上海市杨浦区2022年高一《数学》下学期期中试卷与参考答案

上海市杨浦区2022年高一《数学》下学期期中试卷与参考答案一、填空题共10小题，每小题4分，满分40分。1．已知向量，则＝．2．已知i为虚数单位，则复数2+i的虚部是1．3．已知tan（x+）＝2，则tanx的值为．4．函数的严格减区间为[2kπ﹣，2k]，k∈Z．5．已知，则＝．6．将函数y＝f（x）图像上的点保持纵坐标不变，横坐标变为原来的两倍后得到函数y＝f1（x）的图像，再将y＝f1（x）的图像向上平移1个单位后得到函数y＝sinx的图像，则y＝f（x）的函数表达式是y＝sin2x﹣1．7．设平行四边形ABCD中，△BCD的重心为H，，则μ3λ＝．8．已知i为虚数单位，|z|＝1，则＝9．9．设函数y＝f（x）＝sin（ωx+φ），其中ω＞0，且，则ω的最小值为．10．设锐角△ABC的外心为O，且，则tanA+cotA＝8．二、选择题共4小题，每小题5分，满分20分。11．①加速度是向量；②若且，则；③若，则直线AB与直线CD平行．上面说法中正确的有（）个A．0 B．1 C．2 D．3答案：B．12．在△ABC中，下列说法中错误的是（）A．sinA＞0 B．cosA+cosB＞0 C．sinA+sinB＞sinC D．cos2A+cos2B﹣cos2C＜1，则△ABC为锐角三角形答案：D．13．设函数y＝f（x）＝tan3x+x﹣3π，则f（x）在[﹣π，7π]上所有零点的和为（）A．36π B．39π C．72π D．75π答案：D．14．有下面两个命题：①若y＝f（x）是周期函数，则y＝f（f（x））是周期函数；②若y＝f（f（x））是周期函数，则y＝f（x）是周期函数，则下列说法中正确的是（）A．①②都正确 B．①正确②错误 C．①错误②正确 D．①②都错误答案：B．三、解答题共4小题，满分60分。15．已知向量．（1）若，求实数m的值；（2）若可以构成平面上的一个基底，求实数m的取值范围．答案：（1）由已知可得2m﹣4﹣m2+m+2＝0，解得m＝1或2．（2）因为可以构成平面上的一个基底，所以不平行，所以m﹣2≠﹣2m2+2m+4，所以m≠2且，即实数m的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（﹣，2）∪（2，+∞）．16．设m是实数，关于x的方程x2﹣（m+2）x+m2+3m+1＝0有两根x1，x2．（1）若，求m的取值范围；（2）若|x1﹣x2|＝2，求m的取值范围．答案：（1）∵，∴方程有两实根或一对虚根，∴Δ≤0，即（m+2）2﹣4（m2+3m+1）＝﹣3m2﹣8m≤0，解得．（2）①若有两个不等实根，由Δ＞0，∴﹣＜m＜0，∵|x1﹣x2|＝2，∴﹣4x1•x2＝4，则（m+2）2﹣4（m2+3m+1）＝﹣3m2﹣8m＝4，∴3m2+8m+4＝0，于是或﹣2，②若是两个虚根，则两根为，于是，得到3m2+8m﹣4＝0，于是．∴m的取值范围为{﹣，﹣2，}．17．在工厂实习中，小宋拿到的材料是一块顶角A为的扇形铝板（足够大），现在需要将铝板放在切割机上，加工成一个内角为A的三角形工件△ABC．（1）小宋的师傅拿出了一个工件样品△ABC，其中，求sinB，sinC的值；（2）师傅在小宋的扇形铝板的顶角A的角平分线上打了一个点D，且AD＝1，并要求小宋加工的工件△ABC的BC边经过点D，则：①用角B表示工件△ABC的面积S；②求S的最小值，以及取得最小值时角B的大小．答案：（1）因为，所以且B为三角形内角，所以或B＝，所以或C＝．所以或sinB＝，．（2）①在△ABD和△ACD中由正弦定理，得＝，＝，所以，于是；②利用二倍角公式和积化和差公式可得：由题意可得．所以当即时，S取到最小值．18．已知函数y＝f（x），x∈D．若存在a＞0使得g（x）＝f（x）+ax是严格增函数，那么称f（x）为缓降函数”．（本题可以利用以下事实：当时，sinx＜x．）（1）判断以下函数是否是“缓降函数”①y＝﹣2x﹣10②y＝﹣x3（无需写出理由）；（2）求证：y＝g（x）＝cosx是“缓降函数”；（3）已知m≥0，求证：是“缓降函数”的充要条件是m＞0．答案：（1）①是“缓降函数”，②不是“缓降函数”．（2）证明：当时，由题意得，所以再结合所给事实可得：当x∈（0，+∞）时，sinx＜x．令g（x）＝cosx+ax，再取a≥1，x2＞x1，于是g（x2）﹣g（x1）＝cosx2﹣cosx1+a（x2﹣x1）＝这说明y＝cosx是“缓降函数”．（3）证明：令充分性：已知m＞0，取，则，于是是严格增函数，所以是缓降函数．必要性：用反证法，当m