2023-2024届新高考一轮复习人教A版 第七章 第二讲　空间点、直线、平面之间的位置关系 学案

第二讲空间点、直线、平面之间的位置关系

■双基自测

知识梳理

知识点一平面的基本性质

基本事实1.一不共线一的三点确定一个平面.

基本事实2.如果一条直线上的马仝点—在一个平面内，那么这条直线在这

个平面内.

基本事实3.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且一只有一条

过该点的公共直线.

推论1.经过一条直线和一这条直线外一点一，有且只有一个平面.

推论2.经过两条相交直线,有且只有一个平面.

推论3.经过两条.平行一直线,有且只有一个平面.

知识点二空间点'直线'平面之间的位置关系

直线与直线直线与平面平面与平面

----------a

平行图形语言Z=F%~~7

A__z/7%7

关系

符号语言a//ba//aa∕∕β

相交图形语言

关系

符号语言tz∩⅛=Aα∩α=AO.∩B=I

独有图形语言

关系

符号语言a,b是异面直线aUa

知识点三异面直线所成角、基本事实4及等角定理

(1)异面直线所成的角

①定义：设α,人是两条异面直线，经过空间中任一点。作直线，〃小b'

〃4把α'与》所成的锐角或直角叫做异面直线α与力所成的角.

②范围：(0,I，

(2)基本事实4.(平行公理)

平行于同一条直线的两条直线.平行一.

(3)等角定理

空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角.相等或互补，.

归纳拓展

异面直线的判定定理

过平面内一点与平面外一点的直线和这个平面内不经过该点的直线是异面

直线.

用符号可表示为：

若/Uα,A⅛α,B≡a,B册,则直线AB与/是异面直线(如图).

双基自测

题组一走出误区

1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“或“义”)

(1)如果两个不重合的平面α,夕有一条公共直线α,就说平面α,夕相交，并

记作aCβ=a.(√)

(2)两个平面ɑ,用有一个公共点A,就说α,夕相交于过A点的任意一条直

线∙(X)

(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.(×)

(4)经过两条相交直线，有且只有一个平面.(√)

(5)两两相交的三条直线共面.(×)

(6)若α,8是两条直线，ɑ,α是两个平面，且αUα,bu[3,则人是异面

直线∙(X)

题组二走进教材

2.(必修2P147例1)如图所示,在正方体ABCD—Aι5ιCiZh中,E,F分别是

AB,AO的中点，则异面直线BC与E/所成角的大小为(C)

A.30oB.45o

C.60oD.90o

［解析］连接BQι,D∖C,则BiD/EG故乙DlBC即为所求的角.又BIDl

=BiC=DiC,.∙.Z∖BOC为等边三角形，.,.NOIBIC=60。.故选C.

3.泌修2P∣34例1）如图，在三棱锥A—BCD中，E,F,G,"分别是棱A5,

BC,CD,D4上的点.

（1）若镂=需且寡=等，则E、F、G、〃是否共面？共面.

LLL>nUrDLrU

（2）若区F、G、”分别为棱A3、BC、CD、QA的中点，①当AC,BD满

足条件AC=BD时,四边形EFGH为菱形；②当AC,8。满足条件AC=BD

且ACLB。时,四边形EFG”为正方形.

题组三走向高考

4.（2019・新课标川）如图，点、N为正方形ABCD的中心，Z∖ECO为正三角形，

平面ECD，平面ABC。，M是线段Eo的中点，则（B）

A.BM=EN,且直线8M,EN是相交直线

B.BM≠EN,且直线6M,EN是相交直线

C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线

D.BM≠EN,且直线BM,EN是异面直线

［解析］连BD、BE,则8。过点N,：点N为正方形ABCD的中心，XECD

为正三角形，

心

M是线段E。的中点，

.∖BMU平面BDE,ENU平面BDE,

•；BM是ABDE中DE边上的中线，EN是ABDE中8。边上的中线，

二直线3M,EN是相交直线，

设DE=a,则BD=√2α,

：平面EC。，平面ABCD,

5.(2021.全国高考)在正方体ABCD-AiBCQ中，P为BQ的中点，则直

线PB与ADi所成的角为(D)

ʌππ

B.

ʌ-23

［解析］解法一：如图，连接BCi,PCi,因为AOi〃BCI,

巷

所以NPBCI或其补角为直线PB与ADi所成的角,

因为_L平面AbBlCIDi,所以88」PCl,又BBi∩3QI=Bι,

所以PCj_平面PBB∣,所以PC_LP&

设正方体棱长为2,贝IJBCI=2啦，PC1=∣DιBι=√2,

SinNpBcj=%1■=',所以NP8。=^.故选D.

£)C1ZO

解法二：如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2,则助1=(—2,0,2),

B>=(-l,-1,2),记PB与ADl所成角仇贝IJ

宿

c[AD∣∙B>∣6√3

C(^=

TT

'.θ=^7,故选

OD.

•互动探究

考点一平面基本性质的应用—自主练透

例1如图所示，在正方体ABCo-ClZ)I中，E,R分别是A&AAl的中

点.求证：

(I)E,C,D∖,产四点共面；

(2)CE,D∖F,D4三线共点.

［解析］(1)如图，连接防，CDι,AiB.

因为E,F分别是AB,AAl的中点，所以

又43〃CDi,所以EF〃COi,

所以E,C,Di,E四点共面.

(2)因为E/〃COi,EF<CD∖,

所以CE与。砂必相交，

设交点为P,则由P∈CE,CEU平面A6C。，得P∈平面ABeD

同理P∈平面AOO∣4.

又平面ABCDn平面ADDIAI=DA,

所以P∈直线DA.

所以CE,D∖F,D4三线共点.

名婶A披MINGSHIDIANBO

1.证明空间点共线问题的方法

(D基本事实法：一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据基

本事实3证明这些点都在这两个平面的交线上.

(2)纳入直线法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线

上.

2.点、线共面的常用判定方法

(1)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内.

(2)将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合.

3.证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他

直线经过该点.

〔变式训练1〕

(多选题)如图是正方体或四面体，P,Q,R,S分别是所在棱的中点，这四

个点共面的是(ABC)

［解析］在A图中分别连接PS,QR,易证PS〃QR,Q,R,S共面;

在C图中分别连接PQ,RS,易证PQ〃RS,/.P,Q,R,S共面；如图所示，

在B图中过P,Q,R,S可作一正六边形，故四点共面；D图中PS与QR为异

面直线，,四点不共面，故选ABC.

考点二空间两条直线的位置关系——师生共研

例2(1)(多选题)在图中，G,H,M,N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中

点，则表示直线GH,MN是异面直线的图形是(BD)

(2)如图所示，正方体ABC。一AIBICIQI中，M,N分别为棱Cjo∣,ClC的

中点，有以下四个结论：

①直线AM与CCi是相交直线；

②直线AM与BN是平行直线；

③直线BN与MBl是异面直线；

④直线AM与DDi是异面直线.

其中正确的结论为③④(注:把你认为正确的结论序号都填上).

［解析］(1)图A中，直线G7/〃MN；

图B中，G,H,N三点共面，但M在平面GHN,N告HG,因此直线GH与

MN异面；图C中，连接MG,GM//HN,因此GH与MN共面；

图D中，G,M,N共面，但用平面GMMG庄MN因此GH与MN异面，

故选BD.

(2)因为点A在平面CDDICI外，点M在平面CDDIa内，直线CG在平面

Cr)DIG内，CG不过点M,所以AM与CG是异面直线，故①错；取。。∣中点

E,连接AE,则BN〃AE,但AE与AM相交，故②错；因为*与BN都在平面

BCGB内，M在平面BCGBl外，BN不过点Bi,所以BN与Ma是异面直线，

故③正确；同理④正确，故填③④.

名帏点披MINGSHIDIANBO

1.异面直线的判定方法

(1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假

设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面.此法

在异面直线的判定中经常用到.

(2)判定定理法：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B

的直线是异面直线.

2.判定平行直线的常用方法

(1)三角形中位线的性质.

(2)平行四边形的对边平行.

(3)平行线分线段成比例定理.

(4)公理:⅛a//b,h//c,则a〃c.

〔变式训练2〕

(多选题)如图为正方体表面的一种展开图，则在原正方体中，下列说法正确

的是(ACD)

A.AB与CD是异面直线

B.GH与B。相交

C.EF//CD

D.Eb与G”是异面直线

［解析］画出该正方体的直观图如图所示，其中异面直线有AB与C。、GH

与BD、EF与GH,显然EF//CD,故选ACD.

考点三异面直线所成的角——师生共研

例3(1)(2021•广西玉林模拟)如图,正方体ABCD-A出CIDI中,E,F分别

为4囱，CO的中点，则异面直线OlE与AIF所成的角的余弦值为(A)

D.

(2)Q022∙山西吕梁模拟)如图正三棱柱ABC—4BG的各棱长相等，。为A4∣

的中点，则异面直线48与ClO所成的角为(D)

⑶若两条异面直线。所成角为60。，则过空间一点O与两异面直线a、b

所成角都为60。的直线有3条.

［解析］（1）解法一：（平移法）

如图，连接BE,BF、D∖F,

由题意知四边形BED砂为平行四边形，

.∖DiE∕∕BF,

NAlFB即为异面直线DlE与AIJF所成的角（或其补角）.

连接A山,设AB=2,

则在AAiB尸中，AιB=2√2,BF=√5,

A∖F=y∣AAHAD2+DFq=3,

./AF2+8-一4笈9+5—8√5

∙.cosNAM=­2∙AF∙BF—=2X3X小=5'

二异面直线。化与AIf'所成的角的余弦值为手.故选A.

解法二：（向量法）

如图建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为2,

异面直线。石与A砂所成角为θ,

则浜=(2,1,0),/0=(-2,1,-2),

…血量面=心=雪

.故选A.

∣½∣∙∣Λ7F∣小X35

(2)解法一：连BQ交AlB于"，GM=∣GBι,连接BM,由。是A4ι

的中八、、易知HBI-BBI~2~B∖M'

.∖MH^C∖D.

.∙.N3"M即为异面直线CiD

与AIB所成的角或其补角.

设正三棱柱的各棱长为2。

noCP44'32c16〃52a2

则BH1=gA1B2=-ga92,BMiZ>2=-^-+4a2=-g-,

420∕72

222

HM2=§DG=方~,.∖BH+HM=BM9

TrTT

：.NBHM=刍即异面直线48与GO所成的角为全故选D.

解法二：如图建立空间直角坐标系，且设正三棱柱各棱长为20.

则O(2α,0,a),Ci(0,0,0),Aι(2α,0,0),B(α,y∣3a,2a),则dil)=(2α,0,a),A∖B

=(-a,γ∣3a,2a),记异面直线48与所成的角为仇则COSg」。。，4I

∣GD∣∙∣A]B1

0,

TT

故选D.

解法三(向量法基本向量法)：设正三棱柱各棱长为2,记A；京=α,AlCi

=b,ALA=C,

则⑷=步I=ICl=2,且α∙i>=2,α∙c=O,b∙c=O,又与方=α+c,C∖D=^c~b,

-►-►二7z∙c—a∙b-二c2—h∙c

记G与血所成的角为仇则cos。=坐空^—T—=。，

∖A↑B∖'∖C↑D∖∣α+c∣∙呼一〃

JT

故选D.

注：为便于“平移一作角”常将三棱柱补形成平行六面体，将三棱锥补形成

三棱柱(如图)请同学们自己完成解答.

(3)如图，过。分别作α'//a,b'//b,

则/,b)所成角为60。，

如图易知过。与α'、b'所成角都为60。的直线有3条，

即与α,匕所成角都为60。的直线有3条.

［引申］本例(3)中与异面直线a、b所成角都为75。的直线有4条.

注：与异面直线所成角都为6,则

JT

⑴o<o<d时，0条；

TT

(2)0=4时，1条；

JlJl

(3)g<0<w时，2条；

JT

(4)。=?时，3条；

JTJT

(5)]<6<2时，4条；

(6)。=齐寸，1条.

名帅点帔MINGSHIDIANBO

求异面直线所成角的方法

1.定义法

定义法求异面直线所成角的步骤

(1)找或作：在图中找或平移异面直线中的一条或两条构造异面直线所成的

角.

(2)证：说明所作的角是异面直线所成的角.

(3)算：寻找或作出含有此角的三角形并解之.

(4)取舍：因为异面直线所成角。的取值范围是0。<。或90。，所以所作的角为

钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角.

2.向量法

向量法又分为坐标法和基本向量法，利用公式ICOSel=盟求出异面直线的

方向向量的夹角.若向量夹角是锐角或直角，则该角即为异面直线所成角；若向

量夹角是钝角，则异面直线所成的角为该角的补角.

〔变式训练3〕

(l)(2022∙重庆育才中学诊断)如图所示，已知空间四边形ABC。，AC与8。

所成角为60。，且AC=BD=2,E、/分别为BGA。的中点，则EE=(C)

A.1B.√3

c.1或√5D.2或小

⑵(2022.河北衡水检测)如图，在圆锥S。中，45,Co为底面圆的两条直径,

AB∩CO=O,且AB，CO,SO=OB=3,SE=∖sB,则异面直线SC与。E所成

角的正切值为(D)

A迤

ʃɪ.2BY

-ItD-芈

［解析］(1)取Cr)的中点”，连EH、HF,由题意知E“统;8D=1,HF统;

AC=I,

：./EHF为AC,3。所成的角或其补角.

二NE"/7=60。或120°.

当NE"∕=60°时，EF=I;当NE4F=120°时，EF=小.故选C.

(2)解法一：如图，过点S作Sb〃。民交AB于点忆连接CE则NCSF(或

其补角)为异面直线SC与OE所成的角.

因为SE=]SB,

所以SE=WBE.

又OB=3,所以OF=B=L

因为SOLOC,S。=OC=3.

所以SC=36，因为Soj_。£

所以SF=y∣S02+0F2=√10.

因为OCLOF,所以CF=®.

所以在等腰三角形Sb中，

解法二(向量法)：如图建立空间直角坐标系，则屈=(0,-3,3),OE=

记异面直线SC与。E所成角为仇则cos0=©。El=靖

∣CS∣∙∣(9E∣

从而sinθ=∖∣1—cos20=-^^,故tan。=兴3=中ɪ.故选D.

ɪ∖JLU>∖JJ

∙⅛f∙≡l几何体的截J面问题

例4(1)若E、F、H分别为正方体ABCD-AiBiCiDi的棱AB,CCi,AiDi

的中点，则过AF、H三点的截面图形是正六边形.

(2)(2022•江西红色七校联考)已知正三棱锥A—BCO的外接球是球。,BC=I,

AB=*,点E为BD中点,过点E作球。的截面，则所得截面圆面积的取值

一

_兀

是

范Γ∙

Π∏_4π

,

一4-τ

［解析］(1)取AIB的中点M,连EM,连MCI、£厂并延长交于Q,作直线

HQ交ClDl于N,交BAl的延长线于S,作直线SE交4A于P,交的延长

线于R,连FR交BC于M,连EM、FN、HP得过E、F、H三点的截面EMFNHP,

易证EMFNHP为正六边形.

(2)如图，设aBCO的中心为。，球。的半径为R,连接。O,0D,OiE,

九2ʌ/ɜ_________

0E,则OiD=1XS呜XW=为-,A0∖=y∣AD2~O∖D2=1

在RtAOOiD中，

R2=停卜（1-H）2,

2

解得R=东

所以OoI=AoLR=g,

0∖E=1XSinmX]=g,