中考数学二轮培优复习几何专项练习：胡不归（含解析）

试卷第=page22页，共=sectionpages22页资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】试卷第=page11页，共=sectionpages11页资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】中考数学几何专项练习：胡不归一、填空题1．如图，在平面直角坐标系中，直线l分别交x、y轴于B、C两点，点A、C的坐标分别为(3，0)、(0，﹣3)，且∠OCB＝60°，点P是直线l上一动点，连接AP，则SKIPIF1<0的最小值是．【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【分析】作∠OCE=120°，过点P作PG⊥CE于点G，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得PG=SKIPIF1<0PC；当A、P、G在同一直线时，AP+SKIPIF1<0PC=AP+PG=AG的值最小，再利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理即可求解．【详解】解：∵点A、C的坐标分别为(3，0)、(0，﹣3)，∴OA=3，OC=3，作∠OCE=120°，∵∠OCB=60°，则∠OCB=∠BCE=∠FCE=60°，过点P作PG⊥CE于点G，如图：在Rt△PCG中，∠PCG=60°，则∠CPG=30°，∴CG=SKIPIF1<0PC，由勾股定理得PG=SKIPIF1<0PC，∴AP+SKIPIF1<0PC=AP+PG，当A、P、G在同一直线时，AP+PG=AG的值最小，延长AG交y轴于点F，∵∠FCG=60°，∠CGF=90°，∴∠CFG=30°，∴CF=2CG，GF=SKIPIF1<0CF，在Rt△OAF中，∠AOF=90°，∠OFA=30°，∴AF=2OA=6，OF=SKIPIF1<0，∴CF=OF-OC=SKIPIF1<0，∴GF=SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)=SKIPIF1<0，∴AG=AF-FG=SKIPIF1<0，即AP+SKIPIF1<0PC的最小值为SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，作出合适的辅助线，得到当A、P、G在同一直线时，AP+SKIPIF1<0PC=AP+PG=AG的值最小是解题的关键．2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数SKIPIF1<0分别交x轴、y轴于A、B两点，若C为x轴上的一动点，则2BC+AC的最小值为．【答案】6【分析】先求出点A，点B坐标，由勾股定理可求AB的长，作点B关于OA的对称点SKIPIF1<0，可证SKIPIF1<0是等边三角形，由直角三角形的性质可得CH＝SKIPIF1<0AC，则SKIPIF1<0，即当点SKIPIF1<0，点C，点H三点共线时，SKIPIF1<0有最小值，即2BC＋AC有最小值，由直角三角形的性质可求解．【详解】解：∵一次函数SKIPIF1<0分别交x轴、y轴于A、B两点，∴点A（3，0），点SKIPIF1<0，∴AO＝3，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，作点B关于OA的对称点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，过点C作CH⊥AB于H，如图所示：∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是等边三角形，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵CH⊥AB，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴当点SKIPIF1<0，点C，点H三点共线时，SKIPIF1<0有最小值，即2BC＋AC有最小值，此时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是等边三角形，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴2BC＋AC的最小值为6．故答案为：6．【点睛】本题是胡不归问题，考查了一次函数的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，确定点C的位置是解题的关键．3．如图，▱SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为边SKIPIF1<0上一点，则SKIPIF1<0的最小值为．【答案】SKIPIF1<0【分析】作PH丄AD交AD的延长线于H，由直角三角形的性质可得HP=SKIPIF1<0DP，因此SKIPIF1<0PD+2PB=2(SKIPIF1<0DP+PB)=2(PH+PB)，当H、P、B三点共线时HP+PB有最小值，即SKIPIF1<0PD十2PB有最小值，即可求解．【详解】如图，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0的延长线于SKIPIF1<0，

SKIPIF1<0四边形SKIPIF1<0是平行四边形，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∵PH丄AD∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0当点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0三点共线时，HP+PB有最小值，即SKIPIF1<0有最小值，此时SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0则SKIPIF1<0最小值为SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了胡不归问题，平行四边形的性质，直角三角形的性质，垂线段最短等知识．构造直角三角形是解题的关键．4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足为D，P为线段AD上的一动点，连接PB、PC．则PA+2PB的最小值为．【答案】4SKIPIF1<0【分析】在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，此时PA+2PB＝2SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝2BF，通过解直角三角形ABF，进一步求得结果．【详解】解：如图，在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，此时PA+2PB最小，∴∠AFB＝90°∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠CAD＝∠BAD＝SKIPIF1<0，∴∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝30°，∴PF＝SKIPIF1<0，∴PA+2PB＝2SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝2BF，在Rt△ABF中，AB＝4，∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝45°，∴BF＝AB•sin45°＝4SKIPIF1<0，∴（PA+2PB）最大＝2BF＝SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解直角直角三角形，解题的关键是作辅助线．5．如图，直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于B、A两点，点C（0，1）在y轴上，点P在x轴上运动，则SKIPIF1<0PC＋PB的最小值为．【答案】4【详解】思路引领：过P作PD⊥AB于D，依据△AOB是等腰直角三角形，可得∠BAO＝∠ABO＝45°＝∠BPD，进而得到△BDP是等腰直角三角形，故PDSKIPIF1<0PB，当C，P，D在同一直线上时，CD⊥AB，PC+PD的最小值等于垂线段CD的长，求得CD的长，即可得出结论．答案详解：如图所示，过P作PD⊥AB于D，∵直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于B、A两点，令x＝0，则y＝﹣3；令y＝0，则x＝3，∴A（0，﹣3），B（3，0），∴AO＝BO＝3，又∵∠AOB＝90°，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠BAO＝∠ABO＝45°＝∠BPD，∴△BDP是等腰直角三角形，∴PDSKIPIF1<0PB，∴SKIPIF1<0PC+PBSKIPIF1<0（PCSKIPIF1<0PB）SKIPIF1<0（PC+PD），当C，P，D在同一直线上，即CD⊥AB时，PC+PD的值最小，最小值等于垂线段CD的长，此时，△ACD是等腰直角三角形，又∵点C（0，1）在y轴上，∴AC＝1+3＝4，∴CDSKIPIF1<0AC＝2SKIPIF1<0，即PC+PD的最小值为SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0PC+PB的最小值为SKIPIF1<04，故答案为：4．6．如图，矩形ABCD中AB＝3，BCSKIPIF1<0，E为线段AB上一动点，连接CE，则SKIPIF1<0AE＋CE的最小值为．【答案】3【详解】思路引领：在射线AB的下方作∠MAB＝30°，过点E作ET⊥AM于T，过点C作CH⊥AM于H．易证ETSKIPIF1<0AE，推出SKIPIF1<0AE+EC＝CE+ET≥CH，求出CH即可解决问题．答案详解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，∴tan∠CABSKIPIF1<0，∴∠CAB＝30°，∴AC＝2BC＝2SKIPIF1<0，在射线AB的下方作∠MAB＝30°，过点E作ET⊥AM于T，过点C作CH⊥AM于H．∵ET⊥AM，∠EAT＝30°，∴ETSKIPIF1<0AE，∵∠CAH＝60°，∠CHA＝90°，AC＝2SKIPIF1<0，∴CH＝AC•sin6°＝2SKIPIF1<03，∵SKIPIF1<0AE+EC＝CE+ET≥CH，∴SKIPIF1<0AE+EC≥3，∴SKIPIF1<0AE+EC的最小值为3，故答案为3．7．如图，四边形ABCD是菱形，AB＝8，且∠ABC＝60°，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，则AM+SKIPIF1<0BM的最小值为．【答案】4SKIPIF1<0【分析】如图，过点A作AT⊥BC于T，过点M作MH⊥BC于H，根据菱形的性质和30°角的直角三角形的性质可得MH＝SKIPIF1<0BM，于是可得AM+SKIPIF1<0BM的最小值即为AT的长，再利用解直角三角形的知识求解即可．【详解】解：如图，过点A作AT⊥BC于T，过点M作MH⊥BC于H．∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴∠DBC＝SKIPIF1<0∠ABC＝30°，∵MH⊥BC，∴∠BHM＝90°，∴MH＝SKIPIF1<0BM，∴AM+SKIPIF1<0BM＝AM+MH，∵AT⊥BC，∴∠ATB＝90°，∴AT＝AB•sin60°＝4SKIPIF1<0，∵AM+MH≥AT，∴AM+MH≥4SKIPIF1<0，∴AM+SKIPIF1<0BM≥4SKIPIF1<0，∴AM+SKIPIF1<0BM的最小值为4SKIPIF1<0，故答案为：4SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了菱形的性质、30°角的直角三角形的性质、垂线段最短以及解直角三角形等知识，属于常考题型，熟练掌握上述知识、明确解答的方法是解题关键．8．如图，▱ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则2PB+PD的最小值等于.【答案】SKIPIF1<0【分析】过点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E，根据四边形ABCD是平行四边形，得到AB∥CD，推出PE=SKIPIF1<0PD，由此得到当PB+PE最小时2PB+PD有最小值，此时P、B、E三点在同一条直线上，利用∠DAB＝30°，∠AEP=90°，AB=6求出PB+PE的最小值=SKIPIF1<0AB=3，得到2PB+PD的最小值等于6.【详解】过点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠EDC=∠DAB＝30°，∴PE=SKIPIF1<0PD，∵2PB+PD=2（PB+SKIPIF1<0PD）=2(PB+PE)，∴当PB+PE最小时2PB+PD有最小值，此时P、B、E三点在同一条直线上，∵∠DAB＝30°，∠AEP=90°，AB=6，∴PB+PE的最小值=SKIPIF1<0AB=3，∴2PB+PD的最小值等于6，故答案为：6.【点睛】此题考查平行四边形的性质，直角三角形含30°角的问题，动点问题，将线段2PB+PD转化为三点共线的形式是解题的关键.9．如图，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0上的一个动点，则SKIPIF1<0的最小值是．【答案】SKIPIF1<0【分析】过点D作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，过点C作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，首先通过勾股定理及SKIPIF1<0求出AE,BE的长度，然后根据等腰三角形两腰上的高相等得出SKIPIF1<0，然后通过锐角三角函数得出SKIPIF1<0，进而可得出SKIPIF1<0，最后利用SKIPIF1<0即可求值．【详解】解：如图，过点D作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，过点C作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍弃），∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0（等腰三角形两腰上的高相等）∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0,故答案为：SKIPIF1<0．【点睛】本题主要考查解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，垂线段最短等，学会添加辅助线并利用转化的思想是解题的关键．二、解答题10．如图，已知抛物线SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为常数，且SKIPIF1<0）与SKIPIF1<0轴从左至右依次交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，与SKIPIF1<0轴交于点SKIPIF1<0，经过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与抛物线的另一交点为SKIPIF1<0．

(1)若点SKIPIF1<0的横坐标为SKIPIF1<0，求抛物线的函数表达式；(2)在（1）条件下，设SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0上一点（不含端点），连接SKIPIF1<0，一动点SKIPIF1<0从点SKIPIF1<0出发，沿线段SKIPIF1<0以每秒1个单位的速度运动到SKIPIF1<0，再沿线段SKIPIF1<0以每秒2个单位的速度运动到SKIPIF1<0后停止．当点SKIPIF1<0的坐标是多少时，点SKIPIF1<0在整个运动过程中用时最少?【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】（1）由点SKIPIF1<0的坐标求出直线SKIPIF1<0的解析式，再由点SKIPIF1<0的横坐标代入直线SKIPIF1<0的解析式求出点SKIPIF1<0的坐标，然后将点SKIPIF1<0的坐标代入抛物线解析式求SKIPIF1<0，从而得到抛物线的函数表达式；（2）过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0和点SKIPIF1<0分别作SKIPIF1<0轴的平行线和SKIPIF1<0轴的平行线，交于点SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，由点SKIPIF1<0和点SKIPIF1<0的坐标求线段SKIPIF1<0、SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的长度，得到SKIPIF1<0，结合速度可知时间为SKIPIF1<0，然后利用“SKIPIF1<0角所对的直角边是斜边的一半”得SKIPIF1<0，从而得到SKIPIF1<0，进而求得此时点SKIPIF1<0坐标．【详解】（1）解：对于SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，将点SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，得：SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的解析式为：SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，将点SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴抛物线的表达式为：SKIPIF1<0；（2）由题意得：点SKIPIF1<0的运动时间为SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0，

∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0和点SKIPIF1<0分别作SKIPIF1<0轴的平行线和SKIPIF1<0轴的平行线，交于点SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0的交点即为所求点SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，∴点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0时，点SKIPIF1<0在整个运动过程中用时最少．【点睛】本题考查了二次函数和一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求抛物线解析式、特殊角的直角三角形三边关系，第2问的突破点是利用转化的思想结合“SKIPIF1<0角所对的直角边是斜边的一半”将SKIPIF1<0进行转化，然后利用垂线段最短求得用时最小时的点SKIPIF1<0坐标．11．已知抛物线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，与SKIPIF1<0轴交于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，

(1)求抛物线的解析式及顶点SKIPIF1<0的坐标；(2)点SKIPIF1<0为抛物线上位于直线SKIPIF1<0下方的一动点，当SKIPIF1<0面积最大时，求点SKIPIF1<0的坐标；(3)若点SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0上的一动点，问：SKIPIF1<0是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)解析式为SKIPIF1<0，顶点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0(2)点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0(3)存在，最小值为SKIPIF1<0【分析】（1）根据题意设抛物线的交点式，然后代入点SKIPIF1<0的坐标，求解即可；（2）作SKIPIF1<0轴，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，通过设SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的坐标，利用“割补法”表示出SKIPIF1<0，从而利用二次函数的性质求解最值即可；（3）将直线SKIPIF1<0绕着SKIPIF1<0点逆时针旋转SKIPIF1<0，并过点SKIPIF1<0作其垂线，垂足为SKIPIF1<0，分别连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，构造出含SKIPIF1<0角的直角三角形，然后转换为求SKIPIF1<0得最小值，继而确定当SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三点共线时，满足SKIPIF1<0取得最小值，此时利用含SKIPIF1<0角的直角三角形的性质分段求解再相加即可得出结论．【详解】（1）解：由题意，设抛物线解析式为SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴抛物线的解析式为SKIPIF1<0，∵对称轴为直线SKIPIF1<0，∴将SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，得：SKIPIF1<0，∴顶点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0；（2）解：∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴直线SKIPIF1<0的解析式为：SKIPIF1<0，∵点SKIPIF1<0在抛物线上，且位于直线SKIPIF1<0下方，∴设SKIPIF1<0，其中，SKIPIF1<0，如图所示，作SKIPIF1<0轴，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，整理可得：SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最大值，将SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，得：SKIPIF1<0，∴此时点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0；

（3）解：存在最小值，理由如下：如下图所示，将直线SKIPIF1<0绕着SKIPIF1<0点逆时针旋转SKIPIF1<0，并过点SKIPIF1<0作其垂线，垂足为SKIPIF1<0，分别连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，

∴在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴随着SKIPIF1<0点的运动，总有SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，要使得SKIPIF1<0取得最小值，即要使得SKIPIF1<0取得最小值，如下图，当SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三点共线时，满足SKIPIF1<0取得最小值，

此时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0存在最小值，最小值为SKIPIF1<0．【点睛】本题考查求二次函数解析式，二次函数综合面积问题，以及利用“胡不归”模型构造三角形求线段和最值问题，掌握二次函数的基本性质，熟练运用函数思想解决图形面积问题是解题关键．12．抛物线SKIPIF1<0分别交x轴于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，交y轴于点C，抛物线的对称轴与x轴相交于点D，点M为线段OC上的动点，点N为线段AC上的动点，且SKIPIF1<0．(1)求抛物线的表达式；(2)线段MN，NC在数量上有何关系，请写出你的理由；(3)在M，N移动的过程中，DM＋SKIPIF1<0MC是否有最小值，如果有，请写出理由．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0，见解析(3)有，最小值为SKIPIF1<0【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，即可得SKIPIF1<0，问题得解；（3）先求出SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0的最小值，即点D到AC的垂线段DN的长，问题随之得解．【详解】（1）把点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0代入抛物线SKIPIF1<0中得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∴抛物线的解析式为：SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，理由是：如图1，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（3）在M，N移动的过程中，SKIPIF1<0有最小值是SKIPIF1<0，理由如下：由（2）知：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0的最小值，即D、M、N三点共线时，点D到AC的垂线段DN的长，如图2，抛物线解析式为：SKIPIF1<0；∴对称轴是：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴在M，N移动的过程中，SKIPIF1<0有最小值是SKIPIF1<0．【点睛】本题主要考查了利用待定系数法求解抛物线解析式，二次函数的性质，解直角三角形以及垂线段最短等知识．题目难度不大，细心作答即可．掌握二次函数的性质是解答本题的关键．13．如图，在平面直角坐标系中，直线SKIPIF1<0分别与x，y轴交于点A，B，抛物线SKIPIF1<0恰好经过这两点．(1)求此抛物线的解析式；(2)若点C的坐标是SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0绕着点C逆时针旋转90°得到SKIPIF1<0，点A的对应点是点E．①写出点E的坐标，并判断点E是否在此抛物线上；②若点P是y轴上的任一点，求SKIPIF1<0取最小值时，点P的坐标．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)①点E在抛物线上；②P（0，−SKIPIF1<0）【分析】（1）先求出A、B坐标，然后根据待定系数法求解即可；（2）①根据旋转的性质求出EF=AO=3，CF=CO=6，从而可求E的坐标，然后把E的坐标代入（1）的函数解析式中，从而判断出点E是否在抛物线上；②过点E作EH⊥AB，交y轴于P，垂足为H，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，可知HP＋PE的最小值为EH的长，从而解决问题．【详解】（1）解：当x=0时，y=-4，当y=0时，SKIPIF1<0，∴x=-3，∴A（-3，0），B（0，-4），把A、B代入抛物线SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴抛物线解析式为SKIPIF1<0．（2）解：①∵A（-3，0），C（0，6），∴AO=3，CO=6，由旋转知：EF=AO=3，CF=CO=6，∠FCO=90°∴E到x轴的距离为6-3=3，∴点E的坐标为（6，3），当x=3时，SKIPIF1<0，∴点E在抛物线上；②过点E作EH⊥AB，交y轴于P，垂足为H，∵A（−3，0），B（0，−4），∴OA＝3，OB＝4，∴AB＝5，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴HP＋PE的最小值为EH的长，作EG⊥y轴于G，∵∠GEP＝∠ABO，∴tan∠GEP＝tan∠ABO，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴OP＝SKIPIF1<0−3＝SKIPIF1<0，∴P（0，−SKIPIF1<0）．【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，旋转的性质，三角函数，两点之间、线段最短等知识，利用三角函数将SKIPIF1<0转化为HP的长是解题的关键．14．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线SKIPIF1<0与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．(1)求A、C两点的坐标；(2)连接AC，点P为直线AC上方抛物线上（不与A、C重合）的一动点，过点P作PD⊥AC交AC于点D，PE⊥x轴交AC于点E，求PD+DE的最大值及此时点P的坐标；(3)如图2，将原抛物线沿射线CB方向平移3SKIPIF1<0个单位得到新抛物线y'，点M为新抛物线y'对称轴上一点，在新抛物线y'上是否存在一点N，使以点C、A、M、N为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标，并选择一个你喜欢的点写出求解过程；若不存在，请说明理由．【答案】(1)A（﹣3，0），CSKIPIF1<0(2)最大值，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(3)存在，此时SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，见解析【分析】（1）令x=0，求出y的值，可求出点C的坐标；令y=0，可求出x的值，由此可求出点A的坐标；（2）利用待定系数法求出直线AC的解析式，根据相似三角形的性质可表达PD+DE的值，再利用二次函数的性质求出最值；（3）分三种情况：当四边形ACNM是平行四边形时，当ACMN时平行四边形时，当ANCM时平行四边形时，分别利用点的平移和中点坐标公式进行求解即可．（1）在SKIPIF1<0中，令x＝0，SKIPIF1<0．∴CSKIPIF1<0），令y＝0，x1＝﹣3，x2＝1，∵xA＜xB，∴A（﹣3，0），B（1，0）．（2）∵PE⊥x轴，y⊥x轴，∴PE∥y轴，∴∠PED＝∠ACO，∵∠PDE＝∠AOC＝90°，∴△PED∽△ACO，∴DE：PD：PE＝OC：OA：AC，在Rt△AOC中，∠AOC＝90°，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，当PE最大时，PD+DE最大，设直线AC的解析式为：y＝kx+b，∵A（﹣3，0），SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴直线SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0，﹣3＜m＜0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，﹣3＜m＜0，∴SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．（3）存在，此时SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．在射线CB上取一点Q，使CQ＝SKIPIF1<0，过点Q作QG⊥y轴于点G，则∠QGC＝90°，如图，∵B（1，0），C（0，SKIPIF1<0），∴OB＝1，OC＝SKIPIF1<0，∵∠BOC＝90°，∴BC＝SKIPIF1<0，∵∠QGC＝∠BOC＝90°，∠QCG＝∠BCO，∴△QGC∽△BOC，∴QG：BO＝CG：CO＝CQ：CB，即SKIPIF1<0，∴QG＝3，CG＝SKIPIF1<0，∴沿射线CB方向平移SKIPIF1<0个单位相当于向右平移3个单位，再向下平移SKIPIF1<0个单位，∵SKIPIF1<0，将抛物线SKIPIF1<0向右平移3个单位，再向下平移SKIPIF1<0个单位得到新抛物线y′，∴SKIPIF1<0，∴新抛物线的对称轴为直线x＝2，∵点M为新抛物线y′对称轴上一点，∴点M的横坐标为2，当四边形ACMN为平行四边形时，如图，根据平行四边形的性质可知：AC∥NM，AC＝NM，由图可知，将点C先向右平移2个单位，再向下平移若干个单位得到点M，∴将点A（﹣3，0）先向右平移2个单位，再向下平移若干个单位得到点N，∴点N的横坐标为：﹣3+2＝﹣1，当x＝﹣1时，SKIPIF1<0，∴此时点N的坐标为SKIPIF1<0；∴将点A（﹣3，0）先向右平移2个单位，再向下平移SKIPIF1<0个单位得到点N（﹣1，﹣SKIPIF1<0）；∴将点C（0，SKIPIF1<0）先向右平移2个单位，再向下平移SKIPIF1<0个单位得到点M（2，﹣SKIPIF1<0）；当四边形ACNM为平行四边形时，如图，根据平行四边形的性质可知：AC∥MN，AC＝NM，由图可知，将点A（﹣3，0）先向右平移5个单位，再向下平移若干个单位得到点M，∴将点C（0，SKIPIF1<0）先向右平移5个单位，再向下平移若干个单位得到点N，∴点N的横坐标为：0+5＝5，当x＝5时，SKIPIF1<0，∴此时点N的坐标为（5，﹣SKIPIF1<0）；∴点C（0，SKIPIF1<0）先向右平移5个单位，再向下平移SKIPIF1<0个单位得到点N（5，﹣SKIPIF1<0）；将点A（﹣3，0）先向右平移5个单位，再向下平移SKIPIF1<0个单位得到点M（2，﹣SKIPIF1<0）；当ANCM为对角线时，A（﹣3，0），C（0，SKIPIF1<0）的中点为：SKIPIF1<0，∵点M在对称轴x＝2上，∴点M的横坐标为x＝2，∴点N的横坐标为x＝﹣5，当x＝﹣5时，SKIPIF1<0，∴N（﹣5，SKIPIF1<0），∴点M的纵坐标为SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．综上所述，符合题意的点M的坐标为：SKIPIF1<0.或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【点睛】本题属于二次函数综合题，涉及待定系数法，轴对称最值问题，平行四边形存在性等知识，包括分类讨论思想等，（3）关键是进行正确的分类讨论．15．如图1，已知正方形ABCD，AB＝4，以顶点B为直角顶点的等腰Rt△BEF绕点B旋转，BE＝BF＝SKIPIF1<0，连接AE，CF．(1)求证：△ABE≌△CBF．(2)如图2，连接DE，当DE＝BE时，求S△BCF的值．（S△BCF表示△BCF的面积）(3)如图3，当Rt△BEF旋转到正方形ABCD外部，且线段AE与线段CF存在交点G时，若M是CD的中点，P是线段DG上的一个动点，当满足SKIPIF1<0MP+PG的值最小时，求MP的值．【答案】(1)见解析(2)2或6(3)SKIPIF1<0【分析】（1）由“SAS”可证△ABE≌△CBF；（2）由“SSS”可证△ADE≌△ABE，可得∠DAE＝∠BAE＝45°，可证AH＝EH，由勾股定理可求BE的长，即可求解；（3）先确定点P的位置，过点B作BQ⊥CF于Q，由勾股定理可求CE的长，由平行线分线段成比例可求解．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∵∠EBF＝90°＝∠ABC，∴∠ABE＝∠CBF，又∵BE＝BF，AB＝BC，在△ABE和△CBF中，SKIPIF1<0，∴△ABE≌△CBF（SAS）；（2）解：如图2，过点E作EH⊥AB于H，∵△ABE≌△CBF，∴S△ABE＝S△CBF，∵AD＝AB，AE＝AE，DE＝BE，∴△ADE≌△ABE（SSS），∴∠DAE＝∠BAE＝45°，∵EH⊥AB，∴∠EAB＝∠AEH＝45°，∴AH＝EH，∵BE2＝BH2+EH2，∴10＝EH2+（4﹣EH）2，∴EH＝1或3，当EH＝1时∴S△ABE＝S△BCF＝SKIPIF1<0AB×EH＝SKIPIF1<0×4×1＝2，当EH＝3时∴S△ABE＝S△BCF＝SKIPIF1<0AB×EH＝SKIPIF1<0×4×3＝6，∴S△BCF的值是2或6；（3）解：如图3，过点P作PK⊥AE于K，由（1）同理可得△ABE≌△CBF，∴∠EAB＝∠BCF，∵∠BAE+∠CAE+∠ACB＝90°，∴∠BCF+∠CAE+∠ACB＝90°，∴∠AGC＝90°，∵∠AGC＝∠ADC＝90°，∴点A，点G，点C，点D四点共圆，∴∠ACD＝∠AGD＝45°，∵PK⊥AG，∴∠PGK＝∠GPK＝45°，∴PK＝GK＝SKIPIF1<0PG，∴MP+SKIPIF1<0PG＝MP+PK，∴当点M，点P，点K三点共线时，且点E，点G重合时，MP+SKIPIF1<0PG值最小，即SKIPIF1<0MP+PG最小，如图4，过点B作BQ⊥CF于Q，∵BE＝BF＝SKIPIF1<0，∠EBF＝90°，BQ⊥EF，∴EF＝2SKIPIF1<0，BQ＝EQ＝FQ＝SKIPIF1<0，∵CQ＝SKIPIF1<0，∴CE＝CQ﹣EQ＝SKIPIF1<0，∵MK⊥AE，CE⊥AE，∴MK∥CE，∴SKIPIF1<0，又∵M是CD的中点，∴DC＝2DM，∴MP＝SKIPIF1<0CE＝SKIPIF1<0．【点睛】本题主要考查勾股定理、全等三角形的性质与判定、正方形的性质及圆的基本性质，熟练掌握勾股定理、全等三角形的性质与判定、正方形的性质及圆的基本性质是解题的关键．16．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点A（﹣1，0），B（0，SKIPIF1<0），C（2，0），其对称轴与x轴交于点D．（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）点M为抛物线的对称轴上的一个动点，若平面内存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为菱形，求点M的坐标；（3）若P为y轴上的一个动点，连接PD，求SKIPIF1<0PB＋PD的最小值．【答案】（1）y=SKIPIF1<0（xSKIPIF1<0）2SKIPIF1<0，（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）；（2）（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）或（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）或（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）或（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）或（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）；（3）SKIPIF1<0【详解】思路引领：（1）将A、B、C三点的坐标代入y＝ax2+bx+c，利用待定系数法即可求出二次函数的表达式，进而得到其顶点坐标；（2）当以A，B，M，N为顶点的四边形为菱形时，分三种情况：①以A为圆心AB为半径画弧与对称轴有两个交点，此时AM＝AB；②以B为圆心AB为半径画弧与对称轴有两个交点，此时BM＝AB；③线段AB的垂直平分线与对称轴有一个交点，此时AM＝BM，分别列出方程，求解即可；（3）连接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，此时SKIPIF1<0PB+PD最小．最小值就是线段DH，求出DH即可．答案详解：（1）由题意SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴抛物线解析式为ySKIPIF1<0x2SKIPIF1<0xSKIPIF1<0，∵ySKIPIF1<0x2SKIPIF1<0xSKIPIF1<0（xSKIPIF1<0）2SKIPIF1<0，∴顶点坐标（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）；（2）设点M的坐标为（SKIPIF1<0，y）．∵A（﹣1，0），B（0，SKIPIF1<0），∴AB2＝1+3＝4．①以A为圆心AB为半径画弧与对称轴有两个交点，此时AM＝AB，则（SKIPIF1<01）2+y2＝4，解得y＝±SKIPIF1<0，即此时点M的坐标为（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）或（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）；②以B为圆心AB为半径画弧与对称轴有两个交点，此时BM＝AB，则（SKIPIF1<0）2+（ySKIPIF1<0）2＝4，解得ySKIPIF1<0或ySKIPIF1<0，即此时点M的坐标为（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）或（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）；③线段AB的垂直平分线与对称轴有一个交点，此时AM＝BM，则（SKIPIF1<01）2+y2＝（SKIPIF1<0）2+（ySKIPIF1<0）2，解得ySKIPIF1<0，即此时点M的坐标为（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）．综上所述，满足条件的点M的坐标为（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）或（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）或（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）或（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）或（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）；（3）如图，连接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，此时SKIPIF1<0PB+PD最小．理由：∵OA＝1，OBSKIPIF1<0，∴tan∠ABOSKIPIF1<0，∴∠ABO＝30°，∴PHSKIPIF1<0PB，∴SKIPIF1<0PB+PD＝PH+PD＝DH，∴此时SKIPIF1<0PB+PD最短（垂线段最短）．在Rt△ADH中，∵∠AHD＝90°，ADSKIPIF1<0，∠HAD＝60°，∴sin60°SKIPIF1<0，∴DHSKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0PB+PD的最小值为SKIPIF1<0．17．在平面直角坐标系中，将二次函数SKIPIF1<0的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与SKIPIF1<0轴交于点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0(点SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0的左侧)，SKIPIF1<0，经过点SKIPIF1<0的一次函数SKIPIF1<0的图象与SKIPIF1<0轴正半轴交于点SKIPIF1<0，且与抛物线的另一个交点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面积为5．(1)求抛物线和一次函数的解析式；(2)抛物线上的动点SKIPIF1<0在一次函数的图象下方，求SKIPIF1<0面积的最大值，并求出此时点E的坐标；(3)若点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0轴上任意一点，在(2)的结论下，求SKIPIF1<0的最小值．【答案】(1)SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0的面积最大值是SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0点坐标为SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0的最小值是3.【分析】(1)先写出平移后的抛物线解析式，再把点SKIPIF1<0代入可求得SKIPIF1<0的值，由SKIPIF1<0的面积为5可求出点SKIPIF1<0的纵坐标，代入抛物线解析式可求出横坐标，由SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的坐标可利用待定系数法求出一次函数解析式；(2)作SKIPIF1<0轴交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，如图，利用三角形面积公式，由SKIPIF1<0构建关于E点横坐标的二次函数，然后利用二次函数的性质即可解决问题；(3)作SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴的对称点SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，利用锐角三角函数的定义可得出SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0最小，求出最小值即可．【详解】解：(1)将二次函数SKIPIF1<0的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，代入抛物线的解析式得，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴抛物线的解析式为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0的面积为5，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，代入抛物线解析式得，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0的解析式为SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∴直线SKIPIF1<0的解析式为SKIPIF1<0