2022-2023学年安徽省芜湖市八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年安徽省芜湖市八年级（下）期中数学试卷（1）

一、选择题（本大题共10小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.若式子在实数范围内有意义，贝b的取值范围是（）

A.x>—2B,%<—2C.x丰—2D.x>—2

2.下列二次根式，不能与C合并的是（）

A.«B.CC.y/~TzD.-<18

3.点。为矩形ABCO对角线AC与BD的交点，若4c=6,贝UOD的长为（）

A.1

B.2

C.3

D.6

4.下列式子中，为最简二次根式的是（）

A.<44B.C.D.<L2

5.在直角三角形中，两直角边的长分别为6和12,则斜边上中线的长为（）

A.3cB.3/~5C.6V~3D.6V-5

6.在A/IBC中，N4NC的对边分别记为a,b,c,下列条件中，能判定A/IBC是直角三角

形的是()

A.a2=(c-b)(c+b)B.a=1,b=2,c=3

C.乙4=zCD./-A：乙B：Z.C=3：4：5

7.将一个有45。角的三角尺的直角顶点C放在一张宽为3c?n的纸带边沿上，另一个顶点4在纸

带的另一边沿上，测得三角尺的一边AC与纸带的一边所在的直线

成30。角，如图，则三角尺的最长边的长为（）

A.6B.

C.4<7D.6<7

8.数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分

别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图所

示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原

理复原了施岛算经以九题古证，则下列说法不一定成立的是（）

A.SMBC=SHADCB.S—EF=S&ANF

C.S矩形NFGD~S矩形EFMBD.SbANF-S矩形NFGD

9.如图，在△ABC中，ABAC=120°,点。为BC的中点，E是

AC上的一点，且48+AE=EC.若DE=2,则4B的长是（）

A.2cB.4

C.30D.6

10.如图，正方形ZBCD中，点E、F、H分别是4B、BC、CC的中点，CE、DF交于G,连接

4G、HG.下歹IJ结论：①CE1OF；(2)AG=DG-,③NCHG=^DAG;@2HG=4D.正确的有()

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

二、填空题（本大题共4小题，共20分）

11.“对顶角相等”这个命题的逆命题是.

12.如图所示，在四边形4BCC中，N1=42,请添加一个

条件使四边形4BCD是平行四边形.可添加的条件是

.（只填一个即可）

13.己知实数-l<a<q，化简|a+l|+

J（a-2尸=------.

14.刘徽是我国魏晋时期伟大的数学家，他在仇章算术注J）中指出：“勾、股基合为弦幕,

明矣.”也就是说，图1中直角三角形的三边a、b、c存在。2+炉=02的关系他在书中构造了

一些基本图形来解决问题.如图2,分别将以a为边长的正方形和b为边长的正方形置于以c为边

长的大正方形的左下角和右上角，则图中阴影部分面积等于一（用含字母a的代数式表示）;

若(c—a)(c—b)=18,则a+b—c

图1图2

三、解答题（本大题共8小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.（本小题10.0分）

如图，折叠矩形的一边AD,使点。落在8c边的点F处，已知4B=8cm,BC=10cm,求EC的

长.

16.(本小题8.0分)

计算：

(1)2<18-2汽+G

(2)(AT7-1)°+-(1+C)2.

17.（本小题8.0分）

如图，在菱形/BCD中，CE=CF,求证：AE=AF.

18.（本小题8.0分）

已知lx=C+2,求代数式%2-4%的值.

19.（本小题8.0分）

如图，在4x4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点叫做格点.

20.（本小题10.0分）

阅读材料：

分析探索题：细心观察如图，认真分析各式，然后解答问题.

OAj=(2/+4=8,Si=2；

QAj-(J8,+4=12>S2==2V-2;

OA4-(JI2)?+4=16>S3==V12=2V-3..

(1)请用含有n(n为正整数)的等式&=；

(2)推算出O&o=；

(3)求出S/+S/+S会+…...S/o的值.

21.（本小题12.0分）

如图，MBCD的对角线AC、BD相交于点。，且“BC=NOCB.

（1）求证：四边形4BCD为矩形;

(2)过B作BE14。于E,乙CBE=3/.ABE,BE=2,求4E的长.

B

22.(本小题12.0分)

如图，在平行四边形Z8CD中，点E,F,G,H分别在边4B,BC,CD,ZZ4上,AE=CG,AH=CF,

且EG平分NHEF.

(1)求证：xAEHu&CGF.

(2)若4EFG=90。.求证：四边形EFGH是正方形.

23.(本小题14.0分)

综合与实践

【问题情境】

数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1,在正方形ABCD中，E是BC的中点，AE1EP,

EP与正方形的外角NDCG的平分线交于P点.试猜想4E与EP的数量关系，并加以证明；

【思考尝试】

(1)同学们发现，取AB的中点F,连接EF可以解决这个问题.请在图1中补全图形，解答老师

提出的问题.

【实践探究】

(2)希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2,在正方形48C。中，

E为8c边上一动点(点E,8不重合)，A/IEP是等腰直角三角形，^AEP=90°,连接CP,可以

求出NCCP的大小，请你思考并解答这个问题.

【拓展迁移】

(3)突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3,在正方形

4BC0中，E为BC边上一动点(点E,B不重合)，△4EP是等腰直角三角形，Z.AEP=90°,连

接DP.知道正方形的边长时;可以求出周长的最小值.当4B=4时，请你求出△力DP周

长的最小值.

答案和解析

1.【答案】D

解：根据题意得：x+2>0,解得x>-2.

故选：D.

根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，即可求解.

主要考查了二次根式的意义和性质.

概念：式子，G(aN0)叫二次根式.

性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义.

2.【答案】C

解：A、G=?,能与「合并：

B、=2y/~2,能与。合并；

C、V-l2=2/耳，不能与，至合并；

。、-<18=-3—，能与。合并，

故选：C.

根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的定义判断即可.

本题考查的是同类二次根式的定义，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根

式叫做同类二次根式.

3.【答案】C

解：•••四边形ABC。为矩形，

••・OA=OB=OC=OD,AC=BD,

•・・AC=6,

・•・OD=3.

故选：C.

利用矩形的对角线相等可以解决问题.

本题主要考查了矩形的对角线相等，比较简单.

4.【答案】B

解：A、E=、4X11=2E，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符

合题意；

B、，亏是最简二次根式，符合题意；

c、被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；

。、==争，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；

故选：B.

根据最简二次根式的概念判断即可.

本题考查的是最简二次根式，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二

次根式，叫做最简二次根式.

5.【答案】8

解：・•・两直角边的长分别为6和12,

，斜边=V1224-62=6A/-5，

二斜边上的中线=iX6y/~5=3AT5.

故选:B.

利用勾股定理列式求出斜边的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答.

本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理的应用，熟记性质是解题

的关键.

6.【答案】A

解：A.va2=(c—b)(c+b),

・•・a2=c2-b2,

・•・a24-b2=c2,

・•.△ABC是直角三角形，故本选项符合题意；

及•・."+22=1+4=5,32=9,

:.伊+22。32,

・•・△48C不是直角三角形，故本选项不符合题意；

C.vZ-A=zC

.•.△ABC是等腰三角形，不一定是直角三角形，故本选项不符合题意；

Z.A：乙B：Z-C=3：4：5,Z.A4-Z-B4-L.C—180°,

；・最大角NC=丁［x180°=75°<90°,

3+4+5

△4BC不是直角三角形，故本选项不符合题意；

故选：A.

求出。2+/=©2,根据勾股定理即可判断选项A；根据勾股定理的逆定理即可判断选项以根据

直角三角形的判定即可判断选项C：求出最大角4c的度数，即可判断选项D

本题考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，

注意：如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形.

7.【答案】D

解：如图作A"_LCH.

在RtAACH中，•••AH=3,Z.AHC=90°,Z.ACH=30°,

:.AC=2AH=6,

在Rt△ABC中，AB=VAC2+BC2=V62+62=6<2.

故选D.

在RMACH中，利用直角三角形30度角性质，求出AC的长，再在ABC中，求出4B的长即可.

本题考查直角三角形30度角性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会

添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型.

8.【答案】D

解：•••四边形4BCD是矩形，4c为对角线，

ABC面积=△4DC面积.

所以4选项内容正确，不符合题意；

根据作图过程可知四边形4EFN是矩形，AF为其对角线，

所以△4EF面积=△4NF面积.

所以B选项内容正确，不符合题意；

因为△4BC面积=△ADC面积，△AEF面积=/\ANF面积，△FMC面积=△FGC面积，

所以△4BC面积一△4EF面积一△FMC面积=△40c面积一△4NF面积一△FGC面积，

所以矩形NFGD面积=矩形EFMB面积，C选项内容正确，不符合题意;

因为AANF面积=^NFX4N,矩形NFGO面积=NFxNO,

若AANF面积=矩形NFGD面积，则AN=2ND,

而已知不一定4N=2ND,所以。选项内容错误，D符合题意.

故选：D.

根据矩形的性质：一条对角线分成的两个三角形面积相等，可知A和B选项内容正确，不符合题意；

根据ZMBC面积=△ADC面积，△4EF面积=2\4NF面积，△FMC面积=△FGC面积，阴影部分面

积即可判断C选项；

ANF^^=^NFXAN,^NFGD^^=NFxND,若△ANF面积=矩形NFGD面积，则

AN=2ND,而已知不一定AN=2ND,所以。选项内容错误，。符合题意.

本题主要考查了矩形的性质、解决这类问题的方法是四边形转化为三角形，利用三角形面积间的

和差关系进行判断.

9【答案】B

•••FE=CE,

•••。为BC的中点，

・•・BD=CD,

ADFMABCF的中位线,

・・・BF=2DE=4,

•・•^BAC=120°,

・・・乙BAF=60°,

又・・・/lB=4几

48户是等边三角形，

・•,AB=BF=4,

故选：B.

延长。4至F,使AF=AB,连接BF,证出DE是△BCF的中位线，得出BF=2DE=4,证明AABF

是等边三角形，由等边三角形的性质可得出答案.

本题主要考查等边三角形的判定与性质，三角形外角的性质，三角形中位线，证明。E是ABDF的

中位线是解题的关键.

10.【答案】C

解：•••四边形4BCD是正方形，

•••AB=BC=CD=AD,=乙BCD=90°,

•••点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，

•••BE=CF,

在^BCE与△CDF中，

BE=CF

乙B=乙DCF,

BC=CD

•••△BCE三△CDF(SAS),

:.Z-ECB=乙CDF,

•・・(BCE+匕ECD=90°,

:.乙ECD+乙CDF=90°,

・・・Z,CGD=90°,

•••CEIDF；故①正确；

在RtACG。中，H是C。边的中点，

11

•••HG=^CD=^AD,

即2HG=4C；故④正确；

连接4”,如图所示：

同理可得：AH1DF,

1

HG=HD=也,

・・・DK=GK,

・•・4”垂直平分。G,

：•AG=AD；

若4G=DG,则4AOG是等边三角形,

则4ADG=60°,Z.CDF=30°,

而CF=：CO力^。尸，

乙CDF*30°,

・•・Z-ADGH60°,

:.AG丰DG,故②错误；

/.DAG=2Z.DAH,

同理：△ADH三△DCF,

AZ.DAH=Z.CDF,

vGH=DH,

Z.HDG=AHGD,

：./.GHC=乙HDG+乙HGD=2ACDF,

•••乙CHG=Z.DAG-,故③正确；

正确的结论有3个，

故选：C.

连接由四边形ZBCD是正方形与点E、F、4分别是4B、8C、CD的中点，易证得ABCEmACDF

与4ADH=LDCF,根据全等三角形的性质，易证得CE1DF与AH1DF,根据垂直平分线的性质，

即可证得AG=AD,AGDG,由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得HG=^AD,

根据等腰三角形的性质，即可得NCHG=ND4G.则问题得解.

此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质以及垂直平分线的性质

等知识.此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用.

11.【答案】如果两个角相等，那么它们是对顶角

解：“对顶角相等”的条件是：两个角是对顶角，结论是：这两个角相等，

所以逆命题是：如果两个角相等，那么它们是对顶角.

故答案为：如果两个角相等，那么它们是对顶角.

本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一

个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个

命题的逆命题.把一个命题的题设和结论互换即可得到其逆命题据此解答即可.

12.【答案】4B=CD（答案不唯一）

解：添加AB=CD,

v41=42,

•••AB//CD,

又AB=CD,

•••四边形4BC。是平行四边形，

故答案为：48=C。（答案不唯一）.

根据平行四边形的判定定理进行解答.

此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.

13.【答案】3

解：-1<a<V­3>

a+1>0,a—2<0,

二原式=a+1+2—a=3,

故答案为：3.

根据绝对值的意义及二次根式的性质进行化简.

本题考查绝对值及二次根式的化简，理解绝对值的意义及二次根式的性质，一漉=同是解题关键.

14.【答案】a26

解：图中阴影部分面积等于。2—匕2=a2+62—b2=。2,

如图所示：

AB—c—b,AC=c—a,DE=a—(c—b)=a+b—c,

,•(c-a)(c—b')=c2-be-ca+ab=18,

•••AB-AC=18,艮=18,

vS阴影=2s矩形封口3+a2-(a+b-c)2=a2,

(a4-b—c)2=36,

va4-b>c,即a+6-c>0,

a+b—c=6,

故答案为:a2,6.

根据阴影面积等于边长为c的正方形面积减去边长为b的正方形面积即可表示；先求出4B=c-b,

AC=c-a,DE=a+b-c,再根据(c一a)(c—b)=18得到S短减1cDB=18，再根据S阳影=

222

2s矩形ACDB+a-(a+b-c)=a,即可求出a+b-c=6.

本题主要考查了因式分解的应用，多项式乘多项式，勾股定理，三角形三边的关系，求平方根，

正确理解题意推出(a+b-cY=36是解题的关键.

15.【答案】解：♦.•四边形ZBCD为矩形，

DC=AB=8,AD=BC=10,48=4。="=90°,

••・折叠矩形的一边4D,使点。落在BC边的点F处

•••AF=AD=10,DE=EF,

在RtAABF中，BF=VAF2-AB2=V102-82=6>

FC=BC-BF=4,

设EC=x,则。E=8—x,EF=8—x,

tERtFC

vEC2+FC2=EF2,

%2+42=(8—x)2,解得％=3,

EC的长为3cm.

【解析】根据矩形的性质得DC=AB=8,AD=BC=10,ZB=ZD=ZC=90°,再根据折叠的

性质得4F=4D=10,DE=EF,在RtAABF中，利用勾股定理计算出BF=6,则FC=4,设

EC=x,则DE=EF=8-x,在RtAEFC中，根据勾股定理得/+42=(8—x)2,然后解方程

即可.

本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，

位置变化，对应边和对应角相等.也考查了勾股定理.

16.【答案】解：(1)原式=61^—

=6/1;

(2)原式=1+2/-3-(1++3)

=1+-4-2>A3

=-3.

【解析】(1)先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；

(2)先根据零指数靠的意义和完全平方公式计算，然后合并即可.

本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、零指数基是

解决问题的关键.

17.【答案】证明：•.•四边形力BCD为菱形，

**.AD=AB=CD=CB,乙B=乙D.

又•・・CE=CF,

ACD-CE=CB-CF,

即OE=BF.

在△?!/)£1和△ABF中

AD=AB

乙D=

DE=CF

：.^ADE=LABF(<SAS').

・・・/E=4F.

【解析】由四边形/BCD为菱形，可得4。=AB=CD=CB,乙B=又因为CE=CF,所以CD-

CE=CB-CF,即0E=B凡可证AAOE三△4BF,所以/E=4乩

此题主要考查了菱形的性质以及全等三角形的判断和性质形，能够灵活运用菱形知识解决有关问

题是解题的关键.

18.【答案】解：x=5+2,

:.%2—4%=x(x-4)=(V-5+2)(V~~5—2),

=5—4,

=1.

答：代数式/-轨的值为1.

【解析】首先对式子--4%进行因式分解，然后代入x的值可得到答案.

本题考查了因式分解的应用；解题中代入工值后利用了平方差公式是正确解答本题的关键，方法比

较巧妙，要进行学习掌握.

19.【答案】解：(1)如图1所示；

(2)如图2所示.

【解析】(1)、(2)根据勾股定理画出图形即可.

本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角图2

形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键.

20.【答案】2尸40

解：(1)丁Si=

S2-

S3=2v3,

**•Sf^=2«72，

故答案为：2/万；

(2)。掰=(2)2+4=8=4x2,

QAl=(V-8)2+4=12=4x3，

____2

OAl=(V12)+4=16=4x4，

OAlo=4x10=40,

故答案为：40；

(3)Sf+S,+S,+…...Sf0=4+8+12+-+40=220.

(1)(2)根据规律解答；

(3)根据总结的规律计算，得到答案.

本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为c,那么。2+从=

21.【答案】(1)证明：•••NOBC=/OCB,

OB-OC,

•••四边形4BC0是平行四边形，

OC=0A=^AC,OB=OD=；BD,

:.AC=BD,

•••四边形力BCD是平行四边形，

•••四边形ABCD是矩形；

(2)解：•••四边形力BCD是矩形，

/.ABC=90°,

Z.CBE=3/.ABE,

4489=底90。=22.5。，

4

在EB上取一点H,使得EH=AE,

••・△4EH是等腰直角三角形，"HE=45°,

・・・Z.HAB=45°-22.5°=22.5°=乙ABH,

・・・AH=BH,

设4E=EH=%,则=BH=\T~2xy

•:BE=2,

••・x4->J~-2x=2,

:.x—2A/-2—2.

即AE=2，^-2.

【解析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，矩形的判定与性质，注意：对角线

相等的平行四边形是矩形，等角对等边，学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题.

(1)根据等角对等边得出OB=OC,根据平行四边形性质求出。C=OA=^AC,OB=ODqBD,

推出AC=BD,根据矩形的判定推出即可.

(2)根据矩形的性质和“BE=3乙1BE,得出乙ABE=22.5。，在EB上取一点儿使得EH=ZE,

易证=设AE=EH=x,则4H=BH=构建方程即可解决问题.

22.【答案】证明：（1）•.•四边形4BCZ）是平行四边形,

・•・Z-A=ZC.

在△4EH与aCGF中，

AE=CG

Z-A=Z-C,

AH=CF

:・AAEH"CGFISAS'）；

（2）・.,四边形4BC0是平行四边形，

:.AD=BC,AB=CD,乙B=乙D.

vAE=CG,AH=CF,

・・・EB=DG,HD=BF.

.•・ABEF^ADGH（SAS）,

:,EF=HG.

又MAEH/CGF,

・・・EH=GF.

，四边形HEFG为平行四边形.

・・・EH//FG,

:.乙HEG=乙FGE.

vEG平分乙HEF,

・•・乙HEG=乙FEG,

Z-FGE=乙FEG,

/.EF=GF,

又•・•Z.EFG=90°,

，平行四边形EFGH是正方形.

・・・四边形是菱形.

【解析】（1）根据全等三角形的判定定理S4s证得结论;

(2)先证