2022年中考数学专题复习：动态几何探究（倍长中线法）

2022年中考数学专题复习：动态几何探究（倍长中线法）

1.【阅读理解】

课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1,AABC中，若AB=8,

AC=6,求BC边上的中线A。的取值范围.小明在组内经过合作交流，得到了如下

的解决方法：延长4。到点E,使DE=AD,请根据小明的方法思考：

（1）由已知和作图能得到^ADC丝4EDB的理由是.

（2）求得AD的取值范围是.

【感悟】

解题时，条件中若出现"中点中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分

散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.

【问题解决】

（3）如图2,在AASC中，点。是BC的中点，点M在AB边上，点N在AC边上，

若DM工DN,求证：BM+CN>MN.

22.在与AGDE中，ZACB=ZCDE=90°,AC=BC=2a,CD=ED=2,连

接点尸为AE的中点，连接。/，ACOE绕着点C旋转.

（1）如图1,当点力落在4c的延长线上时，。尸与8E的数量关系是：

（2）如图2,当A8E旋转到点。落在BC的延长线上时，£）尸与8E是否仍有具有

（1）中的数量关系，如果具有，请给予证明；如果没有，请说明理由;

（3）旋转过程中，若当/38=105。时，直接写出。F?的值.

3.阅读理解:

E

图3

(1)如图1,在AABC中，若45=10,AC=6,求BC边上的中线AO的取值范

围.解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E,使得AD=DE,再连接BE,把

AB,AC,24）集中在△/隹£中，利用三角形三边关系即可判断中线AO的取值范围

是.

（2）解决问题：如图2,在“ABC中，。是BC边上的中点，DE1DF,DE交AB于

点E,。尸交AC于点F,连接Er，求证：BE+CF>EF.

（3）问题拓展：如图3,在AABC中，。是BC边上的中点，延长D4至E,使得

AC=BE,求证：NCAD=NBED.

4.（1）方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图1,在AABC

中，AB=8,AC=6,求BC边上的中线A。的取值范围.小明在组内经过合作交流，

得到了如下的解决方法（如图2）,

①延长4。到M,使得。M=A£>；

②连接BM,通过三角形全等把AB、AC,2Ao转化在ZkABM中；

③利用三角形的三边关系可得AM的取值范围为AH-BM<AM<AB+BM,从而得到

AD的取值范围是；

方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”."倍长中线法''多用于构造全等三角形和

证明边之间的关系.

(2)请你写出图2中AC与的数量关系和位置关系，并加以证明.

(3)深入思考：如图3,是的中线，AB=AE,AC=AF,NBAE=NCAF=

90。，请直接利用(2)的结论，试判断线段4。与EF的数量关系，并加以证明.

5.如图，点尸是NMON内部一点，过点P分别作以〃ON交OM于点A,PB//OM

交ON于点8(抄1WB),在线段08上取一点C,连接AC,将AAOC沿直线AC翻

折，得到AAQC,延长AO交PB于点E,延长CC交P8于点F.

(1)如图1,当四边形AOBP是正方形时，求证：DF=PF；

(2)如图2,当C为OB中点时，试探究线段AE,AO,8E之间满足的数量关系，并

说明理由；

(3)如图3,在(2)的条件下，连接CE,N4CE的平分线C”交4E于点4,设。A

=a,BE=b,若NCAO=NCEB,求△CQH的面积(用含a,〃的代数式表示).

6.如图，在等边△ABC中，点、D,E分别是AC,AB上的动点，且AE=C。，BD交

CE于点P.

(1)如图1,求证：ZBPC=120°；

(2)点M是边的中点，连接用，PM,延长3P到点F,使尸F=PC,连接CF,

①如图2,若点A,P,M三点共线，则AP与PM的数量关系是.

②如图3,若点A,P,用三点不共线，问①中的结论还成立吗？若成立，请给出证

明，若不成立，说明理由.

E,

D

D

7.阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明.

己知：如图，点E是BC的中点，点4在。E上，且

求证：AB=CD.

分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性

质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两

个三角形也不全等，因此，要证48=。，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形

或等腰三角形.

(1)现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明.

①如图1,延长。E到点F,使EF=DE,连接3F；

②如图2,分别过点8、C作CGLDE,垂足分别为点匕G.

(2)请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明.

图1图2图3

8.(1)方法呈现：

如图①：在AABC中，若AB=6,AC=4,点。为BC边的中点，求BC边上的中线

A。的取值范围.

解决此问题可以用如下方法：延长A0到点E使=再连接BE,可证

△ACgAEBO,从而把48、AC,2A£＞集中在中，利用三角形三边的关系即

可判断中线AD的取值范围是,这种解决问题的方法我们称为倍长中

线法；

(2)探究应用：

如图②，在AABC中，点。是BC的中点，DELDF于点D,DE交AB于点、E,DF

交AC于点凡连接EF,判断8E+C尸与E尸的大小关系并证明；

(3)问题拓展:

如图③，在四边形ABC。中，AB//CD,AF与QC的延长线交于点F、点E是8c的中

点，若AE是N54尸的角平分线.试探究线段AB,AF,CF之间的数量关系，并加以

证明.

9.某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入.

【探究与发现】

如图1,延长△A8C的边2c到。，使。C=8C,过。作。E〃AB交AC延长线于点

E,求证：△ABC会

【理解与应用】

如图2,已知在AABC中，点E在边BC上且NCAE=NB,点E是CD的中点，若

平分/8AE.

(1)求证：AC=BD；

(2)若BD=3,AD=5,AE=x,求x的取值范围.

图2

10.已知AABC中,

(1)如图1,点E为BC的中点，连AE并延长到点F,使FE=E4,则8尸与AC的

数量关系是

(2)如图2,若A3=4C,点E为边AC一点，过点C作8c的垂线交8E的延长线于

点。，连接A£>,若ND4C=NA3£>,求证：AE=EC.

(3)如图3,点。在1BC内部，且满足AD=8C,ZBAD^ZDCB,点M在。C的延

长线上，连A"交BO的延长线于点N,若点N为AM的中点，求证：DM=AB.

11.(1)如图1,已知AABC中，A。是中线，求证：AB+AC>2AD；

(2)如图2,在AABC中，D,E是8c的三等分点，求证：AB+AC>AD+AE；

(3)如图3,在AABC中，D,E在边BC上,且8D=CE.求证：

AB+AC>AD+AE.

A

DD

图

图13

12.在中，垂足为M,AM=5M,点。是线段AM上一动点.

(1)如图1,点C是8M延长线上一点，MD=MC,连接AC,若BD=17,求AC的

长；

(2)如图2,在(1)的条件下，点E是AABM外一点，EC=AC,连接EO并延长交

BC于点F,且点F是线段BC的中点，求证：NBDF=/CEF.

(3)如图3,当E在8。的延长上，且AEL8E,4E=EG时，请你直接写出N1、

N2、N3之间的数量关系.(不用证明)

13.己知：等腰MAABC和等腰向"。七中，AB=AC,AE=AD,

ABAC=Z.EAD=90°.

(1)如图1,延长DE交BC于点尸，若NB4E=68。，则NOFC的度数

为;

(2)如图2,连接EC、BD,延长£4交80于点若NAEC=90。，求证：点〃

为8。中点；

(3)如图3,连接EC、80,点G是CE的中点，连接AG,交BD于点H,

AG=9,HG=5,直接写出△他C的面积.

14.(1)基础应用：如图1,在AABC中，AB=5,AC=7,是BC边上的中线，延

长AO到点E使。E=A。，连接CE,把AB,AC,2A。利用旋转全等的方式集中在

△ACE中，利用三角形三边关系可得的取值范围是；

(2)推广应用：应用旋转全等的方式解决问题如图2,在AABC中，4。是8C边上的

中线，点E,尸分别在A8,AC上，S.DE±DF,求证：BE+CF>EF-

(3)综合应用：如图3,在四边形ABCO中，AB=AD,/B+NAOC=180。且NE4F

^ZBAD,试问线段EF、BE、尸。具有怎样的数量关系，并证明.

15.(1)阅读理解：如图1,在AABC中，若AB=5,AC=8,求BC边上的中线AO

的取值范围.小聪同学是这样思考的：延长43至£，使。E=AD,连接BE.利用

全等将边AC转化到BE,在^BAE中利用三角形三边关系即可求出中线AZ)的取值范

围.在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是,中线的取

值范围是:

(2)问题解决：如图2,在AABC中，点。是BC的中点，点M在AB边上，点N在

AC边上，若DM1DN.求证：BM+CN>MN；

(3)问题拓展：如图3,在△4BC中，点。是8c的中点，分别以AB,4C为直角边

向△ABC外作RdABM和RoACM其中N84A/=NNAC=90°,AB=AM,AC=

AN,连接MN,探索A。与MN的关系，并说明理由.

16.在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种典型的方法是倍延中线.

(1)如图1,AO是A4BC的中线，AB=7,AC=5,求的取值范围.我们可以延长

A。到点M,使连接BM,易证=所以物0=AC.接下

来，在4丽中利用三角形的三边关系可求得4M的取值范围，从而得到中线AO的取

值范围是;

(2)如图2,40是AABC的中线，点E在边AC上，BE交AD于点、F,且AE=EF,

求证：AC=BF；

(3)如图3,在四边形A88中，4O//BC,点E是A3的中点，连接CE,EO且

CELDE,试猜想线段BC,CDA。之间满足的数量关系，并予以证明.

A

E

C---------------------------D

图3

17.已知，△ABC中，BC=6,AC=4,M是BC的中点，分别以AB,AC为边向外

作正方形ABDE,正方形ACFG,连接EG,MA的延长线交EG于点N,

(1)如图，若NBAC=90。，求证：AM=；EG,AM±EG；

(2)将正方形ACFG绕点A顺时针旋转至如图，(1)中结论是否仍然成立？请说明理

由；

(3)将正方形ACFG绕点A顺时针旋转至B,C,F三点在一条直线上，请画出图形，

并直接写出AN的长.

18.数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1,在AABC中，

AB=8,AC=6,D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围.

小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E,使DE=AD,请

补充完整证明“AADC也AEDB”的推理过程.

⑴求证：AADC丝AEDB

证明：：延长AD到点E,使DE=AD

在AADC和AEDB中AD=ED(己作),

/ADC=NEDB(),

CD=BD(中点定义)，

,-.AADC^AEDB(),

(2)探究得出AD的取值范围是；

【感悟】解题时，条件中若出现“中