新教材高中数学人教A版学案7-1-2复数的几何意义

7．1.2复数的几何意义[目标]1.能说出复数与复平面内的点、平面向量之间的一一对应关系；2.会分析复数的几何意义，记住复数的模的几何意义．[重点]复数的几何意义与复数的模．[难点]复数的几何意义．要点整合夯基础知识点一复平面[填一填]建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，虚轴上的点(0,0)不对应虚数．[答一答]1．实轴上的点一定表示实数，虚轴上的点一定表示虚数吗？提示：在复平面中，实轴上的点一定表示实数，但虚轴上的点不一定表示虚数．事实上，虚轴上的点(0,0)是原点，它表示实数0，虚轴上的其他点都表示纯虚数．知识点二复数的两种几何意义[填一填]复数z＝a＋bi(a，b∈R)一一对应复平面内的点Z(a，b)．复数z＝a＋bi(a，b∈R)一一对应平面向量eq\o(OZ,\s\up15(→)).[答一答]2．(1)在复平面中，复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的点是Z(a，bi)吗？(2)复平面中，复数与向量一一对应的前提条件是什么？提示：(1)不是，在复平面中，复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的点应该是Z(a，b)，而不是(a，bi)．(2)前提条件是复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应向量eq\o(OZ,\s\up15(→))是以原点O为起点的，否则就谈不上一一对应，因为在复平面内与eq\o(OZ,\s\up15(→))相等的向量有无数个．知识点三复数的模[填一填]向量eq\o(OZ,\s\up15(→))的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2).[答一答]3．(1)复数的模一定是正数吗？(2)若复数z满足|z|＝1，那么在复平面内，复数z对应的点Z的轨迹是什么？提示：(1)不一定，复数的模是非负数，即|z|≥0，当z＝0时，|z|＝0；反之，当|z|＝0时，必有z＝0.(2)点Z的轨迹是以原点为圆心，半径等于1的一个圆．知识点四共轭复数[填一填]一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．复数z的共轭复数用eq\x\to(z)来表示．[答一答]4．互为共轭复数的两个复数有什么特点？提示：实部相等，虚部相反，模相同．典例讲练破题型类型一复数与复平面内点的对应关系[例1]已知复数z＝(a2－1)＋(2a－1)i，其中a∈R.当复数z在复平面内对应的点满足下列条件时，求a的值(或取值范围)(1)在实轴上；(2)在第三象限．[分析]解答本题可先确定复数z的实部、虚部，再根据要求列出关于a的方程(组)或不等式(组)求解．[解]复数z＝(a2－1)＋(2a－1)i的实部为a2－1，虚部为2在复平面内对应的点为(a2－1,2a－1)(1)若z对应的点在实轴上，则有2a－1＝0，解得a＝eq\f(1,2).(2)若z对应的点在第三象限，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－1<0，,2a－1<0，))解得－1<a<eq\f(1,2).复数集与复平面内所有的点组成的集合之间存在着一一对应关系.每一个复数都对应着一个有序实数对，复数的实部、虚部分别对应点的横坐标、纵坐标，从而讨论复数对应点在复平面内的位置，关键是确定复数的实、虚部，由条件列出相应的方程或不等式组.[变式训练1](1)已知a∈R，则复数(a2＋a＋1)－(a2－2a＋3)i对应的点在复平面内的第四象限(2)已知复数x2－6x＋5＋(x－2)i在复平面内对应的点在第三象限，则实数x的取值范围为(1,2)．解析：(1)因为a2＋a＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)>0，－(a2－2a＋3)＝－(a－1)2故复数对应的点在第四象限．(2)因为复数x2－6x＋5＋(x－2)i在复平面内对应的点在第三象限，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－6x＋5<0，,x－2<0.))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1<x<5，,x<2.))所以1<x<2.即1<x<2为所求实数x的取值范围．类型二复数与向量的对应关系[例2]已知向量eq\o(OA,\s\up15(→))对应的复数是4＋3i，点A关于实轴的对称点为A1，将向量eq\o(OA1,\s\up15(→))平移，使其起点移动到A点，这时终点为A2.(1)求向量eq\o(OA1,\s\up15(→))对应的复数；(2)求点A2对应的复数．[分析]根据复数与点、复数与向量的对应关系求解．[解](1)∵向量eq\o(OA,\s\up15(→))对应的复数是4＋3i，∴点A对应的复数也是4＋3i，因此点A坐标为(4,3)，∴点A关于实轴的对称点A1为(4，－3)，故向量eq\o(OA1,\s\up15(→))对应的复数是4－3i.(2)依题意知eq\o(OA1,\s\up15(→))＝eq\o(AA2,\s\up15(→))，而eq\o(OA1,\s\up15(→))＝(4，－3)，设A2(x，y)，则有(4，－3)＝(x－4，y－3)，∴x＝8，y＝0，即A2(8,0)，∴点A2对应的复数是8.1.根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点为原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数.反之，复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量.2.解决复数与平面向量一一对应的题目时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化.[变式训练2]在复平面内，O是原点，向量eq\o(OA,\s\up15(→))对应的复数为2＋i.(1)如果点A关于实轴的对称点为点B，求向量eq\o(OB,\s\up15(→))对应的复数；(2)如果(1)中的点B关于虚轴的对称点为点C，求点C对应的复数．解：(1)设向量eq\o(OB,\s\up15(→))对应的复数为z1＝x1＋y1i(x1，y1∈R)，则点B的坐标为(x1，y1)，由题意可知，点A的坐标为(2,1)．根据对称性可知：x1＝2，y1＝－1，故z1＝2－i.(2)设点C对应的复数为z2＝x2＋y2i(x2，y2∈R)，则点C的坐标为(x2，y2)，由对称性可知：x2＝－2，y2＝－1，故z2＝－2－i.类型三复数模的计算[例3]已知复数z1＝－eq\r(3)＋i，z2＝－eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),2)i.(1)求|z1|与|z2|的值，并比较它们的大小．(2)设复平面内，复数z满足|z2|≤|z|≤|z1|，复数z对应的点Z的集合是什么？[分析](1)利用复数模的定义来求解．若z＝a＋bi(a，b∈R)，则|z|＝eq\r(a2＋b2).(2)先确定|z|的范围，再确定点Z满足的条件，从而确定点Z的图形．[解](1)|z1|＝eq\r(－\r(3)2＋12)＝2，|z2|＝eq\r(－\f(1,2)2＋－\f(\r(3),2)2)＝1.∵2>1，∴|z1|>|z2|.(2)由(1)知|z2|≤|z|≤|z1|，则1≤|z|≤2.因为不等式|z|≥1的解集是圆|z|＝1上和该圆外部所有点的集合，不等式|z|≤2的解集是圆|z|＝2上和该圆的内部所有点组成的集合，所以满足条件1≤|z|≤2的点Z的集合是以原点O为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环(包括边界，如图阴影部分所示)．1.两个复数不全为实数时不能比较大小；而任意两个复数的模均可比较大小.2.复数模的意义是表示复数对应的点到原点的距离，这可以类比实数的绝对值，也可以类比以原点为起点的向量的模来加深理解.3.|z1－z2|表示点Z1，Z2两点间的距离，|z|＝r表示以原点为圆心，以r为半径的圆.[变式训练3]已知复数z＝3＋ai，且|z|<4，求实数a的取值范围．解：∵z＝3＋ai(a∈R)，|z|＝eq\r(32＋a2)，由已知得eq\r(32＋a2)<4，∴a2<7，即－eq\r(7)<a<eq\r(7)，∴a∈(－eq\r(7)，eq\r(7))．类型四共轭复数[例4]已知复数z＝2－i，则|eq\x\to(z)|的值为()A．5B.eq\r(5)C．3D.eq\r(3)[解析]因为z＝2－i，所以由共轭复数的定义知eq\x\to(z)＝2＋i，所以|eq\x\to(z)|＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5).[答案]B共轭复数的求法及其关系(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的共轭复数为eq\x\to(z)＝a－bi.(2)互为共轭复数关于实轴对称．(3)互为共轭复数的模长相等．[变式训练4]在复平面内，复数eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)i的共轭复数对应的点位于(D)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：z的共轭复数eq\x\to(z)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,2)i，eq\x\to(z)对应的点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(1,2)))，位于第四象限.课堂达标练经典1．在复平面内，若eq\o(OZ,\s\up15(→))＝(0，－5)，则eq\o(OZ,\s\up15(→))对应的复数为(C)A．0B．－5C．－5iD．5解析：eq\o(OZ,\s\up15(→))对应的复数z＝0－5i＝－5i.2．已知复数z＝6－2i(i为虚数单位)，则在复平面内z的共轭复数eq\x\to(z)所对应的点为(B)A．(6，－2)B．(6,2)C．(－2,6)D．(2,6)解析：由题意，可知eq\x\to(z)＝6＋2i，则在复平面内eq\x\to(z)所对应的点为(6,2)．故选B.3．已知复数z＝eq\r(2)－3i，则复数的模|z|是(D)A．5B．8C．6D.eq\r(11)解析：|z|＝eq\r(\r(2)2＋－32)＝eq\r(11).4．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B，若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是(C)A．4＋8iB．8＋2iC．2＋4iD．4＋i解析：复数6＋5i对应的点为A(6,5)，复数－2＋3i对应的点为B(－2,3)．利用中点坐标公式得线段AB的中点C(2,4)，故点C对应的复数为2＋4i.5．已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，求复数z.解：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则|z|＝eq\r(a2＋b2)，代入方程得，a＋bi＋eq\r(a2＋b2)＝2＋8i，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋\r(a2＋b2)＝2，,b＝8，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－15，,b＝8.))∴z＝－15＋8i.——本课须掌握的两大问题1．对复数几何意义的理解(1)复数集中的复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的．(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)与平面向量eq\o(OZ,\s\up15(→))＝(a，b)也是一一对应的．