专题1-9数列性质的综合运用17类题型（原卷版）

专题19数列性质的综合运用17类题型近2年考情考题示例考点分析关联考点2023年新2卷，第8题基本量的计算等差数列片段和相关计算2023新高考1卷，第7题等差数列前n项和性质的判断等差数列前n项和解析式特征2023年全国乙卷理数，15题等比数列基本量计算构造方程组求等比数列首项和公比2023年全国甲卷理数，5题等比数列前n项和的基本量计算构造方程求基本量2023新高考1卷，第20题已知等差数列的和求公差等差中项与前n项和的计算TOC\o"13"\n\h\z\u知识点梳理模块一等差数列【题型1】等差中项与前n项和【题型2】等差数列片段和【题型3】等差数列及其前n项和的基本量计算【题型4】通过等差数前n项和的比值相关运算【题型5】等差数列奇偶项和相关运算【题型6】等差数列前n项和的单调性与最值【题型7】等差数列性质判断与综合运用【题型8】等比数列及其前n项和的基本量计算模块二等比数列【题型9】等比数列中基本量的计算【题型10】等比数列的基本性质【题型11】等比数列片段和【题型12】等比中项的运用【题型13】等比数列性质判断与综合运用【题型14】等差数列与等比数列混合计算求值模块三其它综合问题【题型15】周期数列【题型16】数列中的最值问题【题型17】数列新定义问题知识点梳理一、基本量计算方法a1，d，n称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，Sn中，可知三求二，即等差数列的通项公式及前n项和公式中“知三求二”的问题，一般是通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)来求解．这种方法是解决数列运算的基本方法．在运算中要注意等差数列性质的应用．二、等差数列重要性质若数列{an}是等差数列，公差是d，则等差数列{an}有如下性质：(1)当d>0时，{an}是递增数列；当d<0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列．(2)an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*，n≠m)．(3)eq\f(am－an,m－n)＝d(m，n∈N*且n≠m)．(4)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.特别地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则am＋an＝2ap.三、求等差数列前n项和Sn最值的方法(1)寻找正、负项的分界点，可利用等差数列的性质或利用eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥0，,an＋1≤0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤0，,an＋1≥0))来寻找．(2)运用二次函数的图象求最值．四、等差数列奇偶项问题(1)若等差数列的项数为2n，则S2n＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝nd，eq\f(S偶,S奇)＝eq\f(an＋1,an).(2)若等差数列的项数为2n＋1，则S2n＋1＝(2n＋1)an＋1，S偶－S奇＝－an＋1，eq\f(S偶,S奇)＝eq\f(n,n＋1).五、等差数列前n项和的性质(1)若数列{an}是公差为d的等差数列，Sn为其前n项和，则数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也是等差数列，且公差为eq\f(d,2).(2)若Sm，S2m，S3m分别为等差数列{an}的前m项、前2m项、前3m项的和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列，公差为m2d.(3)设两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则eq\f(an,bn)＝eq\f(S2n－1,T2n－1).六、等比数列的性质(1)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝ap·aq；若m＋n＝2k(m，n，k∈N*)，则aeq\o\al(2,k)＝am·an.(2)若数列{an}是等比数列，则{|an|}，{aeq\o\al(2,n)}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))仍为等比数列．七、等比数列的前n项和性质1.在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，a1与q是最基本的元素，当条件与结论间的联系不明显时，均可以用a1与q表示an与Sn，从而列方程组求解．在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的．这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用．2.等比数列前n项和的常用性质：(1)若共有2n项，则S偶∶S奇＝q.(2)“片断和”性质：等比数列{an}中，公比为q，前m项和为Sm(Sm≠0)，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，Skm－S(k－1)m，…构成公比为qm的等比数列．模块一等差数列【题型1】等差中项与前n项和在等差数列中，，则此数列的前13项的和等于A．13 B．26 C．8 D．162已知公差不为0的等差数列满足，则0．两个等差数列，的前项和分别为和，已知，求的值．已知等差数列和的前n项和分别为，，若，则（

）．A． B． C． D．2023新高考1卷——基本量计算：利用等差中项简化计算设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和．(1)若，求的通项公式；(2)若为等差数列，且，求．【题型2】等差数列片段和2023新高考2卷T8记为等比数列的前n项和，若，，则（

）．A．120 B．85 C． D．（2023·广东深圳二模）设等差数列的前n项和为，若，，则（

）A．0 B． C． D．2024届·江苏连云港&、南通质量调研(一)设等差数列的前项和为，已知，，，其中正整数，则该数列的首项为（

）A．5 B．0 C．3 D．52020年全国Ⅱ卷（理）——等差数列片段和北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（）A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块【题型3】等差数列及其前n项和的基本量计算已知等差数列的前项和为，，，，则等于A．12 B．14 C．16 D．18在等差数列中，公差，，，则数列的前9项之和等于．【题型4】通过等差数前n项和的比值相关运算已知等差数列和等差数列的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数为（

）A．6 B．7 C．8 D．9两等差数列和前项和分别为，，且，则．已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的值为.【题型5】等差数列奇偶项和相关运算在项数为的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则等于10．已知等差数列共有项，所有奇数项之和为132，所有偶数项之和为120，则等于．31．已知等差数列共有10项，其奇数项之和为10，偶数项之和为30，则其公差是4．【题型6】等差数列前n项和的单调性与最值在等差数列中，其前项和是，若，，则在中最大的是A． B． C． D．已知等差数列的前n项和为，并且，若对恒成立，则正整数的值为.若等差数列的前项和为，且满足，对任意正整数，都有，则的值为（

）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023（多选）已知等差数列的前n项和为，公差，则下列数列一定递增的是（

）A． B．C． D．设为等差数列，为数列的前项和，已知，，为数列的前项和．（1）求；（2）求，及的最小值．【题型7】等差数列性质判断与综合运用2023新高考1卷·T7——数列性质的判断记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（

）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件（雅礼中学月考）（多选）设是公差为（）的无穷等差数列的前项和，则下列命题正确的是（

）A．若，则是数列的最大项B．若数列有最小项，则C．若数列是递减数列，则对任意的：，均有D．若对任意的，均有，则数列是递增数列（多选）已知等差数列的前n项和为，公差，则下列数列一定递增的是（

）A． B．C． D．（多选）已知数列的前n项和是，则下列说法正确的是（

）A．若，则是等差数列B．若，，则是等比数列C．若是等差数列，则，，成等差数列D．若是等比数列，则，，成等比数列【题型8】等比数列及其前n项和的基本量计算已知是等比数列的前项和，，，则．已知等比数列{an}的前n项和为，且，则实数的值为模块二等比数列【题型9】等比数列中基本量的计算2023乙卷(理)T15——基本量计算：解2元方程组已知为等比数列，，，则.【答案】【分析】根据等比数列公式对化简得，联立求出，最后得.【详解】设的公比为，则，显然，则，即，则，因为，则，则，则，则2023年全国甲卷(理)——基本量计算：解一元三次方程设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（

）A． B． C．15 D．402022·全国乙卷（理）——基本量计算已知等比数列的前3项和为168，，则（

）A．14 B．12 C．6 D．3【题型10】等比数列的基本性质设，分别为等比数列，的前项和．若（，为常数），则（

）A． B． C． D．已知是等比数列的前项和，且，则（

）A． B． C． D．在等比数列中，，则.（2020·江苏·统考高考真题）设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列．已知数列{an+bn}的前n项和，则d+q的值是．【题型11】等比数列片段和2020年全国Ⅰ卷（文）T10设是等比数列，且，，则（

）A．12 B．24 C．30 D．32已知等比数列的前n项和为．若，则（

）A．13 B．16 C．9 D．12深圳市宝安区2024届高三上学期10月调研（多选）设数列的前项和为.记命题：“数列为等比数列”，命题：“，，成等比数列”，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件（多选）设数列，都是等比数列，则（

）A．若，则数列也是等比数列B．若，则数列也是等比数列C．若的前项和为，则也成等比数列D．在数列中，每隔项取出一项，组成一个新数列，则这个新数列仍是等比数列【题型12】等比中项的运用已知正项数列满足，则数列的前项和为.我国古代数学著作《九章算术》中有“竹九节”问题：现有一根节的竹子，自上而下各节的容积成等比数列，最上面节的容积之积为，最下面节的容积之积为，则第节的容积是.设等比数列的公比为，前项和为，则“”是“为等比数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件已知正项数列满足，，若存在m，，使得，则的最小值为．（多选）在正项等比数列中，，则（

）A． B．的最小值为1C． D．的最大值为4（多选）公比为的等比数列，其前项和为，前项积为，满足,，.则下列结论正确的是（

）A． B．C．的最大值为 D．的最大值为【题型13】等比数列性质判断与综合运用(多选)已知等比数列{an}的公比为q，首项为a，前n项和为Sn，则下列结论错误的是 ()A．若a＞0，则anSn＞0B．若q＞0，则anSn＞0C．若a＜0，则anSn＜0D．若q＜0，则anSn＜0（多选）已知数列为等比数列，首项，公比，则下列叙述正确的是（

）A．数列的最大项为 B．数列的最小项为C．数列为递增数列 D．数列为递增数列（多选）已知等比数列的前n项和为，且，是与的等差中项，数列满足，数列的前n项和为，则下列命题正确的是（

）A．数列的通项公式B．C．数列的通项公式为D．的取值范围是（多选）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足条件，，，则下列选项正确的是（

）A．为递减数列 B．C．是数列中的最大项 D．（多选）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足条件，，，则下列选项错误的是（

）A． B．C．是数列中的最大项 D．【题型14】等差数列与等比数列混合计算求值已知－2，a1，a2，－8成等差数列，－2，b1，b2，b3，－8成等比数列，则eq\f(a2－a1,b2)＝________.有四个实数，前3个数成等比数列，且它们的积为216，后三个数成等差数列，且它们的和为12，求这四个数．已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列.若数列的前项和，则的值为.模块三其它综合问题【题型15】周期数列（重庆·西南大学附中校联考）在首项为1的数列中，满足，则（

）A． B． C．0 D．1（重庆巴蜀中学校考）已知数列满足且，则（

）A．3 B． C．2 D．（2023·哈师大附中校考期中）在数列中，若，，，则（

）A． B． C．2 D．1已知数列满足，，当时，，则数列的前2023项的和为（

）A．0 B．1 C．3 D．4数列满足若，则等于（）A． B． C． D．数列满足，，其前项积为，则等于（）A． B． C． D．【题型16】数列中的最值问题已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S82S4=5，则a9+a10+a11+a12的最小值为（

）A．10 B．15 C．20 D．25（2023秋·重庆巴蜀中学校考）已知等差数列的前n项和为，对任意的，均有成立，则的值的取值范围是（

）A． B．C． D．已知各项为正的数列的前项和为，满足，则通项公式；且的最小值为.正项等比数列满足：，若存在两项、，使得，则的最小值为（

）A． B． C． D．【题型17】数列新定义问题2021新高考2卷T12（多选）设正整数，其中，记．则（

）A． B．C． D．有一个非常有趣的数列叫做调和数列，此数列的前n项和已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到它的近似公式：当n很大时，，其中称为欧拉马歇罗尼常数，…，至今为止都还不确定是有理数还是无理数．由于上式在n很大时才成立，故当n较小时计算出的结果与实际值之间是存在一定误差的，已知，．用上式估算出的与实际的的误差绝对值近似为（

）A．0.003 B．