2023-2024学年河北省石家庄市高一年级下册第一次月考数学模拟试题2

2023-2024学年河北省石家庄市高一下册第一次月考数学模拟试题

一、单选题

1.已知向量相=(4,-1),〃=(-5,2),且(6+72)//(制刀一〃)，则实数X=()

77

A.1B.—IC.-D.—

55

【正确答案】B

【分析】分别求，"+〃和M7-”的坐标，再根据向量平行，列式求解.

【详解】wι+n=(-1,1),xm-n-[4x+5,-x-2),

因为(〃7+司〃(X历一〃),所以(T)x(-x-2)-(4x+5)=0,

解得.x=-I

故选：B

本题考查向量平行的坐标表示，重点考查计算能力，属于基础题型.

113

2.已知点42,—m,W],]),则与向量AB同方向的单位向量是

/34、4334V

A.(-,——)B.z(-,——)xC.(z—，一)D.(-言

555555

【正确答案】C

3AB(-7，2)2/3

【详解】试题分析:与向量=2)同方向的单位向量是G=Y==W(-亍2)

2M∕2+432

单位向量的求法.

3.在443C中，A。为BC边上的中线，E为A。的中点，则EB=

3113

A.-AB——ACB.-AB--AC

4444

3113

C.一ΛBH—ACD.—ABH—AC

4444

【正确答案】A

【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得BE=；BA+gBD,之后应

3I

用向量的加法运算法则——三角形法则，得到BC=84+AC,之后将其合并，得到5E=τB4+二AC,

44

31

下一步应用相反向量，求得必=从而求得结果.

44

【详解】根据向量的运算法则，可得

BE=-BA+-BD=-BA+-BC=-BA+-(BA+AC}=-BA+-BA+-AC=-BA+-AC,

222424v724444

31

所以EB=-AB--AC,故选A.

44

该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的

三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.

4.对任意向量α,b,下列关系式中不恒成立的是

A.∣α∙⅛∣<∣a∣∣⅛∣

B.∣α-⅛∣≤∣∣a∣-∣⅛∣∣

C.(α+fr)2=∣α+⅛∣2

D.(a+b)(a-b)=a2-b2

【正确答案】B

【详解】因为IaT=同琲。s<"M∣≤同阵所以选项A正确；当α与方方向相反时，|"电M-WI不

成立，所以选项B错误；向量的平方等于向量的模的平方，所以选项C正确；(a+b)(a-h)=a2-b2,

所以选项D正确.故选B.

【考点定位】1、向量的模；2、向量的数量积.

Tr

5.已知ABC中角A、B、C对边分别为。、b、c,若。=4,A=-,则6+c的最大值为()

A.4B.6C.8D.以上都不对

【正确答案】C

【分析】利用余弦定理结合基本不等式可求得b+c的最大值.

【详解】由余弦定理可得16=/=b2+c2-2bccosA=b2+c2-bc={b+c∖-3>bc

≥S+*3(HC)一,

v7、

44

所以，(b+c)2≤64,即"+c≤8,

当且仅当匕=c=4时，等号成立，故b+c的最大值为8.

故选：C.

6.已知三个向量a,b，C共面，且均为单位向量，a/=。，则Iα+b-c∣的取值范围是

A.[√2-l,√2+l]B.[1,√2]C.[√2,√3]D.[√2-l,l]

【正确答案】A

【详解】因为“∙8=0,所以|4+」『=必+242+52=2,所以∣“+W=√Σ,所以∣α+O-cf=

a2+/?2+c2+2a∙b-2(a+b)∙c=3-2(a+b)∙c,则当C与(〃+〃)同向时(α+0)∙c最大，|〃一UF最

o

小,此时(々+人)七=卜+⅛∣∣ɛ∣cθs0=5/2"〃+/?—0「=3—2>/2,所以IQ+b—c∣nιin=5/2—1;当C与(〃+〃)

反向时(o+b)∙c最小，I〃+—c/最大，止匕时(Q+A)∙C=∣cz+⅛∣∣c∣cos^∙=-λ∕2,I〃+〃一c『=3+2友,

所以|。+》-d∣max=√5+l,所以|〃+h-c∣的取值范围为[0T√Σ+1],故选A.

7.如图所示，等边JISC的边长为2,。位边AC上的一点，且A。=；IAC,VADE也是等边三角形,

44

若BEBD=则4的值是()

A.2B∙近

33

c3n1

C.—D.—

43

【正确答案】A

根据向量表示以及向量数量积定义化简条件，解得结果.

【详解】BE∙BD=(BA+AE)∙(BA+AE+ED)

22

=BA+BA∙AE+BA∙ED+AE∙BA+AE+AEED

=22+2-2Λcos--2-2Λ+2-2Λcos-+422+4Λ2cos-

333

=2Λ2+4

C44C42

则2万+4=三因为2›0,所以a=：.

故选：A.

本题考查向量表示以及向量数量积，考查基本分析求解能力，属中档题.

8.在JiBC中，角A、B、C所对的边分别为“、b、c,a=b=5,c=8,/是-ABC内切圆的圆

心，AI=xAB+yAC,则x+y的值为（）

ʌ2010313

A.Dr.—C.—JJ.--

33218

【正确答案】D

【分析】计算出一ABC的内切圆半径，以AB直线为X轴，AB的垂直平分线为V轴建立平面直角坐标

系，利用平面向量的坐标运算可求得*、）'的值，即可得解.

【详解】a=b=5,c=8,所以，_ABe内切圆的圆心/在AB边高线OC上（也是48边上的中线），

.∖OA=OB=4,OC=4BC2-OB1=√52-42=3>

以AB直线为X轴，AB的垂直平分线为V轴建立平面直角坐标系,

则A(T0)、8(4,0)、C(0,3),

设一ΛBC的内切圆的半径为「，根据等面积法可得：^a-OC=^a+b+c）r,

解得r=ilf⅛=g,即点/1°g｝则A8=(8,0),AC=(4,3),

5

-8x+4γ=4X=一

18,13

因为α/=_n48+）/。，则，ɔ4,解得,则πx+y=—.

418

3y=-

9

故选：D.

二、多选题

9.已知向量”,b是同一平面ɑ内的两个向量，则下列结论正确的是()

A.若存在实数2,使得力=2α,则α与b共线

B.若“与人共线，则存在实数2,使得Ia

C.若“与/,不共线，则对平面ɑ内的任一向量c,均存在实数使得C=/la+〃b

D.若对平面ɑ内的任一向量c,均存在实数2〃，使得c=Aa+〃b,则“与匕不共线

【正确答案】ACD

根据平面向量共线、平面向量的基本定理判断出正确选项.

【详解】根据平面向量共线的知识可知A选项正确.

对于B选项，若〃与6共线，可能α=0,当6为非零向量时，不存在实数2,使得b=4α,所以B选

项错误.

根据平面向量的基本定理可知C、D选项正确.

故选：ACD

本小题主要考查平面向量共线、平面向量的基本定理，属于基础题.

10.已知两个单位向量e「e2的夹角为仇则下列结论正确的是()

A.不存在仇使q∙e2=∙∖/^B.∣e∣-2e,∣=∣2el-e2∣

13

C.当6=120?时，(2%-4)3-24)=万D.q在e2方向上的投影数量为Sind

【正确答案】ABC

【分析】根据条件知同=WI=I,再利用数量积的定义及运算逐一对各个选项分析判断即可得出结果.

【详解】因为两个单位向量勺，.的夹角为凡所以同=Wl=1,

选项A,因为L=同同CoSe=Cc>s8,又。e[0,π],所以、∙∖≤1,故选项A正确;

选项B,因为卜∣-2ez∣=∣e∣∣-4el∙e2+4∣e,∣=5-4e1∙e2=5-4cosθ,

,,

∣2el-e2∣=4IeIl-4ele2+∣⅛2∣=5-4e∣∙e2=5-4cos9,所以卜∣—Ze2]=∣2el-e2∣,BP∣e∣-2e2∣=∣2el-^2∣>

故选项B正确；

选项C,因为(2e∣_«2>佰_26)=2同-5el∙e2+2∣e21=4-5el∙e2=4-5cosθ,

113

又6=120?,所以(2q—6),(4-262)=4-5、(一5)=3,故选项C正确；

选项D,因为％在C?方向上的投影数量为甘=同c°sO=cosO,故选项D错误.

故选：ABC.

11.已知。为坐标原点，点[(COSa,sinα),(cos-sin/?),月(CoS(C+y0),sin(α+尸))，A(l,0),

则()

A∙I。耳=IoqB.∖AP}=∖AP2∖

C.OA-OPiOP1OP2D.OA-OP,=OP1OPy

【正确答案】AC

UUlUUUU

【分析】A、B写出。4，0P/APl,4g的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据

向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.

【详解】A：OE=(COSa,sina),OP2=(cos∕7,-siny0),所以IoaI=JCOSα+sin%=1,

IOP11="(cosβf+(—Sin万尸=1，故∣O[∣=∣O8∣,正确；

B：APx=(cosa-l,sina),AP1=(cosy0-l,-sin∕7),所以

222

IAP]∣=J(COSa-if+sin，a=V∞sa-2cosɑ÷l÷sina=λ∕2(l-cosa)=sinɪ=2∣si∏y∣,同理

IApiI=J(CoS尸-1)2+sir??=21sin，I,故∣∣,∣AR∣不一定相等，错误；

C：由题意得：OA-OP3=1×cos(a÷∕?)÷0×sin(a+/7)=cos(a+β),

OPx-OP2=cosa∙cosβ+s∖na∙(-sinβ)=cos(a+β),正确；

D：由题意得：OA∙OF]=IXCoSa+0XSina=COso,OP2OP、=cosβ×cos(6z÷/7)+(—sinβ)×sin(□r÷β)

=CoS(B+(α+P))=COS(α+2β),故一般来说工OR故错误；

故选：AC

〃力,当a,Z?不共线时

12.定义一种向量运算“软'：叫当〃/?共线时‘b是任意的两个向量)对于同一平

面内的向量a,6,c，e，给出下列结论，其中正确的选项是()

A.a®b=b®aB.=(2a)®力(4∈R)；

C.(a+b)®c=a®c+b®c；D.若e是单位向量，则卜③e∣≤∣α∣+l

【正确答案】AD

【分析】AD可根据定义及向量运算法则计算得到；BC可举出反例.

【详解】A选项，因为q∙3="α,卜-目=卜-。|,故"位人=皿",A正确；

B选项，当0,b不共线时，λ(a^h)=λa-b,[λa)<^b=λa-b,

当α,6共线时，2(a0fo)=Λ∣α-6∣,(2«)®*=∣Λa-fe∣,

不妨设4=2,”=(1,0),6=(2,0),则用-H=2,∣2α-b∣=忖=。，故B错误；

C选项，不妨设a=(0,l),b=(2,0),c=(2,l),满足〃+/?,C共线，。与Ac均不共线,

当α+∕>,c共线时，(Λ+⅛)^c=∣α+⅛-c∣=0,

α,c与6,c均不共线时,a&c+h0c=a-c+hc=l+4=5<

此时两者不相等，故C错误；

D选项，e是单位向量，当α,e不共线时，,@e∣=∣〃∙e∣=Mcos0≤∣”∣<∣α∣+l,

当0,e共线时，∣α<≡>e∣=k-e∣≤W+M≤∣θ∣+l,

故若e是单位向量，则卜8eR|a|+l,D正确.

故选：AD

三、填空题

13.ABCD是边长为1的正方形，E、尸分别是BC、CD的中点，则AE∙AF=.

【正确答案】1

【分析】建立平面直角坐标系，得出点坐标，向量的坐标，再由向量的数量积的坐标运算可得答案.

【详解】建立平面直角坐标系，如图所示；

则A（0,0）、8（1,0）、C（l,l）、3（0,1）,

因为E、F分别是BC、CO的中点，则E

所以AE=AFU,故AE"=lx；+gxl=L

故答案为.1

本题考查平面向量的坐标表示，向量的数量积的坐标运算，属于基础题.

14.已知.ABC中角4、B、C对边分别为“、b、c,若a:8:c=3:2:百，则45C中最大角的余弦值

为.

【正确答案】-立

6

【分析】根据大边对大角，结合余弦定理求解即可.

【详解】因为〃:。：。=3:2:6，不妨设α=3左,8=2k,c=百々（左＞0）,

在三角形中，大边对大角，所以最大角为A,

b1+c2-a222+3-32_-2_√3

根据余弦定理,COSA=

2bc2×2×√3^4√3^6

故答案为.

6

15.如图，在JIBC中，。是BC的中点，E在边A3上，BE=2EA,AD与CE交于点。.若

Aft

AB.AC=6AO-EC,则就的值是

【正确答案】√3.

【分析】由题意将原问题转化为基底的数量积，然后利用几何性质可得比值.

【详解】如图，过点/）作DF"CE,交A8于点儿由BE=2E4,D为BC中点,知"=FE=EA,4O=OD

BDC

O

6AO・EC=3AD∙(AC-AE)=∣(AB+AC).(AC-AE)

=∣(AB÷AC)^AC-∣AB^=∣^AB.AC-∣AB2+AC2-∣ΛB.AC^

3(r2122、1232

=--AB.AC——AB+AC=ABMC——AB+-AC=AB∙AC,

2(33)22

得，痴=，°;即网=6,4故空=技

22AC

本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取几何

法，利用数形结合和方程思想解题.

16.已知M=W="∙b=2,∖a-c∣=√3,则从。的取值范围为.

【正确答案】[2-2√3,2+2^]

【分析】设”=(2.0),根据W=W=α∙6=2,得至IJb=(I,6)，设C∙=(x,y),根据Ia-CI=得到

(x-2)2+y2=3,再由f=6∙c=x+6y,利用直线与圆的位置关系求解.

【详解】设(α,6)=α,

因为W=W=4力=2,

所以CoSa=1,

2

因为a∈[0,句，

所以ɑ=1,

设°=(2,0),则6=(1,6),设C=(X,y),

因为Ia-c∣=√3,

所以(X-2p+y2=3,表示以(2,0)为圆心，以G为半径的圆，

则f=b∙c=x+石y,表示一条直线在y轴上的截距，

当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，

BPd=—~-=r=ʌ/ɜ,

2

解得f=2+2百或f=2-2√L

所以从C的取值范围为[2-26,2+26],

⅛[2-2√3,2+2√3]

四、解答题

17.已知七、χ2,>%、%是正实数，证明：XX2+M必4JX:+y：J*+y；(并说明式子左边与右边

相等时的条件)

【正确答案】证明见解析

【分析】利用向量数量积的定义和坐标运算可得答案.

【详解】设a=(x∣,χ),b=(x2,y2),

∙.∙"型∣耶

.∙.x1x2+Xy2≤J%：+y；加+及，当且仅当Xly2=/力时取等号.

18.如图，在408C中，点A是BC的中点，点拉是08上靠近点B的一个三等分点，OC和OA交

于点£设04=。,08=从

(1)用向量表示。COC,

(2)若OE=AQA,求实数2的值.

Uiunrruuur5r

【正确答案】(DOC=2。-=-

4

⑵4=M

【分析】(1)根据平面向量的线性运算求解；

(2)根据三点共线结合平面向量基本定理运算求解.

ini'1num1uuπr∣iɪuoIr

【详解】(1)Y点A是3C的中点，则04=；；OC+;7。3,即〃=7。。+；；〃，

2222

整理得OC=2。-八

.一一.一”225

可得OC=OC-OD=OC--OB=2a-b--b=2a--b,

333

uu≡rrUUUrrSr

故OC=2afDC=2a——h.

3

(2)由题意可得：OE=λOA^λa.

-CC,....I.UUUULlUlUUOl

・・・CRE三点共线，则0E=m0C+〃。。，且加+〃=1,

uniUUalUUDf2∩r2Vr

则OE=mOC+∏OD=mn∖—b=2ma+-n-m∖b=λa.

13J3J

2

in=—

2m=λ5

23

可得-n-m=O解得n=-

3f5

+〃=12,

5

故4二1,

19.已知向量Q=(CoSaSin9),夕∈[θ,句，向量∕?=(J5,-1)∙

(1)若「上。求。的值;

(2)若2：-,<”恒成立，求实数机的取值范围.

【正确答案】(1)ɪ;(2)m>4.

(1)根据向量垂直的坐标表示得tan。=百，再结合e«。,司得e=g；

(2)先根据坐标运算得2:-1=(2cose-√5,2sin6+l),再根据模的坐标表示得

→→(π∖→→→→

2a-b=8+8sinlI,故2α-h的最大值为16,,进而得2α-。,故加>4.

【详解】解：(1).丁a_Lb,

∙*∙Gcos。一Sine=O,即：tan6=G,

又夕∈[o,句，∙∙.e=q

(2):2〃一Z?=(2CoSe-G,2sin6+l),

2/r~

.*.2a-h=(2COSe-6)+(2Sine+1)?=8+8ɪsin^-----cos

122

=8+8Sinle-J∣∙],

又∙.∙e∈[o㈤,

cππ2π

：.θ——∈——,—

3L33

・•・2a-b的最大值为16,

—>—>—>—>

.,.2a-b的最大值为4,又2a-b<加恒成立，

m>4.

本题考查向量垂直的坐标表示，向量模的计算，三角函数求最值，考查运算能力，是中档题.

20.如图，。是JIBe内一点，NAO8=150。，NAoC=I20。，向量OA,O8,OC的模分别为2,√3,4.

⑴求∣04+0B+0C∣;

(2)若。C=根。4+”08，求实数〃?，"的值.

【正确答案】(1)3

(2)m=n=—4

【分析】(1)应用向量数量积定义，及其运算律求104+08+OCI;

(2)由己知，应用向量数量积的运算律OA.θC=mθ∕+"0A.oB'OBOC=mOB-OA+nθ^＞列

方程组求参数.

【详解】(1)由已知，。408=|。AlIoBlCoS/AOB=-3,OA-OC=∖OA∣∣OC∣cosZAOC=-4,

XZBOC≈360o-ZAOB-ZAOC=90°,故OBOC=O,

∙'∙IOA+Oβ+OC∖2=OA+OB+OC+2(OA∙OB+OA∙OC+OBOC)=9

：.\0A+0B+0C\=3.

(2)由0C=，〃04+〃08得：OAOC=mOAi+nOAOB'OBOC=mOB-OA+nθl^`

∖4/n-3〃二T

.∙.{Q»可得，"="=-4∙

[-3fn+3n=u

21.在工ABC中，角A、B、C对边分别为a、b、c,向量m=(SinA,GsinB)与〃=(COSASin8)平行.

⑴求角A；

(2)若人=3,点。满足8=208，∣AZ)∣=√2T,求。.

【正确答案】(I)A=?

(2)a=ɜʌ/ɜ

【分析】(1)根据平行的数量积公式，结合三角函数的性质求解即可；

(2)过点。作庞〃47交AB于点E,根据三角形中平行线的性质可得EO=4与A3=6,再在ABC

中由余弦定理求解即可.

【详解】(1)*∙*m//n

∙β∙sinAsinβ=ʌ/ɜcosAsinB

'.*β∈(0,π),.∖sinB≠O,

.,∙sinA=y∣3cosA

∙'∙tanA=>∕3

V