高三数学开学摸底考试卷（测试范围：新高考数学全部内容）（参考答案）

高三数学开学摸底考试卷

参考答案

选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）

12345678

BBBCAAAA

多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）

9101112

ABDBCDBCDBCD

三.填空题(共4小题，满分20分，每小题5分)

13.472-3.

14.1^1.

6

15.(-8,8).

16.6

四.解答题(共6小题，满分7()分)

17.解：⑴'：DE=\,AE=3DE,：.AD=2,

ZADB+ZADC=fi,：.cosZADB+cosZADC=0,

由题意设BD=OC=x,AB=4,4c=2企，

22222

则在△AOB中，由余弦定理得COSN4O8=ED型/二坦=工比3.=3

2BD*AD4x4x

99999

在△AOC中，由余弦定理得cos/A£)C=£D-+&D.-也_=)，4二3_=三三,

2CD-AD4x4x

22—

.,.工-12.+至睦=o,解得x=2近，

4x4x

:.BC=2BD=4近,

在aABC中，由余弦定理得cos/34c=3B2+AS.2-BC；=16+8-3J=_近；

2AB-AC2X4X2V24

(2)：AB=4,AC=2企，NABC=g

.•.在△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2A8・BCcosNA8C,即8=16+BC2-2X4X®BC,解得

2

BC=2近,

•点。为BC的中点，:.BD=^BC=M，

在△ABO中，由余弦定理得AD2=AB2+BD2-2AB•BOcos/A8C=16+2-2X&X4x2iS_=10,即AD

2

=V10>

,JAE^DE,：.AE=^-AD^,

22

在△AB。中，由余弦定理得cos/BAE=.空2+如2-凶/=16+1。之=3^/15,

2AB-AD2X4XV1010__

在△ABE中，由余弦定理得B烂=A^+A戌-2A8・AEcos/BAE=16+(司叵_)2-2X4X旷匝_X,时而一

_2210

=互，即BE=E^.

22

18.解：(1)由山=/,(an+1+l)(an+l)=2an+l.n€N*-

可得Cln+\=—^―

1+an

由41>0,可得4〃>0,

则―--=1+—,

an+lan

即二^--L=i,

an+lan

所以｛工｝是首项为2,公差为1的等差数列,

an

则」-=2+〃-1=/7+!,即〃八=」一；

ann+1

1

(2)证明：an———对％=1,2,3,…,ClkUk+\Clk+2—

n+1(k+1)(k+2)(k+3)

_lr1_1i

2(k+1)(k+2)(k+2)(k+3)

所以a]a2a3+424344++aan+\an+2=—[—-—

n22X3壶+/一壶+-(n+J(n+2)

(n+2)(n+3)’

=11_1尸1_1<1

「2X3(n+2)(n+3)122(n+2)(n+3)~L2

19.解：(1)由(0.004+0+0.022+0.028+0.022+0.018)X10=l,解得a=0.006；

(2)由频率分布直方图可知,

评分在[40,60),[60,80),[80,100]内的顾客人数之比为：(0.004+0.006)：(0.022+0.028)：(0.022+0.018)

=1：5：4,

所以评分在［40,60)内的顾客应抽取20乂丁金t=2(人);

(3)用户对该APP评分的平均分为：

7=(45x0.004+55x0.006+65X0.022+75X0.028+85X0.022+95X0.0止X10=76.2.

20.解：(1)证明：:△APC为等边三角形，。为AC的中点，

J.POA.AC,

•.•平面APCJ_底面4BC,平面APCC平面4BC=AC,POu平面APC,

；.PO_L平面ABCi

(2)连接B。，由(1)可知建立以。为坐标原点，以AC、OB、。尸所在直线为x轴、)，轴、z轴的空间

直角坐标系O-xyz,如图所示：

AB=BC=2近,AC=4,则0尸=2我，AB2+BC2=\6=AC2,

.二△ABC等腰直角三角形，则。2=2,BOLAC,

：.C(2,0,0),B(0,2,0),P(0,0,273).A(-2,0,0),设M(x,y,0),

则丽=(X，y-2,0),BC=(2,-2,0),

'：BM=XBC,,则》=2入，y=2-2A,0WXW1,

|y-2=-2入

：.M(2A,2-2入，0),

•平面”CJ_平面ABC,平面4PCPI平面4BC=AC,BOu平面ABC,

平面PAC,

平面附C的一个法向量为羽=(0,2,0),

设平面M雨的一个法向量为(x,y,z),AP=(2,0,2百)，(2A+2,2-2A,0),

则［二‘竺=2x+2"z=°,取》=我，贝一退(入+D,

n・AM=(2入+2)x+(2-2入)y=0入7

平面M心的一个法向量为1=(M，4，入+D,-1),

入-1

•・,二面角M-B4-C为30°,

____|273(X-H).

.,.cos<OB>.>=Jn-O旦=——入W=-=cos300=近，即(All)2=4,解得入=3

22

WT0BI2J4+3(44)3

V人T

(不合题意，舍去)或入=工，

3

故入=£

3

21.解：(1)双曲线过点(2,1)且一条渐近线方程为了岑_乂，

则a=&b®，

双曲线过点(2,1),

联立①②解得，/=2,房=1,

2c

故双曲线的方程为三--y2=

2丫

JT

直线/的倾斜角为?，在y轴上的截距为-2,

则/的方程为y=x-2,代入双曲线方程可得，x2-8x+10=0,

设A(xi,y\),B(X2,”)，M(x,y),

则Xl+X2=8,

M为线段AB的中点，

则x=4,y=x-2=2,BPM(4,2),

•••恒士|=炳

的面积为《恒1匕|“y4x2=2如；

21z2

(2)由题意可知，圆的方程为/+V=c2,

/,2,2.22.2,2

联立｛*2v2,解得x=avAb+c,>=上一，即/>（a\b+c,且_）,

---=1ccCc

ab

切线的斜率为Wi

22

贝1」上。尸=92._^=hNl,化简整理可得，3(c-a)=aJor2,2,

ca后73^2Ca

故3C4+4«4-8a2c2=0,即3c4-8e2+4=0,解得2=2,

故双曲线的离心率为

22.解：(1)由题意，函数/(x)—X2-axlnx+\+a,aGR,

可得函数/1(x)的定义域为(0,+8),且/(x)=2x-a(1+//7X),

Xa

设g(x)=f(x)=2x-a(l+bix),x&(0,+8),则/(x)=2~^-=^-,

XX

①当aWO时，可得g'(x)>0,所以g(x)在(0,+8)上单调递增，所以/(X)没有极值；

②当。>0时，若x£(0,方)，贝iJg，(X)<0,f(x)在(0,方)上单调递减，

若x€号，=)，则g'(X)>0,/(X)在管，一)上单调递增，

所以/G)在x=^|•处取得极小值，且极小值为f，(-1)=-alny在(°，上没有极大值,

综上，当aWO时，/(x)没有极值；当。>0时，/(x)的极小值为_ahr|，无极大值.

(2)由题意知，存在/曰2,e],使得/(力-atlnt+\+a<0,

即存在怎[2,e],使得