专题10几个三角恒等式（6大考点知识串讲热考题型专题训练）

专题10几个三角恒等式知识聚焦考点聚焦知识点1积化和差公式与和差化积公式1、积化和差公式2、和差化积公式、3、应用和差化积公式时的注意事项（1）在应用和差化积公式时，必须是一次同名三角函数方可施行，若是异名，必须用诱导公式化为同名；若是高次，必须用降幂公式降为一次。（2）根据实际问题选用公式时，应从以下几个方面考虑：=1\*GB3①运用公式之后，能否出现特殊角；=2\*GB3②运用公式之后，能否提取公因式，能否约分，能否合并或消项。（3）为了能够把三角函数式化为积的形式，有时需要把某些常数当做三角函数值才能应用公式，如知识点2半角公式及万能公式1、半角公式：＝±，＝±，以上三个公式分别称作半角正弦、余弦、正切公式，它们是用无理式表示的．；以上两个公式称作半角正切的有理式表示．2、万能公式；；3、利用半角公式求值的思路（1）看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解；（2）明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围；（3）选公式：涉及半角公式的正切值时，常用，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常利用，计算。（4）下结论，结合（2）求值。考点剖析考点1积化和差公式的应用【例1】（2023·高一课时练习）（）A．+cos4xB．sin4xC．+cos4xD．+sin4x【答案】D【解析】，故选：D.【变式11】（2023·高一课时练习）的值是（）A．B．C．D．1【答案】A【解析】原式.故选：A.【变式12】（2023·高一课时练习）若，则等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以.故选：C.【变式13】（2023·高一课时练习）化为和差的结果是.【答案】【解析】原式.考点2和差化积公式的应用【例2】（2023·全国·高一假期作业）．【答案】【解析】由．【变式21】（2023·全国·高一课堂例题）（1）；（2）．【答案】；【解析】（1）由和差化积公式可得，；（2）由和差化积和积化和差公式可得，．【变式22】（2023·全国·高一随堂练习）把下列各式化成积的形式：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）原式（2）原式（3）因为，所以.【变式23】（2023·全国·高一专题练习）已知，求的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】利用及和差化积公式可得：，两式相除可得：.故选：D考点3半角公式的应用【例3】（2023上·全国·高一专题练习）设，，则等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，，，故，又，.故选：D.【变式31】（2023·全国·高一专题练习）已知为锐角，，则（）．A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，而为锐角，解得：．故选：D．【变式32】（2023·全国·高一专题练习）已知点是角的终边上一点，则（）A．B．C．或D．或【答案】A【解析】由三角函数的定义可得，，所以，.故选：A.【变式33】（2023·全国·高一课堂例题）已知，则．【答案】或【解析】方法一：因为，所以．由，可得，，则，，所以．故，将代入可得，将代入可得，故或；方法二：因为，所以．若，则；若，则．考点4三角恒等式的证明【例4】（2023·江苏·高一专题练习）已知，求证：．【答案】证明见解析【解析】因为，所以．即．去分母，得．又，所以，即，所以，于是，故．【变式41】（2023·全国·高一专题练习）已知、为两相异锐角，且满足方程，求证：.【答案】证明见解析.【解析】由条件移项得.两边平方可得方程.根据条件知、是方程的根.由韦达定理得，由已知条件得，两边平方可得方程，根据条件知、是方程，所以，，所以，.【变式42】（2023·全国·高三专题练习）证明：.【答案】证明见解析【解析】由题意可得：.【变式43】（2023·江苏徐州·高一校考期中）求证下列恒等式：（1）；（2）【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）.（2）左边，原式得证.考点5三角形中的三角恒等变换【例5】（2023·广东中山·高一中山纪念中学校考阶段练习）在锐角中，若，则的最小值为()A．4B．6C．8D．10【答案】C【解析】由，得，两边同时除以，得.令，∵是锐角三角形，∴，∴.又在三角形中有：，故当时，取得最小值故选：C.【变式51】（2023·全国·高一专题练习）在中，若，则此三角形为（）A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【答案】B【解析】由三角恒等变换得，又，则，即，所以，，所以，则为等腰三角形，故选：B【变式52】（2023·重庆沙坪坝·高一重庆南开中学校考期中）在中，，则的形状为（）A．等边三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形【答案】B【解析】在中，因为，所以，即,展开，整理化简得：.因为为三角形内角，所以，所以.因为为三角形内角，所以，所以为直角三角形.故选：B【变式53】（2023·江苏宿迁·高一校考阶段练习）已知为斜三角形．（1）证明：；（2）若为锐角三角形，，求的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）证明：，所以．因为，所以，所以．由，可得．（2）因为，所以，可得．由（1）得．因为为锐角三角形，由可知，设，则，当且仅当时取等号，再由（1）可得，此时，解得或时，即当或时，等号成立，故的最小值为.考点6三角恒等变换的实际应用【例6】（2023·四川达州·高一校考期中）如图所示，已知OPQ是半径为2，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形，记，求当角取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积．【答案】当时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为．【解析】在中，，，，在中，，∴，∴，设矩形ABCD的面积为S，则，由，得，所以当，即时，，因此，当时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为．【变式61】（2023·江苏宿迁·高一统考期中）在校园美化、改造活动中，要在半径为、圆心角为的扇形空地的内部修建一矩形观赛场地，如图所示．取的中点M，记．（1）写出矩形的面积S与角的函数关系式；（2）求当角为何值时，矩形的面积最大？并求出最大面积．【答案】（1），（2）当时，矩形的面积最大，最大值为【解析】（1）由题可知，，在中，，，，在中，，，，．（2），，当，即时，，故当时，矩形的面积最大，最大值为．【变式62】（2023上·河北唐山·高一统考期末）如图，长方形ABCD，，，的直角顶点P为AD中点，点M、N分别在边AB，CD上，令．（1）当时，求梯形BCNM的面积S；（2）求的周长l的最小值，并求此时角的值．【答案】（1）；（2）当时，.【解析】（1），，，（2）由（1）可知，，，令，则，即当，即时，.【变式63】（2023·全国·高一专题练习）如图，在直径为1的圆中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中.（1）将十字形的面积表示成的函数；（2）求十字形面积的最大值，并求出此时的值.【答案】（1）；（2），此时【解析】（1）如图所示：，为锐角，因为，所以，解得，所以，（2）由（1）知，（其中），当，，即当时，十字形取得最大面积，．因为所以此时，所以综上，，此时过关检测一、单选题1．（2023·全国·高一专题练习）的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】原式.故选：A.2．（2022·全国·高三专题练习）中，，（）A．B．C．D．【答案】B【解析】中,,则，又，，，上述各式相加得，故，故原式.故选：B．3．（2023·高一课时练习）若，，则的值为（）A．2B．C．－2D．【答案】A【解析】由，，两式相除得.故选：A.4．（2023·江西宜春·高一灰埠中学校考期中）（）A．B．C．D．【答案】A【解析】解法一记题中代数式为M，则．解法二记题中代数式为M，．故选：A5．（2023·辽宁沈阳·高一翔宇中学校考阶段练习）已知角，，为的内角，若，则的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰或直角三角形【答案】B【解析】在中，，则，所以，又，，，，则，为直角三角形，故选：B6．（2023·天津和平·高一耀华中学校考期中）关于x的方程有一根为1，则一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形【答案】A【解析】因为1是的根，所以，又，所以有，，整理可得，，即.因为，，，所以.则由可得，，所以.所以一定是等腰三角形，故选：A.7．（2023·重庆·高一重庆一中校考阶段练习）在中，若，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，，,，（其中），，，当时等号成立.的最大值为.故选：A8．（2023·全国·高一专题练习）如图，某城市有一条公路从正西方沿通过市中心后转到北偏东的上，为了缓解城市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路，并在、上分别设置两个出口、．若要求市中心与的距离为千米，则线段最短为（）A．千米B．千米C．千米D．千米【答案】D【解析】过点作，垂足为点，设，，且，，由题意可得，，所以，，因为，令，则，当且仅当时，等号成立，故（千米）.故选：D.二、多选题9．（2023·江苏南京·高一南京市第二十九中学校考期中）给出下列四个关系式，其中正确的是（）A．B．C．D．【答案】BD【解析】对于A项，因为，，所以，所以，故A项错误；对于B项，因为，，所以，所以，故B项正确；对于C项，因为，，所以，所以，故C项错误；对于D项，因为，，所以，所以，故D项正确.故选：BD.10．（2023·全国·高一专题练习）（多选）下列等式中错误的是（）A．B．C．D．【答案】ABC【解析】因为，，从而有，，对于A，；对于B，；对于C，；对于D．．故选：ABC．11．（2023·甘肃天水·高一天水市第一中学校考期中）（多选）若，且，则下列结论中正确的是（）A．B．C．D．【答案】BC【解析】因为，所以，因为，，所以，从而，于是，所以，从而．故选：BC.12．（2023·甘肃甘南·高一校考期中）tan（）A．B．C．D．【答案】AC【解析】因为tan，故A正确；，故B错误；∵sin2α＝1﹣cos2α，∴tan，故C正确，D错误；故选：AC.三、填空题13．（2023·江苏南京·高一江宁高级中学校联考期末）已知，，则.【答案】【解析】，则，由半角公式可得.14．（2023·甘肃白银·高一校考期中）已知，，则.【答案】【解析】因为，，所以，所以.15．（2023·湖北荆州·高一沙市中学校考阶段练习）．【答案】【解析】.16．（2023·江苏·高一专题练习）．【答案】【解析】原式.四、解答题17．（2023·全国·高一课堂例题）已知，求下列条件下，，的值：（1）；（2）角在第一象限．【答案】（1），，；（2）答案见解析.【解析】（1）当时，．因为，所以，∴，，．（2）当角在第一象限时，，则．且由，可得.当为偶数时，角在第一象限，故由（1）可得，，．当为奇数时，角在第三象限，此时有，．18．（2023·湖北荆州·高一沙市中学校考阶段练习）求证：．【答案】证明见解析.【解析】证明：因.则，.故左边右边.19．（2023·全国·高一随堂练习）证明：．【答案】证明见解析【解析】，同理可得：，.故.20．（2023·江苏·高一专题练习）化简：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为，所以，所以原式.