2021-2023年高考数学真题分类汇编：导数及其应用（选择题、填空题）（理）

专题03导数及其应用（选择题、填空题）（理）

知识点目录

知识点1：切线问题

知识点2:单调性、极最值问题

知识点3：比较大小问题

近三年高考真题

知识点1：切线问题

1.（2021•新高考I）若过点32）可以作曲线y=e*的两条切线，贝U（）

A.eb<aB.ea<bC.0<a<ebD.0<b<ea

2.（2022•新高考I）若曲线y=（x+a）e，有两条过坐标原点的切线，则〃的取值范围是.

3.（2022•新高考H）曲线y=/〃|x|过坐标原点的两条切线的方程为.

4.（2021•新高考H）已知函数/（x）=|e'-l|,占<0,马>0,函数/（力的图象在点A（十,f（西））和点3（々，

））的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则喘^的取值范围是.

5.（2021•甲卷（理））曲线>=生］在点（-1,-3）处的切线方程为.

x+2

知识点2:单调性'极最值问题

6.（2022*乙卷（理））已知4=%和x=%分别是函数f（x）=2a*-ex2（a>0的极小值点和极大值点.若

玉<玉，则a的取值范围是.

7.（2023•新高考II）已知函数/（工）=。"-/依在区间（1,2）上单调递增，则〃的最小值为（）

A.3B.eC./D.e1

8.（多选题）（2023•新高考H）若函数/（x）=Hnr+9+=（aw0）既有极大值也有极小值，贝1］（）

XX

A.be>0B.ab>0C.Z?2+Sac>0D.ac<0

9.（多选题）（2022•新高考I）已知函数/（工）=丁-x+1,则（）

A./（x）有两个极值点

B.f（x）有三个零点

C•点（0,1）是曲线y=/（x）的对称中心

D.直线y=2x是曲线y=/（x）的切线

10.（2023•乙卷（理））设。£（0,1）,若函数/。）=优+（1+々厂在（0,+oo）上单调递增，则0的取值范围是

知识点3：比较大小问题

11.（2021•乙卷（理））设a=2/〃l.（）l,b=lril.02,c=VL04-l,则（）

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

12.（2022•新高考I）设〃=0.1e°Lb=-c=-ln0.9,则（）

9

A.a<h<cB.c<h<aC.c<a<hD.a<c<h

13.（2022年全国甲卷）已知a=|1,b=则（）

cos-,4c=4si4n-,

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

14.（2021•天津）设n=log2（）.3,ft=log,0.4,c=0.4°\则三者大小关系为（）

2

A.a<b<cB.c<a<bC.b<c<aD.a<c<b

cj则下列判断正确的是（

15.（2021•新高考H）已知a=log52,b=log83,）

A.c<b<aB.b<a<cC.a<c<bD.a<b<c

专题03导数及其应用(选择题、填空题)(理)

知识点目录

知识点1：切线问题

知识点2：单调性'极最值问题

知识点3：比较大小问题

近三年高考真题

知识点1：切线问题

1.(2021•新高考I)若过点他,份可以作曲线y=的两条切线，则()

A.eb<aB.e"<bC.0<a<ebD.0<b<e"

【答案】D

【解析】法一：函数y=，是增函数，9=，>0恒成立，

函数的图象如图，y>0，即切点坐标在x轴上方，

如果色力)在x轴下方，连线的斜率小于0,不成立.

点(4,。)在X轴或下方时，只有一条切线.

如果(a,6)在曲线上,只有一条切线;

①力)在曲线上侧，没有切线；

由图象可知3力)在图象的下方，并且在x轴上方时，有两条切线，可知0<b<e".

故选：D.

法二：设过点3,力的切线横坐标为f,

则切线方程为y=d(x-r)+d,可得6=d(a+l-f),

设/(f)=(a+lT)，可得f'(f)=d(aT)，Ze(-00,a),广&)>0，/⑴是增函数,

re(a,-Ko),f'(t)<0,/(f)是减函数，

因此当且仅当0<6<e"时，上述关于，的方程有两个实数解，对应两条切线.

故选：D.

【点评】本题考查曲线与方程的应用，函数的单调性以及切线的关系，考查数形结合思想，是中档题.

2.(2022•新高考I)若曲线y=(x+a)，有两条过坐标原点的切线，则”的取值范围是.

【答案】(—＜»»—4)U(0,+00).

【解析】yf=ex4-(x4-a)ex,设切点坐标为(不，(玉)+〃)*),

・•.切线的斜率k=泮+(x0+,

.,.切线方程为y-(/+a)e"=(e而+(x0+d)e^)(x-x0),

又•切线过原点，二.一(小+=3。+(/+a)e")(-x0),

整理得：,

•・切线存在两条，，方程有两个不等实根，

/.△=/+4。＞0,解得々＜-4或。＞0,

即。的取值范围是(-8,-4)U(0,+oo),

故答案为：(-co,-4)U(0,”).

【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，属于中档题.

3.(2022•新高考II)曲线y=/〃|x|过坐标原点的两条切线的方程为.

【答案】x-ey=0.x+ey=0.

【解析】当x＞0时，y=lnx,设切点坐标为(不，/叫))，

y'=L,.,.切线的斜率4=」",

x/

,切线方程为y-/g)=-!"(人一式0),

玉)

又•切线过原点，.,.-/%)=-1,

切线方程为y-\=-(x-e)，即x-ey=0,

当x<0时，y=ln{-x),与了=/心的图像关于y轴对称，

切线方程也关于y轴对称，

切线方程为x+ey=O,

综上所述，曲线y=/〃|x|经过坐标原点的两条切线方程分别为x-ey=O,x+ey=O,

故答案为：x-ey=O,x+ey=O.

【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，属于中档题.

4.(2021•新高考II)已知函数/(x)=|/-l|,占<0,々>0,函数f(x)的图象在点A(x「f(西))和点5(々，

/(%))的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则的取值范围是.

【解析】当x<0时，f(x)=\-ex,导数为f，(x)=-e*,

可得在点4(西，1-/」)处的斜率为K=-炉」，

切线AM的方程为,_(1_//)=_0*」0_司)，

令x=0,可得y=1-e*,+玉6*,，即M(0,l-e'」+玉e"」)，

当x>0时，f(x)=ex-\,导数为广(x)=e，，

x2

可得在点B(x2,e--\)处的斜率为k2=e*-2,

x2x2

令x=(),M得丫=，-2-1-尤20,-2，BpN(o,e--]-x2e-),

由f(x)的图象在A,8处的切线相互垂直，可得匕&=-e*」-e*-2=—l,

即为占+W=0，玉<0，x2>0,

故答案为：(0,1).

【点评】本题考查导数的运用：切线的方程，以及两直线垂直的条件，考查方程思想和运算能力，属于中档

题.

5.(2021•甲卷(理))曲线丫=生」在点(-1,-3)处的切线方程为.

x+2

【答案】5x-y+2=0.

【解析】因为y=竺二，(—1,—3)在曲线上，

x+2

所以y=2(X+2)-(2X-1)=,

(x+2)2(X+2)2

所以川I=5,

则曲线y=2在点(-1-3)处的切线方程为：

x+2

y—(-3)=5[x-(-1)]，即5x—y+2=0.

故答案为：5x-y+2=0.

知识点2：单调性'极最值问题

6.(2022•乙卷(理))已知x=x和x=z分别是函数/(x)=2罐-夕2(。〉0且。工1)的极小值点和极大值点.若

演<々,则。的取值范围是.

【答案】d,i).

e

【解析】对原函数求导:(x)=2(“'7〃a-ex),分析可知：/'(x)在定义域内至少有两个变号零点，

对其再求导可得：f"(x)=2a'(lna)2-2e,

当a>l时，易知/”(x)在R上单调递增，此时若存在/使得/"(%)=0,

则r(X)在(-8,%)单调递减，(%,+8)单调递增，

此时若函数/(X)在X=和X=X2分别取极小值点和极大值点，应满足再>多，不满足题意；

当()<a<l时，易知〃(幻在R上单调递减，此时若存在与使得广(%)=0,

则r(X)在(-00,X。)单调递增，(/，+8)单调递减，且X。=loga彳扁，

此时若函数/(X)在x=%和x=N分别取极小值点和极大值点，且占<々，

故仅需满足f\x0)>0,

ee—e—ei

即：——>elog----7n小<----7=>lnalna<In---=>——Ina<1-In(lnaf,

Inaa(Ina)(Ina)"(Ina)7"Ina

解得：—<a<e^又因为0<Q<1,故

ee

综上所述：。的取值范围是d/).

e

7.(2023•新高考H)已知函数/加在区间(1,2)上单调递增，则〃的最小值为()

A.e2B.eC.e~lD.e~2

【答案】C

【解析】对函数/(x)求导可得，f\x)=aex--,

x

依题意，a"-Lo在(1,2)上恒成立，

X

即a.」-在(1,2)上恒成立，

xex

设g(x)=±，xe(l，2)，%'(》)=—(ex+xex)ev(x+1)

(xe*)2(xe*)2

易知当xe(l,2)时、g，(x)<0,

则函数g(x)在(1,2)上单调递减,

则a..g(x)3=g(l)=」=eT

e

故选：C.

8.(多选题)(2023•新高考H)若函数/(x)=〃以+?+三("0)既有极大值也有极小值，贝心)

xx

A.bc>0B.ab>0C.b2+Sac>0D.ac<0

【答案】BCD

【解析】函数定义域为(0,xo),

2

且rdh2cax-hx-2c

X

由题意，方程((%)=0即ax2-版-2c=0有两个正根，设为王，

2

则有Xy4-^2=—>0，X]X2=—^>0,△=Z?+Sac>0,

/.ab>0,ac<0,

ab-ac=a2be<0,即be<0.

故选：BCD.

【点评】本题考查函数极值的基础知识，属简单题.

9.(多选题)(2022•新高考I)已知函数/(x)=V—x+1,则()

A.f(x)有两个极值点

B./(%)有三个零点

C.点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心

D.直线y=2x是曲线y=/(x)的切线

【答案】AC

【解析】f'(x)=3x2-1,令f'(x)>0,解得x<~~或x>令ra)<o,解得

3

，/(X)在(—00,—,”)上单调递增，在上单调递减，且

.,./(X)有两个极值点，有且仅有一个零点，故选项A正确，选项3错误;

又/W+f(-x)=x3-x+l-x3+x+l=2,则/(x)关于点(0,1)对称，故选项C正确；

假设y=2x是曲线y=/(x)的切线，设切点为他，力，则卜2T=2,解得；或［：=二，

\2a=h［b=2［b=-2

显然(1,2)和(-1,-2)均不在曲线y=f(x)上,故选项2错误.

故选：AC.

【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值以及曲线在某点的切线方程，考查运算求解能力，属于

中档题.

10(2023・乙卷(理))设“€(0,1),若函数/(幻=优+(1+”在(0,+00)上单调递增，则〃的取值范围是.

【答案】。的取值范围是［叵」，1).

2

［解析］,函数/(X)=ax+(1+a)x在(0,+oo)上单调递增，

/.f\x)=axlna+(1+a)xln(l+a)..。在(0,+oo)上恒成立,

即(1++4)…一优7”。，化简可得(上吆『…—一蛆一在(0,+oo)上恒成立，

a//?(!+a)

而在(0,+oo)k(r>1

故有1…...-一，由。£(0,1),化简可得/〃(1+a)..ln—,

ln(\+a)a

即1+a.—,tz2+—1..0,

a

解答或二

2

故〃的取值范围是［与’D.

故答案为:.1).

【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，恒成立问题的求解，指数函数的性质，是中档题.

知识点3：比较大小问题

11.(2021•乙卷)设a=2/〃1.01,b=lnl.02,C=VLO4-1,贝i」()

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

【答案】B

【解析】va=2Znl.01=Znl.0201,b=lnl.G2,

:.a>b,

/(x)=2/«(1+x)-(.y/1+4x-1),0cx<1,

令Jl+4x=t.则1<t<石

t2-l

/.X=-----

4

r+3、

gQ)=2//2(----)-r+l=21n(尸+3)-r+1—2//74,

4

4t-t2-3(/-1)(/-3)

>0,

r+3*+3

:.g⑺在（1,斯）上单调递增,

g(t)>g(1)=2/n4-l+l-2//?4=0,

.•"(x)>0,

:.a>c,

同理令h(x)=ln[\+2x)-(Jl+4x-1),

再令Jl+4x=/,则l<f<石

t2-\

x=-----

4

t2+1,

(p3-ln(——)-，+1=1〃(r9+1)-f+1-ln2,

/.e⑺在（1,石）上单调递减,

/.(p(t)<(p(1)=历2—1+1—优2=(),

h(x)<0，

.\c>b,

:.a>c>b.

故选：B.

【点评】本题考查了不等式的大小比较，导数和函数的单调性和最值的关系，考查了转化思想，属于难题.

12.（2022•新高考I）设。=0.1*,b=L,c=TM）.9,则（）

9

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【答案】C

【解析】构造函数，X>0,

X

x>0，

当_f(x)=O时，x=l,

0<x<l时，r(x)<0,/(x)单调递减;

x>i时,r(x)>o,/(*)单调递增,

.•./(X)在x=l处取最小值/(1)=1,

•**Ittx>1—，(x〉0」I.xw1),

X

加0.9>1-----——，:.—//10.9<—>/.cv/?；

0.999

ice,1°।9110

—ln0.9=In->1-----=—>••一>e01，

910109

O.le01<-»:.a<b；

9

设g(x)=xex+ln(\-x)(0<x<1),

则g，(x)=(x+l)/+-^=QJ)：+],

x-1X-1

令h(x)=ex(x2-1)+1,h'(x)=ex(x2+2x-1),

当0cx<0-1时,〃(x)<0,函数/i(x)单调递减,

当0—1<X<1时，〃(x)>0,函数力(x)单调递增，

•力(0)=0,.•.当0cxe夜一1时，h{x)<0,

当0cxea-1时，g'(x)>0,g(x)=xe*+/〃(1-x)单调递增，

.1g(0.1)>g(0)=0,.-.O.le01>-Zn0.9,:.a>c,

:.c<a<b.

故选：C.

【点评】本题考查三个数的大小的判断，考查构造法、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，是难题.

13.(2022年全国甲卷)已知a=%,b=cosZ,c=4sin3则(