2023-2024学年长沙外国语高二数学（下）3月考试卷及答案解释

-2024学年长沙外国语高二数学（下）3月考试卷时量：120分钟满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合P=，，则PQ=（

）A．B．C． D．2．若向量，，，则（）A．5B．8C．10 D．123．设点是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，若，则A． B． C． D．4．4名男生2名女生排成一排，要求两名女生排在一起的排法总数为（

）A．48 B．96 C．120 D．2405．某单位开展主题为“学习强国，我学习我成长”的知识竞赛活动，甲选手答对第一道题的概率为，连续答对两道题的概率为.用事件A表示“甲选手答对第一道题”，事件B表示“甲选手答对第二道题”，则＝（

）A． B． C． D．6．如图，一个装有水的密封瓶子，其内部可以看成由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体，圆柱和圆锥的底面半径均为3，圆柱的高为6，圆锥的高为3，已知液面高度为7，则瓶子中水的体积为（

）

A． B． C． D．7．年月日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主，英国岁高龄的著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动.在年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想.在此之前著名的数学家欧拉也曾研究过这个何题，并得到小于数字的素数个数大约可以表示为的结论.若根据欧拉得出的结论，估计以内的素数个数为（

）（素数即质数，，计算结果取整数）A． B． C． D．8．现将《西游记》、《红楼梦》、《水浒传》、《三国演义》、《史记》、《资治通鉴》6本不同的书籍分发给甲乙丙3人，每人至少分得1本，已知《西游记》分发给了甲，则不同的分发方式种数是（

）A．180 B．150 C．120 D．210二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知复数（是虚数单位），则下列命题中正确的是（

）A． B．在复平面上对应点在第二象限C． D．的虚部为10．已知的展开式中，各项的二项式系数之和为128，则（

）A． B．只有第4项的二项式系数最大C．各项系数之和为1 D．的系数为56011．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列，正方形数构成数列，则下列说法正确的是（

）A．B．1225既是三角形数，又是正方形数C．D．，总存在，使得成立三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12．若函数在处取得极值，则实数a的值为．13．已知抛物线：，焦点为，若在抛物线上且在第一象限，，求直线的斜率为．14．在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1、2、3、4外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将箱子关闭，也就是主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择.现在已知甲选择了1号箱，若用表示i号箱有奖品，用表示主持人打开i号箱子，则；.四、解答题:本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．在中，内角所对的边分别为.已知.(1)求；(2)若，且的面积为，求的周长.16．已知数列的前项和为，点在直线上．(1)求数列的前项和，以及数列通项公式；(2)若数列满足：，设数列的前项和为，求的最小值．17．如图，在四棱锥中，平面平面，．(1)求证：平面；(2)若直线与底面所成的角的正切值为，求二面角的正切值．18．已知函数，当时，有极大值.(1)求实数的值；(2)当时，证明：.19．在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度．考察如图所示的光滑曲线C：上的曲线段，其弧长为，当动点从A沿曲线段运动到B点时，A点的切线也随着转动到B点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当B越接近A，即越小，K就越能精确刻画曲线C在点A处的弯曲程度，因此定义（若极限存在）为曲线C在点A处的曲率．（其中y＇，y＇＇分别表示在点A处的一阶、二阶导数）(1)求单位圆上圆心角为60°的圆弧的平均曲率；(2)求椭圆在处的曲率；(3)定义为曲线的“柯西曲率”．已知在曲线上存在两点和，且P，Q处的“柯西曲率”相同，求的取值范围．1．B【分析】根据集合交集定义求解.【详解】故选：B【点睛】本题考查交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题.2．C【分析】利用空间向量的坐标运算求解即得.【详解】由，，得，而，所以.故选：C3．B【详解】∵∵∴∵，∴∴故选B点睛：本题主要考查利用椭圆的简单性质及椭圆的定义.求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.4．D【分析】相邻元素运用捆绑法解决即可.【详解】第一步将两名女生看作一个整体与4名男生全排列，第二步将两名女生内部排列，即：.故选：D.5．D【分析】利用条件概率的计算公式进行求解即可.【详解】因为，所以.故选：D.6．A【分析】根据圆柱体积和圆锥体积的计算公式，结合已知条件，求解即可.【详解】圆柱的体积为，圆锥的体积为，设液体上方圆锥的底面圆半径为，高为，作出圆锥的轴截面示意图如下所示：

则，，解得；故液体上方圆锥的体积为，所以瓶子中水的体积为.故选：A.7．B【分析】计算的值，即可得解.【详解】因为，所以，估计以内的素数个数为.故选：B.8．A【分析】根据题意，分2步进行分析：①将6本不同的书籍分为3组，每组至少1本，②将《西游记》所在的组分发给了甲，剩下2组任意分配，由分步计数原理计算可得答案．【详解】根据题意，分2步进行分析：①将6本不同的书籍分为3组，每组至少1本，若分为4、1、1的三组，有种分组方法，若分为3，2，1的三组，有种分组方法，若分为2，2，2的三组，有种分组方法，共有种分组方法，②将《西游记》所在的组分发给了甲，剩下2组任意分配，有2种情况，则有种分发方式．故选：A．9．ACD【分析】利用复数的除法化简复数，利用复数的模长公式可判断A选项；利用复数的几何意义可判断B选项；利用共轭复数的定义可判断C选项；利用复数的概念可判断D选项.【详解】因为.对于A选项，，A对；对于B选项，在复平面上对应点的坐标为，位于第四象限，B错；对于C选项，，C对；对于D选项，的虚部为，D对.故选：ACD.10．AD【分析】根据二项式系数之和为运算求解，进而判断A；根据二项式系数的性质分析判断B；令，求各项系数之和，进而判断C；对于D：结合二项式系数的通项分析判断.【详解】对于A：由题意可知：各项的二项式系数之和为，解得，故A正确；可得，对于B：因为，则第4项和第5项的二项式系数最大，故B错误；对于C：令，可得各项系数之和为，故C错误；对于D：因为二项展开式的通项为，令，解得，所以的系数为，故D正确；故选：AD.11．BCD【分析】用累加法求出、，再用裂项相消法可判断A；分别令和，看有无正整数解即可判断B；将放缩后用裂项相消求和即可判断C；取即可判断D.【详解】三角形数构成数列：1，3，6，10，…，则有，利用累加法，得，得到，n=1时也成立；正方形数构成数列：1，4，9，16，…，则有，利用累加法，得，得到，n=1时也成立.对于A，，利用裂项求和法：，故A错误；对于B，令，解得；令，解得；故B正确；对于C，，则，整理得，，故C正确；对于D，取，且，则令，则有，故，总存在，使得成立，故D正确.故选：BCD.12．【分析】求出函数的导数，再利用给定的极值点求出值.【详解】函数，求导得，依题意，，解得，当时，，当时，，当时，因此函数在处取得极值，所以实数a的值为.故答案为：13．【分析】设的斜率为，根据抛物线的定义以及弦长公式建立方程即可求解.【详解】设则由于的斜率存在，设的斜率为．，都在轴上方，由题意知，由抛物线定义则，由弦长公式所以.故答案为：14．##【分析】分析出：若奖品在3号箱里，主持人只能打开2、4号箱，可求得的值；求得，对奖品所在的箱子进行分类讨论，求出的值，再利用全概率公式可求得的值.【详解】若奖品在3号箱里，主持人只能打开2、4号箱，故；奖品随机等可能分配到四个箱子中，因此、、、的概率均为，奖品在号箱里，主持人可打开、、号箱，故，奖品在号箱里，主持人打开号箱的概率为，故，奖品在号箱里，主持人只能打开、号箱，故，奖品在号箱里，主持人只能打开、号箱，故，由全概率公式可得：.故答案为：；15．(1)(2).【分析】（1）利用二倍角公式化简即可求得.（2）利用面积公式和余弦定理即可求解.【详解】（1）由，得，在中，，在中，.（2），由余弦定理得，，，的周长为.16．(1)，，(2)-15【分析】（1）根据题意得到，根据得到通项公式.（2），根据通项的正负确定最值，计算得到答案.【详解】（1），则，当时，；当时，；而，∴，.（2），当时，，当时，，故.17．(1)证明见解析；(2).【分析】（1）由已知条件及面面、线面垂直的性质可得，，再由线面垂直的判定可证平面.（2）建立空间直角坐标系，由线面夹角求得PB的值，由平面的法向量求得二面角的正切值.【详解】（1）在四边形中，，所以△，△都为等腰直角三角形，即，又平面PBC平面，平面平面所以直线平面，又平面所以，又，所以平面.（2）以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图，由因为直线与底面所成的角的正切值为，由面知：为直线与底面所成角的平面角，所以在中，，则，设平面PBC和平面PDC法向量分为易知可取因为，所以，令，解得，若锐二面角为则，故18．(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据题中条件列出方程组，解出验证即可；（2）变形不等式，构造函数利用函数单调性证明即可.【详解】（1）函数的定义域为，且，因为时，有极大值，所以，解得，经检验，当时，在时有极大值，所以；（2）由（1）知，，当时，要证，即证，即证：.设，则，因为，所以，所以在上单调递增，所以，即，即，故当时，.19．