压轴小题04 追本溯源三角函数与解三角形综合问题（解析版）

压轴小题04追本溯源三角函数与解三角形综合问题压轴压轴秘籍特殊角的三角函数值同角三角函数的基本关系平方关系：商数关系：正弦的和差公式，余弦的和差公式，正切的和差公式，正弦的倍角公式 余弦的倍角公式升幂公式：，降幂公式：，正切的倍角公式推导公式辅助角公式，，其中，ω在三角函数图象与性质中的基本知识，振幅，决定函数的值域，值域为决定函数的周期，叫做相位，其中叫做初相的周期公式为：ω在伸缩平移变换中的基本知识（，是伸缩量）振幅，决定函数的值域，值域为；若↗，纵坐标伸长；若↘，纵坐标缩短；与纵坐标的伸缩变换成正比决定函数的周期，若↗，↘，横坐标缩短；若↘，↗，横坐标伸长；与横坐标的伸缩变换成反比压轴训练压轴训练一、单选题1．（2023秋·江苏苏州·高三江苏省梁丰高级中学校考阶段练习）求值：（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】利用积化和差和和差化积公式，结合半角公式，诱导公式化简得到结果.【详解】由积化和差公式可得，故，由和差化积公式可得，故所以.故选：A【点睛】和差化积公式：，，，积化和差公式：，，，.2．（2023秋·江苏南京·高三统考阶段练习）已知，且，则可能为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由得，化简后可求出，再利用同角三角函数的关系可求出.【详解】由，得，所以，所以，整理得，，所以或，所以或，①当时，，，因为，所以，所以，因为，所以，②当时，，因为，所以，由于，所以解得，③当时，，因为，所以，由于，所以解得，综上，，或，或，故选：B3．（2023·江苏南通·统考模拟预测）在三棱锥中，平面，，，，，点M在该三棱锥的外接球O的球面上运动，且满足，则三棱锥的体积最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先通过和可知三棱锥的外接球O为的中点，在△中，由正弦定理可得△的外接圆的半径，进而可得球心到面的距离，从而得，再由解三角形知识求解△的面积最大即可.【详解】

该三棱锥的外接球O为的中点，下证：因为平面，平面，所以，所以，又，即，所以，即三棱锥的外接球球心为的中点，球半径.点M在该三棱锥的外接球O的球面上运动，且满足，在△中，由正弦定理可得△的外接圆的半径为，球心到平面的距离为，因为O为的中点，所以到平面的距离为，，要使三棱锥的体积最大，只需△的面积最大即可.在△中由余弦定理可得，所以，当且仅当时等号成立，，所以.当且仅当时,三棱锥的体积取到最大值.故选：A.4．（2023秋·江苏扬州·高三扬州中学校考阶段练习）已知函数，函数的图象可以由函数的图象先向右平移个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的倍得到，若函数在上没有零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由函数，根据三角函数的图象变换得到，令，结合函数零点存在的条件建立不等式求解即可.【详解】函数，向右平移个单位长度，得，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的倍得到，令，得，所以，若函数在上没有零点，则需，所以，所以，若函数在上有零点，则，当k=0时，得，解得，当k=1时，得，解得，综上：函数在上有零点时，或，所以函数在上没有零点，.所以的取值范围是.故选：A【点睛】本题主要考查三角函数的图象变换及函数零点问题，还考查了转化求解问题的能力，属于难题.5．（2023春·江苏南京·高三校联考阶段练习）已知函数图象与函数图象相邻的三个交点依次为A，B，C，且是钝角三角形，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】画出两函数图象，求出A的纵坐标为，利用钝角三角形得到不等关系，求出答案.【详解】作出函数和的图象，如图所示．由图可知．取的中点D，连接，则．因为是钝角三角形，所以，则，即．由，得，，即，，则，即A的纵坐标为，故．因为，所以，所以．

故选：D6．（2023·江苏·高三专题练习）已知函数在上单调递增，且当时，恒成立，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知，分别根据函数在区间上单调递增，在时，恒成立，列出不等关系，通过赋值，并结合的本身范围进行求解.【详解】由已知，函数在上单调递增，所以，解得：，由于，所以，解得：①又因为函数在上恒成立，所以，解得：，由于，所以，解得：②又因为，当时，由①②可知：，解得；当时，由①②可知：，解得.所以的取值范围为.故选：B.【点睛】在处理正弦型、余弦型三角函数性质综合问题时，通常使用整体代换的方法，将整体范围满足组对应的单调性或者对应的条件关系，罗列出等式或不等式关系，帮助我们进行求解.7．（2023秋·江苏南通·高三统考阶段练习）已知满足，且在上单调，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】通过对称轴与对称点得出的式子，再通过单调得出的范围，即可得出答案.【详解】满足，，，即，，在上单调，，即，当时最大，最大值为，故选：B.8．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）已知正方形的中心在坐标原点，四个顶点都在函数的图象上．若正方形唯一确定，则实数的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】法一：设直线的方程为，则直线的方程为，讨论得到不合要求，即，分别联立曲线方程，得到，，再根据得到，换元后必有有两个相等的实数根，由，解得，检验后得到答案.法二：设出，表达出，代入曲线方程，得到，由基本不等式得到的范围，并结合题意得到实数的值.【详解】法一：因为四边形为正方形，为其中心，所以⊥于点，且，不妨设直线的方程为，则直线的方程为，设点，，则，当时，，在R上单调递增，与仅有1个交点为原点，不合题意，当时，联立直线与曲线方程，得到，解得，联立直线与曲线方程，得到，解得，因为，所以，整理得，即，设，该函数在上单调递增，值域为R，要使符合题意的正方形只有1个，则必有有两个相等的实数根，即，解得，正根舍去，此时，解得，负根舍去，所以；法二：不妨设点在第一象限，且四点逆时针排布，设，，则，由题意得两点存在曲线上，所以，由①得，由②得，联立两式得，因为，，故，，又，所以只有时，才能使得两式恒成立，故，由基本不等式可得，当且仅当，即时，等号成立，由题意，有唯一解，故.故选：C【点睛】正方形唯一性转化为根的个数问题，再结合问题特征（包括单调性，特殊位置的函数值符号，隐零点的探索、参数的分类讨论等）进行求解，需要学生对多种基本方法，基本思想，基本既能进行整合，较为复杂和综合的函数零点个数问题，分类讨论是必不可少的步骤，在哪种情况下进行分类讨论，分类的标准，及分类是否全面，都是需要思考的地方9．（2023秋·江苏徐州·高三校考阶段练习）已知的图象与直线在区间上存在两个交点，则当最大时，曲线的对称轴为（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】先根据条件求出的取值范围，再求出对称轴.【详解】当时，要使得的图象与直线存在两个交点，则，解得，又因为，所以，所以，此时曲线的对称轴为，，解得，，故选：D二、多选题10．（2023秋·江苏镇江·高三江苏省镇江第一中学校考阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，则下列说法正确的是（

）A． B．C．有最大值 D．【答案】BCD【分析】由条件及正弦定理得，，再由正、余弦定理，三角形的面积公式，三角函数的最值等知识逐一判断选项即可．【详解】由及正弦定理得：，对于A选项：，故A错误；对于B选项：，故B正确；对于C选项：，其中，有最大值，故C正确；对于D选项：因为，,当且仅当时取等号.所以，两边平方得：，又，化简得：，且，,解得，所以，即成立，故D正确.故选：BCD．11．（2023秋·江苏南京·高三南京市第九中学校考阶段练习）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，且，则下列说法正确的是（

）A．为奇函数B．C．当时，在上有4个极值点D．若在上单调递增，则的最大值为5【答案】BCD【分析】利用题目已知条件，求出，再结合三角函数的性质即可得出答案.【详解】∵∴，且，∴，即为奇数，∴为偶函数，故A错.由上得：为奇数，∴，故B对.由上得，当时，，,由图像可知在上有4个极值点,故C对，

∵在上单调，所以,解得：，又∵，∴的最大值为5，故D对故选：BCD.【点睛】本题考查了三角函数的平移变换，奇偶性，极值点，单调区间,属于难题.12．（2023秋·江苏连云港·高三校考阶段练习）已知函数，则下列结论正确的是（

）A．是函数的一个周期B．存在，使得函数是偶函数C．当时，函数在上的最大值为D．当时，函数的图象关于点中心对称【答案】BC【分析】本题可通过判断出A错误，然后通过取判断出B正确，再然后令，将转化为，通过求出函数在上的最大值判断出C正确，最后通过判断出D错误.【详解】A项：因为，所以，不是函数的一个周期，A错误；B项：当时，，满足，故函数是偶函数，B正确；C项：当时，，令，则，，因为，所以，则，开口向下，对称轴为，故当时，在上取最大值，，故函数在上的最大值为，C正确；D项：当时，，则，，，故函数的图像不关于点中心对称，D错误，故选：BC.【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的性质的判断，考查三角函数的周期性、奇偶性、在区间内的最值以及对称性，若函数满足，则关于点中心对称，若函数定义域为且满足，则函数是偶函数，考查推理能力与计算能力，是难题.13．（2023秋·江苏南京·高三南京外国语学校校考阶段练习）已知函数（）图象的一条对称轴和一个对称中心的最小距离为，则下列说法正确的是（）A．函数的最小正周期为B．将函数的图象向左平移个单位长度后所得图象关于原点对称C．若存在，使得，则D．设，则在内有20个极值点【答案】ABD【分析】根据题意，得到，可判定A正确，根据三角函数的图象变换及性质，可得判B正确；根据，可判定C不正确，根据导数和极值的概念，可判定D正确.【详解】设函数的最小正周期为，由函数图象的一条对称轴和一个对称中心的最小距离为，可得，解得，选项A正确.由，可得，所以，将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，可得函数的图象关于原点对称，选项B正确.不妨设，则，，所以，选项C不正确.由，当时，，则，令，可得；当时，，则，令，可得，因此在内有20个极值点，选项D正确.故选：ABD.【点睛】解答有关函数的极值问题的方法与策略：1、求得函数的导数，不要忘记定义域，求得方程的根；2、判定的根的左右两侧的符号，确定函数的极值点或函数的极值；3、注意的根不是函数极值点的充要条件，利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.14．（2023秋·江苏南京·高三南京市第九中学校考阶段练习）设函数，则（

）A． B．的最大值为C．在单调递增 D．在单调递减【答案】AD【解析】先证明为周期函数，周期为，从而A正确，再利用辅助角公式可判断B的正误，结合导数的符号可判断CD的正误．【详解】的定义域为，且，，故A正确．又，令，则，其中，故即，故，当时，有，此时即，故，故B错误．，当时，，故在为减函数，故D正确．当时，，故，因为为增函数且，而在为增函数，所以在上为增函数，故在有唯一解，故当时，即，故在为减函数，故C不正确．故选：AD【点睛】方法点睛：与三角函数有关的复杂函数的研究，一般先研究其奇偶性和周期性，而单调性的研究需看函数解析式的形式，比如正弦型函数或余弦型函数可利用整体法来研究，而分式形式则可利用导数来研究，注意辅助角公式在求最值中的应用．15．（2023·江苏南通·江苏省如皋中学校考模拟预测）已知函数，则下列说法中正确的是（

）A．B．的最大值是C．在上单调递增D．若函数在区间上恰有个极大值点，则的取值范围为【答案】ABD【分析】利用二倍角公式进行化简，再根据函数的的性质分别判断各选项.【详解】，A选项：，A选项正确；B选项：设，则，解得，，即，即的最大值为，B选项正确；C选项：因为，所以在上不单调，C选项错误；D选项：，令，解得，即或，，当，时，，函数单调递减，当当，时，，函数单调递增，所以函数的极大值点为，，，，又函数在区间上恰有个极大值点，则，即，D选项正确；故选：ABD.16．（2023秋·江苏镇江·高三江苏省镇江中学校考阶段练习）函数的图像关于对称，且，则（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】根据辅助角公式化简，然后根据其图像关于对称，可得之间的关系，从而得到，然后对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】因为，其中因为函数的图像关于对称，所以，即化简得，故A正确.则即，因为，故B正确.因为，故C错误.因为故D正确.故选:ABD.17．（2023春·江苏镇江·高三校考开学考试）已知函数（为正整数，）的最小正周期，将函数的图象向右平移个单位长度后所得图象关于原点对称，则下列关于函数的说法正确的是（

）A．是函数的一个零点 B．函数的图象关于直线对称C．方程在上有三个解 D．函数在上单调递减【答案】ABD【分析】先由周期范围及为正整数求得，再由平移后关于原点对称求得，从而得到，对于AB，将与代入检验即可；对于C，利用换元法得到在内只有两个解，从而可以判断；对于D，利用整体法及的单调性即可判断.【详解】因为，，所以，解得，又为正整数，所以，所以，所以函数的图象向右平移个单位长度后所得图象对应的函数，（点拨：函数的图象经过平移变换得到的图象时，不是平移个单位长度，而是平移个单位长度），由题意知，函数的图象关于原点对称，故，即，又，所以，，所以，对于A，，故A正确；对于B，，故B正确；对于A，令，因为，所以，显然在内只有，两个解，即方程在上只有两个解，故C错误；对于A，当时，，因为在上单调递减，所以函数在上单调递减，故D正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：求解此类问题的关键是会根据三角函数的图象变换法则求出变换后所得图象对应的函数解析式，注意口诀“左加右减，上加下减，横变，纵变A”在解题中的应用.18．（2023春·江苏常州·高三校联考开学考试）已知函数，则（

）A．函数不是周期函数B．函数的图象只有一个中心对称点C．函数的单调减区间为D．曲线只有一条过点的切线【答案】AD【分析】A选项，利用反证法判断出答案；B选项，设关于中心对称，得到，列出方程，求出，得到对称中心不止一个；C选项，由导函数结合定义域求出函数的单调性；D选项，设出切点，得到切线方程，代入，化简后得到，换元后得到，，分，与，得到函数的单调性，极值，最值情况，结合隐零点推出零点个数.【详解】对于A，因为的定义域是，所以若有周期，则周期为的整数倍，假设周期，则即，当为奇数时，等式可整理为，，该等式矛盾，故假设不成立；当为偶数时，等式可整理为，，该等式矛盾，故假设不成立；综上，则不是周期函数，A正确；对于B，设关于中心对称，，∴，即；令，，则，，所以，则，解得：，，关于，中心对称，对称中心不止一个，B不正确；对于C，令，得，解得或，；∵的定义域为，∴的单调递减区间为，，，，，C不正确；对于D，设切点，切线方程为，∵切线过∴，化简得，故，令，，当时，，故，∴在上单调递减，因为，由零点存在性定理可得：在上有唯一零点，当时，令，，则在上恒成立，所以在上单调递减，故，故，当时，单调递减，因为，，故存在，使得，即，结合，可得：或，因为，所以，，故，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，故在处取得极大值，因为，所以，故时，，所以在上无零点，在有且仅有一个零点，D正确.故选：AD.【点睛】方法点睛：隐零点的处理思路：第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数；第二步：虚设零点并确定取范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次.三、填空题19．（2023秋·江苏扬州·高三扬州中学校考阶段练习）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则周长的取值范围为.【答案】【分析】由正弦定理及已知可得，结合锐角三角形得、，再由正弦边角关系、三角恒等变换得，即可求范围.【详解】由，则，故，所以，又为锐角三角形，则，且，则，而，则，，所以，又，且，所以，则.故答案为：.【点睛】关键点睛：本题的关键是利用正弦定理以及三角恒等变换得，再求出角的范围，利用正切函数的值域即可得到答案.20．（2023·江苏徐州·校考模拟预测）已知，则．【答案】【分析】由条件等式右边含有，可联想到中分离出来处理，设，待求表达式中用表示，结合万能公式进行求解.【详解】设，于是，整理可得，根据万能公式，，整理可得，由可得，，故，根据诱导公式，，根据两角和的正切公式，，故.故答案为：21．（2023春·江苏南京·高三校考开学考试）在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点，且，则的最小值为．【答案】18【分析】画出图像，由题易知可得，再利用基本不等式可得答案.【详解】如图：因为可得即，所以所以当且仅当时取等号.故答案为18【点睛】本题考查了正余弦定理解三角形和基本不等式的应用，熟练公式是解题的关键，属于中档题.22．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）已知函数，若对任意实数，恒有，则．【答案】【分析】对进行化简得到，根据正弦函数和二次函数的单调性得到，进而确定，，，利用两角差的余弦公式得到．【详解】对任意实数，恒有则即，【点睛】本题的关键在于“变角”将变为结合诱导公式，从而变成正弦的二倍角公式．23．（2023秋·江苏泰州·高三泰州中学校考阶段练习）已知函数在（）时的最小值为，最大值为，若，则的取值范围为．【答案】【分析】由题易得，在坐标系内画出函数的图象结合分析可得，，，，最后由得出答案即可.【详解】，因为，所以，在坐标系内画出函数y=sinz的大致图象如下：由图象并结合可知，当，即时，y取得最大值，最大值为，因此y的最小值m为，要使y取得最小值，由图象可知必有，解之得，所以.故答案为：.【点睛】本题考查三角函数的综合应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查数形结合思想，属于中档题.24．（2023·江苏盐城·盐城中学校考三模）在中，角的对边分别为，，，若有最大值，则实数的取值范围是.【答案】【解析】由正弦定理，三角恒等变换和辅助角公式可得，其中，结合范围，由于有最大值，可求，进而求解的取值范围.【详解】由于，所以，由正弦定理得，所以，，所以.当，即时，，没有最大值，所以，则，其中，要使有最大值，则要能取，由于，所以，所以，即，解得.所以的取值范围是.故答案为：【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”.主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.25．（2023春·江苏南京·高三南京市第五高级中学校考阶段练习）在中，若的面积为2，则【答案】【分析】由条件将切化为弦，结合正弦的和角公式、辅助角公式先求出角，由面积公式可得答案【详解】解：在中，，则,所以，可得，所以所以可得，由正弦定理可得，可得，又因为，所以，又因为，所以，又则所以或解得或(舍去)所，解得．故答案为：．26．（2023·江苏南京·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，，则A＝.【答案】【分析】先利用边角变换得到，再由与代入化简得到，再根据，求得，即.【详解】由正弦定理得，可化为，又因为，所以，，又，所以，所以，即，即，所以，即，因为，所以，故，故.故答案为：.27．（2023秋·江苏南通·高三统考开学考试）已知函数，满足对恒成立的的最小值为，且对任意x均有恒成立.则下列结论正确的有.①函数的图像关于点对称：②函数在区间上单调递减；③函数在上的值域为④表达式可改写为：⑤若x1，x2为函数的两个零点，则为的整数倍.【答案】②④【分析】本题通过的最小值求得三角函数的最小正周期，求出，根据求出即可得到函数的解析式，即可得到函数关于点的对称，单调递减区间，求导后的值域，根据三角恒等变换后的改写式子，以及两个零点横坐标差的绝对值.【详解】解：由题意，在中，恒成立的的最小值为，得，解得：，∴最小正周期，∴，解得：，∴，∵对任意x均有恒成立，∴函数关于直线对称，∴，解得：，∵，∴，∴，∴当时，，不关于点对称，故①错误.在中，函数在上单调递减，∴在中，当即时，函数单调递减，∴函数在区间上单调递减，故②正确.在中，，当时，，此时，故③错误.在中，最小正周期，，∴，故④正确.在中，恒成立的的最小值为，且对任意x均有恒成立∴函数关于直线对称∵最小正周期，∴不为的整数倍，故⑤错误.故答案为：②④.四、双空题28．（2023·江苏南通·三模）将函数的图象向右平移个单位长度，得到的函数的图象关于点对称，且在区间上单调递增，则,实数m的取值范围是.【答案】