5.3 命题、定理、证明 人教版七年级下册基础知识讲与练

专题5.15命题、定理、证明（知识讲解）【学习目标】掌握命题的定义，知道一个命题是由“题设”和“结论”两部分组成，对于给定的命题，能找出它的题设和结论；掌握定理的定义，理解定理与真命题的关系，能写出一个定理的逆命题，并判断是否为真命题；理解并掌握证明的基本推理过程。【要点梳理】1.命题：判断一件事情的语句，叫做命题．

特别说明：（1）命题的结构：每个命题都由题设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项.（2）命题的表达形式：“如果……，那么…….”，也可写成：“若……，则…….”（3）真命题与假命题：真命题：题设成立结论一定成立的命题，叫做真命题.假命题：题设成立而不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题.2.定理：定理是从真命题（公理或其他已被证明的定理）出发，经过推理证实得到的另一个真命题，定理也可以作为继续推理的依据.3.证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明.特别说明：（1）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据可以是已知条件，学过的定义、基本事实、定理等.（2）判断一个命题是正确的，必须经过严格的证明；判断一个命题是假命题，只需列举一个反例即可．【典型例题】类型一、命题、定理、证明➽➼命题的判断✮✮真（假）命题1．下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？将27开立方．任意三角形的三条中线相交于一点吗？锐角小于直角．（a为实数）．【答案】(1)不是命题；(2)不是命题；(3)是命题；(4)是命题【分析】根据命题的定义进行逐一判断即可．（1）解：将27开立方不是命题；（2）任意三角形的三条中线相交于一点吗？不是命题；（3）锐角小于直角是命题；（4）（a为实数）是命题．【点拨】本题主要考查了命题的定义，一般地，在数学中把用语言，符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．举一反三：【变式1】写出下列命题的逆命题，并判断真假．三角形三个内角的和等于；两直线平行，同旁内角互补．【答案】(1)内角和等于的多边形是三角形；真命题；(2)同旁内角互补，两直线平行；真命题【分析】（1）将命题“如果，那么”中条件与结论互换，即得一个新命题“如果，那么”，我们称这样的两个命题互为逆命题，其中一个叫做原命题，另一个就叫做原命题的逆命题．据此写出命题的逆命题，然后判断真假即可；（2）根据逆命题的概念，写出命题的逆命题，然后判断其真假即可．（1）解：命题“三角形三个内角的和等于”的逆命题为：“内角和等于的多边形是三角形”，逆命题是真命题；（2）解：命题“两直线平行，同旁内角互补”的逆命题是：“同旁内角互补，两直线平行”，逆命题是真命题．【点拨】此题考查了命题与判断命题的真假，熟练掌握逆命题的概念、正确找出一个命题中的题设与结论是解答此题的关键．类型二、命题、定理、证明➽➼命题的题设、结论✮✮逆命题✮✮互逆命题2．命题：一个锐角和一个钝角一定互为补角写出这个命题的逆命题；判断这个逆命题是真命题还是假命题？如果是假命题，请举一个反例．【答案】(1)逆命题是：“互补的两个角一定是一个锐角，一个钝角”假命题，反例：两个角都是直角【分析】（1）根据逆命题的定义，把原命题的条件与结论互换即可．（2）举出反例，即可证明命题为假命题．解答：（1）原命题中，条件为“一个锐角和一个钝角”，结论为“这两个角一定互为补角”，将条件与结论互换，得到逆命题，即“互补的两个角一定是一个锐角，一个钝角”．（2）∵互补的两个角可以都为直角，∴“互补的两个角一定是一个锐角，一个钝角”是假命题．反例是“两个角都是直角”．【点拨】本题考查了逆命题，以及真假命题，熟练掌握相关定义即可得到结论．举一反三：【变式1】已知命题“如果，那么．”写出此命题的条件和结论；写出此命题的逆命题；判断此命题的逆命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例进行说明．【答案】(1)条件为：；结论为：；(2)如果，那么；(3)假命题，反例不唯一【分析】（1）“如果”后面的部分为条件，“那么”后面的部分为结论；（2）交换题目中命题的结论和题设的位置即可；（3）举出反例即可．解：（1）此命题的条件为：，结论为：；（2）此命题的逆命题为：如果，那么；（3）此命题的逆命题是假命题，当为相反数时，它们的绝对值相等，但本身不相等，如时，，而．【点拨】本题考查的是命题与定理，用到的知识点是真假命题的定义，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，交换命题的中题设和结论即为原命题的逆命题．【变式2】写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例说明：两直线平行，同旁内角互补；垂直于同一条直线的两直线平行；相等的角是内错角；有一个角是60°的三角形是等边三角形．【答案】(1)同旁内角互补，两直线平行，真命题（2）如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一条直线（在同一平面内），真命题（3）内错角相等，假命题；例如：∠1与∠2是内错角，但不相等（4）等边三角形有一个角是60°真命题【分析】写出各个命题的逆命题，作出判断即可．解答：（1）同旁内角互补，两直线平行，真命题；（2）如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一条直线（在同一平面内），真命题；（3）内错角相等，假命题；例如：∠1与∠2是内错角，但不相等；（4）等边三角形有一个角是60°真命题．【点拨】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握平行线的判定和性质，等边三角形的判定和性质，属于中考常考题型．类型三、命题、定理、证明➽➼命题的已知、求证、证明过程3．（1）已知：如图，直线AB、CD、EF被直线BF所截，，．求证：；（2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题．【答案】（1）见解析；（2）同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．【分析】（1）利用同旁内角互补，两直线平行和内错角相等；两直线平行判断AB∥CD，CD∥EF，则利用平行线的传递性得到AB∥EF，然后根据平行线的性质得到结论；（2）利用了平行线的判定与性质定理求解．（1）证明：∵∠B＋∠1＝180°，∴AB∥CD，∵∠2＝∠3，∴CD∥EF，∴AB∥EF，∴∠B＋∠F＝180°；（2）解：在（1）的证明过程中应用的两个互逆的真命题为：同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．【点拨】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．举一反三：【变式1】如图，有如下四个论断：①；②；③平分；④平分，请你选择四个论断中的三个作为条件，余下的一个论断作为结论，构成一个正确的数学命题并证明它．【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义即可得到结论．解答：已知：，，平分，求证：平分．证明：如图所示，∵，∴，即，∵，∴，∵平分，∴，∴，∴平分．【点拨】本题考查了命题与定理，平行线的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．【变式2】求证:对顶角相等(请画出图形，写出已知、求证、证明.)试题分析：根据题设与结论画出符合条件的图形，根据图形写出已知、求证，然后进行证明即可.试题解析：已知：如图，直线AB与CD交于点O．求证：∠1＝∠2．已知:如图，证明：∵AB、CD相交于O(已知)，∴∠1＋∠3＝180°，∠2＋∠3＝180°(邻补角的定义)，∴∠1＝∠2(同角的补角相等).中考真题专练1．（2022·上海·中考真题）下列说法正确的是（

）A．命题一定有逆命题 B．所有的定理一定有逆定理C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是假命题【答案】A【分析】根据命题的定义和定理及其逆定理之间的关系，分别举出反例，再进行判断，即可得出答案．【详解】解：A、命题一定有逆命题，故此选项符合题意；B、定理不一定有逆定理，如：全等三角形对应角相等没有逆定理，故此选项不符合题意；C、真命题的逆命题不一定是真命题，如：对顶角相等的逆命题是：相等的两个角是对顶角，它是假命题而不是真命题，故此选项不符合题意；D、假命题的逆命题定不一定是假命题，如：相等的两个角是对顶角的逆命题是：对顶角相等，它是真命题，故此选项不符合题意．故选：A．【点拨】本题考查了命题与定理，掌握好命题的真假及互逆命题的概念是解题的关键．把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，所有的命题都有逆命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题．2．（2022·江苏无锡·中考真题）请写出命题“如果，那么”的逆命题：________．【答案】如果，那么【分析】根据逆命题的概念解答即可．解：命题“如果，那么”的逆命题是“如果，那么”，故答案为：如果，那么．【点拨】此题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又