,7,问2009是这个数列的第多少项？

【考点】等差数列的公式运用

【解析】偶数项的排列规律是：1、3、5、7,-

奇数项的排列规律是：2、4、6、8,-

方法一：可以看出两个数列都是等差数列.由于2009是奇

数，所以在偶数项数列中，它的项数是：(2009+1)+2=1005,所以在整个数列中，2009

的项数是1005x2=2010,所以2009是这个数列的第2010项.

方法二：仔细观察能发现，在整个数列中，奇数的项数是该数+1,偶数的项数是该数

+2,所以2009是这个数列的第2009+1=2010项.

答案：2010

例2、在11〜45这35个数中，所有不被3整除的数的和是多少？

【考点】等差数列的公式运用

【解析】先求被3整除的数的和；11〜45中能被3整除的数有12,15,…，45,和为:

12+15+…+42+45=(12+45)x12+2=342;于是，满足要求的数的和为：

(11+…+45)-342=980-342=638.

答案：638

例3、如图2,用火柴棍摆出一系列三角形图案，按这种方式摆下去，当25时，按这种方式

图2

【考点】找规律计算

【解析】找规律3,3+6,3+6+9...,N=5时,需要火柴棍3+6+9+12+15=45

答案：45

例4、将一些半径相同的小圆按如下所示的规律摆放：第1个图形中有6个小圈，第2个图形

中有10个小圈，第3个图形中有16个小圈，第4个图形中有24个小圈，…，依此规律，第

6个图形有___________个小圈。

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第1个图形第2个图形第3个图形第4个图形

【考点】找规律计算2010年，第8届，希望杯，4年级，1试

【解析】除周围4个小圆外，中间小圆的规律是1x2,2x3,3x4,

第6个图有6x7+4=46个小圆。

答案：46

效实战演练.

»£课堂狙击'

1、在数列3、6、9……，201中，共有多少数？如果继续写下去,,第201个数是多少？

【解析】(1)因为在这个等差数列中，首项=3,末项=201,公差=3,所以根据公式：

项数=(末项-首项)+公差+1,便可求出。

(2)根据公式：末项=首项+公差x(项数-1)

解：项数=(201-3)+3+1=67

末项=3+3x(201-1)=603

答：共有67个数，第201个数是603

2、全部三位数的和是多少？

【解析】所有的三位数就是从100-999共900个数，观察100、101、102、...、998、999

这一数列，发现这是一个公差为1的等差数列。要求和可以利用等差数列求和公式来解答。

解：(100+999)x900-2

=1099x900^2

=494550

答：全部三位数的和是494550。

3、求下列方阵中所有各数的和：

1、2、3、4、...49、50；

2、3、4、5、...50、51；

3、4、5、6、...51、52；

49、50、51、52、...97、98；

50、51、52、53、...98、99。

【解析】这个方阵的每一横行(或竖行)都各是一个等差数列，可先分别求出每一横行(或竖行)

数列之和，再求出这个方阵的和。

解：每一横行数列之和：

第一行：(1+50)x50+2=1275

第二行：(2+51)x50+2=1325

第三行：(3+51)x50+2=1375

第四十九行：(49+98)x50+2=3675

第五十行：(50+99)x50+2=3725

方阵所有数之和：

1275+1325+1375+...+3675+3725

=(1275+3725)x50+2

=125000

4、若干人围成16圈，一圈套一圈，从外向内圈人数依次少6人，如果共有912人，问最外圈

有多少人？最内圈有多少人？

【解析】从已知条件912人围成16圈，一圈套一圈，从外到内各圈依次减少6人，也就是告

诉我们这个等差数列的和是912,项数是16,公差是6。题目要求是的等差数列末项而-%=4

X(n-l)=6X(16-1)=90(人)

解：a„+al=Sx24-n=912x2-16=114(A)

外圈人数=(90+114)^2=102(A)

内圈人数=（114-90）+2=12（人）

答：最外圈有102人，最内圈有12人。

5、有一串数，已知第一个数是6,而后面的每一个数都比它前面的数大4,这串数中第2003

个数是。

【解析】6+4x（2003-1）

=6+4x2002

=8014

6、一个剧院共有25排座位，从第一排起，以后每排都比前一排多2个座位，第25排有70个

座位，这个剧院共有个座位。

【解析】末项=2+（100+1）x2=200

和=（2+200）x100+2=10100

7、一个五层书架共放了600本书，已知下面一层都比上面一层多10本书。最上面一层放本书，

最下面一层放本书。

【解析】100,140

中间一层本数：600+5=120（本）

最上面一层：12-10x2=100（本）

最下面一层：120+lx2=140（本

8、有10只盒子，54个乒乓球，能不能把54个乒乓球放进盒子中去，使各盒子的乒乓球数不

相等？

【解析】题中要求办不到。

9、有一堆粗细均匀的圆木，堆成如下图的形状，最上面一层有7根园木，每面下层增加1根，

最下面一层有95根，问：这堆圆木一共有多少根？

【解析】7+95=102（根）

95-7+1=89（层）

102x89+2=4539（根）

答：这堆圆木一共有4539根。

10、有一个六边形点阵，如下图，它的中心是一个点，算做第一层，第二层每边有两个点，第

三层每边有三个点……这个六边形点阵共100层，问，这个点阵共有多少个点？

【解析】第100层有点:6+(99-l)x6

=6+98x6

=6x99

=594（个）

点阵只有点：1+（6+594）x99+2

=1+600x99+2

=29701（个）

答：这个点阵共有点29701个。

＞课堂反击

1、观察右面的五个数：19、37、55、队91排列的规律，推知。=

【解析】19+18=37,37+18=55,所以。=55+18=73

答案：73

2、2,5,8,11,14……是按照规律排列的一串数,第21项是多少?

【考点】等差数列的基本认识

【解析】此数列为一个等差数列，将第21项看做末项。末项=2+(21-l)x3=62

答案：62

3、在等差数列6,13,20,27,…中，从左向右数，第个数是1994.

【考点】等差数列公式的简单运用

【解析】每个数比前一个数大7,根据求通项4=4+(〃-»/的公式得〃=(4-4)~/+1,列式得:

(1994-6)+7=284

284+1=285

即第285个数是1994.

答案：285

4、有20个数，第1个数是9,以后每个数都比前一个数大3.这20个数相加，和是多少？

【考点】等差数列的求和

【解析】末项是：9+(20-0x3=66,和是：9+66)x20+2=750

答案：750

5、把210拆成7个自然数的和，使这7个数从小到大排成一行后，相邻两个数的差都是5,

那么，第1个数与第6个数分别是多少？

【考点】等差数列的求和

【解析】由题可知：由210拆成的7个数一定构成等差数列，则中间一个数为210+7=30,所

以，这7个数分别是15、20、25、30、35、40、45.即第1个数是15,第6个数是40.

答案：40

6、已知数列2、3、4、6、6、9,8、12、…，问:这个数列中第2000个数是多少？第2003个

数是多少？

【考点】等差数列的公式运用

【解析】奇数项的排列规律是：2、4、6、8,-

偶数项的排列规律是：3、6、9、12,…

可以看出奇数项与偶数项都成等差数列，先求出要求的两个数各自在等差数列中的项

数：第2000个数在偶数项等差数列中是第2000+2=1000个数，第2003个数在奇数项

等差数列中是第(2003+1)+2=1002个数，所以第2000个数是3+(1000-1)x3=3000,第

2003个数是2+(1002-1)x2=2004.

答案：2004

7、把248分成8个连续偶数的和，其中最大的那个数是多少？

【考点】等差数列的公式运用

【解析】平均数：248+8=31,第4个数：31-1=30。第1个数：30-6=24,末项：24+(84)x2=380

即:最大的数为38。

答案：38

5

8、观察下列四个算式：Y=2。，V=1°，¥=—左噂。从中找出规律，写出第五个算

1Z42o1O

式：。

【考点】找规律计算，2009年，希望杯，第七届，六年级，二试

【解析】发现规律，第5个算式硅”白。

答案：—

256

9、若干个硬币排成左下图，每个硬币所在行的硬币数与所在列的硬币数相减得出一个差（大数

减小数），如对于差为7-5=2,所有差的总和为。

【考点】数阵中的等差数列

【解析】根据题目要求操作找规律发现第一行第一个圈为0,和为0

第二行第一个圈为1,第二个圈为0,和为1

第三行第一个圈为2,第二个圈为1,第三个圈为0和为1+2=3

第四行第一个圈为3