第07讲 三元一次方程组的解法及应用（讲义与练习）-中考数学复习(解析版)

第07讲三元一次方程组的解法及应用（核心考点讲与练）

聚焦考点

一.解三元一次方程组

（1）三元一次方程组的定义：方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1,

并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组.

（2）解三元一次方程组的一般步骤：

①首先利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同

一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组.②然后解这个二元一次方程组，求出

这两个未知数的值.③再把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，

得到一个关于第三个未知数的一元一次方程.④解这个一元一次方程，求出第三个未知数的

值.⑤最后将求得的三个未知数的值用合写在一起即可.

二.三元一次方程组的应用

在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要

找到几个等量关系列几个方程.

（I）把求等式中常数的问题可转化为解三元一次方程组，为以后待定系数法求二次函数解析式

奠定基础.

（2）通过设二元与三元的对比，体验三元一次方程组在解决多个未知数问题中的优越性

名师点睛

解三元一次方程组（共2小题）

1.（2021春•西湖区校级期中）实数X,y,z满足2x+y-3z=5,x+2y+z=-4,请用X的代数式表

示Z,即z=-x~^-.

----7―

【分析】根据已知方程消去y,表示出Z即可.

【解答】解：2r+y-3z=5①，x+2y+z=-4②，

①X2-②得：3x-7z=14,

整理得：Z=3XςL4

7

故答案为：z=3x74

7

【点评】此题考查了解三元一次方程组，以及列代数式，根据题中等式消去y是本题的突破

点.

3χ-y+z=4

2.（2008春•杭州期末）解三元一次方程组：《2x+3y-z=12∙

x+y+z=6

【分析】因为三个方程中Z的系数相同或互为相反数，应用加减法来解.

【解答】解：①+②得5x+2y=16④，

③+②得3x+4y=18⑤，

得方程组（5x+2y=16,

13x+4y=18

代入③得，2+3+z=6,

∙*∙z=1.

'x=2

.∙.方程组的解为彳y=3∙

z=l

【点评】解三元一次方程组要注意以下几点：

方程组有三个未知数，每个方程的未知项的次数都是1,并且一共有三个方程，像这样的方程

组，叫三元一次方程组.通过解方程组，了解把“三元”转化为“二元”、把“二元”转化

为“一元”的消元的思想方法，从而进一步理解把“未知”转化为“己知”和把复杂问题转

化为简单问题的思想方法.解三元一次方程组的关键是消元.解题之前先观察方程组中的方

程的系数特点，认准易消的未知数，消去未知数，组成元该未知数的二元一次方程组.

二.三元一次方程组的应用（共6小题）

3.（2021•鹿城区校级二模）已知[x=l,1x=2都是关于X,y的方程y=-3x+c的一个解，则下

Iy=a∖y=b

列对于α,6的关系判断正确的是（）

A.a-b=3B.a-b=-3.C.a+b=3D.a+b=-3

【分析】将两对解代入方程得到fa=-3+cQ,①-②即可求得α-b=3.

lb=-6+c②

【解答】解：将（X=I,I'代入方程产一3x+c,得（a=T+cQ

Iy=a[y=b∣b=-6+c②

①^②得：a~b=3.

故选：A.

【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知

数的值.

4.（2021春•慈溪市期末）学校设置了有关艺术类的甲、乙、丙三个拓展性课程项目，规定甲、

乙两项不能兼报，学生选报后作了统计，发现报甲项目的人数与报乙项目的人数之和为报丙

项目人数的冬；同时兼报甲、丙两项目的人数占报甲项目的人数的工，同时兼报乙、丙两项目

53

的人数占报乙项目的人数的工；兼报甲、丙两项目的人数与兼报乙、丙两项目的人数之和是

4

报丙项目人数的2.则报甲、乙两个项目的人数之比为I：2.

9--------------

【分析】设报甲项目的有X人，报乙项目的有y人，报丙项目的有Z人，根据“报甲项目的人数

与报乙项目的人数之和为报丙项目人数的4；同时兼报甲、丙两项目的人数占报甲项目的人

5

数的工，同时兼报乙、丙两项目的人数占报乙项目的人数的工；兼报甲、丙两项目的人数与兼

34

报乙、丙两项目的人数之和是报丙项目人数的2”，即可得出关于X,y,Z的三元一次方程

9

组，由方程①可得Z=SX+2③，将③代入②化简后可得出」T=工，，进而可得出X：)，=

441836

1：2.

【解答】解：设报甲项目的有X人，报乙项目的有y人，报丙项目的有Z人，

<4

x+y=-zφ

依题意得：］,

Il2小

yx÷τy-z(2)

由①得：z=5χ+5y③，

44

将③代入②得：工x+∙ly=2x(∑Λ-+Σv),

--34944

化简得：-Lx=Λ,y,

1836

•∙xιy=1：2・

故答案为：1：2.

【点评】本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解

题的关键.

5.(2021春•奉化区校级期末)为防控新冠疫情，做好个人防护，小君去药店购买口罩.若买6

个平面口罩和4个KN95口罩，则她所带的钱还剩下1()元；若买4个平面口罩和6个KN95口罩，

则她所带的钱还缺8元.若只买10个KN95口罩，则她所带的钱还缺44元.

【分析】设平面口罩的单价为X元，KN95口罩的单价为y元，小君带的钱数为0元，根据“若买

6个平面口罩和4个KN95口罩，则她所带的钱还剩下1()元；若买4个平面口罩和6个KN95口罩，

则她所带的钱还缺8元”，即可得出关于X,y,。的三元一次方程组，利用(6X②-4X①)

・2可得出10y=a+44,移项后即可得出结论.

【解答】解：设平面口罩的单价为X元，KN95口罩的单价为y元，小君带的钱数为α元，

依题意，得"6x+4y=a-10①，

I4x+6y=a+8②

（6X②-4X①）÷2,得：10y=α+44,

.*.IOy-«=44.

故答案为：44.

【点评】本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解

题的关键.

6.（2021春•东阳市期末）已知买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块

橡皮、3本日记本共需58元，则购买10支铅笔、10块橡皮与1（）本日记本共需（）元.

A.16B.60C.30D.66

【分析】设铅笔单价为X元，橡皮的单价为y元，日记本的单价为Z元，由题意：买20支铅笔、3

块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，列出方程组，求

出x+y+z=6,即可求解.

【解答】解：设铅笔单价为X元，橡皮的单价为），元，日记本的单价为Z元，

由题意得：＜P°x+3y+2z=32①，

139x+5y+3z=58②

由①X2-②得：x+y+z=6,

：.10x+10y+10z=10×6=60,

即购买10支铅笔、10块橡皮与10本日记本共需60元，

故选：B.

【点评】本题考查了三元一次方程组的应用以及“整体思想”等知识；熟练掌握“整体思

想”，找出等量关系列出方程组是解题的关键.

7.“三宁”公司扩建，某项工程招标时，工程领导小组接到了甲、乙、丙三个工程队的投标

书，甲、乙工程队合作施工两天需付工程款6万元，乙、丙工程队合作施工三天需付工程款6.6

万元，甲、丙工程队合作施工4天需付工程款12.8万元.工程领导小组根据甲、乙、丙三队的

投标书测算，得到以下四种方案：

方案①：由甲工程队单独完成这项工程，刚好按规定日期完成；

方案②：由乙工程队单独完成这项工程，所需天数是规定日期的两倍；

方案③：由丙工程队单独完成这项工程，要比规定日期多9天；

方案④：先由甲、乙、丙三工程队合作做3天，再由乙、丙两工程队合作做3天，最后由丙工

程队单独做，也正好如期完成；

（1）每天付给甲、乙、丙工程队的工程款分别为多少万元？

（2）规定的日期是多少天？

（3）在不耽误工期的前提下，你觉得哪种方案最省钱？请说明理由.

【分析】（1）设每天付给甲、乙、丙工程队的工程款分别为X万元、y万元、Z万元，根据

“甲、乙工程队合作施工两天需付工程款6万元，乙、丙工程队合作施工三天需付工程款6.6万

元，甲、丙工程队合作施工4天需付工程款12.8万元”列出方程组，求解即可；

(2)设规定的日期是〃天，根据甲、乙、丙三工程队合作做3天完成的工作量+乙、丙两工程

队合作做3天完成的工作量+由丙工程队单独做(α-6)天完成的工作量=1列出方程，求解即

可；

(3)根据己知算出各种方案的价钱之后，再根据题意进行选择.

【解答】解：(1)设每天付给甲、乙、丙工程队的工程款分别为X万元、y万元、Z万元,

'2(x+y)=6(χ=2

根据题意，得3(y+z)=6.6，解得b=1.

4(x+z)=12.8z=l.2

答：每天付给甲、乙、丙工程队的二程款分别为2万元、1万元、1.2万元；

(2)设规定的Fl期是“天，根据题意，得

3(-l∙+∙A∙+∙^^)+3(ɪ+-ɪ-)+—―(α-6)=1,

a2aa+92aa+9a+9

解得α=18.

经检验，α=18是原方程的解，也符合题意.

答：规定的日期是18天；

(3)Y方案②与方案③都耽误工期，

施工方案是①与④.

方案①需要的工程款为：2X18=36(万元),

方案④需要的工程款为：3(2+1+1.2)+3(1+1.2)+1.2×12=12.6+6.6+14.4=33.6(万元)，

.∙.在不耽误工期的前提下，方案④最省钱.

【点评】此题考查了三元一次方程组的应用，分式方程的应用，找到合适的等量关系是解决

问题的关键.在既有工程任务，又有工程费用的情况下.先考虑完成工程任务，再考虑工程

费用.

8.妈妈给小敏IOO元钱买花装饰圣诞树.花店的花成束出售，规格与价格如下：

为了使买到的花最多，请你给小敏提建议：每种规格的花买几束.

规格ABC

每束花朵数203550

价格(元/束)469

__________

【分析】设买A,B,C三种花分别为αΓTΓ7束，然后根据题意列出代数式4α+6b+9c=100,

再根据40,64100的奇偶性来判断C的奇偶性：最后，对各种花束的花朵数进行比较并作出

判断与选择.

【解答】解：设买A,B,C三种花分别为4,%,c束，则4t∕+6⅛+9c=100∙

因为44,6b,100都是偶数，所以C是偶数，

各种花束的花朵数进行比较：

(1)用12元钱可买4种花3束，共60朵；可买8种花2束，共70朵.因此买4

种花3束不妨改买8种花，可见买A种花不能多于2束，a≤2;

(2)用18元钱可买B种花3束，共105朵；可买C种花2束，共100朵.同理，c<2,但C是偶

数，所以c=0；

根据以上分析，得4α+60=l()(),化筒得2α+3b=5().

若。=1,则3=16；若α=2,则8不是整数.这个方程符合条件的解只有1个.

答：买4种花1束、8种花16束，这时花朵最多，达580朵.

【点评】本题主要考查了关于一元二次方程的一道应用题，在解答一元二次方程时，要根据

实际情况来确定方程的整数解.

h能力提升

M分层提分

题组A基础过关练

选择题(共4小题)

1.(2019春•西湖区校级月考)方程组［3x+5y=k+2的解x、丫的值互为相反数，贝味的值为

I2x+3y=k

()

A.0B.2C.4D.6

【分析】解关于x、y的方程组，X,y即可用煤示出来，再根据x、y的值互为相反数，即可得

到关于k的方程，从而求得A的值.

【解答】解：解方程组得：［x=2k-6

［y=4-k

根据题意得：(2«-6)+(4-&)=0

解得：k=2

故选：B.

【点评】正确解关于％y的不等式组是解决本题的关键.

2.(2019春•椒江区期末)如果方程组［x+y=4的解X、丫的值相同，则加的值是()

Iχ-(m-l)y=6

A.1B.-1C.2D.-2

【分析】由题意将方程组<p+y=4中的两个方程相减，求出y值，再代入求出y值，再根

Iχ-(m-l)y=6

据x=y求出机的值.

【解答】解：由己知方程组［x"=4的两个方程相减得,

Iχ-(m^l)y=6

99

y=z--=-,x=4÷-=-,

mm

•••方程组［x4y=4的解X、y的值相同，

Iχ-(m-l)y=6

.∙.-2=4+2,

mm

解得，加=-1.

故选：B.

解法2、∙.∙方程组卜^*v=4的解X、的值相同,

Iχ-(m-l)y=6

...联立得，F+y=4,

IX=y

解得，卜=2,

∣y=2

将x=2,y=2RΛx-(∕n-I)y=6,

解得，〃?=-1,

故选:B.

【点评】此题主要考二元一次方程组的解法，一般先消元求出X,再代入其中一个方程求出y

值，比较简单.

3.(2017秋•福田区校级期末)若4χ-3y-6z=0,x+2y-7z=0(XyZ≠0),贝IJ

222

5三_+2Pz_的值等于()

2χ2-3y2-10z2

ʌ-4BTC.-15D.-13

【分析】先由(4x-3y-6z=0解得(x=3Z,再代入5χ2+2^-z2即可.

U+2y-7z=0IY=2Z.2x2-3y2-10z2

【解答】解：由(4x-3y-6z=0

Ix+2y-7z=0

解得卜=3z,

ly=2z.

代入5χ2+2y2-z245z2+8z2-Z273,

2x2-3y2-10z218Z2-12Z2-10Z2

故选：D.

【点评】本题的实质是考查三元一次方程组的解法通过解方程组，了解把“三元”转化为

“二元”、把“二元”转化为“一元”的消元的思想方法，从而进一步理解把“未知”转化

为“己知”和把复杂问题转化为简单问题的思想方法.解三元一次方程组的关键是消元.解

题之前先观察方程组中的方程的系数特点，认准易消的未知数，消去未知数，组成元该未知

数的二元一次方程组.

4.（2019春•金华期中）三个二元一次方程3x-y=7,2x+3y=},y=fcv-9有公共解，贝麟的值是

（）

A.3B.C.-2D.4

3

【分析】利用方程3x-y=7和2x+3y=l组成方程组，求出入、yf再代入y=fcr-9求出左值.

【解答】解：（3χ-y=7Q,

l2x+3y=l②

把①式两边乘3,得9x-3y=21③，

②+①得IIX=22,得X=2,

把x=2代入①得6-y—1,

解得y=-1,

将［x^2代入y=fcv-9得2k-9=-1,

Iy=-I

解得24.

故选：D.

【点评】本题考查二元一次方程组和三元一次方程组的解法，有加减法和代入法两种，一般

选用加减法解二元一次方程组较简单.

二.填空题（共3小题）

5.（2020•晋江市模拟）已知方程组［x+y-5z=0,则心丫：Z=2：3：1.

［χ-y+z=O

【分析】先解方程组，用含Z的代数式表示小y,再求尤y：z.

【解答】解：（x+y-5z=p,

Iχ-y+z=O②

①+②，得2x-4Z=0,

∙・∙x=2z.

①-②，得2y-6z=0,

∙,∙y=3z.

.*.x:y：z=2z：3z：z=2：3：1.

故答案为：2：3：1.

【点评】本题考查了三元一次方程组，掌握二元一次方程组的解法是解决本题的关键.

6.（2020春•奉化区期中）已知（x+7y+"z=9,则χ+y-z=7.

I2x+5y+4z=15

【分析】把Z看做已知数表示出方程组的解，代入原式计算即可求出值.

【解答】解：0+7y=9-nz%

12x+5y=15-4z②

①X2■②得：9v=3-18z,

解得：y=--2z,

3

把y=I"。Z代入①得:χ=3z+-？2.,

33

则x+y-z=3z+—+--Iz-z=l.

33

故答案为：7.

【点评】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与

加减消元法.

7.（2020秋•鹿城区校级月考）如图，甲、乙、丙均为正方形，甲与乙的面积之和是丙面积的

3，甲内阴影部分的面积占甲面积的工，乙内阴影部分面积占乙面积的工，内内阴影部分的面

543

积占丙面积的工，则甲、乙两个正方形面积的比为2：ɪ.

6

【分析】设甲的面积为X,乙的面积为y,丙的面积为z,根据‘'甲与乙的面积之和是丙面积的

3,甲内阴影部分的面积占甲面积的工，乙内阴影部分面积占乙面积的工，丙内阴影部分的面

543

积占丙面积的工”，即可得出关于X,y,z的三元一次方程组，解之可得出工=!y,进而可

6105

求出甲、乙两个正方形面积的比.

【解答】解：设甲的面积为X,乙的面积为y,丙的面积为z,

fO

x÷y=-z（D

依题意得：｛1；1，

436J

由②可得：z=Zχ+2⑥，

2-

将③代入①中得：x+y=Aχ+ly,

105

•∙xzy=2：1.

故答案为：2：i.

【点评】本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解

题的关键.

Ξ.解答题(共1小题)

(O

c+a÷2bc=25

2

8.已知正实数0、b、C满足方程组,a+b+2ac=29>求的值

O

lb+c+2ab=18

【分析】先把三个方程相加，得到[(α+b+c)+9][(α+b+c)-8]=0,再由α,b,C都是正实

数，从而得出答案.

【解答】解：三式相加,得：

(a+b+c)+(cΓ+bi+c1+2ab+2hc+2ca)=72,

(a+b+c)2+(α+⅛+c)-72=0,

：.[(α+fr+c)+9][(a+⅛+c)-8]=0,

•：a,b,C都是正实数，

a+b+c+9>0,

∙*∙α+b+c=8.

【点评】本题考查了三元一次方程组的解法.解题的关键是弄清题意和所给的条件，然后解

题就容易了.

题组B能力提升练

选择题(共4小题)

1.(2018秋•雁塔区校级期末)若3x+5y+6z=5,4x+2y+z=2,则x+y+z的值等于()

A.0B.1C.2D.不能求出

【分析】两方程的两边分别相加，即可得出7x+7尹7z=7,再两边除以7即可.

【解答】解：由题意得：俨+5y+6z=g

I4x+2y+z=2②

①+②得：7x+7y÷7z=7,

即x+γ+z=1,

故选：B.

【点评】本题考查了解三元一次方程组，能够选择适当的方法求解是解此题的关键.

2.(2018•苍南县校级自主招生)已知y=x3+αx2+∕>x+c,当x=5时，y=50;x=6时，y=60；X=

7时，y=70.则当x=4时，y的值为()

A.30B.34C.40D.44

【分析】将小y的值分别代入y=A∕+以+。转化为关于〃、b、C的方程，求出。、b、C的

值，再把工=4代入，求出y的值.

【解答】解：∫Ex=5,y=50；x=6,y=60:x=7,y=70代入y=Λ3+αx2+fov+c,

qO

5J+5a+5b+c=50

得，63+62a+6b+c=60*

32

17+7a+7b+c=70

,a=-18

解得＜b=117；

c=-210

代入y=χ3+αr2+⅛r+c得：

y=x3-I8.r+I17x-21O,

把x=4代入y=x3-18f+117*-210得：

y=43-18×42+∏7×4-210=64-288+468-210=34,

解法二：y-10x=x3+0r2+fer+c=0有三个根5,6,7,

∙'.y=(X-5)(X-6)(X-7)+10x.

当x=4时，y=34.

故选：B.

【点评】本题通过建立关于a,b,C的三元一次方程组，求得a、b、C的值后而求解.

3.(2012•乐平市校级自主招生)一只船有一个漏洞，水以均匀速度进入船内.发现漏洞时，船

内已经进入了一些水，如果以12个人淘水，3〃可以淘完，如果以5个人淘水，10〃才能淘

完.现在要想在2〃内淘完，需要()人.

A.17B.18C.20D.21

【分析】设水流入的速度为y,原来有水z,一人的淘水速度为X,需要W，人，根据流入的水+原

来的水=人淘出的水，列出方程组求解.

【解答】解：设水流入的速度为y,原来有水z,一人的淘水速度为X,需要VV人，根据题意

得：

,3y+z=3×12x(1)

-10y+z=10×5x(2),

2y+z=2∙wx(3)

(2)-(1)得：

y=2χf

代入(1)得：

z=3()x,

把z=30x,y=2x代入(3)得：

w=17（人）.

所以要想在2小时内淘完，需要17人.

故选：A.

【点评】本题通过列出方程组求解，关键是找到等量关系为：流入的水+原来的水=人淘出的

水.

4.（2011•浙江校级自主招生）已知整数X,y,z满叫Wy<z,f∣x+V∣+∣Y+z∣+∣z+x∣

I∣χ-y∣+∣y-z1+∣z-χ|=2

那么/+V+/的值等于（）

A.2B.14C.2或14D.14或17

【分析】根据绝对值的定义和已知条件，得出仅+y∣,W-M式子的范围，把己知访化简，从而

确定X,y,z的范围即可求解.

【解答】解:YxWyVz,

∣x-y∣=y-X,Iy-ZI=Z-y,IZ-XI=Z-x,

因而第二个方程可以化简为：

2z-2x=2,即Z=X+1,

Vx,y,z是整数，

根据条件I!叫S’，

I∣χ-y∣<2

则140x+yf4两式相加得到：Ta.,

∖-2≤χ-y≤2

两式相减得到：-IWyWl,

同理：[∣y+zf4,得到_]WzWL

1∣y-z∣≤2

根据X,y,Z是整数讨论可得：x=y=-l,Z=O,

ΛX2+√+Z2=（-2+（-I）2+0=2.

故选：A.

【点评】本题考查了绝对值的定义和三元一次方程组的解法，确定X,y,z的范围是解题的关

键.

二.填空题（共6小题）

5.（2019春•如皋市期中）已知x+2y-3z=0,2x+3y+5z=0,则-+Xt∑=J_

χ-y+z29

【分析】将小y写成用Z表示的代数式进行计算.

【解答】解：由题意得：1+2y-3z=吗.

I2x+3y+5z=0②

①X2-②得y=Ilz,

代入①得X=-19z,

原式=x÷y+z=-19z+llz+z=工

χ-y+z-19z^llz÷z29

故本题答案为：ɪ.

29

【点评】此题需将三元一次方程组中的一个未知数当做已知数来处理，转化为二元一次方程

组来解.

6.(2013•开福区校级自主招生)三个实数按从小到大排列为内，X2,X3,把其中每两个数作和

得到三个数分别是14,17,33,则Q=15.

∖1+X2=14①

【分析】首先根据XI，X2,X3这三个实数的大小关系列出方程组，Xi+x3=17②，再

X2+X3=33③

解该方程组即可得到结果.

【解答】解：根据题意得

∖1+X2=14①

，X1+X3=17②

X2+X3=33③

三式相加得XI+X2+X3=32④

④-②得，X2=∣5.

故答案为15

【点评】本题考查三元一次方程组的应用.解决本题的关键是根据题意列出方程组，解方程

组并不难.

7.(2011•黄州区校级自主招生)有甲、乙、丙3种商品，某人若购甲3件、乙7件、丙1件共需24

元；若购甲4件、乙10件、丙1件共需33元，则此人购甲、乙、丙各一件共需6元.

【分析】设甲、乙、丙3种商品的单价分别是X元、y元、Z元.

由题意列方程组得：-x+7y+z=24,然后求得jv+>z的值.

[4x+10y+z=33

【解答】解：设甲、乙、丙3种商品的单价分别是X元、y元、Z元.

由题意列方程组得俨+7y+z=24f

14x+10y+z=33②

由①X3-②X2得x+y⅛=6

故答案为6.

【点评】根据系数特点，通过加减，得到一个整体，然后整体求解.

8.(2007•宁波自主招生)设：a、b、C均为非零实数，并且αb=2(α+b),bc=3(⅛+c),ca

=4(c+α),则至=延.

b—5一

【分析】求出工+工、-i-÷A>工求出JL+Ji+2的值，求出Hc后代入求出即可.

abbeacabc

【解答】解：Vab=2(α+⅛),be=3(⅛+c),ca=4(c+a),

•・•一a+b“—_^1―,

ab2

.*.A+-1-=A,①

ba2

同理工+_1=_1②，

bc3

L工=工③

ca4

相加的：工+∙1+∙1=23,④

abc24

④-②得：a=—,

5

④-①：c=24,

④■③：b=->

7

普X24

•.•ac_―5_.—168,

b245

7

故答案为：嵯.

5

【点评】本题主要考查对解三元一次方程组的理解和掌握，能巧妙地运用适当的方法求出HC

的值是解此题的关键.

9.(2006•温州自主招生)己知abc是一个三位数，且bca+cab=567,则abc=432.

【分析】根据题意，左右对照，得到三元一次方程组，然后解答即可.

'b+c=5

【解答】解：根据题意得：(c+a=6,

a+b=7

'a=4

解得<b=3>

c=2

则忘=432.

故本题答案为：432.

【点评】本题通过建立三元一次方程组，利用加减消元法求解，

10.(2006•宁波校级自主招生)某人想买A、B、C三件物品，若买13件A物品、5件B物品、9件

C物品，则需9.25元；若买2件A物品、4件8物品、3件C物品，则需3.2元.试问若买A物品、B

物品、C物品各2件，则需2勿元.

【分析】设A物品、8物品、C物品的单价分别为x、y、Z元.列方程组得:

ri3x+5y+9z=9.25,然后求得2x+2y+2z的值.

12x+4y+3z=3.2

【解答】解：设4物品、8物品、C物品的单价分别为小y、Z元，

列方程组得：(13x+5y+9z=9.25①，

∣2x+4y+3z=3.2②

②X3得3(2x+4y+3Z)=9.6,

Λy-X=O.05③

将③代入②消熠2x+z=l④

得2x+2y+2z=2.1

故本题答案为：2.1.

【点评】根据系数特点，通过加减，得到一个整体，然后整体求解.

三.解答题(共8小题)

11.(2017春•东阳市期末)解方程组：

(1)∕x=3+2y

13χ-8y=13

x+y+z=12

(2)<x+2y-z=6.

3χ-y÷z=10

【分析】(1)根据解二元一次方程组的方法可以解答本题；

(2)根据解三元一次方程组的方法可以解答本题.

【解答】解：产*2y①

l3χ-8y=13②

将①代入②，得

3(3+2y)-8y=13,

解得，y=-2,

将)，=-2代入①，得

X=-1

，原方程组的解是：

，

①

x+y+z=12

勤

(2)<x+2y-z=6③

3χ-y+z=10

①+②，得

2x+3y=18④

③-①，得

2x-Zy=-2⑤

④-⑤，得

5）=20,

解得，y=4,

将y=4代入④，得

x—3,

将X=3,y=4代入①，得

z=5

'x=3

原方程组的解是，y=4∙

z=5

【点评】本题考查解二元一次方程组和三元一次方程组，解答本题的关键是明确解方程组的

方法，消元，最终化为解一元一次方程.

3χ-y+z=4

12.（2008春•杭州期末）解三元一次方程组：∙2x+3y-z=12.

x+y+z=6

【分析】因为三个方程中Z的系数相同或互为相反数，应用加减法来解.

【解答】解：①+②得5x+2y=16④，

③+②得3x+4y=18⑤，

得方程组（5x+2y=16,

I3x+4y=18

解得［X=2.

Iy=3

代入③得，2+3+z=6,

.β.z=l.

x=2

方程组的解为（y=3∙

z=l

【点评】解三元一次方程组要注意以下几点：

方程组有三个未知数，每个方程的未知项的次数都是1,并且一共有三个方程，像这样的方程

组，叫三元一次方程组.通过解方程组，了解把“三元”转化为“二元”、把“二元”转化

为“一元”的消元的思想方法，从而进一步理解把“未知”转化为“已知”和把复杂问题转

化为简单问题的思想方法.解三元一次方程组的关键是消元.解题之前先观察方程组中的方

程的系数特点，认准易消的未知数，消去未知数，组成元该未知数的二元一次方程组.

13.工厂的质量检验车间积压了部分产品待检，与此同时，流水线传送带按一定的速度送来待检

产品.如果打开一部质量检验机，需要半个小时方可将待检产品全部通过质量检验；同时打

开两部质量检验机，只需十分钟便可将待检产品全部通过质量检验.现因生产需要在五分钟

内将待检产品全部通过质量检验，问此时至少要同时打开几部质量检验机？

【分析】首先应搞清检测及在检测的同时，传送带还继续传送物体，假设出检测车间积压了Z

件产品待检，每分钟送来待检产品X件，在五分钟内将待检产品全部通过质量检验，至少要同

时打开y部质量检验机，这样列出有关检测机个数的方程，进而得出答案.

【解答】解：假设车间积压了Z件产品待检，每分钟送来待检产品承，在五分钟内将待检产

品全部通过质量检验，至少要同时打开y部质量检验机，由题意得：

=1，①，Iilθ2L=2,②，包=/③；

30105

由①②解得：x=0.5,z=15,

代入③得：

y=3.5,

结合实际问题结果不能是小数，所以应该为4台质量检测机.

答：至少要同时打开4部质量检验机.

【点评】此题主要考查了二元一次方程的应用，搞清题目中的变量与恒量是解决问题的关

键.

14.如下，□、△、O分别代表一个数字，且满足以下三个等式：

□+□+Δ+O=17

□+Δ+Δ+O=14

□+Δ+O+O=13,

则口、△、O分别代表什么数字？并说明理由.

【分析】先设口=x,Δ=>∙,O=z,根据题意列出方程2x+y+z=17①，x+2y+z=14②，

x+y+2z=13③，然后用加减消元法和代入法解方程即可.

【解答】解：设口=x,∆=γ,O=z,

'2x+y+z=17①

由题意得：,x+2y+z=140,

x+y+2z=13③

由①-③得：X-y=3,

由②-③得：y=l+z,

；・x=4+z,

把X、y的值代入①得：Z=2,

•,克=6,y=3.

即口代表6、△代表3、。代表2.

【点评】本题的实质是考查三元一次方程组的解法.解题的关键是消元，把“三元”转化为

“二元”、把“二元”转化为“一元”的消元的思想方法，从而进一步理解把“未知”转化

为“已知”和把复杂问题转化为简单问题的思想方法.

15.若3x+2y+4z=4,X-y+z=2,求1+4y+2z的值.

【分析】由工-y+z=2得，2x-2y+2z=4…①，又3x+2y+4z=4…②，所以，由②-①得，

x+4y+2z=0,即可得出；

【解答】解：由χ∙y+z=2得，2x-2y+2z=4,

.[2χ-2y+2z=4…①

I3x+2y+4z=4…②

由②-①得，x+4y+2z=0,

所以，x+4y+2z的值为0.

【点评】本题主要考查了解三元一次方程组，根据题意，可将已知条件做适当变形，相加或

相减即可得出；而没必要求出x、y、Z的值.

16.（2020•浙江自主招生）有A、B、C、D、E5位同学依次站在某圆周上，每人手上分别拿有

小旗16、8、12、4、15面，现要使每人手中的小旗数相等.要求相邻的同学之间相互调整

（不相邻的不作相互调整），设A给B有Xi面3>0时即为A给B有处面；xι<0时即为B给A有Xl

面.以下同），B给C有X2面：C给。有X3面，。给E有Λ4面，E给A有X5面，问XI、X2、X3、X4、X5

分别为多少时才能使调动的小旗总数lʃl∣+∣X2∣+∣X3∣+IX4∣+∣X5∣最小？

【分析】根据题意列出方程组，把一个未知数当作已知，表示出其余的未知数，根据题意取

其绝对值，画出数轴，找出各对应点，求出其最小值.

【解答】解：由于共有小旗面数为16+8+12+4+15=55面，要使每人手中的小旗面数相等，每

人均为11面.

8+x1-χ2=ll

-Ξ

12+X2X311

由题意：<4+χ3-χ4=ll,

15+X4-X5=11

'xi=X2+3

x3=x2+1

变形得：，

X4=X2^6,

'5='2-2

lr∣l+tal+tel+k+l+ksi=Ix2+3∣+k2l+k2+1l+∣x2-6∣+lx2-2∣=∣x2+3∣+∣x2+1l+∣x2l+∣x2-2∣+∣x2-6|,

设实数X2在数轴上的对应点为P，

Xi-3-1026

1IIl1I)

PPyPiP.ΛB

实数-3,-1,0,2,6在数轴上的对应点分别为P∣,P2,2，P4,P5,

.∙.团l+W2l+∣χ3∣+χ4∣+lχ5∣=IPPIl+∣P∕j2∣+∣P尸3∣+lP尸4∣+∣PP5∣,

当且仅当产位线段尸1P5上时IPPII+IPRI有最小值9,

当且仅当P在线段P2P4上时∣PP2∣+∣PP4∣有最小值3,

当且仅当P与点尸3重合时∣PP3∣有最小值0,

即当且仅当P与点尸3重合（X2=O）时，

Xl+X2+X3+X4+X5=/Pll+∣PP2l+∣PP3∣+∣P尸4∣+∣PP5∣有最小值12.

当xι=3,x2=O,X3=1,X4=-6,*5=-2时IXIH∙∣x2∣+k3∣+k4∣+∣X5∣有最小值⑵

【点评】此题比较复杂，涉及到四元一次方程组及绝对值的相关知识，解答此类题目的关键

是画出数轴，根据数形结合解题.

17.（2012•天心区校级自主招生）甲，乙，丙三人各有邮票若干枚，要求互相赠送.先由甲送

给乙，丙，所给的枚数等于乙，丙原来各有的邮票数；然后依同样的游戏规则再由乙送给

甲，丙现有的邮票数，最后由丙送给甲，乙现有的邮票数.互相送完后，每人恰好各有64

枚.你能知道他们原来各有邮票多少枚吗？说出你的思考过程.

【分析】假设甲原有邮票X枚，乙原有邮票y枚，丙原有邮票Z枚.根据题目说明列出三次赠送

的过程如下表

甲乙丙

原有Xyz

第一次送后X-y-zIy2z

第二次送后2(X-V-Z)2y-(X-y-z)-4z

2z

第三次送后4(x-y-z)2[2y-Cx-y-z)4z-2Cx-y-z)-