1.4 角平分线 北师版数学八年级下册导学课件

1.4角平分线第一章三角形的证明逐点学练本节小结作业提升本节要点1学习流程2角平分线的性质定理角平分线的判定定理三角形的角平分线的性质定理知识点角平分线的性质定理11.性质定理角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.角的平分线的性质的两个必要条件：(1)点在角平分线上；(2)这个点到角两边的距离即点到角两边的垂线段的长度.两者缺一不可.2.几何语言如图1-4-1，∵OP平分∠AOB，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，∴PD=PE.特别提醒♦角平分线的性质是由两个条件(角平分线，垂线)得到一个结论(线段相等).♦利用角的平分线的性质证明线段相等时，证明的线段是“垂直于角两边的线段”，而不是“垂直于角平分线的线段”.例1如图1-4-2，OD平分∠EOF，在OE，OF上分别取点A，B，使OA=OB，P为OD

上一点，PM⊥BD，PN⊥AD，垂足分别为M，N.求证：PM=PN.解题秘方：在图中找出符合角的平分线的性质的模型，利用角的平分线的性质证线段相等.证明：∵OD平分∠EOF，∴∠BOD=∠AOD.在△BOD和△AOD

中，OB=OA，

∠BOD=∠AOD， OD=OD，∴△BOD≌△AOD(SAS).∴∠BDO=∠ADO，即DO平分∠BDA.又∵P

为DO

上一点，且PM⊥BD，PN⊥AD，∴PM=PN.

B如图1-4-3，在△

ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD

平分∠CAB，交BC

于点D，DE⊥AB，垂足为E.若AB=8cm，求△DEB的周长.例2解题秘方：运用角的平分线的性质及全等三角形的性质，将△DEB

的周长转化为线段AB

的长.解：在△ABC

中，∠C=90°，∴

DC⊥AC.又∵DE⊥AB，AD

平分∠

CAB，∴DC=DE.在Rt△ACD

和Rt△AED中，AD=AD， DC=DE，∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL).∴AC=AE.∵AC=BC，∴AE=BC.∴△DEB的周长=DE+DB+EB=DC+DB+EB=BC+EB=AE+EB=AB=8cm.2-1.如图，在△ABC

中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB

于点E，有下列结论：①CD=ED；②AC+BE=AB；③∠

BDE=∠BAC；④DA平分∠CDE.其中正确的结论的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4D例3如图1-4-4，BD

是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，S△ABC=90cm2，AB=18cm，BC=12cm，求DE的长.解题秘方：紧扣总面积等于各部分面积的和求解.

3-1.[中考·北京]如图，在△ABC

中，AD平分∠BAC，DE⊥AB．若AC

＝2，DE

＝1，则S△ACD

＝______.1知识点角平分线的判定定理21.判定定理在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.2.几何语言如图1-4-5，∵点P

为∠AOB

内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE，∴点P

在∠AOB

的平分线OC

上.3.角的平分线的判定定理与性质定理的关系(1)如图1-4-5，都与距离有关，即条件PD⊥OA，PE⊥OB都具备；(2)点在角的平分线上(角的内部的)点到角两边的距离相等.性质判定特别提醒1.使用该判定定理的前提是这个点必须在角的内部.2.角的平分线的判定是由两个条件(垂线，线段相等)得到一个结论(角平分线).3.角的平分线的判定定理是证明两角相等的重要依据，它比利用三角形全等证两角相等更方便快捷.如图1-4-6，BE=CF，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，BF和CE交于点D.求证：AD

平分∠BAC.例4解题秘方：利用角的平分线的判定定理证明角平分线时，紧扣点在角的内部且点到角两边的距离相等进行证明.证明：∵BF⊥AC，CE⊥AB，∴∠DEB=∠DFC=90°.在△BDE

和△CDF

中，

∠BDE=∠CDF，∠DEB=∠DFC，BE=CF，∴△BDE≌△CDF(AAS).∴DE=DF.又∵BF⊥AC，CE⊥AB，∴AD

平分∠

BAC.4-1.如图，D，E，F分别是△ABC

三边上的点，CE=BF，△DCE

和△DBF的面积相等.求证：AD平分∠BAC.如图1-4-7，∠

MAC和∠NCA是△ABC

的外角，∠ABC

的平分线BD与∠MAC

的平分线AD

交于点D.求证：CD

平分∠

ACN.例5解题秘方：紧扣“到CA，CN的距离相等的点在∠ACN

的平分线上”进行证明.证明：如图1-4-7，过点D作DE⊥BM于点E，DF⊥BN

于点F，DG⊥AC于点G.∵BD

平分∠ABC，∴DE=DF.∵AD平分∠MAC，∴DE=DG.∴DG=DF.∴CD平分∠ACN.由此例的结论可知，三角形的一条内角平分线与两条外角平分线也相交于一点.5-1.如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CE与内角∠ABC的平分线BE

交于点E.若∠BAC=70°，则∠CAE=_______°.55知识点三角形的角平分线的性质定理31.性质定理三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.2.几何语言如图1-4-8，在△

ABC中，AD，BM，CN

分别是∠BAC，∠ABC，∠ACB

的平分线，AD，BM，CN交于一点O，且点O到三边BC，AB，AC

的距离(OE，OG，OF

的长)相等，即OE=OG=OF.要点解读三角形的三条角平分线相交于三角形内一点，且该点到三角形三边的距离相等.反之，三角形内部到三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点.如图1-4-9，在△ABC

中，点O是∠ABC，∠ACB的平分线的交点，AB+BC+AC=20.过O

作OD⊥BC于点D，且OD=3,求△ABC的面积.例6解题秘方：紧扣三角形内角平分线的性质，关键是内心到三边的距离相等.

6-1.如图，有一块三角形的空地ABC.其三边长AB，AC，BC分别为30m，40m，50m.现要把它分成面积比为3∶4∶5的三部分种植三种不同的花，请你设计一种方案，并简要说明理由.解：方案如图．分别作∠ABC和∠ACB的平分线，两线交于点P，连接AP