高二数学人教A版2019选择性讲义 第03讲空间向量及其运算的坐标表示

第3讲空间向量及其运算的坐标表示

考点分析

考点一：空间直角坐标系

从空间某一定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系3yz,

点O叫做坐标原点，X轴、y轴、Z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别是X0y

平面、yθz平面、ZoX平面.

注：空间中一般建立右手直角坐标系

在空间直角坐标系中，让右手拇指指向X轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向Z轴的正

方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.

考点二：空间中点的坐标

空间一点4的坐标可以用有序数组(x,y,Z)来表示，有序数组(X,y,Z)叫做点4的坐标，记作A(X，A

Z),其中X叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，Z叫做点A的竖坐标.

考点三：空间直角坐标系中对称问题

在空间直角坐标系中，点P(X,y,z),则有

点P关于原点的对称点是片(-x,-γ,-z)；

点P关于横轴(X轴)的对称点是P2(x,-y,-z)；

点P关于纵轴。，轴)的对称点是Pi(-x,γ,-z);

点P关于竖轴(Z轴)的对称点是Pi(-x,-y,z)；

点P关于坐标平面xθy的对称点是P5(x,y,-z)；

点P关于坐标平面yθz的对称点是Pb(-x,y,z)；

点P关于坐标平面XoZ的对称点是Rj(x,-y,z).

考点四：空间中向量的坐标运算及距离公式

①空间中知道两点求向量：若4(工］,了1,21),6(%2，%,22)，则

Aβ=OB-OA=(x,,y2,z2)-(x∣,yl,z1)=(x2-xl,y2-γl,z2-z1)

即:一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。

②空间中知道两点求距离：若Aa,y,zJ,B(∕,%,Z2),则

222

IABI=TA?=λ∕(x2-x1)+(γ2-y1)+(z2-z1)

考点五：空间两点中点坐标的运算

空间中有两点A(Λ⅛,yl,zl),B(A2,γ2,z2),则线段4B的中点C的坐标为[土产,"ʌ,工

考点六：向量加减法、数乘、数量积的坐标运算

若α=(x∣,χ,z∣),6=(X2，%，Z2),则

①α+b=(x∣+x2,γl+γ2,zl+z2);②α-6=(xl-x2,yi-y2,zi-z2);

+zz

(^)λa=^λxvλyx,λz^{λ&R);®a-h=xlx2+^ly2ι2

考点七：空间向量的模及两向量夹角的坐标计算公式

若α=(F,凹，4),1=(工2，%*2)，则

①H=J无∣2+yj+zj

②C。《词=需=/29+?工Zq2

>z

+M+ZjX2+>2+2

考点八：空间向量平行和垂直的条件

若α=(x],y,z∣),各=(X2，y2，Z2)，则

①a//b=a=入b=X[=AX,,X=λy2,zi—λz2(λ∈R)=土=X=-^-(x2y2z2≠0)

‘%%⅞

②々<=>db=OOxlX2+yly2+zlz2=0

规定：0与任意空间向量平行或垂直

典型例题

题型一：空间向量的坐标表示

【例1】(2022•江苏•高二课时练习)已知O(0,0,0),N(5,T,2),A(4,2,-l),若ON=AB，则点B的坐标

为().

A.(-1,3,-3)B.(9,1,1)

C.(1,—3,3)D.(—9,—1,-1)

【答案】B

【分析】由ON=A8，设B(x,y,z)结合空间向量的坐标，得(5,—I,2)=(χ-4,y-2,z+l),即可求8的坐标.

【详解】设5(x,y,z),由ON=AB得：(5「1,2)=(久一4,y—2,z+1),

x-4=5x=9

：•<y-2=T,可得<y=↑,所以点3的坐标为(9,1,1).

z+1=2z=1

故选：B

【例2】(2022・全国•高二课时练习)已知点”2分别与点M(L-2,3)关于X轴和Z轴对称，则陷=()

A.(—2,0,6)B.(2,0,-6)C.(0,4,—6)D.(0,—4,6)

【答案】A

【分析】在空间直角坐标系中，求出点例(1,-2,3)关于X轴和Z轴对称的坐标，再利用向量的坐标表示即可

得解.

【详解】依题意，点M(l,-2,3)关于X轴对称点MI(1,2,-3),关于Z轴对称点加2(-1，2,3),

所以MM2=(-2,0,6).

故选：A

【例3】(2022•全国•高二专题练习)已知；，］,方是空间直角坐标系。-个Z中X轴、)，轴、Z轴正方向上的

单位向量，且&=3；，A%=；+J+Z则点8的坐标为(〉

A.(1,-1,1)B.(4,1,1)C.(1,4,2)D.(4,1,2)

【答案】B

【分析】设分X,Xz),由2⅛=(χ-3,y,z)=(1,1,1)得方程，即得解.

【详解】由题得点43,0,0)，设B(x,y,z),∙∙.A⅛=(x-3,y,z)=(l,U),

所以X—3=1,y=1,Z=1,冗=4,y=1,Z=1,

所以点B的坐标为(4』,1).

故选：B

【例4】(2022.全国•高二课时练习)已知｛α∕,c｝是空间向量的一个基底，｛α+b,4-b,c｝是空间向量的另一

个基底，若向量〃在基底他,九。｝下的坐标为(4,2,3),则向量P在基底｛α+4α-6,c｝下的坐标为()

A.(4,0,3)B.(123)C.(3,1,3)D.(2,1,3)

【答案】C

【解析】

【分析】

设出P在基底｛“+反。-b,c｝下的坐标为(x,y,z),利用对照系数，得到方程组，求出结果.

【详解】

••∙尸在基底｛。力,0｝下的坐标为(4,2,3)

.*.p=4a+2b+3c

设P在基底｛α+∕2M-b,CH的坐标为(x,y,z)

贝IJp=x(α+〃)+)(〃-/7)+ZC=(X+y)α+(x-yW+Zc

x+y=4

对照系数，可得：卜-y=2

z=3

X=3

解得：卜=1

z=3

.∙•°住基底伍+4。-6©下的坐标为(3,1,3)

故选：C

【例5】(2022•福建三明•高二期末(多选题))已知正方体ABCQ-AqGR的棱长为2,建立如图所示的空

间直角坐标系。qz,则()

A.点CI的坐标为(2,0,2)B.C,A=(2,-2,-2)

C.8。的中点坐标为(1,1,1)D.点与关于y轴的对称点为(-2,2,-2)

【答案】BCD

【解析】

【分析】

根据空间直角坐标系，可求点G的坐标，由此判断A;求出GA的坐标，可判断B:

利用中点坐标公式求得BDi的中点坐标，可判断C;根据空间点关于坐标轴的对称点的特点可判断D.

【详解】

根据题意可知点G的坐标为(0,2,2),故A错误；

由空间直角坐标系可知：42,0,0),6；4=(2,-2,-2),故8正确；

由空间直角坐标系可知:8(2,2,0),A(0,0,2),故Ba的中点坐标为(1,I,1),故C正确；

点⑸坐标为(2,2,2),关于于y轴的对称点为(一2,2,-2),故D正确，

故选：BCD

【例6】(2022•全国•高二课时练习)若四边形ABC。是平行四边形，且A(4,l,3),8(2,-5,1),C(3,7,-5),

则顶点。的坐标为()

A.(1,1,-7)B.(5,3,1)C.(-3,1,5)D.(5,13,-3)

【答案】D

【分析】根据ABCZ)为平行四边形，得到AB=DC,设。(x,y,z),将向量AB,DC用坐标表示后，代入上式

即可求解.

【详解】AB8为平行四边形，.∙.4B=OC,设。(x,y,z),则AB=(—2,-6,-2),£>C=(3—x,7-y,—5—z),

3-x=-2x=5

.,.7-y=-6,解得＜.y=13.

—5—z=-2z=-3

故选：D.

【题型专练】

1.(2021.北京.人大附中高二期中)在空间直角坐标系中，已知A(0,l,0),3(322),点。满足AO=2A8,

则点。的坐标是()

A.(5,4,3)B.(3,4,3)

C.(6,3,4)D.(1,2,3)

【答案】C

【分析】设。(x,y,z),根据AO=2AB可得点。的坐标.

【详解】设。(x,y,z),则AD=(X,yT,z),AB=(3,l,2),

x=6

由Ao=2A8得,k1=2即O(6,3,4),

[z=4

故选：C.

2.(2022•全国•高二单元测试)已知他,仇c｝是空间向量的一个基底，｛α+b,α-6,c∙｝是空间向量的另一个基底,

若向量P在基底｛α也c｝下的坐标为(4,2,3),则向量P在基底｛a+b,α-"c｝下的坐标为()

A.(4,0,3)B.(1,2,3)C.(3,1,3)D.(2,1,3)

【答案】C

【分析】设出P在基底｛4+6,α-b,c｝下的坐标为(x,y,z),利用对照系数，得到方程组，求出结果.

【详解】p在基底｛。,"。｝下的坐标为(4,2,3)/.p=4a+2b+3c

设方在基底｛α+-B,c｝下的坐标为(x,%z)

戈+y=4

则P=Ma+b)+y"/?)+ZC=(X+y”+(x-y)b+zc,对照系数，可得：＜x-y=2

z=3

X=3

解得：,产1.・“在基底｛。+〃,"，,。｝下的坐标为(3,1,3)

z=3

故选：C

3.(2022•江苏常州•高二期中)平行六面体ABs-ABCQ中，AC=(1,2,3),CGl,2,4),则点Al的坐标为

()

A.(0,4,7)B.(-2,0,l)C.(2,0,-1)D.(2,0,1)

【答案】B

【解析】

【分析】

利用空间向量的坐标表示，即得.

【详解】

设A(X,y,z),

VAC=(l,2,3),Cl(-l,2,4),又AC=AG,

(1,2,3)=(-1-x,2-y,4-z),

解得x=-2,y=0,z=l,即A(-2,0,l).

故选：B.

4.(2022•全国•高二课时练习)在正方体ABs-A8∣GR中，若点〃是侧面以＞AG的中心，则AM在基底

{A41,AD,A8}下的坐标为()

B

1C1

A.rt4B.C.D.Γ1,i

【答案】D

【解析】

【分析】

利用向量运算求得AM=；AAI+AO+从而确定正确选项.

【详解】

由题可知，M为。G的中点,

/.AM=AD+DM=AD+^DD,+DC)=AD+^AA+AB^=^

t=-AA,+AD+-AB,

712

，坐标为(g,l,g).

故选：D

5.(2022・河北・武安市第三中学高二阶段练习(多选题))如图，在正三棱柱ABC-ABe中，己知，ABC的

边长为2,三棱柱的高为1,BCMG的中点分别为D,R,以。为原点，分别以。C,ZM,。A的方向为X轴、y轴

、Z轴的正方向建立空间直角坐标系，则下列空间点及向量坐标表示正确的是（）

为

A.A（O,√3,1）B.C1（1,0,1）

C.ADt=（θ,-√3,l）D.BlA=（√3,√3,-l）

【答案】ABC

【解析】

【分析】

求出等边三角形的高AO的长，根据三棱柱的棱长可得各点坐标，然后求得向量的坐标即可判断.

【详解】

在等边LABe中，AB=2,BD=l,所以Ao=G,则4（0,G,0），A（0，G/）C（1，0，1），0（0,0，1），旦㈠，。」），

则AR=（θ,-√3,l）,S1A=

故选：ABC

6.（2022•全国•高二课时练习）已知”=（3,T,2）,α的起点坐标是（2,0,-5）,则"的终点坐标为

【答案】（5,7,-3）

【解析】

【分析】

根据向量坐标的求解方法，结合已知数据，求解即可.

【详解】

设α的终点坐标为(x,y,z),由题可得：(x-2,y,z+5)=(3,T,2),

故可得x=5,y=-l,z=-3,即α的终点坐标为(5,-1,-3).

故答案为：(5,—1,-3).

7.(2022•江苏•高二课时练习)已知点M(l,0,2),N(T,l,0),MN=2MP,则点P的坐标为

【答案】(0,；/,#(0,0.5,1)

【解析】

【分析】

先求出向量MN的坐标，设点P(X,y,z),得出M尸的坐标，根据条件得出方程组可得答案.

【详解】

点M(l,0,2),N(—1,1,0),则MN=(-2,1,—2)

设点尸(x,y,z),则MP=(X-I,y,z-2)

2x-2=-2p=0

由MN=2MP，则<2y=I，BUy=p

2z-4=-2IZ=I

所以点P的坐标为(o],ι

故答案为：(θɪ,ŋ

8.(2022♦江苏•高二课时练习)如图所示，在正方体A8C£>—4B∕C√λ中建立空间直角坐标系，若正方体的

棱长为1，则AB的坐标为一，OG的坐标为一，BQ的坐标为

【答案】(1,0,0)(1,0,1)(-ɪ,l,-l)

【解析】

【分析】

山题设确定A,8,RB∣,G的空间坐标，再利用向量的坐标表示求AB、OG、耳。的坐标.

【详解】

如题图示,

A(0,0,0),β(l,0,0),D(0,1,0),Bt(1,0,1),C1(1,1,1),

,AB=(1,0,0)-(0,0,0)=(1,0,0),

DC∣=(1,1,1)-(0,1,0)=(1,0,1),

B,D=(0,1,0)-(1,0,l)=(-1,1,-1).

故答案为：(1,0,0),(1,0,1),(-1,1-1).

题型二：空间向量的直角坐标运算

【例1】(2021・湖南•郴州市第三中学高二期中)在空间直角坐标系中，AB=(1,2,3),AC=(4,5,6),则向量

BC=()

A.(—3,—3,—3)B.(3,3,3)

C.(5,7,9)D.(4,10,18)

【答案】B

【分析】根据空间向量的线性运算和坐标表示，计算即可.

【详解】因为AB=(1,2,3),AC=(4,5,6),

所以向量3C=AC-A3=(3,3,3).

故选：B.

【例2】(2022•浙江宁波•高一期中)已知向量)=(2,1),U(1,-2),则的坐标为()

A.(-1,-5)B.(—1,7)C.(1,-5)D.(1,7)

【答案】B

【解析】

【分析】

根据向量的坐标运算直接求解即可

【详解】

α=(2,1),%=(1,-2),Λii-3⅛=(2,1)-3(1,-2)=(2,1)-(3,-6)=(-1,7).

故选：B.

【例3】(2022・重庆•高二期末)在四面体P-ABC中，P(0,0,3),A(2,2,5),8(1,3,2),C(3,1,2),则以下选项

正确的有()

A.AB=(—1,1,-3)

B.网=IACl

C.PAlAC

D.ABAC=Il

【答案】AB

【分析】根据空间向量坐标表示公式、空间向量模的坐标表示公式、空间向量垂直的性质和数量积坐标公

式逐一判断即可.

【详解】A：因为4B=(-l,l,-3),所以本选项正确；

B：因为A8=(T,l,-3),AC=(1,-1,-3),

所以有=«-1)2+俨+(-3)2=√∏,∖AC∖=√12+(-1)2+(-3)2=√∏,

因此本选项正确；

C：因为E4=(2,2,2),AC=(I,-1,-3),

所以有PA∙AC=2-2-6=-6HO，因此本选项不正确；

D：因为ZB=(-1,1,-3),AC=(I,-1,-3),

所以A8∙AC=-l-l+9=7，因此本选项不正确，

故选：AB

【例4】(2022•广东•高二阶段练习)如图所示的空间直角坐标系中，四棱锥P-ABCD的底面ABC。是正方

形，PBJ.平面ABa且P8=AB=2,若尸C=3PQ,则点。的空间直角坐标为()

A.(3,2,1)B.与用

C.(1,2,3)D.(1,2,1)

【答案】B

【解析】

【分析】

根据空间向量的坐标运算直接计算.

【详解】

由题意得C(0,2,0),P(2,2,2),所以尸C=(-2,0,-2)=3尸。，

所以Po=(争0,一事,所以Q的坐标为1率0,-"+(2,2,2)=住词.

故选:B.

[例5](2022•江苏南通•模拟预测)已知正六棱柱48CDEF-ABCQE耳的底面边长为1,P是正六棱柱内

(不含表面)的一点，则AP∙AB的取值范围是()

CJ

∙H)d∙H)

【答案】A

【解析】

【分析】

建立空间直角坐标系，设尸(x,y,z),由正六边形的性质可知-]<χ<;,再根据空间向量数列积公式，即

可求出结果.

【详解】

建立如图所示的空间直角坐标系，H.AB=BC=CD=DE=EF=AF=l,

]/3/3/3

由正六边形的性质可得，A(0,0,0),8(1,0,0),尸--,^-,0,Cpɪ,θ,

∖Q

设尸(x,y,z),其中-∕<x<∕,

所以AB=(1,0,0),AP=(x,y,z),

所以AB∙AP=χ,所以48∙AP的取值范围(-g,∙∣]

故选：A.

【题型专练】

1.(2021.广东•潮州市湘桥区南春中学高二阶段练习)若α=(2,0,1)力=(-3,1,-1),c=(l,l,O),则α+2b_3c=

()

A.(-1,-2,0)B.(-7,-1,0)C.(-7,-1,1)D.(-7,-1,-1)

【答案】D

【分析】利用向量线性关系的坐标运算求α+28-3c即可.

【详解】a+26-3c=(2,0,l)+2∙(-3,l,-l)-3∙(l,1,0)=(-7,-1,-1).

故选：D

2.(2022•广东•普宁市华侨中学高二阶段练习)在棱长为2的正方体ABCo-A瓦GA中，尸是棱CG上一动

点，点。是面AC的中心，则APAO的值为()

A.4B.2√2C.2D.不确定

【答案】A

【解析】

【分析】

画出图形，建立空间直角坐标系，用向量法求解即可

【详解】

如图，以。为原点建立如图所示的空间直角坐标系。-孙Z,

因为正方体ABCD-ABCa棱长为2,点。是面AC的中心，P是棱Ca上一动点,

所以A(2,0,0),0(1,1,0),P(0,2,z)

AP=(-2,2,z),AO=(TLO)

AP∙AO=2+2+0=4

3.(2022•江苏・东海县教育局教研室高二期中)已知α=(4,l,2),⅛=(2,-1,3),则(α-θ)∙(α+2b)=

【答案】6

【分析】根据空间向量的数量积的坐标运算公式即可求解.

【详解】由“=(4,1,2),6=(2,-1,3),得

a-⅛=(4-2,1+1,2-3)=(2,2,-1),2⅛=(4,-2,6),

α+2A=(4+4,1-2,2+6)=(8,-1,8).

(4-∕>)∙(α+2h)=2x8+2x(-1)+(-1)x8=6.

故答案为：6.

4.（2022・湖南益阳•高二期末（多选题））已知四面体ABCD的所有棱长都是2,E,EG分别是棱AB,A。,。C的

中点，则（）

A.ABAC=2B.EFFG=I

C.AB∙EG=QD.GEGF=I

【答案】ACD

【解析】

【分析】

建立空间直角坐标系，利用空间向量数量级的坐标运算计算即可.

【详解】

以8为原点，建立如图所示的空间直角坐标系,

则B(0,0,0),C(l,√3,0),£)(-1,6,0),Λ(0,,G((),√3,0),Ee与与,

所以AB=（0,-半,一半）

AC=(1,

EF=（-；，¥，O），FG=（；,

,EG=(0,

2811

AB-AC=一一+-=2,EFFG=一一+—=0,

3344

ARf7G_44_2√3√61√3√612

333326333

故选：ACD

5.（2022•上海市奉贤中学高三阶段练习）棱长为1的正方体ABCC-A4GR，P在正方体的12条梭上运

动，则AC∙BP的取值范围是,

【答案】[τ,l]

【解析】

【分析】

建立空间直角坐标系，利用向量法求得ACBP的表达式，进而求得ACBP的取值范围.

【详解】

建立如图所示空间直角坐标系,A(1,O,O),C(O,1,O),B(1,1,O),

AC=(T,1,0),设P(x,y,z)(且P只在正方体的12条棱上运动)，

则3户=(x-l,y-l,z),

AC∙BP=1-x+y-1=y—x,

0≤x≤l-l≤-x≤0

由于,所以=T≤y-x≤↑,

0≤γ≤l0≤y≤l

当X=Ly=O时，AC∙BP取最小值-1;当X=O,y=l时，AC.BP取最大值1.

故答案为：

6.(2022•全国•高二课时练习)已知空间三点A(0,2,3),8(-2,1,1),C(l,-I,3),四边形ABCD是平行四边

形，其中AC,BD为对角线,则80=.

【答案】(5-1,4)

【分析】设氏x,y,z),根据48=QC,求出点。的坐标，即可求出BD

【详解】空间三点A(0,2,3),3(-2,1,1),C(l,-1,3),四边形ABa)是平行四边形，

设。(x,y,z),AS=(-2,-1,-2),DC=(l-x,-l-j,3-z),AB=DC，

/.—2=1—x,-∖=-∖-yf—2=3—z,解得χ=3,y=θ,z=5,.,∙D(3,0,5),

/.8。=(5,-1,4).

故答案为：(5-1,4).

7.(2022•全国♦高二课时练习)已知正方体ABC。-ABCQ的棱长为1,P为8。上一点，且BP=；BR.建

立如图所示的空间直角坐标系，求点P的坐标.

【答案】p(∣,∣4

【解析】

【分析】

由图可得A(0,0,1),8(1,1,0),设3P=(x,y,z),然后根据BP=gBR求解即可.

【详解】

由图可得A(0,0,1),B(IJO),设BP=(X,XZ)

因为BP=gBR,所以=所以(x—l,y-l,z)=g(T,T,l)

,12

X-I=——X=—

33

所以IyT=-鼻1,解得｛y=q2,即Pl<W2G2G1Al

题型三：空间向量的三点共线与四点共面问题

【例1】(2022•全国•高二课时练习)若A(m+1,〃-1,3)、B(2m,n,m-2n)λC(Zn+3,"-3,9)三点共线,则

m+n=().

A.OB.ɪC.2D.3

【答案】A

【解析】

【分析】

直接根据々=求解即可.

【详解】

VAB=(w-l,l,m-2n-3),AC=(2,-2,6),

,日?3.m-∖1m-2n-3

由题意4得θ48//AC，π则lF-=F=——-——，

2—26

/./??=Osn=O,Λm+n=O,

故选:A.

【例2】(2022.江苏.高二课时练习)向量&=(1,1,0),6=(0,1,1),c=(1,0,1),4=(1,0,-1)中，共面的三个

向量是()

A.a,b,cB.b,c,dC.c,d,aD.d,a,b

【答案】D

【解析】

【分析】

根据向量共面满足的坐标关系，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.

【详解】

A：若a,Z?,C共面，则α=χθ+yc,即(l,l,O)=(O,x,x)+(y,O,y),

即y=l,x=l,x+y=O,显然不存在％y满足题意,故a,Ac不共面；

同理，B,C中的三个向量也不共面；

D：若d,揖6共面，则d=xα+功，即(1,0,-1)=(x,x,0)+(0,y,y),

Bpx=l,x+j=O,y=-l,故存在X=Ly=T满足题意，则d,a,6共面.

故选：D.

【例3】(2022.云南省泸西县第一中学高二期中)已知空间向量”=(-2,l,㈤为=(1,TO),p=(T,2,r),若

a,b,p共面，贝∣J〃?+，=()

A.—1B.OC.ID.—

2

【答案】B

【解析】

【分析】

根据共面向量，得到对应关系，求出相+，的值即可.

【详解】

若a、b、P共面，则α=2b+2p,

即(―2,1,tri)={λ-μ,-λ+1μ,μt),

λ-μ=-2λ=—?>

故∙-2+2∕z=l,故<〃=-1,

μt=mt+m=O

故选:B.

【例4】(2022•福建龙岩•高二期中)已知空间中三点A(mT,2),B(3,l,-4),C(l,π,-1).

⑴若A,B,C三点共线，求帆+〃的值；

(2)若AS,BC的夹角是钝角，求〃?+〃的取值范围.

【答案】(I)T;

(2)〃?+"vl3,^∖jn+n≠-∖.

【解析】

【分析】

(1)由向量的坐标表示确定AB、CB,再由三点共线，存在；IeR使AB=∕LCB，进而求出”,即可得

结果.

(2)由向量夹角的坐标表示求cos<AB,BC>,再根据钝角可得2(m-3)+2("-l)78<0,讨论

<A8,8C>=开的情况，即可求帆+〃范围.

(1)

由题设AB=(3-皿2,-6),CB=(2,l-",-3),又A,B,C：三点共线,

3—nι=2Λ∖λ-r∑

所以存在/IeR使AB=ACB，即J2=∕l(1-"),可得Jm=-I,

-6=-32«=0

所以∕n+〃=—1.

(2)

由BC=(—2,枕一1,3),

由(1)知：当<AB,8C>=乃时，有/72+〃=—1；

ABBC2(愣-3)+25-1)-18

而cos<AByBC>=又AB，BC的夹角是钝角，

IABIIBCI√40+(w-3)2∙√13+(n-l)2

所以2。〃-3)+2(〃-1)-18=2(机+〃)-26<O,可得利+鹿<13；

又机=o,〃=T时AB=(3,2,-6)∖BC=(-2,-2,3).故cos<4B,BC)=一言<O,满足题设；

综上，tn+n<13,J^L∏j+n≠-∖.

【例5】(2022.全国•高二课时练习)证明43,0,5),B(2,3,0),C(0,5,0),。(1,2,5)四点共面，你能给出儿

种证明方法？

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】

方法一、根据AC=4B+4。即可证明；方法二、根据AB=OC即可证明.

【详解】

证明：方法一、因为A(3,0,5),B(2,3,0),C(0,5,0),£>(1,2,5),

所以A8=(-1,3,-5),AC=(-3,5,-5),A。=(-2,2,0),

所以AC=AB+AO，

所以A,B,C,。四点共面；

方法二、因为43,0,5),β(2,3,0),C(0,5,0),D(l,2,5),

所以AB=(-1,3,-5),DC=(-1,3,-5),

所以A8=OC，

所以ABCD,

所以A,B,C,。四点共面.

【题型专练】

1.(2022・河南•平顶山市教育局教育教学研究室高二开学考试(理))已知空间三点4(0,1,2),8(2,3,1),

C(y,2,ni),若A,8,C三点共线，则W=().

A.ɪB.1C.-D.2

22

【答案】C

【解析】

【分析】

求出向量AB与向量AC的坐标，根据A,8,C三点共线，可得向量AB与向量AC共线，由此即可求出结果.

【详解】

因为AB=(2,2,—1),AC=(Ll,加一2),FIA,B,C三点共线，

所以向量AB与向量AC共线，

LL-1m—2R3

所以彳=——.1⅜W=-∙

2-12

故选：C.

2.(2022・陕西榆林•高二期末(理))已知α=(2,-1,3),⅛=(-1,4,-4),c=(7,7"),若〃、b、2三个向量共

面，则实数2=

A.3B.5

C.7D.9

【答案】A

【解析】

【分析】

由空间向量共面原理得存在实数”？，〃，使得c=%α+"6,由此能求出实数人

【详解】

解:α=(2,-1,3)>⅛=(-1.4,-4),c=(7,7,2),a、b、C三个向量共面，

，存在实数m,",使得c=∕nα+"匕,即有:

7=2/77-n

<7=-m+4n,

A=3m-4〃

解得m=5,∕ι=3,

.∙.实数；1=3X5-4X3=3.

故选：A.

【点睛】

本题考查空间向量共面原理的应用，属于基础题.

3.(2022.浙江・效实中学高二期中)(1)设ON=(I,—2,-2),OM=(3,2,4),贝IBMN=；

(2)若P与A,B,C(A,B,C三点不共线)四点共面，且对于空间任一点。，都有

APOA+2OB+rOC(r∈R),则f=.

【答案】(T,-2,-3)-3

【解析】

【分析】

(I)根据空间向量线性运算的坐标表示可求;MN的坐标，

(2)由已知可得：OP=2OA+2OB+tOC(t≡R),利用四点共面的充要条件列方程即可求解.

【详解】

(1)因为ON=(I,-2,-2),OM=(3,2,4),所以MN=ON-OM=(-2,T,-6),

所以;MN=(T-2,-3).

(2)对于空间任一点0,都有AP=OA+2OB+∕OC(ZGR),

则OP-OA=04+208+rOC(f∈R)g∣JOP=2。4+2OB+fOC(f∈R),

因为点P与A,B,C(A,B,C三点不共线)四点共面，

所以2+2+/=1,可得/=-3,

故答案为：(—1,—2,-3)；-3.

4.(2022•全国•高二单元测试)已知”=(2,-1,3),O=(T4,-2),c=(7,5,2).若“、b、C三向量共面，则

实数4=.

【答案】y

【解析】

【分析】

由题意可得，存在实数X,y,使C=M+乃，列出方程组，即可求得答案.

【详解】

因为α,b不平行，且a、b、C三向量共面,

所以存在实数X,y＞使C=Xa+油，

7=2x-y

17

所以＜5=-x+4y,解得y=亍,

λ=3x-2y

故答案为：y

5.(2022•辽宁•辽河油田第二高级中学高二期中)已知向量α=(2,l,-2),6=(-2,3,1),C=(X,3,5).

(1)当∣α+c∣=50时，求实数X的值；

⑵若向量C与向量”,B共面，求实数X的值.

【答案】(I)X=3或χ=-7.

、46

(2)——∙

【解析】

【分析】

(I)由空间向量的坐标运算，建立方程，求解即可；

(2)设c=/U+〃6(%〃eR),根据空间向量的坐标线性运算建立方程组，求解即可.

(1)

解：α+c=(x+2,4,3),

因为卜+c∣=5√∑,所以J(X+2)2+4?+32=5&,BPX2+4X-21=0,解得X=3或X=-7；

(2)

解：因为向量C与向量”，匕共面，所以设c=∕lα+W(∕l,4eR).

x=2tλ-2μ/

因为(x,3,5)=2(2,1,-2)+M—2,3/)，■3=2+3〃，所以<=-*所以实数X的值为一年.

5=-2λ+μ

11

题型四：空间向量模长坐标表示

【例1】(2022•全国•高二专题练习)若AB=(-1,2,3),BC=(1,-1,-5),贝IJlACI=()

A.√5B.√10C.5D.10

【答案】A

【分析】先求出AC,再利用向量的模长计算公式即可

【详解】因为AC=4B+BC=(-1,2,3)+(1,-1,-5)=(0,1,-2)

所以IACl=√02+l2+(-2)2=√5

故选:A

【例2】(2022•全国•高二课时练习)已知向量d=(T,2,l),0=(2,-2,0),则。在6的方向上的数量投影为

()

ɔ/ɔ3

A.-x∕bB.—aC.--------D.-h

24

【答案】C

【解析】

【分析】

直接由数量投影的公式求解即可.

【详解】

a∙h—lx2+2x(-2)3>/2

由题意知：”在人的方向上的数量投影为W=-

故选：C.

【例3】(2022•福建龙岩•高二期中)已知向量i=(-3,2,4),⅛=(l,-2.2),贝电-。卜()

A.2√I0B.40C.6D.36

【答案】C

【解析】

【分析】

利用向量线性关系的坐标运算求a-方，再利用向量模长的坐标公式求模长.

【详解】

222

由题设α-b=(-4,4,2),则卜沙J(-4)+4+2=6.

故选：C

【例4】(2022・湖北•十堰市教育科学研究院高二期末(多选题))在空间直角坐标系O-型中，

Λ(1,1,3),B(2,-2,1),则()

A.OAlOBB.∣AB∣=√14

C.|。昨2|OdD.OBAB=6

【答案】BD

【解析】

【分析】

根据空间向量的垂直的坐标运算可判断A；计算空间向量的模长可判断BC；根据空间向量的数量积的坐标

运算可判断D.

【详解】

O4∙OB=3≠0,故A错误；

网=Jl+(-3)2+(-2)2=√17,故B正确；

因为烟=,4+4+1=3,∣OΛ∣=√1+1+9=√H,所以故C错误；

因为AB=(I,—3,—2),所以Oδ∙A月=2+(-2)x(-3)-2=6,故D正确.

故选：BD.

【例5】(2022.安徽省亳州市第一中学高二开学考试)如图,在直三棱柱ΛBC-AEC中，AB=BC=BBl=2,

ABlBC,。为AB的中点，点E在线段C'。上，点尸在线段88'上，则线段E厂长的最小值为()

C.ID.√2

【答案】B

【解析】

【分析】

根据给定条件建立空间直角坐标系，令加=2力C'"w[O,l],用;I表示出点E,尸坐标，再由两点间距离公

式计算作答.

【详解】

依题意，BABe,BB'两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系,

则8(0,0,0),D(0,1,0),β,(0,0,2),C,(2,0,2),DC,=(2,-1,2),BB'=(0,0,2),

设DE=4。C)G[0,1],则E(24,1-422),设F(0,0,z),有EF=(2。,1-4,z-21),

线段E尸长最短，必满足EFJ.B8',则有EF∙B8'=0,解得z=22,即EF=(22,l-∕l,0),

因此，IEFI=J(2F)2+(1-')2=J542-2∕l+l=M-g›+、≤竽,当且仅当2="时取"=”,

所以线段EF长的最小值为亭.

故选：B

【题型专练】

1.(2022•江西・赣州市赣县第三中学高二开学考试(文))已知点B是4(3,4,5)在坐标平面XOy内的射

影，则IOBi=()

A.√34B.√4JC.5D.5√2

【答案】C

【解析】

【分析】

先求出8(3,4,0),由此能求出IoBI.

【详解】

解：：点B是点A(3,4,5)在坐标平面Qry内的射影，.♦.8(3,4,0),

R1JlOB∣≈√32+42+02=5∙

故选：C.

2.(2022・江苏・涟水县第一中学高二阶段练习)已知空间三点A(l,-1,-1),8(-1,-2,2),C(2,1,1),则

AB在AC上的投影向量的模是.

2

【答案】I

【解析】

【分析】

先求得AB,AC,再根据投影向量的模的公式求解即可

【详解】

ILllinUUinI

uniUUU∣uιn∣UimuuraAB∙AC∖

由题，ΛB=(-2,-3,3),AC=(l,2,2),故A8在AC上的投影向量的模Icos<AB,AC>|=卞不

∣-2-6+6∣_2

=赤+22+22=§

故答案为：~

3.(2022・江苏常州•高二期中)已知正方体A8CD-A/B/C/Z)/的棱长为3,AM=,点N为8/2的中点,

则IMNI=.

【答案】叵

2

【解析】

【分析】

根据题意，建立适当的空间直角坐标系，即可求解.

【详解】

如图所示，以点Z)为坐标原点，以JoA,DC,。。所在直线分别为X,y,Z轴，建立空间直角坐标系。-孙z,

则A(3,0,0),G(0,3,3),3(3,3,0),B1(3,3,3),

所以AΛ∕=gAC；=(TJl),

所以M(2,l,l),N(3,3,∣),MN=(l,2,g

故答案为：—.

2

4.(2022・全国•高二单元测试)若向量。=(0,-1,1),6=(4,1,0),,a+W=回且；1>0,则实数2=

【答案】3

【解析】

【分析】

由向量模长坐标运算可构造方程求得结果.

【详解】

22

λa+b=[4,∖-λ,λ),.∙.∖λa+h∖=λ∕16+(l-2)+A=√29,

解得：4=—2或％=3,又几>0,.,.A=3.

故答案为：3.

5.(2022.湖南.高二课时练习)已知长方体ABCQ-ABCa的四个顶点分别为A(0,0,0),8(1,0,0),O(0,2,0),

A((),0,3),求其余各顶点的坐标以及对角线的长.

【答案】C(1,2,0),B1(1,0,3),C1(1,2,3),D1(0,2,3),面对角线长为遂，体对角线长为JiT

【解析】

【分析】

根据向量的相等关系，求出各顶点坐标，根据模长公式求出面对角线与体对角线的长.

【详解】

x=l

由题意得：设C(x,y,z),则由AB=QC得：(1,0,0)=(x,y-2,z),即<y=2,所以C(l,2,0),又由

z=0

A41=SB,=CCi=DD1=(0,0,3),求得:4(1,0,3),C1(1,2,3),D1(0,2,3),其中AC=(1,2,0),故

∣AC∣=√ΓT4=√5,所以面对角线长度为√LAC1=(1,2,3),所以陷∣=Jl+4+9=E

题型五：空间向量平行垂直坐标表示

【例1】(2021.全国•高二单元测试