山东省淄博市2023届高三上学期第一次模拟考试数学含解析

淄博市2022-2023学年度高三模拟考试

数学试卷

注意事项：

L答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、座号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2.回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡.上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本

试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有-

项是符合题目要求的.

1,若集合A=冲2-5A6≤0},3={小=ln(214)},则MA)CB=()

A.(-1,7]B.(-1,6]C.(7,+∞)D.(6,-HΛ)

【答案】C

【解析】

【分析】求出集合A,B中元素的范围，然后求GA)8即可.

【详解】A=L-5x-6≤0j—{x∣T≤ɪ≤6∣,

B-∣x∣y—ln(2%-14)∣={x∣2x-14>θ}={x∣X>7∣,

.∙.¾A=(→Λ,-1)(6,-HΛ),

二低A)∩6=(7,M).

故选：C.

-J

2.设复数Z==+4i,则2I=()

1+i

A0B.1C.2D.3

【答案】D

【解析】

【分析】求出复数Z的代数形式，进而可求模.

1-i(IT)(IT)

【详解】z=L+4i=B3《+4i=—i+4i=3i,

l+ι(l+ι)(l-ι)

故选：D.

3.函数/(x)=ASin(8+1](0〉0)的图象与X轴的两个相邻交点间的距离为W,得到函数

g(x)=Acosox的图象，只需将/(x)的图象()

π兀

A.向左平移3个单位B.向右平移3个单位

1212

C.向左平移2个单位D.向右平移白个单位

1810

【答案】C

【解析】

【分析】先根据条件求出周期，即可得到①，再利用平移的规则即可得到答案、.

【详解】函数/(X)=Asin"+"®>0)的图象与X轴的两个相邻交点间的距离为三，

EF-K2π2π

则T=2×-=—=——

3369

69=3,

UIπ吟

「./(x)=ASin3x+--=AλCOS3x+----Acos3x——=ACoS3x---

I32)I6jI18J

••・只需将“X)的图象向左平移2个单位即可得到函数g(X)=Acos3X的图象.

18

故选：C.

4.如图，某几何体的形状类似胶囊，两头都是半球，中间是圆柱，其中圆柱的底面半径与半球的半径都为

2,若该几何体的表面积为2()作，则其体积为()

442816

A.—πB.15π——πD.一π

3

【答案】A

【解析】

【分析】由图可知：该几何体是有一个圆柱和两个半球拼接而成，根据表面积公式求出圆柱的高，利用体

积计算公式即可求解.

【详解】由题意可知：设该几何体中间部分圆柱的高为力，圆柱的半径为r,

则该几何体的表面积为4π∕+2πr∙∕z=20π:，因为r=2，所以Zz=I,

444

所以该几何体的体积V=—兀/+兀，.〃=一π,

33

故选:A.

5.某公园有如图所示A至“共8个座位，现有2个男孩2个女孩要坐下休息，要求相同性别的孩子不坐

在同一行也不坐在同一列，则不同的坐法总数为()

ABCD

EFGH

A.168B.336C.338D.84

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意，先排男生再排女生，由分步计数原理计算可得答案.

【详解】第一步：排男生，第一个男生在第一行选一个位置有四个位置可选，第二个男生在第二行有三个

位置可选，由于两名男生可以互换，故男生的排法有4x3x2=24利h

第二步：排女生，若男生选■，则女生有BE,BG,8",CE,CH,OE,。G共7种选择，由于女生可以

互换，故女生的排法有2x7=14种，

根据分步计数原理，共有24x14=336种，

故选：B

6.已知「ABO中，。4=1,OB=2,OA-OB=-∖过点。作。。垂直AB于点。，则()

52.34—

A.OD^-OA+-OBB.OD=-OA+-OB

7777

2543

C.OD=-OA+-OBD.OD=二。A+二06

7777

【答案】A

【解析】

【分析】根据OAOB=-1求得ZAOB=120°，再用余弦定理求得AB=用,利用等面积法求得ODM,

勾股定理求得AO=也，从而AO=2AB,最后分解为已知向量即可.

77

OA-OB=IGAhoqCoSZAOB=2cosAAOB——1,即cosZ.AOB=—ɪ,

又因为0°<NAOB<180'，所以NAOB=I20°∙

在「408中，根据余弦定理可得:

AB2=OA1+OB2-2Q4∙03∙cos120°=7，即AB="，

根据三角形面积公式SAoB=gAB•。。=；∙OB∙sin120°,解得OD考,

=y∣OA^—OD2=2'，

.∙.AD.∙.AD=-AB,

77

2

：.OD^OA+ADOA+-AB==OA+-,-(OB-OA∖^-OA+-OB.

77、>77

故选：A

7.直线X-2y+2=0经过椭圆二+二=l(α>∕,>0)的左焦点尸，交椭圆于A,8两点，交)’轴于M点,

ab

若尸M=3AM，则该椭圆的离心率为()

δ√∏+√5r√∏-√5_√∏-√5n√17+√5

8429

【答案】C

【解析】

【分析】由直线X-2),+2=0与坐标轴的交点，得到网一2,0),M(0,1),则c=2,由EM=3A”，

得A点坐标，点A又在椭圆上，由定义求得24,可求椭圆的离心率.

【详解】对直线X-2y+2=0,令y=0,解得X=-2,令X=0,解得y=l,

故厂(—2,0),M(0,1),则FM=(2,1),设A(Xo,%)，则AM=(F),1—%),

所以/(x)>0,在(0,T成立，

所以/(0.3)>0,即/(O.3)=e°3-l-tanO.3>O,

所以e03-l>tanθ.3,即α>c,

令〃(X)=In(I+x)-X,x∈(θ,^∙,所以/(χ)=T=

因为Xe(O,所以言■<(),即/(χ)<0,

所以MX)在(θ,?上单调递减，

所以∕ι(x)<Zi(O)=O,即In(I+x)<x,

令m(x)=x-tanx,x∈I0,四］所以∕√(x)=l------∑-,

I2)COS-X

因为Xjo,孚，所以1——［一<0,即加(x)<0,

V2√cosX

所以m(x)在(0,£)上单调递减，

所以<∕π(θ)=0,即XVtanx,

所以In(I+x)<x<tanx,在(。,5)成立，

令x=0.3,则上式变为In(1+0.3)<0.3<tan0.3,所以力<0.3<c,即8<c,

综上，a>c>b.

故选：B.

TrTr

【点睛】解决此题的关键是构造函数"x)=e'-l—tanx,O<x<“g(x)=ln(l+x)-x,O<x<-,

∕π(x)=x-tan%,O<x<p然后利用导函数研究函数的单调性，结合函数单调性的性质即可.

二、多项选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多

项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分

9.某学校为普及安全知识,对本校1500名高一学生开展了一次校园安全知识竞赛答题活动(满分为100分).

现从中随机抽取IOO名学生的得分进行统计分析,整理得到如图所示的频率分布直方图,则根据该直方图,

下列结论正确的是()

A.图中X的值为0.016

B.估计该校高一大约有77%的学生竞赛得分介于60至90之间

C.该校高一学生竞赛得分不小于90的人数估计为195人

D.该校高一学生竞赛得分的第75百分位数估计大于80

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据频率分布直方图性质可得X=O.017,判断A错误；计算出得分介于60至90之间的频率，

判断B正确；利用1500乘以得分不小于90频率，判断C正确；计算得分介于50至80之间的频率判断D

正确.

【详解】由频率分布直方图性质可得：

(0.01+0.013+X+0.028+0.032)×10=1,解得X=O.017,故A错误:

得分介于60至90之间的频率为(0.028+0.032+0.017)X10=0.77,故B正确；

得分不小于90的人数估计为1500x0.013x10=195,故C正确；

得分介于50至80之间的频率为0.01χl0+0.028χl0+0.032χl0=0.7<0.75,故D正确.

故选：BCD.

10.已知函数/(χ)=χz+χ-l(r∈R),则()

A.当/=一1时，/(x)在((),+e)有最小值1

B.当f=3时，/(x)图象关于点(0,1)中心对称

C.当/=2时，/(x)>lnx对任意x>0恒成立

D./(x)至少有一个零点的充要条件是f>0

【答案】AC

【解析】

【分析】利用基本不等式判断选项A；利用函数的对称性即可判断选项B；利用导数判断函数的单调性即

可判断选项C；举例说明即可判断选项D.

【详解】对于A，当，=T时，/(x)=→%-l,

当，>0时，则/(九)=’+∙¥-122J匚—1=1当且仅当｝=x,即X=I时去等号，

所以函数/(x)在(0,+8)有最小值1,故选项A正确；

对于B，当.=3时，则/(x)=x3+x-l,

因为/(τ)+/(X)=r3-xT+d+xT=-2'所以此时函数/(x)图象不关于点(0,1)中心对称,故

选项B错误；

对于C,当f=2时，则/(x)=f+χ-l,令g(χ)=d+χ-iτnχ(χ>θ),

则g'(x)=2x+]—J=4X—+1),当o<χ<:时，g，(X)<0；

XX2

当时，g'(χ)>(),所以函数g(x)在(O,L)上单调递减，在(’,+8)上单调递增，

222

所以g(x)≥g(L)=!+!-l+ln2=ln2-L>0,所以g(x)>O,

2424

则当f=2时，/(x)>lnx对任意x>0恒成立，故选项C正确；

对于D，因为，=—2时，函数/(x)=5+x-l(x?0),/(-l)=-l<0,∕(-^)>0,

函数在J上有一个零点，所以选项D错误，

故选：AC.

22

11.已知曲线C的方程为上+匕=I(W<4且mHO),A,B分别为C与X轴的左、右交点，P为。上

4m

任意一点(不与A,8重合)，则()

A.若加=-1,则C为双曲线，且渐近线方程为y=±2χ

B.若P点坐标为。,〃)，则C为焦点在X轴上的椭圆

C.若点尸的坐标为(J4—加,Ob线段尸歹与X轴垂直，则IP目=葭

YYl

D.若直线PA，PB的斜率分别为k∣,k2,则W=--

【答案】BD

【解析】

【分析】根据方程的特征和椭圆与双曲线的性质逐项进行分析即可判断.

【详解】对于A,若机=T,则C为双曲线，其双曲线的渐近线方程为：y=±gx,故选项A错误；

2ɔ

对于B，因为点在曲线C上，所以2-=士，所以m>0,则曲线。为椭圆，又因为加<4,所以

m4

C为焦点在九轴上的椭圆，故选项B正确；

对于C,因为点E的坐标为(J4-加,0卜所以过点F与X轴垂直的直线方程为X=J匚代入曲线方

程可得：y=±∕,若相>0,则有IPH=

若6<0,则有IP月=一羡，故选项C错误；

对于D，由题意可知：A(-2,0),B(2,0),设点P(Xt),%)(/≠±2),

2

则kpA=Al=一—^T，kpB=k=—,所以匕.&=,

⅞÷22⅞-22%o-4

22

又因为点P(XO,y°)(∙⅞≠±2)在曲线土→工=1上，所以N：=〃?—V*，

4m4

m2

所以Ak一公一〃'V。—m,故选项D正确，

'2-^-4^£-4一4

故选：BD.

12.如图,在正方体ABe。一A4G。中，43=2,P是正方形ABCo内部(含边界)的一个动点，则()

A.存在唯一点P,使得APLBC

B.存在唯一点P,使得直线。P与平面ABS所成的角取到最小值

C.若。P=gOB,则三棱锥P-BgC外接球的表面积为8%

π

D.若异面直线RP与AB所成的角为2,则动点P的轨迹是抛物线的一部分

4

【答案】BCD

【解析】

【分析】由线面垂直得线线垂直来确定点P位置，判断选项A；几何法找线面角，当角最小时确定点P位

置,判断选项B：P为03中点时，求三棱锥P-B耳C外接球的半径，计算外接球的表面积，判断选项C；

利用向量法解决异面直线所成角的问题，求出动点P的轨迹，判断选项D.

［详解】对于选项：正方形中，有

ABCC1B1BG_LB1C,

正方体中有A3/平面BCGg,BCU平面BCC耳，ABIB1C,

又BCIfAB=B,BC∣,ABu平面ABG9,8∣C,平面ABCQ∣,

只要QPU平面ABCQI,就有〃PLgC,P在线段AB上，有无数个点，A选项错误；

对于B选项：2。，平面48。。，直线AP与平面A88所成的角为NAP。，QO=2,NAP。取

到最小值时，PD最大,

此时点尸与点5重合，B选项正确;

对于C选项：MP=LDB,则尸为中点，_PBC为等腰直角三角形，外接圆半径为'BC=I,三

22

棱锥P-BBC外接球的球心到平面PBC的距离为:=1,则外接球的半径为&,所以三棱锥

P-BBC外接球的表面积为8兀，C选项正确；

对于D选项：以。为原点，∕M,OC,OA的方向为X轴，N轴，Z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐

标系，

则A(0,0,2),4(2,0,2),8(2,2,0),设网％%0)((^;^2,(^:^2),则有AP=(X,y,-2),

A,B=(0,2,-2),

II∣D1P∙A1B∣∣2y+4∣兀亚

有COSRRAM=^—∏~QJ,IL=CoS：=誓化简得炉=外,尸是正方形ABCO

内部(含边界)的一个动点，

所以P的轨迹是抛物线的一部分，D选项正确.

故选：BCD

三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分

Cry

13.在二项式咛-上1的展开式中，常数项是_____.

I2ɪj

21

【答案】——

16

【解析】

【分析】由题意首先结合通项公式写出通项，然后结合展开式的性质整理计算即可求得最终结果.

令-----=0可得：r=3,

2

则展开式的常数项为：(τyc11j=—蓝

21

故答案为：----

16

14.若sin[6+色)=ɪ,6∈(0,π),则COSe=

【答案]上建

6

【解析】

【分析】先通过sin，+%)=；以及兀)确定0+.的范围，进而可得cos/+",再利用两角差

[71Tt1

的余弦公式展开cos^=cosl^+---I计算即可.

【详解】6>∈(0,π),

八兀兀7兀,又SinWπ

θH---∈

66,^6^6

兀兀1兀

若,则SmI6+二∣>sιn∙=κ,与sιn∣6+=|=§矛盾,

66726

八兀π

.∙.θH---∈

62

Cπ2√2

.,.cosθ+-

I6~τ^

.∙.cosθ-cosIθ+---cos0+os+sin+in

[66)=(⅛β)^⅛⅛)

=--2√-2×-√-3F1-X-1=-l--2-√-6

32326

故答案为：中

15.在平面直角坐标系Xoy中，已知点P(3,l),直线y=履+方与圆/+V="交于M,N两点，若

二PMN为正三角形,则实数6=

【答案】-5

【解析】

【分析】结合作图，可求得直线的斜率，以及原点到直线的距离，利用点到直线的距离公式，求得答案.

【详解】由题意可知尸(3,1)在圆上，如图:

故y=Aχ+b即为y=_3x+〃,

因为一PΛ勿V为正三角形，则。点为一PMN的中心，由中心及重心性质知，

“="=®，故性=巫，解得b=i5,

22√l+92

结合尸(3,1)在圆上，.PMN是圆的内接正三角形，可知力<0,即b=—5.

故答案为：—5,

.∣%+2∣+l,ɪ≤0。,,“

16.己知函数/(X)=1C,若存在实数α<8<c,满足/3)=/r3)=/(C),则

In%,%>0

af(a)+bf∖b)+Cf(C)的最大值是.

【答案】3e3-12

【解析】

【分析】作出F(X)的函数图象，得出α+b=-4,c∈(e,e3],将4⑷+妙S)+ςf(c)化简为(c-4)lnc,

构造函数g(x)=(x-4)lnx,x∈(e,e3],由g'(x)>0得出g(χ)单调递增，求出g(χ)的最大值，即可求

得答案.

【详解】解：作出J”)的函数图象如图所示：

•••存在实数“<b<c,满足/(α)=/3)=/(c),

`.(x-∖^b——4,

.∙.af{d}+bf(b)+cf(c)=(a+b+Cv(C)=(C-4)f(c)=(c-4)Inc,

由图可知，l<∕(c)≤3,

.,.e<c≤e3，

设g(x)=(x-4)lnx,其中χ∈(e,e3］,

g(X)=Inx+1——，显然g'(χ)在xe(e,"］单调递增，

X

4

g'(e)=2——>0,

e

.,.x∈(e,e3］,g'(x)>0,

∙∙∙g(x)在x∈(e,e3］单调递增，

g(x)在XG(e,e3］的最大值为g(e3)=3(e3-4)=3e3-12,

...(c∙-4"(c)的最大值为3e3-12,

四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

,,

17.已知数列｛%｝中，al=l,¾+1=2a,,+3×2-'（n∈N*）.

（1）判断数列是否为等差数列，并说明理由；

（2）求数列｛《,｝的前〃项和S“

【答案】（1）是等差数列，理由见解析

（2）S,,=2+（3"-4）∙2"T

【解析】

【分析】（1）根据数列的递推公式即可求解；

（2）结合（1）的结论得出凡=（3〃一l）∙2"-2[eN*）,然后利用错位相减法即可求解.

【小问1详解】

因为％1_4.=也±3栏二一生=2.,

所以数列｛/■｝是以T为首项，以1为公差的等差数列；

【小问2详解】

由(1)知：

数列[会)的通项公式为：/=；+(〃—l)x[=；(3〃—l),

则4=(3〃_1>2'-2(〃GN*),

0l,,3,,2

S,1=2×2^'+5×2+8×2+∙∙-+(3n-4)×2^+(3n-l)×2-φ,

25,,=2×20+5×2'+8×22+∙∙∙+(3n-4)×2,,^2+(3∕7-l)×2"^l(2),

①一②得：—5,=l+3x(2°+2∣+…+2”2)_(3“_1)X2"T

1_7w->

=1+3X----------(3〃—1)x2"T

1-2、)

=—2+(4—34)∙2"T,

贝2=2+(3l)∙2"T.

18.在.ABC中，角A,B,C的对边分别是α,b，c,满足（α+"C）（α+A>—c）=αZ?

（1）求角。；

（2）若角。的平分线交AB于点。，且CO=2,求20+8的最小值.

【答案】⑴y

⑵6+4√2

【解析】

【分析】（1）结合已知条件，利用余弦定理即可求解；

（2）利用正弦定理得到α=2∣∖+竺±],⅛=2∣^4+1|,然后利用基本不等式即可求解.

VsɪnB）ISInA）

【小问1详解】

222

由（0+/?+o）（0+。一。）=劭可得：a+b-c--ah，

由余弦定理知，co==噎ɪ

2

2

又C∈（0,兀）因此C=?π.

【小问2详解】

CDADI-

在NACZ）中，由SinA.兀，得AZ）=——>

SmiSinA

CDBDr-

在aBCD中，由Sin8一.兀，可得BD=金~，

sm7SinB

所以C=AD+BD=0+F；

sinAsinB

JL+JL

L

在，ABC中，由一⅜=-⅛=*,得」r=S=SinASin8,

SinAsιn8SinCSinAsinB√3

^2-

•，/SinA）,JsinB八

解得α=21+—^,b=2∖---+1,

VsinB）（sinA）

~C,Jr2sinAsin

所以2。+/?=23÷,÷~17，

∖sinBnsinA）

因为SinA>0,sinB>0,

所以2α+l≥2（3+2J至辿X丝父=2（3+2&）=6+4拒,

、VSinBSinAl'）

当且仅当2sh√A=siι√3时取等号，

因此2。+〃的最小值为6+4>∕Σ.

19.某电商平台统计了近七年小家电的年度广告费支出者（万元）与年度销售量、（万台）的数据，如表所示：

年份2016201720182019202020212022

广告费支出X1246H1319

销售量y1.93.2404.45.25.35.4

77

其中ZXiy=279.4,X%,2=708

(i)若用线性回归模型拟合y与X的关系，求出y关于X的线性回归方程;

(2)若用y=c+d4模型拟合得到的回归方程为y=1.63+0.99√7,经计算线性回归模型及该模型的代

分别为0.75和0.88,请根据代的数值选择更好的回归模型拟合＞与X的关系，进而计算出年度广告费X为

何值时，利润］=200y-x的预报值最大？

Yxl.yi-nxy∑(x,.-x)(χ.-ʃ)

参考公式：b=R--------=T=———二—

χnx

∑ji-'IXXi-X)

i=li=l

【答案】(1)y=0.17x+2.84

(2)选用回归方程y=1.63+0.99√7更好，x=9801时，利润的预报值最大

【解析】

【分析】(1)根据数据，利用公式即可求出线性回归方程；

(2)R2越大拟合效果越好，选用回归方程y=1.63+0.99&更好，从而计算出结果.

【小问1详解】

由题意可得：

-1+2+4+6+11+13+19C

X=-----------------------------=8

7

-1.9+3.2+4.0+4.4+5.2+5.3+5.4…

y=---------------------------------------------=4.2

∑χy-7χy

jii279.4-7×8×4.2…

所以6=号......------------------ʌ—=0.17

2

∑^,2-7JV2708-7×8

Z=I

α=>-法=4.2-0.17x8=2.84>

)'关于X的线性回归方程：y=0.17x+2.84.

【小问2详解】

因为0.75<0.88,浦越大拟合效果越好，

选用回归方程>•=1.63+0.99«更好，

Z=200(1.63+0.99√Λ)-%=-Λ+198√X+326

Z=-(√X-99)2+10127,

即当«=99时，X=9801时，利润的预报值.

20.已知多面体ABCDEF中，ADIIBCIIEF,且AD=CD=OE=4,BC=EF=2,

π

/BCD=NFED=一

3

⑵若BF=2«，求直线CO与平面A3户所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；

⑵

22

【解析】

【分析】（1）通过证明BOZ）FIAo得4），平面6。尸，从而证明ADLBb;

（2）由条件证得BD_LFD，以ZM所在直线为X轴，以。B所在直线为V轴，以OE所在直线为Z轴,

建立空间直角坐标系求解.

【小问1详解】

连接

π

在ABCD中，OC=4,BC=2,NBCD=—,

3

BD-=BC-+DC2-IBC-DCcos-^n,

3

Tt

可得NoBC=―,即3DJ"8C,

2

同时AD〃BC,可得Br)J_A£＞，

同理可得OFIA。，

因为3£>_LAD，OFlAQ,且&)u平面3DE,DFU平面BDF，BDlDF=D,

所以ADJ■平面Br>E；

又因为BRU平面8。尸，所以Aoj.BE∙

【小问2详解】

Z

在VJBoz中，易得BD=FD=26，且BF=2«，

所以BDLFD，同时RD_LA0，JDFlAZ)，

以DA所在直线为X轴，以。B所在直线为V轴，以。/所在直线为Z轴，如图所示，

建立空间直角坐标系D-xyz.

其中A(4,0,0),β(θ,2√3,θ),F(0,0,2^),c(-2,2√3,θ),

A户=(-4,O,26),ΛB=(-4,2^,θ),

设向量,=(x,y,z)为平面AB∕z的法向量,

nAB=O-4x+2∙j3y-O

满足<

∕ι∙AF=O-4x+2GZ=O

不妨取〃=(右,2,2),OC=(—2,26,Ob

直线CD与平面ABF所成角的正弦值为:

21.已知抛物线C：V=2pχ(p>o)上一点p(2")到其焦点尸的距离为3,A,8为抛物线C上异于原

点的两点.延长■，M分别交抛物线C于点M,N,直线AN,相交于点Q.

(1)若求四边形ABMN面积最小值;

(2)证明:点Q在定直线上.

【答案】(1)32(2)证明见解析

【解析】

【分析】(1)根据抛物线的焦半径公式求得抛物线方程，设A(Xl,y),/(々,%)，直线AM的方程

x=∕ττy+l(m≠θ),联立方程，利用韦达定理求得X+%，X∙%,再根据弦长公式求得IAMl,∣BN∣,

再结合基本不等式即可得解；

(2)设B(Xpy3)，N(X4,乂)，。(加，女)，根据A,N,。三点共线和8,M,。三点共线，求得

XQ,再结合(1)即可得出结论.

【小问1详解】

由抛物线定义可知，2+4=3,解得p=2,

2

即抛物线C方程为V=4x,

由题意，设Aa,χ),M(x2,y2),直线AM的方程X=阳+1(〃件0),

由〈2：，消去X得y-4切一4=0,A=16根2+16〉O恒成立，

y=Ax

由韦达定理可知：χ+%=4m,丁/μ=-4，

故IAA∕∣=M+x2+p=〃Myl+必)+4=4(加2+1),

因为所以直线BN的方程为x=-'y+l,

m

则SABMN=[∣AM∣∙忸N|=；x4(/+1卜4(4+1]=8(/+二+2卜32

，，∖mj、mJ

1

当且仅当机92=F，即%=±1时等号成立，

m

所以四边形ABMN面积的最小值为32；

【小问2详解】

设3（天,%），N（X4,%），Q（XQ，%），因为A,B,M,N都在C上,

2

所以，χ.=^-(ι=1,2,3,4).

因为A,N,。三点共线，所以有丛二%=止土

%一%玉一XQ

一)'匚)L=21_ʃɑ.yl∙y4+4Λ

BP0

⅜-4AJi="

y-V+4%

同理，因为8,M,。三点共线，可得%=J223——色

%+%

χ.%+4q_%.%+4%

即

%+为

解得：4q=∙3⅛∙EQ22.口以5

%+为7。4

v

由(1)可知，X・%=%.”=-4,代入上式可得：AXQ=♦Cm，二>)=-4,

%+为一%-”

得XO=T,

即点。在定直线X=-1上.

【点睛】本题考查了抛物线的焦半径公式及抛物线与直线位置关系的应用，考查了抛物线中四边形的面积

的最值问题，及抛物线中的定直线问题，考查了逻辑推理和数据分析能力，有一定的难度.

22.已知函数/(x)=xlnx和g(x)=b(x-4)伍＞0)有相同的最小值.

(1)求力的值;

(2)设〃(X)=/(x)+g(x),方程〃(X)=W有两个不相等的实根X],x『求证："：人•＞。

2e

4

【答案】(1)b=-