四川省德阳市2024届高三一模数学试题（文）（解析版）

PAGEPAGE1四川省德阳市2024届高三一模数学试题（文）第Ⅰ卷（选择题）一、选择题1.已知集合，若，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，因为，所以，故实数的取值范围是.故选：C.2.设表示复数的点在复平面内关于实轴对称，且，下面关于复数的四个命题中正确的是（）A. B.C.的共轭复数为 D.的虚部为〖答案〗B〖解析〗由复数的点在复平面内关于实轴对称，且，则，则，，A错误；，B正确；的共轭复数为，C错误；的虚部为，D错误.故选：B3.数学与建筑的结合造就建筑艺术品，如吉林大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，如图.若将该大学的校门轮廓（忽略水泥建筑的厚度）近似看成抛物线的一部分，且点在该抛物线上，则该抛物线的焦点坐标是（）A. B.（0，－1） C. D.〖答案〗A〖解析〗依题意在抛物线上，所以，所以，故，且抛物线开口向下，所以抛物线的焦点坐标为.故选：A4.已知为共面的三个单位向量，且，则的取值范围是（）A.[－3，3] B.[－2，2]C. D.〖答案〗D〖解析〗由得，为共面的三个单位向量,则，则由，则的取值范围是.故选：D.5.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图右侧曲线为半圆弧，则几何体的体积为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗几何体可看作半圆柱去掉底面为等腰直角三角形的三棱柱，其中半圆柱的体积为，三棱柱的体积为，故几何体的体积为.故选：A6.某班主任为了了解该班学生暑假期间去图书馆的情况,随机抽取该班15名学生，调查得到这15名学生暑假期间去图书馆的次数分别为（其中有一位学生的数据丢失记为），则下列结论中正确的个数是①这组数据的中位数可能是19；②这组数据的众数可能是18；③的值可以通过中位数的值确定；④的值可以通过全部数据的平均数确定.（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个〖答案〗B〖解析〗由题意，若，将这组数据按从小到大的顺序排列：，则中位数是19,①正确；和，众数都是，②错误，中位数是19时，，不确定，③错误；平均值，则与一一对应，即平均数确定则对应确定，④正确.故选：B.7.小明同学过生日时，他和好朋友小天一起分享一个质地均匀但形状不规则的蛋糕，他们商量决定用刀把蛋糕平均分成两份（蛋糕厚度不计），你认为下面的判断中正确的是（）A.无论从哪个位置（某个点）切一刀都可以平均分成两份B.只能从某个位置（某个点）切一刀才可以平均分成两份C.无论从哪个位置（某个点）切一刀都不可以平均分成两份D.至少要切两刀才可以平均分成两份〖答案〗A〖解析〗如图，在形状不规则的蛋糕上任取一点，则这一刀可转化为点的任意一条直线，过点的直线将图像分为两部分，其面积为，将直线以以为旋转中心，以轴正方向的夹角记为，，得连续函数，作辅助函数，则为连续函数，设，则，根据零点定理，存在一点，使得，即，即过点作直线，使之以轴正方向的夹角为，改直线即为所求；即无论从哪个位置（某个点）切一刀都可以平均分成两份.故选：A8.是神经网络中重要的激活函数，又称Sigmoid函数.则下列对该函数图象和情质的描述中正确的是（）A.的值域是B.的图象不是中心对称图形C.在上不单调D.（其中是的导函数〖答案〗D〖解析〗由函数，定义域为，，，则，A错误；因，所以，所以Sigmoid雨数的图象的对称中心为，B错误；求导得：，，，则Sigmoid函数单调增函数，C错误；，D正确.故选：D.9.已知函数，设甲：函数在区间上单调递增，乙：的取值范围是，则甲是乙的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗B〖解析〗甲：在区间上单调递增，令，则，∴，，即，，又，故只能取，∴．又∵乙：的取值范围是，∴甲是乙的必要不充分条件．故选：B．10.德阳某高校为迎接2023年世界新能源大会，决定选派一批志愿者参与志愿服务，计划首批次先选派1名志愿者，然后每批次增加1人，后因学生报名积极，学校决定改变派遣计划，若将原计划派遣的各批次人数看成数列，保持数列中各项先后顺序不变的情况下，在与之间插入，使它们和原数列的项依次构成一个新的数列，若按照新数列的各项依次派遣学生，则前20批次共派遣学生的人数为（）A2091 B.2101 C.2110 D.2112〖答案〗B〖解析〗由题意得，当时，，当时，，故，，故前20批次共派遣学生的人数为.故选：B11.已知点在曲线上，那么的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题因为在曲线上，其中，当时，，当时，由，当且仅当时取等号，令，则，当且仅当时取等号，所以，则，当时，同理可得，则，所以，综上，的取值范围是.故选：D.12.已知函数的定义域为且，，那么（）A.偶函数 B.C.是函数的极大值点 D.的最小值为〖答案〗D〖解析〗令，得，即，①令，结合，则，②结合①②可得，用代替得，，③对于中，取得，把变为，结合，得，④联立③④，可得,对于A，，故A错误；对于B，,故B错误；对于C,，故C错误；对于D,易得最小值为，故D正确，故选：D.第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题13.已知,则________．（用数字作答）〖答案〗〖解析〗故〖答案〗为：14.已知不等式组表示的平面区域为M，若直线分平面区域M为面积相等的两部分，则实数的值为________．〖答案〗〖解析〗不等式组,所表示的平面区域如图示:

由图可知,直线恒经过点,当直线再经过BC的中点时,平面区域被直线分为面积相等的两部分,

当，时,代入直线的方程得，

故〖答案〗为.15.某科学兴趣小组的同学认为生物都是由蛋白质构成的，高温可以使蛋白质变性失活，于是想初步探究某微生物的成活率与温度的关系，微生物数量（个）与温度的部分数据如下表：温度481018微生物数量（个）30221814由表中数据算得回归方程为，预测当温度为时，微生物数量为__________个.〖答案〗9〖解析〗由表格数据可知，，，因为点在直线上，所以，即，故当时，，即预测当温度为时，微生物数量为9个.故〖答案〗为：916.已知实数成公差非零的等差数列,集合，，若，则的最大值为__________.〖答案〗〖解析〗成公差非零的等差数列，则，动直线变形为，令，解得，动直线过定点，直线的一个法向量为，若，则直线，点在以为直径的圆上，圆心为中点，半径，，则的最大值为.故〖答案〗为：三、解答题17.已知首项为的等比数列的前项和为，且成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的最大项.解：（1）由题意得，设公比为，若，此时，此时不满足；若，则，故，即，由于，故，解得或1（舍去），故；（2），故，所以，令，由对勾函数可知在上单调递减，故当时，取得最大值，最大值为，故.数列的最大项为18.在中，内角的对边分别为.若.（1）若，求边上的中线的长；（2）若是锐角三角形，求的取值范围.解：（1）在中，由于，所以，结合题意得，即故的三边长分别为，所以，在中，，故．（2）由题意知：且．要使是锐角三角形，只要．故，解得：，又，由，得，所以，故的取值范围是19.设函数.（1）求的单调区间；（2）设为极小值点，且，求的取值范围.解：（1）因，①当时，，在上递增；②当时，由可得：，则当时，，递增，当时，，递减，当时，，递增.综上，当时，在上递增；当时，的单调递增区间为：；单调递减区间为：.（2）由（1）知且.由得:，所以即，因为，故又，所以，故或(舍)，所以，故，令，上式为.因为知在上单增，故.即的取值范围为.20.2023年11月，世界首届人工智能峰会在英国举行，我国因为在该领域取得的巨大成就受邀进行大会发言．为了研究不同性别的学生对人工智能的了解情况，我市某著名高中进行了一次抽样调查，分别抽取男、女生各50人作为样本．据统计女生中了解人工智能的占，了解人工智能的学生中男生占．（1）根据已知条件，填写下列列联表，是否有把握推断该校学生对人工智能的了解情况与性别有关？

了解人工智能不了解人工智能合计男生

女生

合计

（2）将样本的频率视为概率，现用分层抽样的方法从女生中抽取5人，再从5人中抽取3人了解㤼况，求抽取的3人中至少有2人了解人工智能的概率．附：．0.10000500.0102.7063.8416.635解：（1）由女生中了解人工智能的占，知50名女生中了解人工智能的有30人，又了解人工智能的学生中男生占，所以列联表为了解人工智能不了解人工智能合计男生401050女生302050合计7030100所以故没有把握推断该校学生对人工智能的了解情况与性别有关．（2）分层抽样的方法从女生中抽取5人，所以5人中有3人了解人工智能，另外2人不了解人工智能设了解人工智能的3位女生为；不了解人工智能的2为女生为1，2，那么从5人中抽取3人的所有情况为共10种情况，其中至少有2人了解人工智能的有共7种情况．故抽取的3人中至少有2人了解人工智能的概率为．21.已知函数．（1）求曲线在处的切线并比较与的大小关系；（2）记函数的极大值点为，已知表示不超过的最大整数，求．解：（1）由题得，切点为，因为，所以．故所求切线为又当时，，所以；当时，，所以综上，．（2）因为所以令，得或因为在上单增，故在有根，可知在上增，上减，在上增所以，的极大值点为且且．故所以，故．请考生在22、23二题中任选一题作答．22.欧拉公式（为虚数单位，）可以表示平面直角坐标系内的动点，其轨迹是圆，所以又称其为神奇的欧拉转盘.若表示的动点为.（1）写出动点的轨迹的参数方程（为参数），并化为普通方程；（2）在以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴的极坐标系中，直线过，，求直线被截得的线段的长.解：（1）依题意可知，故的参数方程为，消去得其普通方程为：；（2）易知化为直角坐标为，即所以直线所