第04讲一元二次方程根与系数的关系（选学）（1个知识点1类题型18道强化训练）-八年级数学下册学与练（浙教版）（原卷版）

第04讲一元二次方程根与系数的关系（选学）（1个知识点+1类题型+18道强化训练）课程标准学习目标1.一元二次方程根与系数的关系；.1.掌握一元二次方程根与系数的关系；知识点一：根与系数的关系如果一元二次方程（）的两根为那么，就有比较等式两边对应项的系数，得①式与②式也可以运用求根公式得到．人们把公式①与②称之为韦达定理，即根与系数的关系．因此，给定一元二次方程就一定有①与②式成立．反过来，如果有两数满足①与②，那么这两数必是一个一元二次方程的根．利用这一基本知识常可以简捷地处理问题．利用根与系数的关系，我们可以不求方程的根，而知其根的正、负性．在的条件下，我们有如下结论：当时，方程的两根必一正一负．若，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若，则此方程的正根小于负根的绝对值．当时，方程的两根同正或同负．若，则此方程的两根均为正根；若，则此方程的两根均为负根．⑴韦达定理（根与系数的关系）：如果的两根是，，则，．(隐含的条件：)⑵若，是的两根(其中)，且为实数，当时，一般地：①，②且，③且，特殊地：当时，上述就转化为有两异根、两正根、两负根的条件．⑶以两个数为根的一元二次方程(二次项系数为1)是：．⑷其他：若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根(，为有理数)．若，则方程必有实数根．若，方程不一定有实数根．若，则必有一根．若，则必有一根．⑸韦达定理（根与系数的关系）主要应用于以下几个方面：已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值；已知方程，求关于方程的两根的代数式的值；已知方程的两根，求作方程；结合根的判别式，讨论根的符号特征；逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理；⑤利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱．【即学即练1】1．（2023上·浙江台州·九年级台州初级中学校考阶段练习）设方程的两个根为m，n，那么的值等于（

）A． B． C．1 D．3【即学即练2】2．（2023·浙江宁波·九年级效实中学校联考自主招生）已知为正实数，，是方程的两个根，则()A． B． C． D．【即学即练3】3．（2023·浙江·模拟预测）若a，b满足，，且，则的值为（

）A． B． C． D．【即学即练4】4．（2023下·浙江·八年级统考期末）已知是关于x的一元二次方程的两个实数根．若，则的值是（

）A．或3 B． C．3 D．或71．（2024上·江苏常州·九年级统考期末）若是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根是（

）A． B． C．0 D．22．（2024上·福建泉州·九年级统考期末）以2和为根的一元二次方程是（

）A． B．C． D．3．（2024上·重庆潼南·九年级统考期末）已知关于的一元二次方程的一个根是，则该方程两个根的和等于（

）A． B． C．3 D．104．（2023·四川广安·统考一模）一个等腰三角形的底边长是3，两腰长是关于x的方程的两个根，则该等腰三角形的周长为（

）A．6 B．7 C．8 D．155．（2024·四川广元·统考一模）关于的一元二次方程中，若，，，则这个方程的根的情况是（

）A．有两个相等的实数根 B．没有实数根C．有一个正根和一个负根 D．有两个正的实数根6．（2024上·湖北武汉·九年级统考期末）已知一元二次方程的两根分别为a，b，则的值（

）A．2 B． C． D．7．（2023上·广东东莞·九年级校联考阶段练习）若m，n是方程的两个根，则代数式的值为（

）A．2022 B．2023 C．2024 D．20258．（2023上·陕西咸阳·九年级校考期中）已知关于x的一元二次方程的两实数根为，若，则m的值为（）A． B．2 C．2或 D．9．（2022·安徽·模拟预测）若方程有两个不相等的正实数根，则常数的取值范围为．10．（2024上·山东日照·九年级校联考期末）已知m、n是方程的两根，则．11．（2024上·四川成都·九年级统考期末）已知a，b是方程的两根，则．12．（2024上·四川广安·九年级统考期末）设，是方程的两个实数根，则的值是．13．（2023上·江苏·九年级专题练习）已知a、b是方程的根，则式子的值为．14．（2023上·河北沧州·九年级统考期末）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若是倍根方程，则．15．（2024上·海南儋州·九年级统考期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．(1)求的取值范围；(2)若方程的两个实数根互为倒数，求的值．16．（2024上·河南洛阳·九年级统考期末）已知关于的一元二次方程．(1)求证：该方程总有两个实数根；(2)若时，求方程两根的值．17．（2024上·四川达州·九年级统考期末）已知m，n是一元二次方程的两个实数根．(1)求的值．(2)求的值．18．（2024上·江西赣州·九年级统考期末）已知关于x的方程．(1)求证：k取任何实数值，方程总有两个不相等的实数根；(2)若斜边长，另两条边长b，c恰好是这个方程的两个根，求的周长．19．（2023上·辽宁鞍山·九年级统考期中）已知关于的方程．(1)求证：无论k取何值，此方程总有实数根；(2)设该方程的两个实数根为a，b，若，求k的值．20．（2023上·天津和平·九年级统考期末）（1）用适当方程解一元二次方程：；（2）已知关于的一元二次方程有两个实数根，．若时，求k值及方程的解．A夯实基础1．（2024上·四川成都·九年级成都市树德实验中学校考期末）已知一元二次方程有一个根为2，则另一根为（

）A． B． C．7 D．32．（2024上·四川巴中·九年级统考期末）若是一元二次方程的根，则的值为（

）A． B．5 C． D．243．（2024上·安徽阜阳·九年级统考期末）若，是一元二次方程的两根，则．4．（2024上·江西上饶·九年级统考期末）已知方程的两个根分别为，，则的值为．5．（2023上·北京朝阳·九年级北京八十中校考期中）已知，是方程的两个实数根：(1)填空：______；______．(2)求代数式的值．6．（2023上·陕西榆林·九年级榆林市第一中学分校校考阶段练习）已是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，求的值．B能力提升1．（2024·全国·九年级竞赛）已知关于的方程的两根分别为和，若，则的值为（

）．A． B． C． D．2．（2024上·四川眉山·九年级统考期末）已知m，n是方程的两根，则的值是（

）A．8 B． C．0 D．3．（2024上·四川泸州·九年级统考期末）已知方程的两根分别为，，则的值为．4、（2024上·山东临沂·九年级统考期末）若，是一元二次方程的两根，且，则的值为．5．（2024上·湖南永州·九年级统考期末）已知关于x的一元二次方程.(1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；(2)若，是方程的两个根，且，求m的值．6．（2024上·江苏·九年级统考期末）关于的一元二次方程的两根为．(1)设，请用含的代数式表示；(2)当时，求此时方程的根．C综合素养1．（2024·全国·九年级竞赛）已知是方程的两个实数根，则（

）A． B． C． D．2．（2024·全国·八年级竞赛）如果实数满足，且，则的值为（

）A．1 B．5 C．8 D．113．（2024上·山东德州·九年级统考期末）已知m，n是方程的两个实数根，则．4．（2024·全国·九年级竞赛）已知实数分别满足和，那么的值是