（江苏专用）高考数学总复习 第二章第6课时 对数与对数函数课时闯关（含解析）

[A级双基巩固]一、填空题1．(2011·高考重庆卷改编)设a＝logeq\f(1,3)eq\f(1,2)，b＝logeq\f(1,3)eq\f(2,3)，c＝log3eq\f(4,3)，则a，b，c大小关系为________．解析：c＝log3eq\f(4,3)＝logeq\f(1,3)eq\f(3,4)，又eq\f(1,2)<eq\f(2,3)<eq\f(3,4)，且函数f(x)＝logeq\f(1,3)x单调减，∴logeq\f(1,3)eq\f(1,2)>logeq\f(1,3)eq\f(2,3)>logeq\f(1,3)eq\f(3,4)，即a>b>c.答案：a>b>c2．(2010·高考辽宁卷改编)设2a＝5b＝m，且eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝2，则m＝________.解析：由2a＝5b＝m得a＝log2m，b＝log5m，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝logm2＋logm5＝logm10.∵eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝2，∴logm10＝2，∴m2＝10，m＝eq\r(10).答案：eq\r(10)3．已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若A⊆B，则实数a的取值范围是(c，＋∞)，其中c＝________.解析：由已知条件可得A＝{x|log2x≤2}＝(0,4]，B＝(－∞，a)，若A⊆B，则a＞4，即得c＝4.答案：44．若a>0，a≠1，x>y>0，n∈N，则下列各式：①(logax)n＝nlogax；②(logax)n＝logaxn；③logax＝－logaeq\f(1,x)；④eq\r(n,logax)＝eq\f(1,n)logax；⑤eq\f(logax,n)＝logaeq\r(n,x)；⑥logaeq\f(x－y,x＋y)＝－logaeq\f(x＋y,x－y).其中正确的有________个．解析：由对数的运算性质可知，③⑤⑥正确，①②④错误．答案：35．log225·log32eq\r(2)·log59＝________.解析：log225·log32eq\r(2)·log59＝2log25·eq\f(3,2)log32·2log53＝6.答案：66．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lgx，x≥\f(3,2),lg3－x，x<\f(3,2)))，若方程f(x)＝k无实数根，则实数k的取值范围是________．解析：画出f(x)图象如图，由图可知k<lgeq\f(3,2).答案：(－∞，lgeq\f(3,2))7．若函数f(x)＝logax(0＜a＜1)在区间[a,2a]上的最大值是最小值的3倍，则a＝________.解析：当x＝a时，f(a)＝1，f(2a)＝1＋loga2，又∵y＝logax是减函数，∴f(a)＝3·f(2a)，故3(1＋loga2)＝1，即loga2＝－eq\f(2,3)，∴a＝eq\f(\r(2),4).答案：eq\f(\r(2),4)8．设a＞0且a≠1，函数f(x)＝alg(x2－2x＋3)有最大值，则不等式loga(x2－5x＋7)>0的解集为________．解析：∵函数y＝lg(x2－2x＋3)有最小值，f(x)＝alg(x2－2x＋3)有最大值，∴0＜a＜1.∴由loga(x2－5x＋7)>0，得0＜x2－5x＋7＜1，解得2＜x＜3.∴不等式loga(x2－5x＋7)>0的解集为{x|2＜x＜3}．答案：{x|2＜x＜3}二、解答题9．已知函数f(x)＝logaeq\f(2＋x,2－x)(0＜a＜1)．(1)试判断f(x)的奇偶性；(2)解不等式f(x)≥loga3x.解：(1)eq\f(2＋x,2－x)＞0⇒－2＜x＜2.故f(x)的定义域关于原点对称，且f(－x)＝logaeq\f(2－x,2＋x)＝loga(eq\f(2＋x,2－x))－1＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．(2)f(x)≥loga3x⇔logaeq\f(2＋x,2－x)≥loga3x.∵0＜a＜1，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2＋x,2－x)＞0，,\f(2＋x,2－x)≤3x))⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2＜x＜2，,\f(3x－2x－1,x－2)≥0))⇔eq\f(2,3)≤x≤1.即原不等式的解集为{x|eq\f(2,3)≤x≤1}．10．已知f(x)＝logax，g(x)＝2loga(2x＋t－2)(a＞0，a≠1，t∈R)．(1)当t＝4，x∈[1,2]，且F(x)＝g(x)－f(x)有最小值2时，求a的值；(2)当0＜a＜1，x∈[1,2]时，有f(x)≥g(x)恒成立，求实数t的取值范围．解：(1)当t＝4时，F(x)＝g(x)－f(x)＝logaeq\f(2x＋22,x)，x∈[1,2]，令h(x)＝eq\f(2x＋22,x)＝4(x＋eq\f(1,x)＋2)，x∈[1,2]，则h′(x)＝4(1－eq\f(1,x2))＝eq\f(4x－1x＋1,x2)≥0，∴h(x)在[1,2]上是单调增函数，∴h(x)min＝16，h(x)max＝18.当0＜a＜1时，有F(x)min＝loga18，令loga18＝2求得a＝3eq\r(2)＞1(舍去)；当a＞1时，有F(x)min＝loga16，令loga16＝2求得a＝4＞1.∴a＝4.(2)当0＜a＜1，x∈[1,2]时，有f(x)≥g(x)恒成立，即当0＜a＜1，x∈[1,2]时，logax≥2loga(2x＋t－2)恒成立，由logax≥2loga(2x＋t－2)可得logaeq\r(x)≥loga(2x＋t－2)，∴eq\r(x)≤2x＋t－2，∴t≥－2x＋eq\r(x)＋2.设u(x)＝－2x＋eq\r(x)＋2＝－2(eq\r(x))2＋eq\r(x)＋2＝－2(eq\r(x)－eq\f(1,4))2＋eq\f(17,8)，∵x∈[1,2]，∴eq\r(x)∈[1，eq\r(2)]．∴u(x)max＝u(1)＝1.∴实数t的取值范围为t≥1.[B级能力提升]一、填空题1．已知函数f(x)满足：当x≥4时，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x；当x<4时，f(x)＝f(x＋1)，则f(2＋log23)＝________.解析：∵2<3<4＝22，∴1<log23<2.∴3<2＋log23<4，∴f(2＋log23)＝f(3＋log23)＝f(log28＋log23)＝f(log224)＝(eq\f(1,2))log224＝2－log224＝2log2eq\f(1,24)＝eq\f(1,24).答案：eq\f(1,24)2．(2011·高考天津卷)已知log2a＋log2b≥1，则3a＋9b的最小值为________．解析：由log2a＋log2b≥1得log2(ab)≥1，故ab≥2.∴3a＋9b＝3a＋32b≥2·3eq\f(a＋2b,2)(当且仅当3a＝32b，即a＝2b时等号成立)．又∵a＋2b≥2eq\r(2ab)≥4(当且仅当a＝2b时等号成立)．∴3a＋9b≥2×32＝18.故a＝2b时，3a＋9b的最小值为18.答案：183．阅读下面一段材料，然后解答问题：对于任意实数x，符号[x]表示“不超过x的最大整数”，在数轴上，当x是整数，[x]就是x，当x不是整数时，[x]是点x左侧的第一个整数点，这个函数叫做“取整函数”，也叫高斯(Gauss)函数．如[－2]＝－2，[－1.5]＝－2，[2.5]＝2.求eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(log2\f(1,4)))＋eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(log2\f(1,3)))＋eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(log2\f(1,2)))＋[log21]＋[log22]＋[log23]＋[log24]的值为________．解析：由题意知原式＝(－2)＋(－2)＋(－1)＋0＋1＋1＋2＝－1.答案：－14．设a＞1，若仅有一个常数c使得对于任意的x∈[a,2a]，都有y∈[a，a2]满足方程logax＋logay＝c，这时a的取值集合为________．解析：由logax＋logay＝c(a＞1)，∴y＝eq\f(ac,x).∵a＞1，∴y＝eq\f(ac,x)在x∈[a,2a]上递减，∴ymax＝eq\f(ac,a)＝ac－1，ymin＝eq\f(ac,2a)＝eq\f(1,2)ac－1，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ac－1≤a2⇒c≤3，,\f(1,2)ac－1≥a⇒ac－2≥2⇒c≥loga2＋2.))∵loga2＋2≤c≤3时，c值只有1个，∴c＝3，即loga2＝1，故a＝2.答案：{2}二、解答题5．对于函数f(x)＝logeq\f(1,2)(x2－2ax＋3)，(1)若函数的定义域为R，求实数a的取值范围；(2)若函数的值域为R，求实数a的取值范围；(3)若函数在[－1，＋∞)上有意义，求实数a的取值范围；(4)若函数的值域为(－∞，－1]，求实数a的所有取值；(5)若函数在(－∞，1]上是增函数，求实数a的取值范围．解：设u＝g(x)＝x2－2ax＋3＝(x－a)2＋3－a2.(1)∵u>0对x∈R恒成立，∴umin＝3－a2>0.故a的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(3)，\r(3))).(2)logeq\f(1,2)u的值域为R⇔u＝g(x)能取遍(0，＋∞)的一切值，因此umin＝3－a2≤0，故a的取值范围为(－∞，－eq\r(3)]∪[eq\r(3)，＋∞)．(3)函数f(x)在[－1，＋∞)上有意义⇔u＝g(x)>0对x∈[－1，＋∞)恒成立，因此应按g(x)的对称轴x＝a分类，则得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<－1,g－1>0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≥－1,Δ＝4a2－12<0))解这两个不等式组得到实数a的取值范围是(－2，eq\r(3))．(4)∵函数f(x)的值域为(－∞，－1]，∴g(x)的值域是[2，＋∞)，因此要求g(x)能取遍[2，＋∞)的一切值(而且不能多取)．由于g(x)是连续函数，所以命题等价于[g(x)]min＝3－a2＝2，故a＝±1.(5)函数在(－∞，1]上是增函数⇔g(x)在(－∞，1]上是减函数，且g(x)>0对x∈(－∞，1]恒成立，⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≥1,g1>0))，故a的取值范围为[1,2)．6．已知函数f(x)＝lgeq\f(kx－1,x－1)(k∈R且k＞0)．(1)求函数f(x)的定义域；(2)若函数f(x)在[10，＋∞)上是单调增函数，求k的取值范围．解：(1)由eq\f(kx－1,x－1)＞0及k＞0得eq\f(x－\f(1,k),x－1)＞0，即(x－eq\f(1,k))·(x－1)＞0.①当0＜k＜1时，x＜1或x＞eq\f(1,k)；②当k＝1时，x∈R且x≠1；③当k＞1时，x＜eq\f(1,k)或x＞1.综上可得当0＜k＜1时，函数的定义域为(－∞，1)∪(eq\f(1,k)，＋∞)；当k＞1时，函数的定义域为(－∞，eq\f(1,k))∪(1，＋∞)；当k＝1时，{x|x∈R，且x≠1}．(2)∵f(x)在[10，＋∞)上是增函数，∴eq\f(10k－1,10－1)＞0，∴k＞eq\f(1,10).又f(