2023年普通高等学校招生“圆梦杯”统高考一模拟考试数学试卷含答案

2023年普通高等学校招生“圆梦杯”统一模拟考试

数学

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上,

并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标

号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每个小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。

1.若全集。=R,集合.={x|f<9卜JV={x|2x>l},则(2N)=()

A.—3<x<；:—C.D.

2.若i(2—z)=l,则z+亍=()

A.lB.2C.3D.4

3.已知6e(0,〃)，若sin26=cos(e+彳],则tan[2。+/]=()

A.1B.C.s/3D.—y/3

3

4.赵州桥是世界上现存年代最久远，跨度最大，保存最完整的单孔坦弧敞肩石拱桥.赵州桥的

设计应用到平摆线：当一个圆沿着一条直线作无滑动的滚动时，圆周上的定点P的轨迹为

平摆线.赵州桥的拱可以近似看作平摆线，设拱与水面交于M,N两点(M在N的左侧),

MN=37m,若拱左半部分的一点K到水面的距离为6m,则线段"K长度的近似值为

()

MN

A.5mB.7mC.9mD.lIm

5.某人连续两次对同一目标进行射击，若第一次击中目标，则第二次也击中目标的概率为

0.7,若第一次末击中目标，则第二次击中目标的概率为0.5,已知第一次击中目标的概率

为0.8,则在第二次击中目标的条件下，第一次也击中目标的概率为()

14142825

A.——B.—C.—D.—

25333339

6.已知向量5，B的夹角为60。，卜―B=2石，则同+2可的最大值为()

A.3币B.4V7C.5V7D.6s

7.已知函数/(x)=(4q2—i)e''+(4a+2)x,若/(x)<0,则a的取值范围是()

j_e-2£J_£J_2-e

B.C.

2,22e5'工T

8.已知函数/(x)=/sin(°x+°),记/(x)的导函数为/'(x),/(x)在区间[o,5J上单

调，且/1—==记g(x)=/⑺―/[£|/⑺―/']'则8⑺在

区间上的零点个数为()

A.OB.0或1C.0或2D.1或2

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每个小题给出的选项中，有多项符

合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.下列四个条件中，是a〉厂的一个充分不必要条件的是()

A.a1>代B.—<—<0C.aC2>/3C2D.ln(z2>ln^2

’ap

10.已知函数=2x+l,则()

A.函数/(x)的图像关于直线x=0对称

B./(x)有三个零点

C.点(0,—1)是曲线y=/(x)的对称中心

D.曲线y=/(x)与y=—/+6/—10x+5关于直线x=1对称

11.已知a>0,函数/(x)的定义域为(0,+8),且满足当xe(0,a]时，/(x)=s[xeTx,

当x>a时，f(x)=af(x-a),则下列说法正确的是()

A.若/(x)存在极值点，则a〉：

B.若〃6N,x0^[na.na+a

V

71?

C.若方程=在区间(0,2]上恰好有三个解，则ae-,1

D.若则ae(0,l]

12.在平面直角坐标系xQP中，抛物线=4x的焦点为尸，过点M(a,0)(a>0)的直

线/交E于/,8两点，其中/的斜率左>0,Z在第一象限，将△30沿x轴折叠，得

到△4M0,且平面4Mo与平面瓦欣9互相垂直，下列结论正确的是（）

A.当左=正时，若48,08,则a=g

B.当a=l时，周长的最小值为4+2正

2/Z

C.当a=2时，若S““B=2遍△ZljlKf，Z?则点。1到平面4人金的距离为工

D.当左=1时，设三棱锥0—的外接球半径为r,则re1理,+8

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.（x-1）（1-2/7的展开式中/的系数为（用数字作答）.

14.在各项均为正数的等差数列｛%｝中，若知+为+。8=12，则巴+%的最小值为

15.已知椭圆C：；+[=l,斜率为-g的直线/分别交x轴负半轴、了轴负半轴于/,

B两点,交。于T,尸两点，点T在x轴上方，过点5作x轴的平行线交。于Z,J两点，

则面积的最大值为.

16.已知正方体4BCD-4用。12的棱长为1,以点/为球心作一个半径为厂的球，若球面

Sh

与正方体表面相交所得到的交线长为则这样的球有________个，并写出一个满足

6

条件的r的值：.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（10分）在数列｛%｝中，=—,4%+[=3%—不

（I）求｛%｝的通项公式；

（II）求数列｛㈤｝的前〃项和S".

18.（12分）如图，在长方体N8CD—481GA中，E,F,G,X分别为4口，DDX,

CD,4月的中点，且48=224=240=2.

（I）证明：直线/G,EH,GA交于一点；

（II）设直线厂G,EH,CQ]交于点记M关于平面44QQ的对称点为,求

二面角G—EF—M］的正弦值.

19.(12分)记锐角△48C的内角/,B,C的对边分别为a,b,c,已知

(sitk4-2sin2S)tart4=2-2cos28.

2

(I)求幺;

be

,u、t，sinB+sinC

(II)求-----------的取值范围.

sirU

20.(12分)2022年卡塔尔世界杯采用的“半自动越位定位技术”成为本届比赛的一大技术亮

点，该项技术的工作原理是将若干个传感器芯片内置于足球中，每个传感芯片都可以高频率

定位持球球员，以此判断该球员是否越位.为了研究该技术的可靠性，现从生产的传感芯片

中随机抽取100个，将抽取到的传感芯片的最高频率(单位：Hz)统计后，得到的频率分

布直方图如下图所示：

(I)求这批芯片的最高频率的平均值亍(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)

和方差$2;

(II)根据频率分布直方图，可以近似认为这批传感芯片的最高频率7；服从正态分布

CT2，用样本平均数X作为〃的估计值a,用样本标准差s作为b的估计值3，试估

计，从这批传感芯片中任取一个，其最高频率大于80Hz的概率；

(III)若传感芯片的最高频率大于80Hz,则该传感志片是可精确定位的，现给每个足球内

置左优=1,2,3,4)个传感芯片，若每个足球中可精确定位的芯片数不少于一半，则该足球可

以满足赛事要求，能够精确判定球员是否越位，否则就需要增加裁判数量，通过助理裁判指

证、慢动作回放等方式进行裁定.已知每个传感芯片的生产和维护费用约为1万元/场，因足

球不可精确定位而产生的一次性人力成本为12万元/场，从单场比赛的成本考虑，每个足球

内置多少个芯片，可以让比赛的总成本最低？

219

附：尸(〃一。<x•〃+o_)e-2CT<x•//+2a)«—,

399

尸(〃一3cr<x・4+3a)«---.

400

22

21.(12分)已知椭圆。：亍+己-=1的左顶点为Z,右焦点为尸，过点7(4,0)的直线/交

。于N两点，其中/在第二象限.

(I)若/过点(0,1),求A/AW的面积；

(II)设线段“F交半径为1的圆/于点G,直线TG与2/交于点R,若直线NM,NR

的斜率之比为-23,^\MG\.

22.(12分)已知函数/(x)="2e「x_In(ox)-1(。>0)有三个零点X],x2,

x3(X)<x2<x3).

(I)求a的取值范围；

(II)证明：ae.〉e；

(III)记/(x)较大的极值点为Z，当Z>a时，证明：f)+/(ar2)>0.

“圆梦杯”参考答案

一、选择题

题号123456789101112

答案ADCBCBACBCBDABDAC

二、填空题

题号13141516

5

“5百T2G“工洋人、

L立3。

答案404,------或-----(任选一个)

2

293

三、解答题

二数列1见+1｝时首项为1,公比为；的等比数列：%=31-1.

(2)当〃一1«6,既〃<7时，%>0，〃〉7,%〈0；

18.(1)延长EH交Gg于P，交CQi于S,延长FH交G。于Q，交GA于M,

可知：”=1£=至=£匣，既SM共点，于是交于同一点S(M).

(2)℃为X轴，D4为了轴，DD］为Z轴建立坐标系G:(1,O,O),尸［o,o,g

M(1,O,1)设平面GEM的一个法向量为应,平面EFM的一个法向量为拓易知:

m=(1,—2)2),n=(-1,-2,2),cosx=,,=—

\rh\\n\9

,4V2

/.sinx=----.

9

19.(1)(siih4-2sin25)tarU=2-cos25

既(siM-4sinScosS)siiL4=4cosZsinS2

既siiL42=4sin8(sirk4cos5+cosZsinS)=4sinSsin(4+B)=4sinSsinC

由正弦定理：a2=4bc,—=4.

be

cosA

（2）由三角形ABC为锐角三角形，既《cos3均>0.当b=c,矛盾，不妨设b>c.

cosC

b2+c2-a2>0

由余弦定理：!a2+c2-b~>0,同+/并记二=/>1,易知/e

b

a2+b2-c2>0

P(x>80)=P(x>86—6)=p(x>〃一夕)=g

(2)

22(1+12)

(3)(i)k=l,p]=§,成本w(l)=§+^~~---=5

:与218一小、-8小110

2|+。2§§=5,成本w(2)=2.§+(2+12)n

(ii)k=2,P2=

220A.〃、c20755

(iii)k=3,2=——，成本w⑶=3---+(3+12)=—

2727、'279

2

22

iv)k=4P4=I+《•IM成本

w(4)=4--+(4+12)--=—

综上，k=2,成本最低.

1,

21.（1）N（X2/2）0M=一；，联立'y=——x+113,

-4既一——2-8=0

4

3X2+4/=12

3

于是《

L17

V、16

c1873

b=-----

13

丁;坐；2),既3/+4-212+4%+4)-12=0,因为A(-2,0),

（2）联立

、J

，6-8左212k'4/+1

.-.M,记NMFA=x,Jl+(tanx)2，:.G

、3+4尸'3+4/,4k2-1

寐」*=小+2)…4-16左212人)

\TG-.y=^^(x-A)"[3+84，3+8公

Z-2k2

联立<™1+4后2(X—4),既(48左4+40左2+3)/_128/X-192-+160A:-12=0

3X2+4/=12

N区T2⑵+48」-73,记E

I12k2+1!48r+16A;2+l)

9533

有32/—92/+45=0,t=?或/(舍)，于是k=3,MG=-

4822

ael-x(2x2-x^-l

22.(1)f'(x)=------------------

X

(i)当％>2,/(x)<0,/(%)单调减:

-1

ex-lx(x-l)(x-4)

(ii)当X£(0,2),记g(x)=-g'(x)=W；~g(x)在(0,1)减，(1,2)

2X2-X3x(x—2)

增g(x"g⑴=1

A.当ae(O,l],/'(x)<0,/(x)单调减，至多一个零点，矛盾!；

B.当。>1,记g(x)两零点冽,n,/(x)在(0,加)减,(冽,〃)增,(〃,+8)减：

法1：因为/(〃)>/(1)>0,/(加)

法2：记J(x)=£—ln^^—1,=在(0,2)>0,于是J(x)增，

川)=。

于是且X趋近0,/(X)趋近8,X趋近8,/(X)趋近一8于是

有三零点玉工2%3，占6(。,加)，X2G(m,77),演£(〃，+8)•

(注意，x趋近0和x趋近。可以直接用极限，但是/(〃)/(加)的正负必颁说明，法1：

找恒正负区间，法2：隐零点代换)

(2)/(x)=0,这等价于丝匚3,这说明满足叫二金”加要证

ex[x3-lnx3=Inca=m

2(玉一1)

国-InX]-m>x------------

xX]+1

XlX3由对数均值不等式，易知

ae>e，等价于证xrx3