黑龙江省大庆市2023届高三第一次教学质量检测数学试题（解析版）

大庆市2023届高三年级第一次教学质量检测

数学试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.设集合A={E<α},集合8={T2},若ACB=0,则实数。的取值范围是()

A.(→30,-l]B.(-∞,-l)

C.(→o,2)D.(2,+∞)

R答案，A

K解析？

K祥解》利用交集的运算求解.

K详析H因为A={x∣x<a},集合B={-l,2},且AC8=0,

所以Q≤—1,

故选：A

2.已知复数Z=出一i3,贝IJZ的虚部为()

2-1

A.1B.2iC.2D.0

K答案，c

K解析》

K祥解》化简复数Z,可得Z的虚部.

3+i§(3+i)(2+i)5+5i

K详析》因为Z=『r-r=,.v.^+1=——+i=l+2ι,所以复数Z的虚部为2.

2-ι(2-ι)(2+ι)5

故选：C

3.已知α=(-l,3),⅛=(2,Λ),若a_L(a—b),则4=()

A.-3B.4C.3D.-4

K答案，B

R解析》

K祥解Il由平面向量的坐标运算求解，

K详析R因al(a-b),所以“∙(α-b)=7—α∙b=10-(-2+34)=0,所以;1=4.

故选：B

4.我国西北某地区开展改造沙漠的巨大工程，该地区对近5年投入的沙漠治理经费X（亿元）和沙漠治理面

积y（万亩）的相关数据统计如下表所示.

治理经费V亿元34567

治理面积y/万亩1012111220

根据表中所给数据，得到y关于X的线性回归方程为5=2x+α,则α=（）

A.1B.2C.3D.4

K答案1C

K解析』

K样解》利用线性回归直线方程过定点）,可得K答案』.

3+4+5+6+7_10+12+11+12+20C

『详析》因为元==5,y=-------------------=13,

5

因回归方程过定点）,将其代入9=2x+α,得13=2χ5+α,解得α=3,

故选：C

5.已知5"=2，b=Iog53,则Iog5l8=（）

A.a+3bB.a+2bC.2a+bD.3a+b

K答案，B

K解析1

K样解H由对数的运算性质求解，

K详析》因为5"=2，所以α=log52.则Iog5l8=log52+log59=log52+2iog53,

所以Iog5l8=a+2b.

故选：B

6.已知不重合的直线/,m,"和不重合的平面α,β,下列说法中正确的是（）

A.若muα,nuβ,m±n,则aJ■力

B.若机Ua,〃ua,m//β,nllβ,则a〃万

C.若a",lLβ,则/〃a

D.若。/3=1,InUa,nuβ,m//n,则加〃/

R答案UD

R解析』

K祥解』由线线垂直得不到面面垂直，可判断A错；无法判断〃2,〃是否相交，故B错误；存在∕u0特

殊情况，故C错误；由线面平行的性质和判定定理可判断D正确.

K详析》对选项A,如图所示，满足命题条件，但不一定满足。，尸，故A错；

对选项B,当根〃〃〃/,«，=/时，都满足加〃4，m∕β,但推不出C〃尸，故B错;

对选项C,存在∕uα特殊情况，故C错误；

对选项D,因为6，n（≡β,m∕∕n,所以加//，，又Uα,a∖0=1,所以.

7.设X,y∈R,则"x+y>2”是“X,y中至少有一个大于1”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

R答案1A

K解析工

K样解》利用反证法可以得到x+y>2时X,y中至少有一个大于1,充分性成立，再举出反例，证明必

要性不成立

R详析力假设χ,y均不大于1,即x≤l且y≤l,则x+y≤2,这与已知条件x+y>2矛盾，故当x+y>2

时X,y中至少有一个大于1.故充分性成立；取X=2,丁=一1,满足X,y中至少有一个大于1,但x+y>2

不成立，故必要性不成立，故"x+y>2”是“x,>中至少有一个大于1”的充分不必要条件.

故选：A

8.设抛物线C：√=-12γ焦点为F,点P在上，β(0,-9),若IPFl=I。耳，则IPQl=()

A.2√2B.4√2C.5√2D∙6√2

K答案HD

K解析』

K祥解D根据题意得出I尸耳是抛物线通径的一半再由勾股定理即可解决.

K详析D由题意可知E(O,-3),∣QE∣=6,

所以IP尸I=6.

因为抛物线C的通径长2p=12,

所以「尸_Ly轴，

所以IPQl=J6?+6?=60

故选：D.

9.函数/(x)=ASin(<υx+0)(A>0,0>0,∣^∣<y)的部分图象如图所示，将/(x)的图象向右平

移三个单位长度得到函数g(X)的图象，则(

B.^(x)=>/2cos2x

C.g(x)=0cos(2x_?D.g(x)=V^sin2x+?)

K答案Dc

K解析》

K样解》首先根据函数图象得到/(x)=J^Sin+ɪb再根据平移变换求解即可.

R详析Il由图知：/(x)n,n=-A=-√2,则A=J5，

-T=-π--=-,所以T=乃，则⑦=2,即〃X)=五sin(2x+

41234v,1

因为/(t)=3SinlI■乃+e]=0,所以∙∣%+e=&万，keZ,

2

即(P=——yr+k兀,k∈Z.

因为|同＜擀，得夕=q,所以/(X)=J^Sin(2x+?).

所以g(x)=JΣsin2(x-γ∣j+^=逝sin(2x+工

I6J

=√f2sin^2χ-y^+y=V2cos^2x-y

故选：C

10.在三棱锥P—ABC中，P8J_平面ABC,且AB=PB=26，AC=BC=2,E,尸分别为BC,PA

的中点，则异面直线E尸与PC所成角的余弦值为（）

Lr.-ʌ/ɜ

5DT

K答案』B

K解析』

R祥解X要求异面直线的夹角，利用线线平行进行转化，如图分别取AB,PB的中点M,G,连接尸M,

ME,GE,FG,则GE〃PC,所以NFEG或其补角为异面直线EF与PC所成的角，解三角形即可得解.

K详析D如图所示，分别取AB,P8的中点M,G,连接FM,ME,GE,FG,则GE〃PC,所以NFEG

（或其补角）为异面直线E尸与PC所成的角.

P

因为A6=PB=26，AC=3C=2,所以尸M=√§,ME=I.

因为依，平面ABC,BCU平面ABC,FMHPB,

平面ABC,PB±BC,QMEU平面ABC,

所以RV/LME，且PC=JBC2+PB?=4•

在RtZ∖FΛ∕E中，PE=^FM^+ME2=2-

在乙Z7EG中，EG=ɪPC=2=FE,FG=/)>

由余弦定理得cosNFEG=EF?'EG上FG?=4+4-3=5

IEFEG2×2×28

所以异面直线EF与PC所成角的余弦值为*.

8

故选：B

11.已知函数/(x),g(x)的定义域均为R,且/(x)+g(2-x)=2,g(χ)-/(χ-4)=4,若g(x)的

图象关于直线χ=2对称，g(2)=l,则/(2022)=()

A.-3B.-IC.0D.2

R答案》A

R解析』

K祥解11依题意可得g(2-x)=g(2+x),再由“χ)+g(2-x)=2可得"τ)=f(χ),即可得到/(x)

为偶函数，再由8(力一/(%-4)=4得到/。+4)=/(%),即可得到/(x)的周期为4,再根据所给条

件计算可得.

K详析D因为g(x)的图象关于直线χ=2对称，所以g(2-x)=g(2+x),

所以/(x)+g(2-x)=∕(x)+g(x+2)=2,

因为/(-x)+g(2+x)=2,所以/(r)=∕(x),所以/(x)为偶函数.

因为g(x)-∕(%-4)=4,所以g(x+2)-∕(x-2)=4,

所以/(X)+∕(X-2)=-2,所以/(X+2)+∕(X)=-2,

所以/(x+4)+∕(x+2)=-2,所以/(x+4)=∕(x),所以/(x)的周期为4，所以/(2022)=/(2).

因为g(2)T(-2)=g(2)-42)=4,所以〃2)=-3,故/(2022)=—3.

故选：A

22

12.设片，K分别是椭圆。：0+今=1(.＞。＞0)的左、右焦点，点P，Q在椭圆C上，若，£+尸用I=

IPE—,且PE=260,则椭圆C的离心率为()

A争B—c∙@D.交

3333

K答案DA

K解析』

K样解》利用数量积知识得PEJ∙PR,然后利用第一定义及勾股定理得到。、C关系，即可求出离心率

K详析D由卜£+尸玛］=IPE—尸同，得尸;社P月，则点P是以KK为直径的圆与椭圆C的交点，不妨

设和点尸在第一象限，如图

连接。耳，令IQKl=%,则IP闾=2x,耳∣=2α-x,∣P耳∣=2α-2x.

因为P与，PQ,所以仍用2+俨。2=代用2,即4(〃—χy+9χ2=(2α-力2,得X=∙∣,又

∖PF^+∖PF2f^∖F,F2f,所以4(a—xf+4f=4c2,将X=I代入，得e=容

故选：A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.函数/(x)=∕-4e'+l的图象在点(0,/(0))处的切线方程为

R答案X4x+y+3=0

工解析H

K祥解H先求导，再由导数的几何意义和点斜式即可求解

K详析D因为/(X)=/-4e'+l,所以/'(χ)=2x-4e'.因为"0)=-3,/'(O)=T,所以所求切

线方程为y-(-3)=-4x,即4x+y+3=0.

故K答案H为：4x+y+3=0

14.已知直线/：3x—4y+l=0与圆0=χ2+y2+2χ-4y+M=o相离，则整数机的一个取值可以是

K答案》2或3或4(注意：只需从2,3,4中写一个作答即可)

K解析H

"羊解Il利用直线与圆的位置关系列出不等式组，解出整数加的范围.

K详析》因为圆。的圆心为(-1,2),所以圆心到直线/的距离4=为不4=2,因为圆。的方程可化

简为(x+lp+(y-2)2=5-加，即半径为百二£，所以所以1＜加＜5,故整数小的取值

可能是2,3,4.

故R答案Il为：2或3或4(注意：只需从2,3,4中写一个作答即可)

15.一个口袋里有大小相同的白球4个，黑球〃?个，现从中随机一次性取出2个球，若取出的两个球都是白

球的概率为,，则黑球的个数为.

6

K答案D5

K解析D

K祥解》根据古典概型的概率公式及组合数公式得到方程，解得即可.

C21121

广详析》由题意得分=：,所以］不=2,解得m=5或加=一12(舍去)，

Ct46(m+3)(∕tt+4)6

即黑球的个数为5.

故K答案H为：5

16.已知(«一2)的展开式中第4项与第5项的二项式系数之比是2:3,则〃=,展开式的常数项

为.(用数字作答)

K答案，①.9②.-672

K解析H

C32

K祥解力空1：根据二项式系数的性质得方■=§,解出〃即可；

9-3r9—3〃

空2：由题化简得其展开式的通项为(I=Cj∙(-2)"x丁，令一7一=0,解出厂值，代回即可得到其常

数项.

〃！

C323'(n-3)'2

K详析员由题意得U=不，即二—「匕=彳,解得〃=9.

C：3〃！3

4!(n-4)!

，八99r，9Y9-3r

一习展开式的通项为&I=Cj•(6)B=q∙(-2),∙Λ~.

9一3厂o

令=0,解得r=3,故展开式中的常数项为C；X(-2)=-672.

故K答案H为：9；-672.

三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.设｛α,,｝是公差不为0的等差数列，4=2,%是4，的等比中项.

(1)求｛4｝的通项公式;

3

(2)设〃,=-----,求数列也｝的前〃项和s..

anan+∖

K答案』(1)4=3〃—1

3几

(2)

6π+4

K解析》

K祥解D(1)设｛a,,｝的公差为d,由题意可得(2+2d)2=2(2+10d),求出d=3,即可求出｛《,｝的通

项公式；

(2)由裂项相消法求和即可得出K答案2

K小问1详析F

设｛4｝的公差为d,因为4=2,%是4，%的等比中项,

所以（2+2d）?=2（2+101）,所以［2-3d=o.

因为d∕0,所以d=3，故a”=2+3（〃-1）=3"-1.

R小问2详析卜

,331______1

因为a=----(-3--n-l)(3rt+2)^3tt-l^3tt+2

a,,all+i

1ILl___1_3n

3n-l3n+2J23〃+26〃+4

18.在ABC中，内角A,B,C的对边分别为小b>c∙,已知sin8-SinACoSC='sinC.

2

（1）求角A；

（2）若c=2,。为BC边的中点，卜。卜平，求a的值.

K答案x（1）A=∣

（2）a=ʌ/ɜ

K解析H

R祥解II（I）由两角和的正弦公式化简求解，

（2）由平面向量数量积的运算律与余弦定理求解，

K小问1详析2

由题意得SinB=Sin(A+C),

所以SinAcosC+cosAsinC-sinAcosC=—sinC,

所以COSASinC=—SinC.因为SinCHO,所以COSA=

22

TT

因为0<A<^∙,所以A=

R小问2详析)

由2AO=AB+4C，可得4AZ/=HZf+AC"-+2∣A8∣kqcosA.

因为c=2,|4£)|=也^,A——,所以+2Z?—3=O，解得力=1.

II23

因为∕=b2+c2—IbccosA=3»所以a=ʌ/ɜ■

19.如图,在长方体ABCD-A4GR中,底面ABCO是边长为2的正方形，AA1=3,M,N分别是

（1）证明：MN〃平面CGR。；

（2）求平面3。。与平面CMN夹角的余弦值.

K答案，（1）证明见K解析T

R解析D

K祥解2（1）取CR的中点T，连接。T,TN,由三角形中位线定理结合已知条件可得四边形DMNT是

平行四边形，则MN〃。丁，再由线面平行的判定定理可证得结论；

（2）以。为坐标原点，DA>DC，的方向分别为X，>，Z轴的正方向，建立如图所示的空间直角

坐标系，利用空间向量求解.

K小问1详析）

证明：取CQ的中点T，连接。T,TN,

•：N,T分别是BA,CR的中点,

.,.NT//BC,NT=-BC

2

•；底面AB8是矩形，Λ/是AO的中点，

DM//BC//NT,DM=-AD=-BC=NT

22

四边形DMNT是平行四边形，

.∙.MN〃DT，

•.•阿二平面CG2。，Z)TU平面CGA。，

...MN〃平面CGRD.

K小问2详析工

解：以。为坐标原点，DA>DC，的方向分别为X，y，Z轴的正方向，建立如图所示的空间直角

坐标系,

则M(l,0,0),yvfl,l,∣j,A(2,0,0),C(0,2,0),D1(0,0,3),3(2,2,0),=

CM=(I,-2,0),

设平面CMN的法向量为〃=(x,y,z),

，3

n∙MN=VH—Z=O

则J2

n∙CM=x-2y=O

令z=-2,得"=(6,3,-2).

取平面BDA的一个法向量W=AC=(-2,2,0).

设平面BQR与平面CMN的夹角为。，由图可知6为锐角,

mn

_6_3√2

贝IJcosθ=cos(m,n

∕77∣J7?2λ∕2×714

故平面BDDl与平面CMN夹角的余弦值为亘.

14

20.盐水选种是古代劳动人民的智慧结晶，其原理是借助盐水估测种子的密度，进而判断其优良.现对一批

某品种种子的密度（单位：g∕cn√）进行测定，认为密度不小于1.2的种子为优种，小于1.2的为良种.自

然情况下，优种和良种的萌发率分别为0.8和0.6.

频率

IW

1.4--------------------------

1.1--------------------------------

0.9-------------------

0.6--------------

0.5-------------------------------------

nkJ------------------>

0.60.81.01.21.41.61.8种子密度

（1）若将这批种子的密度测定结果整理成频率分布直方图，如图所示，据图估计这批种子密度的平均值；

（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）

（2）在（1）的条件下，用频率估计概率，从这批种子（总数远大于2）中选取2粒在自然情况下种植，设

萌发的种子数为X，求随机变量X的分布列和数学期望（各种子的萌发互相独立）；

（3）若该品种种子的密度0~N（1.3,O.O1）,任取该品种种子20000粒，估计其中优种的数目.附：假设随

机变量XN（M,f?）,则尸（〃一向Ik//+b）≈0.6827,尸（〃一2弗N〃+2b）α（）.9545.

K答案H（1）1.24g∕cm3

（2）分布列见K解析％期望1.44；

（3）16827粒.

K解析H

K样解Il（I）根据频率分布直方图直接计算平均值即可；

（2）求出一粒种子发芽的概率，问题转化为二项分布求解分布列与期望；

（3）根据正态分布的对称性，利用参考数据直接求指定区间的概率即可得解.

K小问1详析》

种子密度的平均值为：(0.7χ0.5+0.9χ0.6+l.lχθ.9+1.3x1.4+1.5χl.l+1.7χθ.5)χθ.2=1.24(g/cmD

K小问2详析』

3

由频率分布直方图知优种占比为(1.4+l.l+0.5)x0.2=

34,3、318

任选一粒种子萌发的概率P=IX三+1——×-=—，

因为为这批种子总数远大于2,所以XB(2,p),

77

-X-49CI87252

P(X=O)=CP°(I"-P(X=l)=Cp(l-p)=2×-×--

25256252

1818

一

一324

P(X=2)=C；p2(l-p)。X-

2525625

所以X布列为：

X012

49252324

P

625625625

期望E(X)=2p=石=1.44.

K小问3详析2

因为该品种种子的密度。〜N(1.3,0.01),

2

所以〃=1.3,σ=0.01-BPσ=O.L

所以20000粒种子中约有优种20000×0.5+——J=20000×0.84135=l6827(粒)

即估计其中优种的数目为16827粒.

22

21.已知双曲线C与椭圆上+匕=1有相同的焦点，且焦点到渐近线的距离为2.

94

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)设。为双曲线C的右顶点，直线/与双曲线C交于不同于。的£,尸两点，若以E尸为直径的圆经过

点。且Z)G，所于G,证明：存在定点H,使得IGHl为定值.

2

R答案2(1)f_2L=i

4

(2)证明见K解析》

K解析D

K祥解Il(I)由已知可设，双曲线C的标准方程为3一方=l(4>O,O>O),根据条件列出“，c关系式,

解出代入方程即可；

(2)对直线的斜率能否为0进行讨论.斜率不为0时，设/的方程为y=丘+机，联立直线与椭圆的方程，有

垂直关系时;在圆锥曲线中常用向量法，化简得到相，上的关系式；斜率不存在时，写出直线方程，验证即

可.

K小问1详析』

设双曲线C的标准方程为三—1=l(α>0/>0),

焦点为M(-c,0),E(G0)，

22

因为双曲线C与椭圆工+汇=1有相同的焦点，所以c=J5∙

94

∣⅛c∣---------

因为焦点到渐近线的距离为2,所以乙=8=2,从而α="Γ万=1，

√α+b-

2

故双曲线C的标准方程为χ2-2L=ι

4

K小问2详析》

证明：设E(Xl,y),F(x2,y2).

①当直线I的斜率存在时，设/的方程为y=丘+利,

y=kx-∖-m.

联立方程组《2

xi_y.1

化简得("K*-2Amx-(〃，+4)=0,

22

则A=(2⅛m)2+4(m2+414-X)>0,B∣Jm-k+4>Q,

2km

x+%,=------7

1l-4-公

且《

-nr-4

x,x-,=--------

1-4—廿

因为OE∙o∕7=(x1-1)(4-1)+Xy2=0，

22n2kn2

所以，(公+l)χlχ2+(Am-l)(x1+x,)+m+1=(A:+1)∙~'~~+(fo∕?-1)∙∖-+m+l=Q

4一κ—κ

化简得3〃「—2km—5k2=(〃?+左)(3，〃-5左)=O

所以加=-Z或M=∙∣A,且均满足加2-左2+4〉。.

当加=—Z时;直线/的方程为y=%(x—1),直线/过定点(1,0),与已知矛盾；

当〃?=：%时，直线/的方程为y=k(x+gj,过定点M[-*O]

②当直线/的斜率不存在时，由对称性，不妨设QE方程为：y>=x-∖,

2

7y1

联立方程组彳4，得4f—(x—1)2=4

y=x-l

得玉=1,X2=-|,此时直线/过定点M

因为JDGLE/，所以点G在以。M为直径的圆上，〃为该圆的圆心，∣G可为该圆的半径，故存在定点

g,θ],使得IGM为定值g

Kr点石成金圆锥曲线中的定值问题通常是通过设参数或取“特殊值”来确定定值是多少.因此求解时应

设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定值显现.

22.已知函数/(x)=XInX-