2023-2024学年芜湖市重点中学九年级数学第一学期期末调研试题含解析

2023-2024学年芜湖市重点中学九年级数学第一学期期末调研试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每题4分，共48分）

k

1.在平面直角坐标系XOy中，反比例函数y=-的图象经过点（1,3）,则k的值可以为

X

A.-AB.3C.-2D.2

2.如图，在。。中，AB是直径，CD是弦，ABLCD于E，连接C0、AD,ZBAD=20°,则下列说法正确的

个数是（）

①AD=208；②CE=DE；③ZBOC=2NBAD；④NOCE=50°

A.1B.2C.3D.4

3.下列命题正确的是（）

A.矩形的对角线互相垂直平分

B.一组对角相等，一组对边平行的四边形一定是平行四边形

C.正八边形每个内角都是145

D.三角形三边垂直平分线交点到三角形三边距离相等

4.下列计算中，结果是小的是

24232223

A.a+aB.aaC.a'÷aD.（α）

2

5.对于反比例函数>=一，下列说法中不正确的是（）

X

A.点（—2,—1）在它的图象上

B.它的图象在第一、三象限

C.）'随X的增大而减小

D.当x<0时，随X的增大而减小

函数"?+。与（）在同一坐标系中的图象可能是（）

6.y=y=fα7θ,

7.如图，已知（DO的半径为13,弦AB长为24,则点O到AB的距离是（）

B.54D.3

8.方程x2+4x+4=0的根的情况是（

A.有两个不相等的实数根有两个相等的实数根

C.有一个实数根没有实数根

9.已知a是方程χ2+3x-1=0的根，则代数式a2+3a+2019的值是（)

A.2020B.-2020C.2021D.-2021

10.函数y=-χ2∙3的图象顶点是（）

(39、

A.(0,3)B.----，-C.(0，-3)D.(-1,-3)

IL・2019的相反数是（）

11

A.2019B.-2019C.-------D.----------

20192019

12.如图，线段AB是。。的直径，弦CD∙LAB,垂足为〃，点M是CBo上任意一点，A"=2,CH=4,则

CoSNeMD的值为（）

r

二、填空题（每题4分，共24分）

13.点C是线段AB的黄金分割点，若AB=2cm,则较长线段BC的长是.

14.如图，RtAABC中，ZC=90o,若AC=4,BC=3,则△ABC的内切圆半径r=

15.如图，四边形ABCO的项点都在坐标轴上，若AB//C。,一AoB与ACQD面积分别为8和18,若双曲线）,=&

X

恰好经过BC的中点£,则A的值为

16.如图所示，等腰三角形AQAI4，ΛBlA2B2,AB2AiB3,△纥为正整数）的一直角边在X轴上,

kr—

双曲线y=-经过所有三角形的斜边中点G，C,,G,…，C1,,已知斜边。A=4®,则点儿的坐标为

X

17.某日6时至10时，某交易平台上一种水果的每千克售价、每千克成本与交易时间之间的关系分别如图1、图2所

示（图1、图2中的图象分别是线段和抛物线，其中点P是抛物线的顶点）.在这段时间内，出售每千克这种水果收益

最大的时刻是,此时每千克的收益是

图1图2

18.某园进行改造，现需要修建一些如图所示圆形（不完整）的门，根据实际需要该门的最高点C距离地面的高度为

2.5m,宽度AB为1m,则该圆形门的半径应为m.

r‹∕∕Z∕Z,

三、解答题（共78分）

19.（8分）抛物线y=-f+Aχ+c与直线y=-x+7一个交点A（3,加）,另一个交点8在X轴上，点P是线段AB上

异于AB的一个动点，过点P作X轴的垂线，交抛物线于点E.

（1）求抛物线的解析式；

（2）是否存在这样的点P,使线段PE长度最大？若存在，求出最大值及此时点P的坐标，若不存在，说明理由;

（3）求当为直角三角形时点尸的坐标.

备用图

20.(8分)已知二次函数%=修+取+<?(。*0)的图象经过三点(1,0),(-6,0)(0,-3).

⑴求该二次函数的解析式.

4

⑵若反比例函数％=一。>。)的图象与二次函数凶=〃2+"+°(。；^0)的图象在第一象限内交于点人(%,%),%落

X

在两个相邻的正整数之间，请求出这两个相邻的正整数.

⑶若反比例函数y^-(k>0,x>0)的图象与二次函数M=Or2χc(a≠0)的图象在第一象限内的交点为B,点B的

2X+b+

横坐标为叫且满足3<m<4,求实数k的取值范围.

21.(8分)如图，直径为1,”的圆柱形水管有积水(阴影部分)，水面的宽度AB为0.8M,求水的最大深度CO.

22.(10分)如图，平面直角坐标系中，点A、点3在X轴上(点A在点3的左侧)，点C在第一象限，满足乙4CB为

直角，且恰使AOC4S∕∖AOBC,抛物线y=a√-86uf+]24(4<0)经过4、B、C三点.

(1)求线段OB、OC的长；

(2)求点C的坐标及该抛物线的函数关系式；

(3)在X轴上是否存在点尸，使ABCP为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的P点的坐标，若不存在，请说

明理由.

23.（10分）（1）如图1,在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE,求证：CE=

CFi

（2）如图2,在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果NGCE=45。，请你利用（1）的结论证明:

GE=BE+GDi

（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题:

如图3,在直角梯形ABCD中，AD∕7BC(BC>AD),ZB=90o,AB=BC,E是AB上一点，且NDCE=45。，BE

=4,DE=IO,求直角梯形ABCD的面积.

图3

24.（10分）如图，在RtAABC中，NAC5=90。.在斜边AB上取一点O,使CD=CB,圆心在AC上的0。过4、D

两点，交AC于点E.

（1）求证：CD是。。的切线

(2)若些=L,且AE=2,求CE的长.

AC3

25.（12分）如图，已知矩形ABCD.在线段AD上作一点P,使NDPC=ZBPC.（要求：用尺规作图，保留作

图痕迹，不写作法和证明）

D

B

CQΛ4-∕LΛ1⅛-=FT-P∙Z⅛ɪ2-2x+1C3x÷3χ

26.先化简，再求值：----------r(2------------)9其中x=l-√2.

x+2x+2

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）

1、B

k

【分析】把点（1,3）代入y=—中即可求得k值.

X

k

【详解】解：把X=Ly=3代入y=一中得

X

3=-,

1

Λk=3.

故选：B.

【点睛】

本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，能理解把已知点的坐标代入解析式是解题关键.

2、C

【分析】先根据垂径定理得到BC=BZ），CE=DE,再利用圆周角定理得到NBoC=40°,则根据互余可计算出NoCE

的度数，于是可对各选项进行判断.

【详解】VAB±CD,

[BC=BD，CE=DE,②正确，

ΛZBOC=2ZBAD=40o,③正确，

ΛZOCE=90o-40°=50°,④正确；

又AB=2OB,故①错误；

故选：C.

【点睛】

本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.也考查了圆周角定理.

3、B

【分析】根据矩形的性质、平行四边形的判定、多边形的内角和及三角形垂直平分线的性质，逐项判断即可.

【详解】A.矩形的对角线相等且互相平分，故原命题错误；

B.已知如图：NA=NC,ABHCD,求证：四边形ABCD是平行四边形.

7D

BZZU

证明：ABHCD,

二ZA+ZD=180o,

VZA=NC,

.∙.ZC+ZD=180°,

.∙.ADHBC,

XVABHCD,

：.四边形ABCD是平行四边形，

.∙.一组对角相等，一组对边平行的四边形一定是平行四边形，故原命题正确；

18082

C.正八边形每个内角都是：.°×(~LO,故原命题错误；

8135

D.三角形三边垂直平分线交点到三角形三个顶点的距离相等，故原命题错误.

故选：B.

【点睛】

本题考查命题的判断，明确矩形性质、平行四边形的判定定理、多边形内角和公式及三角形垂直平分线的性质是解题

关键.

4、D

【解析】根据幕的乘方、同底数塞的乘法的运算法则计算后利用排除法求解.

【详解】解：

A、a2+a4≠a6,不符合；

B、a2∙a3=a5,不符合；

C、a12÷a2=a10,不符合;

D.(a2)⅛6,符合.

故选D.

【点睛】

本题考查了合并同类项、同底数幕的乘法、幕的乘方.需熟练掌握且区分清楚，才不容易出错.

5、C

【解析】根据反比例函数的性质用排除法解答，当系数k>0时，函数图象在第一、三象限，当x>0或x<0时，y随

X的增大而减小，由此进行判断.

2

【详解】A、把点(-2,-1)代入反比例函数y=—得-I=-1,本选项正确；

X

B、∙.∙k=2>0,.∙.图象在第一、三象限，本选项正确；

C、∙.∙k=2>0,.∙.图象在第一、三象限内y随X的增大而减小，本选项不正确；

D、当XVo时，y随X的增大而减小，本选项正确.

故选C.

【点睛】

考查了反比例函数y=8(导0)的性质：①当k>0时，图象分别位于第一、三象限；当kV0时，图象分别位于第二、

X

四象限.②当k>0时，在同一个象限内，y随X的增大而减小；当kV0时，在同一个象限，y随X的增大而增大.

6、D

【解析】由二次函数y=aχ2+a中一次项系数为0,我们易得函数y=aχ2+a的图象关于y轴对称，然后分当a>0时和a

VO时两种情况，讨论函数y=aχ2+a的图象与函数y=3(a≠0)的图象位置、形状、顶点位置，可用排除法进行解答.

X

【详解】解：由函数y=aχ2+a中一次项系数为0,

我们易得函数y=ax2+a的图象关于y轴对称，可排除A；

当a>0时，函数y=aχ2+a的图象开口方向朝上，顶点(0,a)点在X轴上方，可排除C；

当aV0时，函数y=aχ2+a的图象开口方向朝下，顶点(0,a)点在X轴下方，

函数y=@(a≠0)的图象位于第二、四象限，可排除B；

X

故选：D.

【点睛】

本题考查的知识点是函数的表示方法-图象法，熟练掌握二次函数及反比例函数图象形状与系数的关系是解答本题的关

键.

7、B

【解析】过点。作OC_LAB,垂足为C,则有AC=■!-AB=Lχ24=12,在RtZ∖AOC中，ZAC0=90o,AO=I3,

22

22

.∙.OC=y∣AO-AC=5，即点0至IJAB的距离是5.

O

B∖^^~yj

8、B

【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式4=^2-4ɑc的值的符号就可以了.

【详解】解：∙.∙∕X=b2-4ac=16-16=0

.∙.方程有两个相等的实数根.

故选：B.

【点睛】

本题考查了一元二次方程根的判别式的应用.

总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△>（）0方程有两个不相等的实数根；（2）△=（）0方程有两个相

等的实数根；（3）Z∖<0o方程没有实数根.

9、A

【分析】根据一元二次方程的解的定义，将a代入已知方程，即可求得a2+3a的值，然后再代入求值即可.

【详解】解：根据题意，得

a2+3a-1=0,

解得：a2+3a=l,

所以a2+3a+2019=1+2019=2020.

故选：A.

【点睛】

此题考查的是一元二次方程的解，掌握一元二次方程解的定义是解决此题的关键

10、C

【解析】函数y=-χ2-3的图象顶点坐标是（0,-3）.

故选C.

11、A

【分析】根据只有符号不同的两个数是互为相反数解答即可.

【详解】解：T的相反数是L

故选A.

【点睛】

本题考查了相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义，正数的相反数是负数，0的相反数是0,负数的

相反数是正数.

12>D

【分析】只要证明NCMD=ACOA,求出CoSNCoA即可.

【详解】如图1中，连接OCQM.

设OC=r,

：.r2=42+(r-2)2,

:∙r=5,

VAB±CD,AB是直径，

ΛAD=AC=-CD,

2

ΛZAOC=ɪZCOM,

VNCMD=-NCOM,

2

.∙.NCMD=NCOA,

CH3

•∙cosZCΛ∕Z)=cosNCOA=-----=—.

OC5

【点睛】

本题考查了圆周角定理，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会转化的思想思考问题.

二、填空题（每题4分，共24分）

13、λ∕5-Icm

【分析】根据黄金分割的概念得到较长线段BC=避二ɪAB,代入计算即可.

2

【详解】TC是AB的黄金分割点，

二较长线段BC=心二ɪAB,

2

VAB=2cm,

.∙.PBC=^--!-×2=√5-lc∕n;

2

故答案为：ʌ/ʒ-∖cm.

【点睛】

本题考查了黄金分割，一个点把一条线段分成两段，其中较长线段是较短线段与整个线段的比例中项，那么就说这条

线段被这点黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点，并且较长线段是整个线段的避二ɪ倍.

2

14、1

【解析】如图，设AABC的内切圆与各边相切于D,E,F,连接OD,0E,0F,

贝!JOE_LBa0F±AB,OD±AC,

设半径为r,CD=r,

VZC=90o,AC=4,BC=3,

.∖AB=5,

ΛBE=BF=3-r,AF=AD=4-r,

∙∖4-r+3-r=5,

.φ.r=l,

・•・^ABC的内切圆的半径为1,

故答案为1.

15、6

【分析】根据AB〃CD,得出AAOB与AOCD相似，利用AAOB与^OCD的面积分别为8和18,得：AO：OC=BO：

OD=2：3,然后再利用同高三角形求得SACQB=12,设B、C的坐标分别为（a,0）、（（），b）,E点坐标为（La,ɪb）

22

进行解答即可.

【详解】解：∙.∙AB∕∕CD,

Λ∆AOB^∆OCD,

又TaABD与AACD的面积分别为8和18,

,△ABD与AACD的面积比为4：9,

ΛAO:OC=BO:OD=2：3

■:SΔAOB=8

:・SΔCOB=12

设B、C的坐标分别为（a,0）、（0,b）,E点坐标为（,a,ɪb）

22

则OB=∣aI、OC=∣b|

Λl∣a∣×∣b∣=12gp∣a∣×∣b∣=24

1I

Λ∣-a∣×∣-b∣=6

22

又•：y=M点E在第三象限

X

11

.φ.k=xy=—a×—b=6

22

故答案为6.

【点睛】

本题考查了反比例函数综合题应用，根据已知求出SACOB=12是解答本题的关键.

16、-4∖∕n,4∖∕/?-4V∏-1j

【分析】先求出双曲线的解析式，设B2Bt=2m],B3B2=Im2,分别求出町和〃??的值，从中找到规律表示出B禺一的

值，据此可求得点儿的坐标.

【详解】解：∙.∙OA=4√5,AOA∣B∣是等腰三角形,

ABl=0B[=4,

：.A的坐标是（-4,4）,

.∙∙C1的坐标是（-2,2）,

4

.∙.双曲线解析式为y=-一，

X

设B2B1=2ml,则4A2=2ml,

ΛΛ的坐标是（-4-2g，2∣nl）,

二G的坐标是（-4-班，∣nl）,

(-4-m∣)∙mi=-4,

ʌm∖=2√2-2(负值舍去),

•∙B?B]=4^/2—4，

设B3B2=2m2,则B3A3=2m2,

同理可求得"％=2石-2夜，

∙*∙B3B2=4∙∖∕3—4-∖∕2，

******9

依此类推纥纥_尸4«-4病I，

•∙BnAn=BnBnT=^y[n—4>/几-1'

・・・OBzl=OB1+B2B1+B3B2+……+纥纥T

=4+4λ∕2—4+4Λ∕3—4λ∕2+.....+4Vn—4j〃-1

=4&

:∙A〃的坐标是(-4>∕n,4Λ∕^-4>∕〃-1)，

故答案是：(-46,4〃-4J〃-1).

【点睛】

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=K(k为常数，k≠o)的图象是双曲线，图象上的点(χ,

X

y)的横纵坐标的积是定值k,即xy=k.也考查了等腰直角三角形的性质.

9

17、9时一元

4

【分析】观察图象找出点的坐标，利用待定系数法即可求出X、力关于X的函数关系式，=者做差后，利用二次函数

的性质，即可解决最大收益问题.

【详解】解：设交易时间为X,售价为y,成本为为，则设图1、图2的解析式分别为：χ=kx+b∖%=a(X-IO)2+3,

依题意得

10k+b=5

Λ<8k+b=6

<z(6-10)2+3=7

解得。=10

1

a=­

I4

2

.∙.y=-；x+10、y2=-^-(χ-10)+3

.∙.出售每千克这种水果收益：y=χ-%=(-Lχ+ιθ)-[L(χTθ)2+3]=-LX2+2χ78

2444

99

-

.∙.当X=――2_=9时，y取得最大值，此时:-4-

2x（」）

4

__9

.∙.在这段时间内，出售每千克这种水果收益最大的时刻是9时，此时每千克的收益是N元

4

9

故答案为：9时；-TC

【点睛】

本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的性质，解题的关键是:观察函数图象根据点的坐标，利用待定系数法

求出X、巴关于X的函数关系式.

18、I

【分析】过圆心作弦AB的垂线，运用垂径定理和勾股定理即可得到结论.

【详解】过圆心点O作OE_LAB于点E,连接OC,

S

[i]i[J]]r'mTiTITA

肛2.5m

WJ1而1

2⅛l,U⅛⅛

"i∙ι∙rι-rι∙rι∙ι一、.・y*•；∙/i-T-T-I-I∙r~ι一ɪ-1^^τ

Y点C是该门的最高点,

∙*∙AC=BC，

ΛCO±AB,

ΛC,O,E三点共线,

连接OA,

VOE±AB,

AB

AE=-----=0.5m，

2

设圆O的半径为R,则OE=2∙5-R,

VOA2=AE2+OE2,

.∙.R2=(0.5)2+(2.5-R)2,

7

解得：R=%

故答案为

【点睛】

本题考查了垂径定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键.

三、解答题(共78分)

19、(1)y=-x2+9%-14;(2)当机=5时，PE长度的最大值为4,此时点P的坐标为(5,2)；(3)ΔE4E为直

角三角形时点P的坐标为(5,2)或(6,1).

【分析】(1)根据已知条件先求得A(3,4),3(7,0),将A、3坐标代入y=-f+fex+c,再求得力=9、c=-14,

最后将其代入y=-%2+hx+c即可得解；

(2)假设存在符合条件的点P,并设点P的横坐标然后根据已知条件用含加的式子表示出P、E的坐标，再利

用坐标平面内距离公式求得P、E间的距离，将其进行配方即可进行判断并求解；

(3)分NE4P=90。、NAEP=90。两种情况进行讨论，求得相应的符合要求的P点坐标即可.

【详解】解：⑴：抛物线y=-f+历r+c与直线y=-χ+7相交于A(3,/")、B(X,0)

二当x=3时，y=-3+7=4;当y=0时，0=—χ+7,则x=7

.∙.A(3,4),B(7,0)

-93b+c'—4

.∙.把A(3,4),8(7,0)代入,=版+c得口9+76+二0

fb=9

・•・〈

c=-14

:∙y=-x2+9x-14

(2)假设存在符合条件的点P,并设点P的横坐标机

P（m,7—m）

.∖PE=-m2+9m-14—（7—m）

=-nr+10m-21

=-（m-5）'+4

V-1<O

.∙.PE有最大值当机=5时，PE长度的最大值为4,此时点P的坐标为（5,2）

（3）①当NE4尸=90。时

Y直线AE垂直于直线AB

.∙.可设直线AE的解析式为y=χ+b

•••直线46过点（3,4）

：.4=3+6

.∙.Z?=1

・•・直线AE的解析式为y=x+l

.y=-x2+9x-14

y=x+l

x=5fx=3

・•・〈,或〈/不合题意，舍去）

y=6及=4

.∙.此时点E的坐标为（5,6）

,当X=5时，y=-5+7=2

.∙.此时点尸的坐标为（5,2）；

②当NAEP=90。时

二点E的纵坐标与点A的纵坐标相等即y=4

***4=—x2+9Λ-14

；・解得X=6或r=3（舍去）

二当x=6时，y=-6+7=l

.∙.此时点P的坐标为（6,1）.

.∙.综上所述，符合条件的点P存在，△/¾f为直角三角形时点P的坐标为(5,2)或(6,1).

2

故答案是：(1)y=-x+9x-14i(2)当加=5时，PE长度的最大值为4,此时点P的坐标为(5,2)；(3)^PAE

为直角三角形时点P的坐标为(5,2)或(6,1).

【点睛】

本题考查了二次函数与一次函数的综合应用，涉及到了动点问题、最值问题、用待定系数法求解析式、方程组问题等，

充分考查学生的综合运用能力和数形结合的思想方法.

1,S

20、(1)y∣=∕+1x-3;(2)1与2；(3)27<⅛<60

【分析】(1)已知了抛物线与X轴的交点，可用交点式来设二次函数的解析式.然后将另一点的坐标代入即可求出函

数的解析式：

(2)可根据(1)的抛物线的解析式和反比例函数的解析式来联立方程组，求出的方程组的解就是两函数的交点坐标,

然后找出第一象限内交点的坐标，即可得出符合条件的乙的值，进而可写出所求的两个正整数即可；

(3)点B的横坐标为m,满足3<m<4,可通过m=3,m=4两个点上抛物线与反比例函数的大小关系即可求出k的取

值范围.

【详解】解：(1)∙.∙二次函数图像经过(1,0),(-6,0),(0,-3),

.∙.设二次函数解析式为X=〃(x-l)(x+6),

将点(0,3)代入解析式得-3="(0-l)(0+6),

1

・♦Cl——;

2

M(X-I)(X+6)=gχ2+^χ-3,

2

即二次函数解析式为yl=→+→-3；

(2)如图，根据二次函数与反比例函数在第一象限的图像可知，

当X=I时，有X<%；

当X=2时，有X〉为，

故两函数交点的横坐标X。落在1和2之间，从而得出这两个相邻的正整数为1与2.

（3）根据函数图像性质可知：

当3<m<4时，对y=gχ2+gχ-3,X随着X的增大而增大，

4

对％=一，K随着X的增大而减小，

X

∙.∙点B为二次函数与反比例函数交点，

二当加=3时，y↑<y2>

IC5k

BP-5-×32+-X3-3<-,解得力>27,

223

同理，当加=4时，y↑>Vi>

gpl×42+-×4-3>-,解得太<60,

224

二攵的取值范围为27<∕<60;

【点睛】

本题主要考查了二次函数和反比例函数综合应用，掌握二次函数，反比例函数是解题的关键.

21、水的最大深度为0.2加

【分析】先求出OA的长，再由垂径定理求出AC的长，根据勾股定理求出OC的长，进而可得出结论.

【详解】解：。的直径为H,∙∙.04=00=0.5m.

VODYAB,AB=0.8m,ΛAC=OAm,

ʌOC=y∣OA2-AC2=√0.52-0.42=Q.3m>

CD-OD—OC-0.5—0.3—0.2/77.

答：水的最大深度为0.2〃?.

【点睛】

本题考查的是垂径定理的应用，根据勾股定理求出OC的长是解答此题的关键.

22、（I）OB=6,Oe=2百；（2）C的坐标为（3,√J）;y=一+半χ.%∕J；（3）存在，<（0,0）,Λ（6-2√3,0）,

4（4,0）,4（6+2月,0）

【分析】（D根据题意先确定OA,OB的长，再根据aOCAs^OBC,可得出关于OC、OA.OB的比例关系式即

可求出线段OB、C）C的长；

（2）由题意利用相似三角形的对应边成比例和勾股定理来求C点的坐标，并将C点坐标代入抛物线中即可求出抛物

线的解析式；

（3）根据题意运用等腰三角形的性质，对所有符合条件的P点的坐标进行讨论可知有四个符合条件的点，分别进行

分析求解即可.

【详解】解：（1）由ax?-8ax+12a=0（a<0）

得x∣=2,x2=6,即：OA=2,OB=6

∙.∙AOCASAOBC

AOC2=OA?=GB

ʌOC=2√3（—2G舍去）

.∙.线段OC的长为2君.

¢2）∙.∙AOCASAoBC

.ΛCOA2=1

,

"BC^OC2λ^~√3

设AC=k,

则BC=√3k,

由AC?+BC?=AB2

得1?+（技）2=（6-2>,

解得k=2（-2舍去），

二AC=2,BC=2√L

过点C作CD,AB于点D,

由面积得CD=G,∙∙.C的坐标为（3,班）

将。点的坐标代入抛物线的解析式得a=

3

—/+"一4"

33

(3)存在R(0,0),P2(6-2√3,0),P3(4,0),P1(6+2√3,0)

①当Pl与。重合时，ABCPi为等腰三角形

.∙.Pι的坐标为(0,0)；

②当PzB=BC时(P2在B点的左侧)，Z∖BCP2为等腰三角形

.∙.P2的坐标为(6-2√3,0)；

③当P3为AB的中点时，P3B=P3C,Z^BCP3为等腰三角形

.∙.P3的坐标为(4,0)；

④当BP4=BC时(P4在B点的右侧)，aBCP4为等腰三角形

.∙.P4的坐标为(6+250)；

二在X轴上存在点P,使aBCP为等腰三角形，符合条件的点P的坐标为：

Pl(0,0),P2(6-2√3,0),P3(4,O),Pl(6+2√3,0).

【点睛】

本题考查二次函数的综合问题，掌握由抛物线求二次函数的解析式以及用几何中相似三角形的性质求点的坐标等知识

运用数形结合思维分析是解题的关键.

23、(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)1.

【分析】(1)根据正方形的性质，可直接证明ACBE丝aCDF,从而得出CE=CF;

(2)延长AD至F,使DF=BE,连接CF,根据(1)知NBCE=NDCF,即可证明NECF=NBCD=90。，根据NGCE=45。,

得NGCF=NGCE=45。，利用全等三角形的判定方法得出AECGgZ∖FCG,即GE=GF,即可得出答案

GE=DF+GD=BE+GD;

(3)过C作CF±AD的延长线于点F.则四边形ABCF是正方形,设DF=x,则AD=12-x,根据(2)可得:DE=BE+DF=4+x,

在直角AADE中利用勾股定理即可求解.

【详解】(1)如图1,在正方形ABCD中，

VBC=CD,ZB=ZCDF,BE=DF,

ΛΔCBE^ΔCDF,

ΛCE=CF;

(2)如图，延长AD至F,使DF=BE,连接CF,

由(1)知ACBEgZkCDF,

ΛZBCE=ZDCF,

/.ZBCE+ZECD=ZDCF+ZECD,

即NECF=NBCD=90。，

又・・NGCE=45。，

ΛZGCF=ZGCE=45o,

VCE=CF,ZGCE=ZGCF,GC=GC,

Λ∆ECG^∆FCG