强基计划专题练12 矩阵及应用（原卷版）

专题训练12矩阵及应用一、单选题1．定义行列式的运算如下：，已函数以下命题正确的是（

）①对，都有；②若，对，总存在非零常数了，使得；③若存在直线与的图象无公共点，且使的图案位于直线两侧，此直线即称为函数的分界线.则的分界线的斜率的取值范围是；④函数的零点有无数个.A．①③④ B．①②④C．②③ D．①④2．已知向量，是坐标原点，若，且方向是沿的方向绕着点按逆时针方向旋转角得到的，则称经过一次变换得到，现有向量经过一次变换后得到，经过一次变换后得到，…，如此下去，经过一次变换后得到，设，，，则等于（

）A． B．C． D．3．关于的方程组的系数矩阵记为，且该方程组存在非零解，若存在三阶矩阵，使得，（0表示零矩阵，即所有元素均为0的矩阵；矩阵对应的行列式为），则（1）一定为1；

（2）一定为0；

（3）该方程组一定有无穷多解.其中正确说法的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．34．已知函数满足：，，，数列{}的前n项和为，满足，则的值为（）A． B．-4 C． D．-55．定义，则（

）A． B． C． D．二、填空题6．已知数列满足，则使成立的正整数的最小值为__________.7．下列命题:①关于、的二元一次方程组的系数行列式是该方程组有解的必要非充分条件;②已知、、、是空间四点,命题甲:、、、四点不共面,命题乙:直线和不相交,则甲成立是乙成立的充分非必要条件;③“”是“对任意的实数,恒成立”的充要条件;④“或”是“关于的方程有且仅有一个实根”的充要条件;其中,真命题序号是________三、解答题8．已知椭圆，直线过右焦点与椭圆交于、两点，的三个顶点均在椭圆上，且为坐标原点.（1）小明在计算的面积的最大值的时候用了如下方法，其中有两处出错，请指出其中的一处错误之处，并说明原因；解答：设，，则，所以的面积的最大值为.（2）请给出题目（1）中问题的正确解答；（3）小明虽然做错了，但这种方法在计算某些题目时会比常规方法便捷些，如求证下面问题，求证：当的重心为原点时，的面积是定值.9．设平面直角坐标系中的动点到两定点、的距离之和为，记动点的轨迹为.（1）求的方程；（2）过上的点作圆的两条切线，切点为、，直线与、轴的交点依次为异于坐标原点的点、，试求的面积的最小值；（3）过点且不垂直于坐标轴的直线交于不同的两点、，线段的垂直平分线与轴交于点，线段的中点为，是否存在，使得成立？请说明理由.10．如图所示，在平面直角坐标系中，点绕坐标原点旋转角至点．（1）试证明点的旋转坐标公式：（2）设，点绕坐标原点旋转角至点，点再绕坐标原点旋转角至点，且直线的斜率，求角的值；（3）试证明方程的曲线是双曲线，并求其焦点坐标．11．如图，设A是由个实数组成的n行n列的数表，其中aij(i，j=1，2，3，…，n)表示位于第i行第j列的实数，且aij{1，-1}.记S(n，n)为所有这样的数表构成的集合．对于，记ri(A)为A的第i行各数之积，cj(A)为A的第j列各数之积．令a11a12…a1na21a22a2n…………an1an2…ann（Ⅰ）请写出一个AS(4，4)，使得l(A)=0；（Ⅱ）是否存在AS(9，9)，使得l(A)=0？说明理由；（Ⅲ）给定正整数n，对于所有的AS(n，n)，求l(A)的取值集合．12．设数阵，其中、、、．设，其中，且．定义变换为“对于数阵的每一行，若其中有或，则将这一行中每个数都乘以；若其中没有且没有，则这一行中所有数均保持不变”（、、、）．表示“将经过变换得到，再将经过变换得到、，以此类推，最后将经过变换得到”，记数阵中四个数的和为．（1）若，写出经过变换后得到的数阵；（2）若，，求的值；（3）对任意确定的一个数阵，证明：的所有可能取值的和不超过．13．矩阵乘法运算的几何意义为平面上的点在矩阵的作用下变换成点，记，且.（1）若平面上的点在矩阵的作用下变换成点，求点的坐标；（2）若平面上相异的两点、在矩阵的作用下，分别变换为点、，求证：若点为线段上的点，则点在的作用下的点在线段上；（3）已知△的顶点坐标为、、，且△在矩阵作用下变换成△，记△与△的面积分别为与，求的值，并写出一般情况（三角形形状一般化且变换矩阵一般化）下与的关系（不要求证明）.14．已知阶方阵中的各元素均为正数，其中每行成等差数列，每列都是公比为2的等比数列，已知.（1）求和的值；（2）计算行列式和；（3）设，证明：当是3的倍数时，能被21整除.15．设二阶方矩阵，则矩阵所对应的矩阵变换为：，其意义是把点变换为点，矩阵叫做变换矩阵.（1）当变换矩阵时，点、经矩阵变换后得到点分别是、，求经过点、的直线的点方向式方程；（2）当变换矩阵时，若直线上的任意点经矩阵变换后得到的点仍在该直线上，求直线的方程；（3）若点经过矩阵变换后得到点，且与关于直线对称，求变换矩阵.16．已知数列和满足：，且成等比数列，成等差数列．（1）行列式，且，求证：数列是等差数列；（2）在（1）的条件下，若不是常数列，是等比数列，①求和的通项公式；②设是正整数，若存在正整数，使得成等差数列，求的最小值．17．在中学阶段，对许多特定的集合（如实数集，平面向量集等）的学习常常是以定义运算（如四则运算）和研究运算律为主要内容，现设集合由全体二元有序实数对组成，在上定义一个运算，记为，对于中的任意两个元素，，规定：.（1）计算：；（2）请用数学符号语言表述运算满足交换律和结合律，并证明交换律；（3）中是否存在唯一确定的元素满足：对于任意，都有成立，若存在，请求出元素；若不存在，请说明理由.18．已知，且、、是的三边长，试判断的形状，并证明之.19．我们用（，、、、）表示矩阵的第行第列元素.已知该矩阵的每一行每一列都是等差数列，并且，，.（1）求；（2）求关于，的关系式；（3）设行列式，求证：对任意、，、、时，都有.20．矩阵