2023年高考数学一模试题汇编（江苏）06 直线和圆（解析版）

专题06直线和圆

一、单选题

1.(2023•江苏盐城•盐城中学校考模拟预测)直线XCOS。+ysin9=0,夕∈(θ,的斜率的取值范围为()

A.(→>,√3)B.(2,+∞)C.(-√3,√3)D.(-∞,2)

【答案】A

【解析】当COSe=O时，直线XCo0，+*后，=。的斜率为2=0,

因为0<e<",所以CoSeWOH寸，tan6<-走或tan6>0,

63

山xcos^+ysin^=0,γ=-^-^x=--------x,

Sinetan6>

当COSe≠0即——二工。时，直线XCO5，+丁5拘。=0的斜率为攵=——.

tanθtan6

因为0<9<二,所以tanθ<-且或tanO>O,即——^<0或!—<√3.

63tan。tanθ

所以直线XCOS6>+ysind=O的斜率的取值范围为(-8,0)(θ,ʌ/ɜ).

综上所述，直线XCos，+ysin6=0的斜率的取值范围为(-∞,G).

故选：A.

2.(2023-江苏南通・校联考模拟预测)圆。:/+(>>-1)2=4被直线'-a-1=0截得的最短弦长为()

A.2√3B.2√2C.√3D.√2

【答案】B

【解析】由题设，直线x—"-1=0过定点A(LO),圆C的圆心为C(O,1),半彳仝r=2,

K∏I2+(O-I)2=2<4,即4在圆内，

所以要使被直线截得的弦长最短，只需题设直线与线段AC垂直，又IACI=

所以最短弦长为/=262TAe『=2日

故选：B

3.(2023•江苏连云港•模拟预测)直线加r-y+m+Q=0与圆V+y2=4相切，则，”的值为()

A.√3B.1C.—D.-√3

3

【答案】C

【解析】因为直线加r-y+∕w+6=0与圆Y+V=4相切,

即需臼解得：m咚

所以由圆心到直线的距离等于半径得：d=r

故选：C

4.（2023•江苏南通•校联考模拟预测）在平面直角坐标系X0），中，已知直线奴-y+2=0与圆C：

/+v-2x-3=θ交于A,8两点，若钝角4BC的面积为G，则实数4的值是（）.

A.--B.--C.-D.-

4343

【答案】A

【解析】由圆UV+y2-2x-3=0,可得圆心坐标为C（1,0）,半径为r=2,

因为钝角一ΛBC的面积为百，可得Sλbc=→2×2sinZACfi=√3,

解得SinNACB=3，所以NAeB=1，可得∣A3∣=26,

又由圆的弦长公式，可得2√^Z=2√L解得4=1,

La+23

根据点到直线0r-y+2=0的距离公式d=~⅛~=1,解得。=-丁

√a2+l4

故选：A.

5.（2023•江苏泰州•统考模拟预测）已知直线/：x+（a-l）y+2=0,l2-.^bx+y=0,且4U，则/+/的

最小值为（）

A.-B.ɪC.也D.ɪɪ

42216

【答案】A

【解析】,则6。+a—1=0,a=1—>∣3b>

^TW6T2+⅛2=（1-ΛΛ⅛）2+⅛2=4⅛2-2√3⅛+1,

二次函数的抛物线的对称轴为b=_2H=立，

2x44

当b=3时，〃+从取最小值!

44

故选：A.

6.（2023•江苏扬州•统考模拟预测）已知直线/：（。-l）x+y-3=0,圆U（X-I）?+/=5.则“。=丁，是"/与C

相切''的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】直线与圆相切，则焉告"=T吟

..・%=I”是“宜线/与圆相切”的充分不必要条件.

故选：A.

7.(2023•江苏南通•校联考模拟预测)在平面直角坐标系Xay中，已知圆4(x-l>+y2=l,点8(3,0),

过动点P引圆力的切线，切点为T.若PT=历PB,则动点尸的轨迹方程为()

A.X2+√-14X+18=0B.X2+>∙2+14X+18=0

C.x2+y2-10x+18=0D,X2+∕+10X+18=0

【答案】C

【解析】设P(X,y),PT=√2PB,PT2=IPB-

(x-l)2+r-l=2[(x-3)2+/]

整理得：x2+y2-10x+18=0.

故选：C

8.(2023•江苏南京•南京师范大学附属扬子中学校考模拟预测)设点M(Xo,1),若在圆O:V+产=]上存在

点N,使得NOMN=45°,则%的取值范围是()

A.[0,1]B.[-1,1JC.D.0,-^

222

【答案】B

【解析】依题意，直线MV与圆。有公共点即可,

即圆心。到直线MN的距离小于等于1即可，

过。作。ALΛ∕N,垂足为4

在RrAOM4中，因为NOMA=45°,

J2

故IoAl=IOMSin45°=-∖0M∖≤1,

所以IOMIM应，则JΛ02+1≤√5,

解得-1≤%41.

故选：B.

9.(2023•江苏泰州•模拟预测)已知曲线。：/+丁-©-6旷+12=0与曲线6：。-4)(3》+4)，-附=0恰有

三个不同的公共点，则实数m的取值范围为()

A.(13,22)B.(22,23)C.(∣3,23)D.(13,22)(22,23)

【答案】D

2222

【解析】C√x+y-4x-6y+12=0,C1:(x-2)+(y-3)=1,

C2:(y-4)(3x+4γ-∕n)=O,.∙.y=4或3x+4y-m=0,

G圆心(2,3)到y=4的距离d=l,所以y=4与G相切于点(2,4),

。2与G交于不同的三点，即要求3x+4y-w=0与G有2个交点，且不交于(2,4),

记d为圆心(2,3)至ιJ3x+4y-机=O的距离

.,.∣18-<5=>13<m<23

又因为不经过(2,4)=>3×2+4×4-m≠0=>m≠22

.∙.m∈(13,22)J(22,23)

故选：D

10.(2023•江苏淮安♦统考二模)已知圆«：/+产+。—2=0与y轴交于A8两点，点。的坐标为。,2).圆

。2过48,C三点，当实数，变化时，存在一条定直线/被圆。2截得的弦长为定值，则此定直线/的方程为

()

A.x÷2y-5=OB.2x-y=0

C.V2x-y-l=0D.∖f2x-y=0

【答案】B

【解析】令X=O代入圆Q得:y2+ty-2=0,若Aa,χ),B(X2，%)，

2

yl+y2=~^Xy2=-∙

若圆。2为『+/+DX+及y+F=0,由A,B,C都在圆O2上，

易知E=r,F=—2,D=-Zt—3,

一圆。2：X2+y2-(2f+3)x+ry-2=0,^SIf⅜Z(γ-2x)+x2+y2-3x-2=0,

□当实数r变化时，存在一条定直线/被圆。2截得的弦长为定值,

直线/∙定过圆。2上的两个定点且与f无关，

不妨设y=2x,则5/-3x-2=0,解得,或X=1，即圆。?过定点(-|,告，(1,2),

所得两点一定在直线/上，代入各选项验证可知B正确.

故选：B.

二、多选题

11.(2023•江苏南京•南京市第一中学校考三模)圆M：f+y2+2x-4y+3=0关于直线20r+外+6=0对

称，记点P(a,b),下列结论正确的是()

A.点P的轨迹方程为x-y-3=0B.以PM为直径的圆过定点。(2,-1)

C.∣PM∣的最小值为6D.若直线为与圆M切于点4则IPAIN4

【答案】ABD

22

【解析】圆M：χ2+y2+2χ-4y+3=0配方得：(x+l)+(y-2)=2,

圆M关于直线2or+by+6=0对称,

直线2奴+b+6=0过圆心Λ∕(T,2).

-20+2⅛+6=0,即α-b-3=0,

■■■点P的轨迹方程为X-y-3=0,A正确.

由右0=1⅛=-l，则脑。/超=-1，则以PM为宜径的圆过定点Q(2,T),B正确.

-1—2

∖PM∖的最小值即为Λ∕(-l,2)至IJ直线X—y-3=0的距离，由于4=RE,则

IPMmin=IPa=30,C错误.

由于照=MΛ4-∣AMF=MΛ√-2,要使IPAI取最小，即IPM取最小值，IPMLTPQl=30，

IPAl>JlpQl2-2=√18-2=4,则D正确.

故选：ABD

12.(2023•江苏南通•海安高级中学校考二模)已知直线/过点(3,4),点A(-2,2),8(4,-2)到/的距离相

等，则/的方程可能是()

A.X-2y+2=0B.2x-γ-2=0

C.2x+3y-18=0D.2x-3y+6=0

【答案】BC

【解析】当直线/的斜率不存在时，直线/的方程为x=3,此时点A到直线/的距离为5,点B到直线/的

距离为1,此时不成立；

当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为y—4=%(x-3),即fcr-y+4-3A=0,

点4(—2,2),8(4,—2)到直线的距离相等，

∣-2Λ-2+4-3⅛∣∣4k+2+4-3k∣2

∙∙j—~-=j—/,L解得k=-[,或z=2,

√⅛2+l√⅛2+l3

22

当％=时，直线/的方程为y-4=-](x-3),整理得2x+3y-18=0,

当&=2时，直线/的方程为y-4=2(x-3),整理得2x-y-2=0.

综匕直线/的方程可能为2x+3y-18=0或2x-y-2=O

故选：BC.

13.(2023∙江苏•统考模拟预测)古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现:“平面内

到两个定点AB的距离之比为定值；1(4≠1)的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为

阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系xθy中，A(-2,0),8(4,0),点P满足踪=g•设点P的轨迹

为C,下列结论正确的是()

A.C的方程为(X+4)2+V=9

B.在X轴上存在异于AB的两定点RE,使得£=5

∖PE2

C.当A,8,p三点不共线时，射线Po是/AP6的平分线

D.在C上存在点使得IMa=2∣MAI

【答案】BC

/、E1J(X+2)2+Vɪ

【解析】设点P(χ,y),则由城=5可得》[=5'化简可得(χ+4)+V=i6,故A错误;

IPDI∣

假设在X轴上存在异于A,B的两定点。，E,使得局=不，

∖pe∖2

设。(机O),E(",0),由盟=g可得I啊=2∣P4,

即7(^-∏)2+√=2j(x-%f+y2化简可得:3x2+3y2-(8m-2n)x+W-n2=0,

由点P的轨迹为x2+r+8Λ-=O可得8m-2n=-24,4m2-n2=0,

解得:m=-6,〃=—12或m=-2,n=4(舍去)，即存在。(-6,0),解-12,0),

PD∖1

即存在点Q,E,使得篇=J,故选项B正确；

PE∖2

OA1PA

对于选项C：⅛A,B,P三点不共线时，由F丁二彳二布『，可得「。是NAPB的平分线，故选项CI1J1：

UDZΓD

若存在点使得IMa=2∣MAI,可设M(X,y),则庐歹=2府377，

化简可得/+V+$+g=0,与(x+4)，丁=16联立可得方程组无解，

故不存在M，故D错误.

故选：BC

14.(2023•江苏盐城•统考三模)设直线/：mx-y-2m+2=0(meR),交圆C：(X-3)?+(y-4)?=9于4,

5两点，则下列说法正确的有（）

A.直线/恒过定点（1,2）

B.弦/8长的最小值为4

C.当根=1时，圆C关于直线/对称的圆的方程为：（x-4『+（y-3）2=9

D.过坐标原点。作直线/的垂线，垂足为点则线段MC长的最小值为√i百

【答案】BC

【解析】直线/的方程可化为W（X-2）=y-2,过定点（2,2）,即A错误；

设尸（2,2）,则圆心到直线的距离d≤CP=√i1S=逐，且半径r=3,

所以最小弦长为2斤工=4，即B正确；

W=I时，直线方程为x-y=O,则点C（3,4）关于直线/对称的点为（4,3）,即C正确；

当垂足为“（2,2）时，MC=√5<√13,即D错误.

故选：BC

15.（2022•江苏连云港•江苏省赣榆高级中学校考模拟预测）已知点M在直线Ly-4=k（x-3）上，点N在

圆O：/+y2=9上，则下列说法正确的是（）

A.点N至I"的最大距离为8

4

B.若/被圆。所截得的弦长最大，则A=]

C.若/为圆。的切线，则4的取值范围为《。高

D.若点M也在圆。上，则。至∣J/的距离的最大值为3

【答案】ABD

【解析】对于A选项，由题意可知，直线/过定点P（3,4）,

圆。的圆心为原点O,半径为3,设圆心。到直线/的距离为d.

当OP_U时，d=∖0P∖=y∣32+42=5,

当。尸与直线/不垂直时，d<∖θP∖=5.

综上所述，"≤∣O”=5,所以，点N到/的最大距离为5+3=8,A对“

4

对于B选项，若/被圆O所截得的弦长最大，则直线/过圆心。，可得-3攵=T,所以左=§,B对；

对于C选项，若/为圆。的切线，则∙⅛*=3,解得Z=二，C错；

√⅛2+l24

对于D选项，若M也在圆。匕则直线/与圆O相切或相交，

当直线/与圆。相切时，。至M的距离取最大值3,D对.

故选：ABD.

三、填空题

16.(2023•江苏泰州•统考模拟预测)从圆x'+y2-2x-2y+l=0外一点P(2,3)向圆弓I切线,则此切线的长

为.

【答案】2

【解析】将圆化为标准方程：(x-lf+(y-l)2=l,则圆心C(l,l),半径1,

如图，设P(2,3),∣PC∣=√5,切线长∣E4∣=√Γ斤=2.

故答案为：2

I7∙(2°23∙江苏苏州•校联考模拟预测汜知点尸是圆f+V=l上任意一点,贝"号的取值范围为——

【答案】［44

【解析】令k=-⅛,贝IJy="-2A,代入f+y2=∣,

x-2

可得(1+々2卜2-4FX+4炉_]=0,

Δ=(4⅛2)2-4(4⅛2-l)(l+⅛2)≥0,

解得.3"≤3,

33

即一的取值范围为---,--

x-2133

故答案为；--ʃ,-ʃ.

18.(2023•江苏镇江•统考三模)已知直线《：x-2y+3=0,32x+fcy+Z=0,SJ他,则直线∕∣,4间的

距离为.

【答案】√5

【解析】直线4：x—2y+3=O,l2-.2x+ky+k=01且/他，

则&xl=(-2)x2,解得无=T

当左=Y时，直线/∕x-2y+3=0,C2x-4.y-4=0,化简得与：x-2y-2=0,此时，∕l∕∕∕2,两直线平行,

满足题意，因此，k=-4,

∣3—(—2)1

l22

则直线4,2间的距离为"=y∣↑+(-2)=

故答案为：√5

19.(2023•江苏南京•模拟预测)已知一系列圆C∣,C2,L,C,,依次外切，且均与过原点的两条直线相切,

记圆G的半径为*且若圆C∣:(x-2)2+(y-2)Z=l,则/=.

【答案】(史M)

7

【解析】设原点的直线y=丘与圆CI相切，C1(2,2),4=1,

毕二=1,弃L=I解得Z=生也，即切线方程为y=烂位X,

√F+1√F71233

圆C