2021-2022学年云南省保山市普通高校对口单招高等数学二自考模拟考试(含答案)

2021-2022学年云南省保山市普通高校对口

单招高等数学二自考模拟考试(含答案)

学校:班级:姓名:考号:

一、单选题(30题)

∣x-l∣

设函数/(x)=——√x≠l),则Iim/(X)=

x-lχ→ι

A.OB.-1C.ɪD.不存在

1.

2.

X=e∙.!∣1∣JfM'(x)dx等于().

3设〃X)=Wi则∫Γ(χ)dz等于().

COSX

4.

函数＞=工3+1入+1在定义域内

A.单调增加B.单调减少

C.图形上凹D.图形下凹

A.A.是发散的B.等于IC等于OD.等于-1

6函数人］)=z'-3∕—9/+1在［-2,6］上的最小值点.

7当JrfO时∙sin3∙r是2工的

A.低阶无穷小量B.等价无穷小量C.同阶但不等价无穷小量D.高阶无

穷小量

8.

f/(ɪ)e/dr=eχt+C

J,则f(x)=()

A.2xB.X2

C.ex2D.1

10.

w

设/(x)=X(X+l)(x+2)(X+3),则f(Λ)=

A.3B.2C.1D.0

IL若事件A与B为互斥事件,且P(A)=0.3,P(A+B)=0.8,则P(B)

等于().

A.A.0.3B.0.4C.0.5D.0.6

12.下列广义积分收敛的是()。

Aʃlnʃdz

∙+oo

erdx

D.Jι

13.

设函数f(z)在［α,6］上连续，在(α")内可导，f(α)=f(6),则曲线y=ʃ(ɪ).

在(α,6)内平行于工轴的切线

A.A.仅有一条B.至少有一条C不一定存在D.不存在

14.设事件A,B的P(B)=O.5,P(AB)=O.4,则在事件B发生的条件下,

事件A发生的条件概率P(AIB)=().

A.A.0.1B.0.2C.0.8D.0.9

15.

函数y=∕(H)在点X=O处的二阶导数存在，且f'(0)=0,∕-(0)>0,则下列结论正确的

是().

A.X=O不是函数了(口的驻点B.N=O不是函数人外的极值点

C.M=O是函数｛外的极小值点D.x=0是函数y(x)的极大值点

16.

下列命题肯定正确的是

A.若f(∙r)在点Xo处连续,g(H)在点Xo处不连续，则f(∙r)十g(H)在点Xo处必

不连续

B.若在点工。处J(N)与g(公均不连续，则F(N)+g(H)在点Z)处必不连续

C.若f(z)在点工。处连续，则IfCr)I在点No处必不连续

D.若If(Z)I在点割处连续，则f(I)在点Zo处必连续

设函数z=∕y∖则至等于(

)

A.2√

B.4上y

G4.v

17.d∙°

设函数∕<x)≈j=+3cosx.则/'(X)=

B-^⅛^3sinx

C.-Vx+3sinx

2

D.ɪjɪ-3sinx

19.当x→0时，ln(l+αx)是2x的等价无穷小量，则α=

A.A.-1B.0C.lD.2

JiIlruIdx=

20.c

f∣llnxdx+「Inxdx

A.A.eJl

fiInxdx-[eInxdx

B.jτj>

-∫∣lnxdx+∫cInxdx

C.e

—f!Inxdx-rInxdx

D.eJl

21.

设函数f(z)在区间匚0,门上可导，/(H)V0,并且f(O>>O,f(l)VO,则/(ɪ)

在［0,1］内

A.至少有两个零点

R有且仅有一个零点

C.没有零点

D.零点个数不能确定

设函数Z=In(X2+川，则兴~

22.Hx办

2x

A.A.(χ2+pj

2x

B.拼+”

2x

当XTI时，下列变量中不是无穷小量的是

A.x2-lB.sin(Λ2-l)C.InxD.ex^,

23.

方程/+2?2=0在［-3.2］内

AJn个实根B.有2个实根

24.c.至少有1个实根D人实根

设函数Z=士工则生=

25.Xəɪ()

26.设函数z=∕(χ,y)在点(1,2)处有U(1,2)=0JXl,2)=0,且％(l,2)=lJ：,(l,2)=0,

∕:(1,2)=2,则下列结论正确的是()

A∙A∙f(l,2)不是极大值2)不是极小值C,f(l,2)是极大值D.f(l,

2）是极小值

27.设函数/(x)=3n3则MyGA?;/(0)等于(),

A.-2B.-lC.0D.2

28.

Hnr/(%+2h)-/(孙)

τ

IB知函数KX)在点沏处可导，且F(3¾)=2,川四一~Γ^*()

A.交

B.二

C.-erx

D.-T

29.

下列极限值等于e的是

A.lim(H—)”B.Iimd÷X)Λ

X-*0ɪɪ^θ

C.limU+!厂D.lim(l+x)^^

r→8JC

30.

设函数y=fGc）在x=l处可导，且

Δx-*0∆XO

则，（1）等于

A∙I

Ri

CTD∙^⅜

二、填空题（30题）

31.

设z=f(x,—)>贝ij[ɪ=____________.

y∂x

设/(x)=χLg(x)=e',则_l{g[/(x”}N____________

32.dx

设/(十)=U1Cr≠7).则八外=一

JO・

34.

函数“幻=一匚的驻点X=.

Inx

35.

不定积分JW≡"

设区域D由t=α./NMb>a).y≡/(l)∙y≡κ(x)所由成•则区域D的面帜为

A.£[/(X)-χ(x)"dzB.I£[/《*)-κ(x)]<Lr]

C.f[gJ>—/(ɪ)]dʃD.ΓI/(ʃ)—g(j,)I<Lr

37.

y

若Z=In(±+⅜),则3?x∂：y=-----------.

38.

已知/Q)=lnx,则ff'(e")dx=.

∣.2/4+"2_?_

39."4Z+5T=r8—

40设［/(，)也=xe±,则/(H)=

41.

J⅛dr=-------'

(r-sinzk∕/

极限!四

42.

43.

Iim(1+等)+=

jr*∙OZ

44.

设ʃ(2£—Ddf=6,则N=

设Iim(I+2)*"=eT,则A=

45."1n

46.

CZ

A.0B

-3・3

47.

设函数/Ge)=依V,它在区间(1,2)内单调减少，则在区间内单调

增加.

48设函数y=/•则=S_________.

49.

Iim(I+在产=e,则A=.

X-OOX-----------------

设「=InJl+x'+y),求(IZ(I，1).

设函数z=e"+∖则全微分dz=

52.

Em集萼

53.

⅛dr≡

54.

55.

若y(n-2)=χarctanχ,贝IJy⑻⑴=

2

∫j(l-α∙)-ɪ<Zr

56.

(Π+1)(Λ+2)(Λ+3)

Iim

57.一n

58.

不定积分Jp∙∞s=

I023

设随机变量狗分布列为;3a3a,贝IJa

IoTo

59.

60.

已知P(A)=().6,P(B)=<).4,P(BlA)=O.5,贝IJP(A+8)=

三、计算题（30题）

求极限Iim∕1÷1∖e\

61.

求极限Iim理W2

62.

63.求极限忏詈•

(1—e3)sιn2x..1η

64.求极限呵---------：---------卜x4ySIn-ɪ.

XX

求极限IKn

65.G-2

66.①求曲线y=x2(x≥0),y=l与X=O所围成的平面图形的面积S：

②求①中的平面图形绕Y轴旋转一周所得旋转体的体积Vy.

67.求不定积分∫[e=+∣n(l+∙r)]clr.

68.已知函数f(x)=-x2+2x.

①求曲线y=f(x)与X轴所围成的平面图形面积S；

②求①的平面图形绕X轴旋转一周所得旋转体体积Vx.

69.计算.

-λ设之=>/(=)+xχ(2)•其中/(w).g(v)分别为可微函数•求空,空.

/U.yɪO/o)

7]求Iim*(eτ-l).

72.求函数∕u>=(∙Γ-1)，的单■区间与极值点.

73.已知x=-l是函数f(x)=ax3+bx2的驻点，且曲线y=f(x)过点(1,5),

求a,b的值.

求极限IiFk-VIn(1+?))

75.求微分方程y"-2y'—3y=e，的通研.

ir

76改变积分f,∫:∕α~)dy+,<lrj:"(H,y)dy的枳分次序.

求极限Iim「％.:------(eʃ-1)cosɪ"1.

77一”8sιn3τɪJ,

78.求函数V=ʃaretanɪ-In√TTxr的导*

79.求Mtan(r›z)的全微分.

81.求微分方程》匕T一"MyH0的通

求],[Ja>0).

82.-&+α'

83∙求微分方程「vs∣n∣BTu∙-1)dɪ+eosɪdɔrββ。的通解.

求极限Iim-L

84j•一stnʃjo

计算Jr'<Lrdy,其中D为圜环区域-≤∕+y≤4.

85.

tz

设函数*=≡(J.›)由方程X÷y,—xyx—0确定.求答亭.

86.θ-ra>

0r计算定积分1lnG+Dd∙r.

O/.Je)

求不定积分

88.

sinɜɪidɪ.

计算二重积分Cr'+y)irdy,其中D为曲线y/与工=y所围成的区域.

90.⅛

四、综合题(10题)

设平面图形D是由曲线y=/•直线y=C及》轴所围成的.求:

(1)平面图形D的面枳；

91.(2)平面图形“绕y轴旋转一周所形成的旋转体的体积.

92.

过曲线y=∕Cr"O）上某点A作切线.若过点A作的切线.曲线V=Jj及，轴闱成

的图形面积为［求该图形烧J轴旋转一周所得旋转体体枳V.

93证明：当工》0时Jn（I+工））半詈.

94.证明'方程I，£;水=志在（0.1）内恰有一实根.

95.*a*>-r的单口区间金值及此函数■线的凹凸区间,拐点和淅近线.

96.证明I当。V1V；时MUV/一S+L

97.求函数八］）=ʃ-f-ri+ɪ的单㈣区间和极优

98.求曲线,=（ʃ-ɪ）6的凹凸区间及拐点•

99.证明方程/_31_I=O在］与2之间至少有一个实根.

100.

过曲线/（了>0）上一点M（LD作切线/,平面图形D由曲线V=/.切线/及

■r轴国成.

求：（1）平面图形D的面积：

（2）平面图形。绕才轴旋转一周所形成的旋转体的体积.

五、解答题（10题）

101.

某100件产品中有次品5件,一次任取5件.

(D设事件A=“至少有1件次品”,求P(A),

(2)设事件B="恰有3件次品”,求P(B).

102.

设某家庭有三个核子，在已知至少有一个女孩的条件下，求这个家庭至少有一个

男孩的概率.

103.设函数y=y(x)是由方程CoS(Xy)=x+y所确定的隐函数，求函数曲线

y=y(x)过点(0,1)的切线方程.

104(本厩清分&分)设的数厂"^，求，'1,•

105.求函数y-χ3-3χ2-l的单调区间，极值及其曲线的凹凸区间和拐点。

106.(本题满分8分)

107.

讨论/备(°>2)的敛散性.

x1+2τ+2dx

108.

109.设函数f(x)=l+sin2x,求Γ(0).

Π0.已知f(x)的一个原函数是arctanx,求Jxf*(x)dx0

六、单选题(0题)

r2L

2SIrLr

dʃ

_Jt1+COSJT

∏1.积分“F等于【】

A.-lB.0C.lD.2

参考答案

1.D

［解析］先去函数的绝对值，使之成为分段函数；然后，运用函数在一点处极

限存在的充分必要条件进行判定.

、Ix-Il［-1χ<l

由rh/(x)=j——1=<

x-lɪx>l

因为ɪimf(x)=Iim(-1)=-1

JrTI-x→Γ

ɪim/(x)=Iim1=1

x→Γx→Γ

ɪimf{x)≠Iim/(x)

XTI-x-⅜l*

所以！吧〃幻不存在.

2.B

答应选B.

分析本题考查的是导函数的概念和定积分的分部积分•

ʃxf(x)dx=ʃxd∕(*)=哝x)I：-∫∕(x)dx=xe*∣ŋ-(e'dx=e'(x-I)IO=L

10.答应选A.

提示用变量代换U=X+y,o=Ny求出/(u,v)的表达式，再写出/(x,y)的表达式是常用的

方法,但计算量较大.更简捷的方法是凑变量法•

因为。x+y,町)=X1+JΛ=(z+y)'-2f所以/(x,y)=*j-2y,则有

=Zx-2.故选A.

3.c【解析】根据不定积分的性质(H)也=∕(W+C故选c.

4.A解析

函数的定义域为：(V,2).

因为√=3X2+12>0

所以

y单调增加，χG(-oo,+∞)

又

y∙=6x

当

x>0时，/>0,曲线上凹；当x<0时，/<0,曲线下凹.

故选A.

5.B

6.x=3

7.C

8.A

9.1

10.D解析：

5

因为了⑸是X的4次多项式，所以f∖x)=0

11.C

本题考查的知识点是互斥事件的概念和加法公

事件4与B互斥，则4B=0,因此P(AB)=O.

由于P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB),

式.即0.8=0.3+P(8),得P(B)=O.5.故选C.

12.B

13.B

14.C

利用条件概率公式计算即可.

Pa⑶=虢≡号。&

15.C解析

解题指导本题考查的知识点是极值的第二充分条件.

根据极值的第二充分条件可知，选项C是正确的.

这里涉及的极值的基本性质主要有：

（1）驻点不一定是极值点.

例如X=O是y=，的驻点,但不是其极值点.

（2）导数不存在的点可能是极值点，即极值点可能是驻点，也可能是导数不存在的点.

例如函数y=泞■,在，=0处y'不存在,但X=0却是函数的极小值点.

（3）极值是局部性质，因此极大值不一定大于极小值.

例如正常情况下的小学生年龄最（极）大的不会大于大学生中年龄最（极）小的.

（4）极值的必要条件中，仅有r（出）=0这个条件是不够的.正确的是:若犬孙）为人切的极

值,且，'（4）存在,则必有/'（&）=0.

（5）函数/（工）在H=%处连续,却不一定在工=3处可导.但是反过来，若夫切在H=H。处可

导，则在X=出处必连续.也即：可导是连续的充分条件,连续是可导的必要条件.

连续与可导的关系是专升本考试考查的重点之一.

由上述的基本性质我们可以得到很多试题,如：

（1）以下结论正确的是（）.

A.函数/（*）的导数不存在的点一定不是#，）的极值点

B.若X=%为五H）的驻点，则X=x0必为，（工）的极值点

C.若/（工）在点z=%处有极值，且/'（与）存在,则必有f'（1）=0

D.若，（，）在点仝=，。处连续,则/'（3）一定存在

（2）下列结论中不小碓的是（）.

A.若尸（与）=O：；（；。）=0,则不能确定点*=&是否为函数的极值点

B.若M=ZO是函数/（口的极值点，则/（线）=0或尸（与）不存在

C.函数f（z）在区间（*6）内的极大值一定大于极小值

D.f'（xβ）=0及f'（H1,）不存在的点X=软都可能是/（S的极值点

答案：（1）C（2）C

16.A

17.A

18.B

八MN+3COSx1=[^≡∙)+3(cosχy=­-j=≈-3SinX

（解析］

19.D

In(I+ax),.axa

因为--------------=Iim-=—

Ix12X2

所以4=2.

20.C

,-Inxi≤x≤l

由Inx=<e

IInx

l<x≤e

所以£1ΠΛdx=-∫ιlnxdx+∫Inxdx

ee

21.B

22.B

2x

因为2=一一x2x,故选B.

∂xxi嗑=(x2+y)2

［解析］A.x?-1->O(XTI)

B.sin(x2-l)→O(XTl)

C.InXTO(XTI)

D.e,^'→1(XTl)

23.D

24.C

25.C

dxdrxdxVxjx

26.D

依据二元函数极值的充分条件，可知B2-AC<0且A>0,所以f(l,2)

是极小值，故选D.

27.D

根据函数在一点导数定义的结构式可知

lim42A?必”My,(0)=2(tanx)'|=2—⅛

▲«-O∆xIβ∙0COS

冼D.

28.D

29.C

30.B

31.

⅛÷1‰=∆)

Hxyəvy

设V=三，则z=∕"(x,v)

y

也əf,əfðv_∂f1ðf

―',+---------=----*ιT-—

∂a*x3∂ΛχəvaXaXyəv

32.2xex2

33.

1

(2-χ)≡

34.x=ex=e解析

因为ff(x)Jn：-1宣。得x=e

InX

所以x=e是函数/⑴的驻点.

35.1n∣x+cosx∣+C

36.D

___e_____.

37.-α+/)Z-(T+7F

38.

因为广㈤=L则/GW

X

所以［rc)dx=-er2=e"-e2

Jl1

39.2

40.

【答案】应川1+年)<Λ

【解析】本题考表的知识点是原函数存在定理，即变上限的定积分J7(，)也是函数/(X)在

该区间上的一个原函数，因此有

〃K)=(xeτ),≡^1+y)eτ∙

41.1n(lnx)+C

42.

43.

44.-2或3

3

^2

9912A

［解析］因为Iim(I+4产=Iiin(I+4)2=e2*=e-3

Λ→*∙JlΛ→∙∙〃

有22=-3,所以A=-±

45.2

46.A

47.(01)

48.

答案填20/.

IW麴指导本国考35的知识点是高阶导致的计算,

因为y'=5*'∙则>"=20∕∙

49.1/2

解z=∙^ln(l+x2+y2),_12x_X

Zx2222

42l+x+yl+x+y

,=1------互-----=-------------4(I,D=----J-；•=-

Zzy2l+√+/l+χ2+√3l+χ2+y2h3

z；(bD==1

；：13

所以dz(l,l)=z；(l,l)dx+z；(l,l)ʤ=⅛(dx+dy)

50.3

51.

2e2l+ydx+e2l+,dy

52.

√3

18

√3

18

53.e4

54.

∣lnx÷C

55.1/2

丁s-∣'=(Xa®tanx)'=arctanΛ+—L--

1+x5

x、，—11+X2-2X22

严)=(arcIanX)

+177=TTh(I+/](l+x2)2

所以

56.π∕2

57.

—sin工+C—sin--∖-C

58.ɪɪ

59.1

0.7

L解析]因为P{A+8)=P(A)+P(R)-P(AR)

=P(A)+P(B)-P(A)F(A)

-

60.-0.6+0.40.6×0.5—0.7

a∙IΛ<j-rɪlʃɪ∙r']

CIimC

61.令'=3则原式

I∙IHIi*ɪ》/∙rJ

CIime

令/=则原式=e7.

2

IimgJ立1÷2x

Λ→9―■■■-X(-3)

2√1-3x

2X2√∏≡37

-3

ɪ

62.Λ→03(1÷2J)3,

2

ɪ÷2x

Iim.“十2幻一∣im

―j*-×(-3)

2√1-3x

X2

-3

ɪ

L。3(1+2J)3,

sinʃ

eosʃ

1X1

63.

sinʃ

Hm组COS-T1X1=1.

LI)

64.

由于当∙ffO时,工,是无穷小址，且卜in£I≤1.故可知Ii呼r∖in∕=0.

当h—O时,l-e-M〜3/.故

1(1-e^v)sin2j∣.3x2∙sinɪɪ∣.3sin2x

Iim-----------；----------=Iim--------：=Iim≡-=3o.

L。IZ→0XLoJT

「rd—e-3,：)sinɪɪ,.In

所以网------T5----------÷js4'n√J=3o∙

由于当NfO时是无穷小趾，且卜injɪl≤1.故可知liτ∙r'sin/=0.

当∙Γ-O时」-TJ〜3〉,故

「(1-e-lr)sin2j∣.3x2∙sinɪɪ∣.ɜsinɪɪ

Iim-----------------------=Iim---------：------=Iim≡—=3.o

LCXj-0X√-*0JT

所以！吧［吐W回三+工，Sin=3.

65.

2

原式=IimU甘巨=IimJ色二=±,

111，√l÷2x3

2∙Jx

66.①由已知条件画出平面图形如图阴影所示

S={(I-√)dx=(x4)∣；=∣∙

②旋转体的体积

v,=Jjjdy=L1T加=罚L=手

J[e'+∣∏(1+ɪ)]dʃ=yje2,d(2x)÷Jln(1÷x)ir

=+ɪln(1÷ɪ)—f—dʃ

4Jɪ÷jr

=∙5∙etr+ɪln(1+ɪ)一(口一丁4-jðɪ

=+ʃln(1÷ɪ)—X+ln(1+ɪ)+C.

J[e'+ɪn(l÷ʃ)jdʃ=yje2rd(2x)÷Jln(l+ɪ)dɪ

=βχ∙e2,r+ɪln(1+ɪ)—F7-7—CLr

/JI+jr

=+∙rln(1+∙τ)-j[l-T-γ—IdN

4Jl+Jr

=/产+ʃɪn(1+ɪ)-ʃ+ɪn(ɪ÷ɪ)+C.

68.

2ʌ

由F=r+''得交点(0,0)与(2,0)∙

Ir=O.

(X)S=j(-/+2x)<k=(-全+/)IO=^P

②匕=I11'-xj+2x)2d*=π((N'-4x'+4x')dx

,,

=1τ(yx-√+yx)L=号

用换元积分法.令∙r=tan/.则

「一1—dʃ=1一—see/d/

2

J1”2∙yJ∖4-XJftan/∙sec/

csc∕∙cotzdr

3女一2√I

=­CSC/

3

69.

用换元积分法.令.r=tan/.则

"】/户】∙j

----------：-1,oʃ-......J------------sec^∕α∕

1/2∙√1÷Jr2Jftan/∙sec/

=[*csc∕∙cotzd∕

=-c8c∕：=3-

τ3

室="停)・H喉■—(T)

=，­)T∙g'(分

§-/(f)÷^(f)∙(^7)+^V)∙⅛

0.=/(7)-，，(：)+/《)•

B="(5),}+x(f)+-rg,(⅛),(^^)

=z(f)+*(f)-f•*(?),

g=∕(f)÷>r(f)∙(-^)÷^(f)∙⅛

/住）一方,,（：）+/（分

71.

limx(e7-1)

,(÷.)^≡=.1=

或irnxβ1lifnx1

第二种方法利用了结论：当了τ8时.L_o,则e÷-l

72.

zz

求/(ɪ)的导数•得∕(x>≈+ɪ(ɪ-ɪ)ʃɪ≡5.21,令∕(1r)=0,

OJ

得驻点ʃ=看.此外.点工=0是/(ɪ)不存在的点.它们将区间分成3个部分区间.列表讨论

如下t

01")Z~2-

ʃ0可(y.÷∞)

/(ʃ)

+不存在—0+

/(1)单调递增糙大单网递总极小单调递增

由上表可知，函数在区间(-8.01和4.+oo)上单调增加,在区间［0.∙∣∙］上单调递减.

当上.5时,有极小值/(^I^)H-^t"♦当工・0时♦函151的号Ik不存在♦但•*'是

函数的根大值点,极大值M0)-0.

求/(ɪ)的导数.得∕,(jr>=∙r++ɪ(ʃ-DjrT=ɔʒ--I:、令f(ɪ)=0,

得驻点工=∙∣∙.此外.点∙r=0是不存在的点.它们将区间分成3个部分区间.列表讨论

如下i

Z2

ʃ0M"⅜)r仔+8)

，(八+不存在一0+

/(ɪ)♦■递增慑大单网递减微小单调逢增

由上表可知，函数在区间(一8.01和［∙∣∙.+8)上单Sl增加,在区间［0.曰］上单调递减.

资,有极小值喑当

)=TJJ.•T-0时.函畋的年数不存在,但，。是

函数的Sl大值点.极大值«0)-0.

73.Γ(x)=3ax2+2bx,Γ(-l)=3a-2b=0,再由f(l)=5得a+b=5,联立解得

a=2,b=3.

74.

该题属于“8-8”型,我们用倒代换ɪ=±让其产生分母.然后通分计算

之.

=Iim-------------=-ɪ-

*^2r(l+r)2*

该题属于“8一8”型,我们用倒代换ɪ=!让其产生分母.然后通分计算

之.

1-------

⅛-⅛2tz

=Iim-------------=—

/2“1+。2,

75.

与原方程对应的齐次线性方程为

特征方程为

故

rτ=3.

于是

y=Cer+Ge”

为齐次线性方程的通解.

而e'中的=-1为单一特征根，故ST设

y'=xAe^*

为

y,-2y-3y=e',

的一个特解,于是有

3)'=Aer-Arer・3)•≈-Ae-r-Ae,+Axe

知

Are,-2Aκ~t-2(Ae^,-Axex)-3Are^*=尸.

即

-4Aer=e^,.

于是由4A=1.知A=—ɪ,

所以

y'=-J∙e-,

为

yf-2y'-3y=e^∙,

的一个待解,因此原方程的通解为

y=Ge"+Qe"一手e'(GC为任意常数).

q

与原方程对应的齐次线性方程为

特征方程为-2r-3=0,

故

rI≡≡],nS=3∙

于是

y≈Cer+Ge”

为齐次线性方程的通解.

而e'中的=-1为单一特征根，故ST设

y'=xAe^*

为

y,~2y-3y=e',

的一个特解,于是有

(y')'=Aer-Arer・3)•≈-Ae-r-Ae,+Axe

知

,

Are,—2Ae-*-2(Ae.'-AJer)_3Aτe^≡尸.

即

-4Aer=e^,.

于是由4A=1.知A=—ɪ,

所以

y∙≡-fe-*

为

yf-2y'-3y=e'∙,

的一个待解,因此原方程的通解为

y=Ge"+Qe"一手e'(GC为任意常数).

4

76.

由所给累次积分画出原二重枳分的枳分区域D的示意图•如图所示.据此将D

视作Y型区域.即

D=<(J∙>)I0≤y≤1∙6≤H≤2-We

因此

ʃCLrJ)/(*,y)dy+

/(j.y)d>f(jr9y)djr.

由所给累次积分画出原二重积分的枳分区域D的示意图,如图所示•据此将D

视作丫型区域•即

D=<(x∙>)IO≤>≤1∙6≤N≤2-y)∙

因此

/(x∙y)d>÷L(LrJ∕<j.›)d>/(ʃtɔr)dɪ.

Iimr-ʃ------(e,-1)∙cosɪ]

t→9osinɜɪX

=Iim[,：------IimS-1)∙cos

,•»osinðʃl。

=IimCe-limɪ∙co$ɪ

r→∙0Z4∙XΛ--9Jr

..7e"+e-'

=ɪɪm------------------0rt

77.=3-=3-

y'=(j")zarctaα.r÷ʃ∙(aretanʃ),—(In√Γ+7r

=aretanɪ+二一[“----∣.∙(√ZT^+JΓ)Z

1+工,√T+7r

ʃ111

=arctaru-+ɪ-^一ɪ

√1+√√T÷7τ

=arcta∏j-+aretanʃ.

78.1+ʃ21÷x2

y'=(Jr)'arctaru*+工∙(aretanʃ),-(In八+工')'

aretanɪ+(√Γ÷7r),

ɪ+/√1+√

ɪ111

aretanʃ+

1+/2√14-√√T+xr

1Xɪ

=aretanʃ+——τ———≡∙=aretanʃ.

1+ʃ1+X

x

因为=yzsec(jryz)9U9=ɪrseeɪ(ɪɔrz)t

ut≡jry^ec^(xyz)∙

79.所以du—>jsecz(jyt)dɪ4jτse<r(jyz)d>÷jysccx(∙ryz)ck.

因为IG=yτsec*(jyz).wr=ɪrseeɪ(ɪɔrz)∙

u.≡jrysec2("之)・

所以du=>rsecz(j>r)dɪ+jɪsee2(jɔrz)d>÷0yscc,(jɔrɪ)ck.

3—ɪ2÷ʃ—1

⅛(⅛^rπ)=*⅛x3÷1

zjr+jr+2

ʃ3+1

=ɪ.

80.

[+典=。，

T-A-4xy

、

即f

⅛(rh^7)d