3.2.2 双曲线的简单几何性质（精练）（解析版）

3.2.2双曲线的简单几何性质（精练）1．（2023秋·浙江台州·高二台州市书生中学校考期末）已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由双曲线的离心率为，得，所以，又双曲线的渐近线方程为，所以渐近线方程为，即．故选:A．2．（2023·全国·高三专题练习）若双曲线(a＞0，b＞0)的离心率为2，则其两条渐近线所成的锐角为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为双曲线的渐近线方程为，而，所以，故两条渐近线中一条的倾斜角为，一条的倾斜角为，它们所成的锐角为．故选：A．3．（2023春·江西抚州·高二南城县第二中学校考阶段练习）（多选）已知双曲线一条渐近线与实轴夹角为，且，则离心率e的可能取值是（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】由于，所以，依题意，所以，所以.故选：BC4．（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）已知双曲线（，）的渐近线与交于第一象限内的两点，，若为等边三角形，则双曲线的离心率（

）A． B． C．2 D．【答案】B【解析】满足，又满足，故，轴，，可得，．故选：B．5．（2023秋·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为,,点在上,且,,则的渐近线方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由双曲线的定义可得:,则,在中由余弦定理得,即:,即,因为,所以,即的渐近线方程为.故选:C.6．（2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为为坐标原点，过原点的直线与相交于两点，，四边形的面积等于，则的离心率等于（

）A． B． C．2 D．【答案】A【解析】如图，不妨设点A在第一象限，由题意可得：，则四边形为平行四边形，因为，即，则，所以四边形为矩形，设，则，因为，即，整理得.故选：A.

7．（2023·山东·模拟预测）过双曲线的左焦点作直线，与双曲线交于两点，若，则这样的直线有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【答案】D【解析】由题意得双曲线左焦点，当直线垂直于横轴时，不符合题意，双曲线渐近线方程为；故可设，与双曲线联立可得，，由弦长公式知，则或.故存在四条直线满足条件.故选：D8．（2023春·陕西安康）已知双曲线：的左焦点为，右焦点为，点在双曲线的一条渐近线上，为坐标原点.若，则的面积为（

）A． B．1 C． D．【答案】C【解析】因为双曲线，可知右焦点为，，又，所以点在线段的中垂线上，所以点的横坐标为，又双曲线的渐近线方程为，所以点的纵坐标为，即的高为，所以的面积为.故选：C.

9．（2023秋·高二单元测试）双曲线C：的左，右焦点分别为，，过作垂直于x轴的直线交双曲线于A，B两点，则的内切圆半径等于（

）A． B． C． D．2【答案】C【解析】由双曲线，知，所以，所以，所以过作垂直于轴的直线为，代入中，解出，，所以，，设的内切圆半径为，在中，由等面积法得：所以，解得：.故选：C.10．（2023秋·河南平顶山·高二统考期末）已知双曲线C：的焦点到渐近线的距离为，直线l与C相交于A，B两点，若线段的中点为，则直线l的斜率为（

）A． B．1 C． D．2【答案】B【解析】因为双曲线的标准方程为，所以它的一个焦点为，一条渐近线方程为，所以焦点到渐近线的距离，化简得，解得，所以双曲线的标准方程为，设，所以①，②，①-②得，，化简得③，因为线段的中点为，所以，代入③，整理得，显然，所以直线的斜率.故选：B11．（2023春·安徽安庆·高二安徽省宿松中学校考开学考试）已知双曲线与直线相交于A、B两点，弦AB的中点M的横坐标为，则双曲线C的渐近线方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设，，则，由点差法得．∵，∴，，∴，又，∴，∴渐近线方程为.故选：A．12．（2023春·河南周口·高二校考开学考试）过点作斜率为1的直线，交双曲线于A，B两点，点M为AB的中点，则该双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设点，则有，两式做差后整理得，由已知，，又，，得故选：B13．（2022秋·高二课时练习）如图是等轴双曲线形拱桥，现拱顶离水面，水面宽.若水面下降，则水面宽是（

）(结果精确到)(参考数值：，，)A． B． C． D．【答案】B【解析】如图：建系，因为拱桥是等轴双曲线，则设双曲线方程，，又因为，，则，将代入双曲线方程，可得，解得，即，当水面下降，纵坐标，代入双曲线方程可得，.故选：B14．（2022·全国·高三专题练习）双曲线的光学性质如下：如图1，从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点．我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质．某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图2，其方程为，分别为其左、右焦点，若从右焦点发出的光线经双曲线上的点A和点B反射后（，A，B在同一直线上），满足，则该双曲线的离心率的平方为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】易知共线，共线，如图，设，则.因为，所以，则，则，又因为，所以，则,在中，，即，所以.故选：D15．（2022·全国·校联考模拟预测）北京冬奥会火种台（图1）以“承天载物”为设计理念，创意灵感来自中国传统青铜礼器——尊的曲线造型，基座沉稳，象征“地载万物”，顶部舒展开阔，寓意迎接纯洁的奥林匹克火种．如图2，一种尊的外形近似为双曲线的一部分绕着虚轴旋转所成的曲面，尊高50cm，上口直径为，底座直径为25cm，最小直径为20cm，则这种尊的轴截面的边界所在双曲线的离心率为（

）A．2 B．C． D．【答案】B【解析】建立双曲线标准方程的直角坐标系，最小直径在轴，如图，双曲线方程为，则，，（），（）在双曲线上，且，由，即，，，由，得，所以，，，离心率为．故选：B．16．（2023秋·山西太原·高二校考期末）（多选）直线l交双曲线于A、B两点，且为AB的中点，则l的斜率不可能为（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】ABC【解析】设，，因点A，B在双曲线上，则，，两式相减得：，因P为AB中点，则，，于是得＝1，即直线l的斜率为1，此时，直线l的方程为：，由消去y并整理得：，，即直线l与双曲线交于两点，所以直线l的斜率为1．故选：ABC17．（2022秋·山东青岛·高二统考期末）（多选）已知双曲线，点，在上，的中点为，则（

）A．的渐近线方程为 B．的右焦点为C．与圆没有交点 D．直线的方程为【答案】CD【解析】对于AB，由双曲线可得，所以渐近线方程为，右焦点为，故AB不正确；对于C，联立消可得，代入，解得无实数根，所以与圆没有交点，故正确；对于D，设，则，，两式相减，得，因为的中点为，所以等式可得，易得直线的斜率存在，故可得，则直线为即，联立双曲线的方程和直线，消去x，可得，此时，则直线与双曲线有两个交点，符合题意，故直线l的方程为，故正确.故选：CD18．（2023秋·云南楚雄·高二统考期末）若直线与单位圆（圆心在原点）和曲线均相切，则直线的一个方程可以是【答案】（或，，，只需写出一个答案即可）【解析】显然直线存在斜率，设直线：，联立方程组,得因为直线与曲线相切，所以，即.因为直线与单位圆相切，所以联立方程组解得，故直线的方程可能是，，，故答案为：19．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆与双曲线有公共焦点，点在双曲线上，则该双曲线在点处的切线的斜率为．【答案】/【解析】根据结论6，由题意得椭圆在点处的切线方程为，即，该直线的斜率为，由结论5得知，该双曲线在点处的切线的斜率为．故答案为：.20．（2023春·湖南衡阳·高二衡阳市八中校考阶段练习）不与轴重合的直线过点，双曲线上存在两点关于对称，中点的横坐标为.若，则双曲线的离心率为.【答案】【解析】设，则，两式相减得，即，即，所以，因为是垂直平分线，有，所以，即，化简得，因为，所以，解得或(舍)，所以双曲线的离心率为.故答案为：.21．（2023春·福建福州·高三校考阶段练习）不与x轴重合的直线l过点N（,0）（xN≠0），双曲线C：（a＞0，b＞0）上存在两点A、B关于l对称，AB中点M的横坐标为．若，则C的离心率为．【答案】2【解析】设，则，两式相减得，即，即，所以，因为是AB垂直平分线，有，所以，即，化简得，故.故答案为：222．（2023春·山东淄博·高三山东省淄博实验中学校联考阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线l与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，设P为线段AB的中点，若，则双曲线的离心率为．【答案】/【解析】如图:,由,,可得点P的坐标为，则直线OP斜率为,直线AB斜率为，另一方面，设则,两式相减得,整理得,即，故．故答案为:23（2022·高二课时练习）已知双曲线被直线截得的弦AB，弦的中点为，则直线AB的斜率为.【答案】1【解析】设，，显然，则有，，两式作差可得，，即，又弦的中点为，则，，代入可得，即，所以直线AB的斜率为1.此时直线方程为，即，联立直线与双曲线方程可得，，，即直线与双曲线相交，所以直线AB的斜率为1满足条件.故答案为：1.24（2023春·广东广州·高二执信中学校考期末）费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质．例如，点P为双曲线（，为焦点）上一点，点P处的切线平分．已知双曲线C：，O为坐标原点，l是点处的切线，过左焦点作l的垂线，垂足为M，则．【答案】2【解析】如图，延长交延长线于点，因为点是的角平分线上的一点，且，所以点为的中点，所以，又点为的中点，且，所以．故答案为：2．25（2023·重庆·统考模拟预测）若双曲线的渐近线方程为，则其离心率为．【答案】【分析】由渐近线方程得，进而求得离心率.【详解】因为双曲线的渐近线方程为，所以，双曲线的离心率为.故答案为：.25．（2023·云南·校联考模拟预测）已知双曲线方程为，左焦点关于一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则该双曲线的离心率为.【答案】2【解析】如图：设关于渐近线对称的点在渐近线上，的中点在渐近线上，则，又，所以，所以，所以.

故答案为：.26．（2023秋·高二课时练习）已知双曲线，直线，若直线与双曲线的右支有两个交点，求的取值范围．【答案】或【解析】依题意，联立方程，消去，得，设直线与双曲线的右支的两个交点为，

则，解得或，所以或.27（2023秋·高二课时练习）已知双曲线，直线，若直线与双曲线的交点分别在两支上，求的取值范围．【答案】【解析】联立双曲线、直线方程，消去整理得，由题意，设方程的两根为，则，解得．28．（2023秋·高二课时练习）经过点作直线交双曲线于两点，且为中点．(1)求直线的方程．(2)求线段的长．【答案】(1)(2)【解析】（1）设，代入双曲线方程得，两式相减得，即，因为为的中点，所以，所以，所以直线的斜率为所以的方程为，即，经验证符合题意，所以直线的方程为；（2）将代入中得，故，所以.29．（2023·江苏·高二专题练习）双曲线的焦点的坐标分别为和，离心率为，求：(1)双曲线的方程及其渐近线方程；(2)已知直线与该双曲线交于交于两点，且中点，求直线AB的弦长．【答案】(1)；(2)【解析】（1）由题意可得，可得＝4，且焦点在轴上，所以，所以双曲线的方程为：；渐近线的方程为：；（2）由于中点不在轴上，根据双曲线的对称性可得直线的斜率必存在，设直线：，，联立，消去得则，，解得，则30．（2023广东）某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点所到的时间比其他两个观测点晚期4s．已知各观测点到该中心的距离都是1020m．试确定该巨响发生的位置．（假定当时声音传播的速度为340m/s，相关各点均在同一平面上）．【答案】巨响发生在接报中心的西偏北，距中心m处．【解析】以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A（－1020，0），B（1020，0），C（0，1020），设P（x,y）为巨响为生点，由A、C同时听到巨响声，得，故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为，因B点比A点晚4s听到爆炸声，故，由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线的左支上，依题意得a=680,c=1020，，故双曲线方程为，用代入上式，得，∵P点在左支上，，故巨响发生在接报中心的西偏北45°距中心处.1．（2023春·河南洛阳·高二统考期末）已知双曲线（，）的离心率，是双曲线上关于原点对称的两点，点是双曲线上异于的动点，直线的斜率分别为，，若，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意，在双曲线（，）中，离心率，∵，解得：，∴，是双曲线上关于原点对称的两点，点是双曲线上异于的动点，设，∴，解得：，∵直线的斜率分别为，，且，∴，∴故选：B.

2．（2023·全国·高二专题练习）直线与曲线的公共点的个数是（

）．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】当时，曲线，即，双曲线右半部分；一条渐近线方程为：，直线与渐近线平行；当时，曲线，即，椭圆的左半部分；画出曲线和直线的图像，如图所示：

根据图像知有个公共点.故选：B3．（2023秋·高二单元测试）已知点F是双曲线（）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由题意可知即为等腰三角形，

故是锐角三角形，只需，将代入可得，故在中，，，则，化简整理，得，∴，∴，又，∴，故选：B.4．（2023·河南·校联考模拟预测）是双曲线的左焦点，是坐标原点，直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，且，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，所以，因为，所以，所以，过作轴于点，在中，，，所以，所以点的坐标为，因为点在双曲线上，所以，化简得，所以，整理得，所以，所以，因为，所以，所以，故选：C

5．（2023春·内蒙古赤峰·高二赤峰红旗中学松山分校校联考期末）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过点且与x轴垂直的直线l与双曲线C交于A，B两点，若，则双曲线C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为过点且与x轴垂直的直线l与双曲线C交于A，B两点，所以，因为，所以，所以，设，则，所以，得，所以，，因为，所以，所以，所以，所以，所以离心率，故选：C

6．（2023春·湖北武汉·高二武汉市第十一中学阶段练习）过双曲线：的左焦点F作的其中一条渐近线的垂线，垂足为M，与的另一条渐近线交于点N，且，则的渐近线方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】

如图所示，设OM、ON为双曲线的渐近线，由题意可知：FM⊥OM，因为，所以M为FN中点，故为等腰三角形，即，故，所以，故选:B7．（2023·江西抚州）如图，已知，分别为双曲线C：的左、右焦点，过作圆O：的切线，切点为A，且切线在第三象限与C及C的渐近线分别交于点M，N，则（

）A．直线OA与双曲线C有交点B．若，则C．若，则C的渐近线方程为D．若，则C的离心率为【答案】D【解析】设（-c，0），（c，0），由题意可知，所以，从而直线的斜率为，由此，直线OA的斜率为，其方程为，恰好是C的一条渐近线，所以直线OA与双曲线C无交点，A错误；由双曲线的定义及2a，又，则，B错误；由，得，再由双曲线的定义，得；在中，由余弦定理，得，化简得，所以C的渐近线方程为，C错误；由及，得；设直线ON的倾斜角为α，则=，又，又，所以，解得，所以，D正确.故选：D.8．（2022秋·甘肃兰州·高二统考期中）（多选）已知、是双曲线(，)的左、右焦点，过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点，交另一条渐近线于点，且，则该双曲线的离心率为（

）.A． B． C． D．【答案】AC【解析】当时，设，则，设，如图，

双曲线的渐近线方程为，即，在中，，设，又，则，又双曲线中，即有，于是，，，，则，，，代入得，即，解得，则，A正确；当时，设，，设，如图，

则，，在中，，设，又，则，又双曲线中，即，于是，，，，则，，，而，即，因此，即，解得，则，C正确.故选：AC9．（2023春·湖南湘潭·高二湘潭县一中校联考期末）已知双曲线的左､右焦点分别为，过点作直线垂直于双曲线的一条渐近线，直线交双曲线于点，若，则双曲线的渐近线方程可能为（

）A． B．C． D．【答案】AB【解析】因为，所以，根据双曲线的对称性，不妨设直线的斜率小于零，如图（1）所示，当点在第一象限时，，由余弦定理可得，化简得，解得（舍去），此时双曲线的渐近线方程为，如图（2）所示，当点在第四象限时，，由余弦定理可得，化简得，解得（舍去），此时双曲线的渐近线方程为.故选：AB.

10．（2022秋·高二课时练习）过双曲线的右焦点作直线与双曲线交于两点，若，则这样的直线有（）A．一条 B．两条C．三条 D．四条【答案】C【解析】双曲线的右焦点为，当直线的斜率不存在时，直线的方程为，代入双曲线可得：，即，满足条件；当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，代入双曲线可得：，方程的判别式，设，则：，，所以化简可得：，解得：，

所以斜率存在且满足条件的直线有条，所以共有条，故选：C.方法二：过右焦点且垂直于实轴的弦长为，因为，所以当直线l与双曲线的两交点都在右支上时这样的直线只有一条.又实轴长为，，所以当直线l与双曲线的两交点分别在左、右两支上时这样的直线应该有两条，所以满足条件的直线共三条.故选：C.11．（2023春·四川自贡·高二统考期末）已知是双曲线的左焦点，过倾斜角为的直线与双曲线渐近线相交于，两点，为坐标原点，则的面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意双曲线可知，，故其渐近线方程为，过倾斜角为的直线方程为，即，不妨设l与渐近线的交点如图示：

由于，即；联立，解得，即，则，联立，解得，即，则，则,故的面积为，故选：D12．（2023·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，点在双曲线上，的一条渐近线的方程为，左、右焦点分别为，，过点作斜率为的直线，分别交的两条渐近线于两点，则下列结论正确的个数为（

）①双曲线的离心率为；②直线的方程为；③直线截双曲线所得弦长为3；④．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】由题意双曲线的渐近线的方程为，焦点在轴上，所以，所以双曲线的离心率为：，故①正确；因为点在双曲线上，所以，联立，解得：，所以，所以，所以过点作斜率为的直线为：，故②不正确；由上述可知双曲线，联立，消去整理得：，解得：，所以直线截双曲线所得弦长为：，故③正确；由双曲线的渐近线方程为：，由，解得点，由，解得点，所以，故④正确，故选：C.13．（2023·全国·高三专题练习）设双曲线的右焦点为，，若直线与的右支交于两点，且为的重心，则的离心率的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由题意，双曲线的右焦点为，且，设点为的中点，因为为的重心，所以，即，解得，即，因为直线与的右支交于两点，则满足，整理得，解得或（舍去），当离心率为时，即时，可得，此时，设，可得，又由，两式相减可得，即直线的斜率为，又因为，所以，此时四点共线，此时不满足题意，综上可得，双曲线的离心率的取值范围为.故选：A.14．（2023春·江苏南通·高二期末）（多选）双曲线的离心率为e，若过点能作该双曲线的两条切线，则e可能取值为（

）．A． B． C． D．2【答案】AC【解析】斜率不存在时不合题意，所以直线切线斜率一定存在，设切线方程是，由得，显然时，所得直线只有一条，不满足题意，所以，由得，整理为，由题意此方程有两不等实根，所以，，则为双曲线的半焦距，，即，代入方程，得，此时，综上，e的范围是故选：AC

15．（2023·全国·高三专题练习）（多选）双曲线具有如下光学性质：如图，是双曲线的左、右焦点，从右焦点发出的光线m交双曲线右支于点P，经双曲线反射后，反射光线n的反向延长线过左焦点．若双曲线C的方程为，则（

）A．双曲线的