2023-2024学年北京市第五十七中学八年级上学期期中考试数学试卷含详解

2023-2024学年第一学期初二年级数学期中考试

一、选择题（本题共30分，每小题3分）

1.下列图形中不是轴对称图形是（）

2.若一个多边形的内角和是它的外角和3倍，则这个多边形是（）

A.六边形B.七边形C.八边形D.九边形

3.如图，ABC与AB'C关于直线对称，P为上任一点，下列结论中错误的是（）

AAf

CC

N

A.AA4'P是等腰三角形

B.MN垂直平分CC'

C.与AB'C周长相等

D.直线AB、A'8'的交点不一定在MN上

4.如图，AC与8。相交于点。，AB=DC,要使△ABgADCO则需添加的一个条件可以是（）

AD

八

BC

A.OB=OCB.Z4=ZDC.OA^ODD.AC1BD

5.如图，在；ABC,AB=AC,D为BC上一点、,且ZM=OC,BD=BA,则-5的大小为（）

A

bD(

A.40°B,36°C.30°D.25°

6.如图，在RtA3C中，/C=90°,以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AC、4?于点M、

N,再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P,作射线AP交边8c于点若

8=4,AB=15,则，.ABD的面积是（）

7.如图，在cABC中，NA=60。，NA3C=50°,NB、NACB的平分线相交于产，过点F作。E〃8C，交

A3于O，交AC于E,那么下列结论正确的是（）

①ZACB=70°；②N5bC=115°：③N8Z）E=130°；@ZCFE=40°.

A.①②B.③④C.①③D.①②③

8.如图，在中，。石垂直平分若4）=4,BC=3CD,则BC的长为（）

A.3B.4C.5D.6

9.如图，点P在NMON的内部，点尸关于OM,ON的对称点分别为A,B,连接AB交于点C，交ON

于点。，连接PC、PD,若NMQV=40。，则NCPD的度数为（）

A.70°B.80°C.90°D.1（X）°

10.如图，在3x3的网格中，每个网格线的交点称为格点.已知图中A,8两个格点，请在图中再寻找另一个格点

C,使二ABC成为等腰三角形，则满足条件的点C有（）个.

8CD12

B.1

二、填空题（本大题共24分，每小题3分）

11.一个多边形的每一个外角都为36°，则这个多边形的边数是.

12.等腰三角形的两边长分别为6,13,则它的周长为.

13.一个多边形从一个顶点出发可引3条对角线，这个多边形的内角和等于.

14.如图，AB//CD,以点B为圆心，小于08长为半径作圆弧，分别交B4，BD于点E，F，再分别以点

E，产为圆心，大于gEF长为半径作圆弧，两弧交于点G,作射线8G交8于点4.若ND=120°,则

15.如图所示，将沿着。E翻折，8点落到了£点处.若Nl+N2=80°,则NB'=

16.如图，桌面上有例、N两球，若要将M球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中N球，则4个点中，可以

17.定义：如果一个三角形的一条边是另一条边长度的两倍，则称这个三角形为倍长三角形.若等腰是倍

长三角形，且一边长为6,则一45C的底边长为

18.如图，在四边形A8CZ）中，AD//BC.若N7M8的角平分线AE交CO于E，连接8E,且BE平分

ZABC,得到如下结论：①NAfl9=90。；②CE+AD=AB；③2S-=S四边窗皿＞；④若钻=3,则宓的取

值范围为0＜6石＜3,那么以上结论正确的是一•（填序号）

B.

三、解答题(本题共46分)

19.如图，两条公路0A和0B相交于。点，在NAOB的内部有工厂C和D,现要修建一个货站P,使货站P到

两条公路OA、0B的距离相等，且到两工厂C、D的距离相等，用尺规作出货站P的位置.(要求：不写作法，保

留作图痕迹，写出结论.)

/0B

20.如图，在平面直角坐标系中，。的三个顶点都在格点上，点A的坐标为(2,4).

(1)画出」WC关于y轴对称的△AgG；关于x轴对称的坊G；

(2)写出点4、C、层、的坐标；

(3)求出4ABe的面积.

21.己知：如图，在448。中，AB^AC,AO平分N84C,CEJ.AB于E，交AO于/，AF^2CD,

22.己知：点B、C在/M4N的边AM、AN上，A3=4C，点E,尸在/MAN内部的射线上，且

/BED=NCFD=NBAC.求证：VABE苗CAF.

23.如图，将RSABC沿斜边翻折得到△ADC,点E,F分别为DC,BC边上的点，且/EAF=^/DAB.试猜想

DE,BF,EF之间有何数量关系，并证明你的猜想.

24.如图，在一ABC中，ABAC=9Q°,AB=AC,点。是AB的中点，连接CO,过点8作3E_LC£)交CD的

延长线于点E，连接AE，过点A作交CO于点

(1)求证：AE=AF^

(2)求证；CD=2BE+DE.

25.如图，中，ZACB=90°,AC=BC,E点为射线CB上一动点，连接AE,作AFLAE且

AF=AE.

(1)如图1,过F点作产4c交AC于。点，求证：t.ADF^ECA,并写出EC、CD和。咒的数量关

系;

(2)如图2,连接5尸交AC于G点，若——=3,求证：E点为3c中点；

CG

(3)当E点射线CB上，连接防与直线AC交于G点，若49=］求箜.

BE3CG

26.在平面直角坐标系xOy中，将点M(x,y)到x轴和y轴距离的较大值定义为点M的“相对轴距”，记为

d(M).BP：如果国23，那么d(M)=W；如果忖＜刨，那么d(M)=|y|.例如：点M(l,2)的“相对轴

距“d(M)=2.

(1)点尸(-2,1)的“相对轴距"d(P)=；

(2)请在图1中画出“相对轴距”与点2(一2,1)“相对轴距”相等的点组成的图形；

(3)已知点4(1,1),8(2,3),C(3,2),点M,"是_48c内部(含边界)的任意两点.

d(M\

①直接写出点M与点N的“相对轴距”之比甘目的取值范围;

dN

②将」WC向左平移左(左＞0)个单位得到，A'6'C,点”与点N'为..A'8c'内部(含边界)的任意两点，并且

d(M')d(M}

点”与点.’的“相对轴距”之比册的取值范围和点知与点N的“相对轴距”之比扁的取值范围相

同，请直接写出攵的取值范围.

J‘小VA

1-1-

----------------------!------!------

O1---------------------------X~O1X

图1备用图

2023-2024学年第一学期初二年级数学期中考试

一、选择题（本题共30分，每小题3分）

1.下列图形中不是轴对称图形的是（）

【答案】A

【分析】根据轴对称图形的定义“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做

轴对称图形”依次进行判断即可得.

【详解】解：A、不是轴对称图形，选项说法正确，符合题意；

B、是轴对称图形，选项说法错误，不符合题意；

C、是轴对称图形，选项说法错误，不符合题意；

D、是轴对称图形，选项说法错误，不符合题意；

故选：A.

【点睛】本题考查了轴对称图形，解题的关键是能准确识别轴对称图形.

2.若一个多边形的内角和是它的外角和3倍，则这个多边形是（）

A.六边形B.七边形C.八边形D.九边形

【答案】C

【分析】首先设此多边形是〃边形，由多边形的外角和为360。，即可得方程180（〃-2）=3x360,解此方程即可

求得答案.

【详解】解：设此多边形是〃边形，

••,多边形的外角和为360°,

-2）=3x360,

解得：〃=8.

这个多边形是八边形.

故选：C.

【点睛】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识.此题难度不大，注意多边形的外角和为360°,〃边形的内

角和等于（〃一2”80。.

3.如图，与AB'C'关于直线对称，P为MN上任一点、,下列结论中错误的是（）

A.AA4'P是等腰三角形

B.MN垂直平分CC'

C.一ABC与A'B'C'周长相等

D.直线A3、A'B'交点不一定在MN上

【答案】D

【分析】利用轴对称的性质即可作出判断.

【详解】解：两个图形关于直线成轴对称，则对称轴垂直平分对应点的连线段，则选项B正确；由线段垂直平分

线的性质得AP=A'P，即/MAP是等腰三角形，故选项A正确；两个图形关于直线对称，则这两个图形重合,

所以这两个三角形周长相等，故选项C正确；直线A3、直线A3'的交点一定在对称轴匕故选项D错误.

故选：D.

【点睛】本题考查了成轴对称的两个图形的性质，掌握这一性质是解题的关键.

4.如图，AC与80相交于点。，AB=DC,要使△A5Og△QCO,则需添加的一个条件可以是（）

A.OB=OCB.Z4=NOC.OA^ODD.AC1BD

【答案】B

【分析】根据角角边的判定方法即可求解.

【详解】解：根据题意，AB=DC，ZAOB=ZDOC,

:•A、OB=OC,边边角不能判定△ABOg/XOCO,故错误，不符合题意；

B、Z4=NO，能根据角角边的判定方法证明△ABO且△£>CO，故正确，符合题意；

C、OA=OD,边边角不能判定△ABO名△OCO,故错误，不符合题意；

D、AC1BD,不能判定ZXABO也△OCO，故错误，不符合题意；

故选：B.

【点睛】本题主要考查全等三角形的判定方法，掌握全等三角形的判定方法“边边边，边角边，角边角，角角

边，斜边直角边（直角三角形）”是解题的关键.

5.如图，在；ABC,AB=AC,D为BC上一点,且D4=Z）C,BD=BA,则的大小为（）

A

【答案】B

【分析】根据三角形内角和定理以及等边对等角推出==即a+2a+2a=180°,

据此即可得到答案.

【详解】解：•••/W=AC,

NB=NC,

QDA=DC,

:.ZC=ZDAC,

ABDA=ZC+ZZMC=2ZC=2ZB,

BD=BA，

/BAD=NBDA=2ZC=2NB,

设N8=a,则Z&4D=NB/M=2a,

又ZB+ZBAD+ZBDA=ISO°,

.,.a+2a+2a=180°，

a=36°，

.,.ZB=36。.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟知等边对等角是解题的关键.

6.如图，在RtABC中，NC=9（）°,以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AC、A3于点M、

N,再分别以点〃、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P,作射线A尸交边BC于点。，若

C£>=4,AB=15,贝LABD的面积是（）

【答案】D

【分析】根据题意可知AP为NC48的平分线，由角平分线的性质得出CD=r>"，再由三角形的面积公式可得

出结论.

【详解】解：由题意可知AP为NC4B的平分线，过点。作于点H,

•.•NC=90。，CD=4,

:.CD=DH=4,

•：AB=\5,

•••SAM=gAB.O"=gxl5x4=3°，故D正确.

故选：D.

【点睛】本题考查了角平分线的性质、基本作图，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键.

7.如图，在cABC中，NA=60。，NABC=50°,NB、NAC5的平分线相交于F,过点F作DE〃BC，交

A3于。，交AC于E，那么下列结论正确的是（）

①ZACB=70°；②NBAC=115°：③N8OE=130°；④NC五E=40°.

A.①②B.③④C.①③D.©©③

【答案】C

【分析】根据三角形内角和定理对①进行判断；根据角平分线定义和三角形内角和定理可得到

N8FC=90°+2NA=120。，则可对②进行判断；根据平行线的性质对③进行判断；先根据角平分线的性质得

2

到ZBCF^-ZACB=35°,然后根据平行线的性质对④进行判断.

2

【详解】解：4=60。，ZABC=50°,

/.ZACB=180°-ZA-ZABC=70°,所以①正确；

NB、NACB的平分线相交于F，

AZBFC=90°+-ZA=120°,所以②错误；

2

•:DE//BC,

•••ZBDF=180°-ZABC=130°,所以③正确;

,；CF平分NBCE,

：.ZBCF^-ZACB^35°,

2

•:DE//BC,

，ZCFE=NBCF=35°,所以④错误;

综上分析可知，①②③正确.

故选：C.

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质：平行线的性质，等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判

定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段.

8.如图，在,ABC中，。石垂直平分AB.若A£>=4,BC=3CD,则6c的长为（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】D

【分析】根据线段垂直平分线的性质得到8D=AT>=4，由3C=3c。求出CD=2,即可得到的长.

【详解】解：；OE垂直平分AB，4）=4,

；•BD=AD=4,

•：BC=3CD,

：.4+CD=3CD,

得8=2,

：.BC=BD+CD=4+2=6,

故选：D.

【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线短两个端点的距离相等，熟练掌握

线段垂直平分线的性质是解题的关键.

9.如图，点P在/MON的内部，点P关于,ON的对称点分别为A,B,连接AB交O用于点C，交ON

于点。，连接PC、PD,若NMON=40。，则NCPO的度数为（）

BN

A.70°B.80°C.90°D.100°

【答案】D

【分析】由题意可得NBON=NPON=」NBDP,ZACM=ZPCM=-ZACP,由三角形的内角和定理可得

22

ZODC+ZOCD=140°,由对顶角相等可得N8DN+NACM=140°,从而得到N6OP+NACP=280°,最

后由三角形的内角和定理进行计算即可得到答案.

【详解】解：根据题意可得：

NBDN=4PDN=-NBDP,ZACM=ZPCM=-ZACP,

22

AMON=40°,乙DOC+NODC+NOCD=180°,

ZODC+ZOCD=180°-40°=140。，

NODC=/BDN,NOCD=ZACM,

.-.ZBDN+ZACM=140°,

:.NBDP+ZACP=280。,

ZBDP+ZPDC=\S00,ZACP+ZPCD=180°,

ZPDC+NPCD=360°-280°=80°,

ZPDC+ZPCD+ZCPD=180°,

:.ZCPD=100°,

故选：D.

【点睛】本题主要考查了对称的性质、三角形的内角和定理、对顶角相等等知识，熟练掌握对称的性质、三角形

的内角和定理、对顶角相等，是解题的关键.

10.如图，在3x3的网格中，每个网格线的交点称为格点.已知图中A,8两个格点，请在图中再寻找另一个格点

C,使,A3C成为等腰三角形，则满足条件的点C有（）个.

A.6B.8C.1()D.12

【答案】B

【分析】根据题意，分三种情况：当=时，当=时，当C4=C8时，即可解答.

【详解】解：如图所示：

分三种情况：

①当=时，以点B为圆心，以84长为半径作圆，交网格线的格点为G，C2,

②当A3=AC时，以点A为圆心，以AB长为半径作圆，交网格线的格点为C3,C4）

③当C4=CB时，作AB的垂直平分线，交网格线的格点为。5，。6，G，。8，

综上所述：使4ABe成为等腰三角形，则满足条件的点C有8个，

故选：B.

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，根据题意，分三种情况讨论是解题的关键.

二、填空题（本大题共24分，每小题3分）

11.一个多边形的每一个外角都为36°,则这个多边形的边数是.

【答案】十##10

【分析】利用多边形外角和与多边形边数的关系即可得出答案.

【详解】•..多边形外角和为360°,每一个外角都为36°,

/.360。+36。=10,

.•.这个多边形是十边形，

故答案为：10.

【点睛】此题考查了多边形边数，掌握多边形外角和是解题的关键.

12.等腰三角形的两边长分别为6,13,则它的周长为.

【答案】32

【分析】分6是腰长和底边长两种情况讨论求解.

【详解】解：6是腰长时，三角形的三边分别为6、6、13,

：6+6=12<13,

•••不能组成三角形，

6是底边长时，三角形的三边分别为6、13、13,

能组成三角形，

周长=6+13+13=32,

综上所述，这个等腰三角形的周长是32.

故答案为：32.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，难点在于要分情况讨论.

13.一个多边形从一个顶点出发可引3条对角线，这个多边形的内角和等于.

【答案】720°

【分析】首先确定出多边形的边数，然后利用多边形的内角和公式计算即可.

【详解】•••从一个顶点可引对角线3条，

多边形边数为3+3=6.

多边形的内角和=（n-2）x180°=4x180°=720°

故答案为720°.

【点睛】此题考查多边形内角（和）与外角（和），多边形的对角线，解题关键在于掌握计算公式.

14.如图，AB//CD,以点8为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交84，BD于点E，F,再分别以点

E，产为圆心，大于g所长为半径作圆弧，两弧交于点G，作射线BG交8于点”.若/。=120°,则

NDHB的大小为_____度.

AE'B

【答案】30

【分析】由平行线的性质知，ZD+ZABD=180°，可求NA5。，由作法知是NA8O的平分线即可.

【详解】AB//CD,

：.ZD+ZABD=\SQ0,

又・NO=120°,

.-.ZABD=60°，

由作法知，是NABD的平分线，

则NABO=30°,

2

AB//CD,

:"DHB=/HBA=3QP；

故答案为：30.

【点睛】本题考查平行线的性质、尺规作角的平分线、角度的大小，关键是掌握平行线的性质，角平分线的定

义.

15.如图所示，将一ABC沿着£>£翻折，8点落到了用点处.若Nl+N2=80°,则N-=

【答案】40°##40度

【分析】根据折叠可得/8£。=/夕互>,NBDE=NB，DE,再根据平角定义可知

N1+2NB'EO=180°,N2+2ZB'£>E=180°,把两式相加可得到

Zl+Z2=80°,AB+ZB'ED+ZB'DE=\80°,再由三角形内角和可知180°—N8,最

后根据等量代换即可解答.

【详解】解：如图：；_ABC沿着。石翻折，

NBED=NEED,NBDE=ZB'DE,

：.N1+2NBED=180°,N2+2NBDE=180°,

...Z1+Z2+2(ZB1ED+ABDE)=360°,

；N1+N2=80°,N8+ZB'ED+4FDE=180°,

80°+2(180。-N8)=360°,

:.N®=40°.

故答案为：40°.

【点睛】本题主要考查了图形的折叠变化、三角形的内角和定理等知识

点，掌握根据折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化是解答本题的关键.

16.如图，桌面上有M、N两球，若要将M球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中N球，则4个点中，可以

瞄准的是点.

【答案】。

【分析】根据轴对称的性质解答.

【详解】解：根据轴对称的性质可知：可以瞄准点D击球.

故答案：D.

【点睛】本题考查了轴对称的知识，注意结合图形解答，不要凭空想象，实际操作一下，关键是找能使入射角和

反射角相等的点.

17.定义：如果一个三角形的一条边是另一条边长度的两倍，则称这个三角形为倍长三角形.若等腰ABC是倍

长三角形，且一边长为6,则一ABC的底边长为

【答案】3或6

【分析】由倍长三角形的定义，分两种情况讨论，即可求解.

【详解】解：•••等腰_45c是倍长三角形，

.♦•腰长=底边长的2倍或底边长=腰长的2倍，

如果腰长是6,底边长是3或12，

•••6+6=12,

.•.此时不能构成三角形，

.•♦底边长是3,腰长是6；

如果底边长是6,腰长是12或3,

3+3=6,

...此时不能构成三角形，

.,♦底边长是6,腰长是12，

_ABC的底边长是3或6.

故答案为：3或6.

【点睛】本题考查等腰三角形的性质，关键是掌握倍长三角形的定义，并分两种情况讨论.

18.如图，在四边形ABC。中，AD//BC.若/D43的角平分线AE交CO于E，连接8E,且3E平分

ABC,得到如下结论：①NA£B=90。：②CE+A。=AB：③2sA=S四边形加而；④若A8=3,则BE的取

值范围为0<BE<3,那么以上结论正确的是一•（填序号）

B.

【答案】①③④

【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可得NABC+N84D=180°,又BE、AE都是角平分线，可以推出

ZABE+ZBAE=900,从而得到N4E8=90。，然后延长AE交BC的延长线于点尸，先证明△A8E/△EBE

全等，再根据全等三角形对应边相等得到AE=EE，然后证明△ADE丝△■龙全等，从而可以证明①③④正

确，②不正确.

【详解】解：

NABC+N84D=180°,

VAE,BE分别是NBAD与ZABC的平分线,

NBAE=-ABAD,NABE=-ZABC,

22

NBAE+NABE=1(NBAD+ZABC)=90°,

ZAEB=180°-(ZBAE+ZABE)=180°-90°=90°,故①正确;

如图，延长AE交8C的延长线于点尸，

ZAEB=90°,

:.BEJ.AF,

；BE平分NABC，

•••ZABE=ZFBE,

在，ABE与AFBE中,

ZABE=ZFBE

<BE=BE

ZAEB=ZFEB=90°

ArAB£^FBE(ASA),

AB=BF,AE=FE，

,/AD//BC,

•••ZEAD=ZF，

在VADE与AFCE中,

ZEAD=NF

<AE=FE,

NAED=NFEC

...△ADE/A）,

/.AD=CF,

：.AB=BF=BC+CF=BC+AD,

与3C不一定相等，

•••C£+AD=AB不一定成立，故②不正确；

"△ADE=/\FCE>SABF=^na）f}ABCE+,CEF）/\ABE也△EBE

；•2SABEA=S四边彩ABC。,故③正确；

VBF^AB^3,BE±EF,

BE的取值范围为0<BE<3,故④正确.

综上所述，正确的有①③④.

故答案：①③④.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，平行线的性质，角平分线的定义，证明BESA尸并作出辅助

线是解题的关键.

三、解答题（本题共46分）

19.如图，两条公路0A和0B相交于0点，在NAOB的内部有工厂C和D,现要修建一个货站P,使货站P到

两条公路OA、0B的距离相等，且到两工厂C、D的距离相等，用尺规作出货站P的位置.（要求：不写作法，保

留作图痕迹，写出结论.）

【答案】见解析

【分析】根据点P到NAOB两边距离相等，到点C、D的距离也相等，点P既在NAOB的角平分线上，又在CD

垂直平分线上，即/AOB的角平分线和CD垂直平分线的交点处即为点P.

【详解】如图所示：作CD的垂直平分线，/AOB的角平分线的交点P即为所求.

A

t.D

20.如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点4的坐标为（2,4）.

（1）画出，ABC关于y轴对称的△AMG；关于x轴对称的△AzgG；

（2）写出点&、G、鸟、的坐标；

（3）求出二ABC面积.

【答案】⑴见解析（2）A（-2,4）,G（—5,3）,B2（l,-2）,C2（5,-3）

⑶工

2

【分析】（1）根据轴对称的性质求解即可；

（2）根据（1）画出的图形求解即可：

（3）利用割补法即可求解.

【小问1详解】

如图所示，即为所求，2c2即为所求；

【小问2详解】

由（1）中的图形可得,

A（-2,4）,G（-5,3）,男（1,-2）,C2（5,-3）.

【小问3详解】

1117

ABC的面积=2x4--xlx2一一xlx4一一xlx3=-.

2222

【点睛】本题考查的是作图-轴对称变换，坐标与图形，熟知轴对称的性质是解答此题的关键.

21.已知：如图，在二ABC中，AB^AC,平分NBAC,CEJ.AB于E，交A£）于/，AF=2CD，

求：/ACE的度数.

【答案】450

【分析】根据条件证明A£Fg_CEB从而得到AE=CE,根据等腰直角三角形得出NACE=45。.

【详解】解：在一A5C中，

:AB^AC，AO平分

AD1BC,CD=BD,即BC=2BD,

■,AF=2CD,

：.AF=BC,

,CELAB,

ZAEF=NCEB=90。,

:.ZEAF+ZAFE=90°,

ZDCF+ZCFD=90°,ZAFE^ZCFD,

ZEAF=ZDCF,

:./\AEF^CEB,

AE=CE,

.NAEC为等腰直角三角形，

:.ZACE=45°.

故答案为：45°.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定及全等三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键.

22.已知：点8、C在NM4N的边AM、AN上，AB=AC,点E,F在NM4N内部的射线AO上，且

/BED=NCFD=NBAC.求证：VABE苗CAF.

【答案】见解析

(分析］由平角的定义可得ABEA=ZAFC,再由三角形外角的性质可得Nl=ZABE+N3,由N3+N4=ABAC,

Z1=ZBAC,可得N4=NA5E，即可得出结论.

【详解】证明：：N1=N2，

ZBEA=ZAFC,

VZ1=ZABE+Z3,N3+N4=N84C,N1=NBAC,

：.ZBAC^ZABE+Z3,

；.N4=NABE,

•:?AEB?AFC,ZABE=N4，AB=AC,

ABE^CAF(AAS).

【点睛】本题考查三角形外角的性质、全等三角形的判定，熟练掌握三角形外角的性质和全等三角形的判定是解

题的关键.

23.如图，将RSABC沿斜边翻折得到AADC,点E,F分别为DC,BC边上的点，且/EAF=^/DAB.试猜想

DE,BF,EF之间有何数量关系，并证明你的猜想.

【答案】DE+BF=EF,见解析

【详解】试卷分析：通过延长CF,将DE和BF放在一起，便于寻找等量关系，通过两次三角形全等证明，得出结

论.

猜想：DE+BF=EF.证明：延长CF,作N4=/l,如图:

•.•将RSABC沿斜边翻折得到△ADC,点E,F分别为DC,BC边上的点，且NEAF=NDAB,

.*.Z1+Z2=Z3+Z5,Z2+Z3=Z1+Z5,

VZ4=Z1,

Z2+Z3=Z4+Z5,

NGAF=/FAE,

'N4=N1

在4AGB和4AED中，iAB=AD，

ZABG=ZADE

/.△AGB^AAED(ASA),

；.AG=AE,BG=DE,

'AG=AE

在△AGF和AAEF中，，NGAF=NEAF，

AF=AF

.".△AGF^AAEF(SAS),

，GF=EF,

，DE+BF=EF.

证毕.

考点：全等三角形的判定与性质.

24.如图，在_ABC中，ABAC=90°,AB=AC,点。是A8的中点，连接CO,过点8作BEJ_C£＞交CO的

延长线于点£,连接AE，过点A作交CD于点

(1)求证：AE=AF；

(2)求证；CD=2BE+DE.

【答案】(1)见解析(2)见解析

【分析】⑴通过证AEBMAAFC(SAS),得到AE=M；

(2)如图，过点A作AG_LEC，垂足为G,通过证.BED工AGD(AAS),得到££)=G£>，BE=AG,可证

明b=8E=AG=Gb.因为CD=£>G+G产+EC,所以CD=DE+BE+BE,故CD=2BE+DE.

【小问1详解】

证明：NB4C=90°,AF1AE，

ZEAB+ZBAF=ZBAF+ZFAG=90°,

.-.ZEAB=ZFAC.

BE上CD,

:.ZBEC=90°,

NEBD+ZEDB=ZADC+ZACD=90°,

又ZEDB^ZADC,

:.ZEBA=ZACF.

ZEAB=ZFAC,

在aAEB与△AFC中，<AB=AC,

NEBA=NFCA,

.•△AEB/△AF'C(ASA),

：.AE=AF.

【小问2详解】

证明：过点A作AG,EC,垂足为G,

AG1EC,BE上CE,

:.ZBED=ZAGD=90°.

点。是AB的中点，

BD=AD-

在，BED和△AGO中，

/BED=NAGD,

<NBDE=Z.ADG,

BD=AD,

.-.△BED^AAGD(AAS),

:.ED=GD,BE=AG.

AE=AF,ZE4F=90°,

:.ZAFE=45°.

又AGA.EF,

AG=G尸，

:.CD=CF+FG+DG=BE+BE+ED=2BE+ED,

即CD=2BE+ED.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质.在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共

角，必要时添加适当辅助线构造三角形.

25.如图，中，ZACB=90°,AC=BC,E点为射线CB上一动点，连接AE，作AFLAE且

并写出EC、CD和0b的数量关

系;

AQ

(2)如图2,连接所交AC于G点，若一二3,求证：E点为BC中点;

CG

当E点在射线C3上，连接防与直线检交于G点，若能《求言・

(3)

【答案】（1）见解析，EC+CD=DF；

、17fli

（2）见解析.(3)—或一・

33

【分析】（1）证NC4E=NAF£）,利用就“角角边”证明1右一EA4；由全等得出:

AD=CD,FD=AC,则利用等量代换和图形中相关线段间的和差关系证得结论;

AQ

（2）过E点作厂OLAC于。点，根据（1）中结论可证明,，/BCD,可得£>G=CG,根据一=3,

CG

A£）1

可证---=—,即可解题;

AC2

4r7

（3）过产作ED,AG的延长线交于点易证k=7x，由（1）（2）可知一尸会一EC4,

CE10

AQ

_GDF—GCB,可得CG=GD,AD=CE,即可求得/的值，即可解题.

CG

【小问1详解】

证明：如图1,=ZFAD+ZDFA=90°,

，ZCAE=ZAFD,

在△ADF和A£C4中，

ZADF=ZECA

<ZDFA=NCAE,

AF^AE

.•.二AOF今EC4,

:.AD=CE,FD=AC,

：.CE+CD=AD+CD=AC=FD,即EC+CD=DF；

【小问2详解】

证明：（2）如图2,过尸点作">LAC于。点，

FD=AC=BC,

在△FDG和BCG中，

NFGD=4CGB

<NFDG=NC=90°,

FD=BC

/XFDG^^BCG,

：.GD=CG,

AG\

'：——=3,

CG

AD

••-2,

CG

.AD_i

"AC-?，

VAD=CE,AC=BC

.CE

••——■,

BC2

，E点为8c中点；

【小问3详解】

当点E在CB的延长线上时，过尸作EDJ.AG的延长线交于点。，如图3,

BC7

*/—=BC=AC,CE=CB+BE,

BE3

.AC7

・•=—，

CE10

由(1)(2)知：MD尸均EC4.GO/药.GC8,

：.CG=GD,AD=CE,

・AJ7

•・茄—历，

.AC7

••=，

CD3

设CG=G£>=1.5x,则AG=AC+GC=8.5x

.AG8.517

•.————，

GC1.53

当点E在线段8C上时，

.AC_7

•.~-=一,

CE4

由(1)(2)知：一ADFgECAGD-GCB,

:.CG=GD,AD=CE,

.AC7

,•----—―,

AD4

・-Q_4

••一,

CD3

设CG=GZ)=1.5x,则力G=AZ)+GZ)=5.5x

.AG5.511

•・————.

GC1.53

1711

综上所述：一或一.

33

【点睛】本题考查了三角形综合题，需要掌握全等三角形的判定，全等三角形对应边相等的性质，本题中求证

ADF乡EC4、.G0R乌,GC6是解题的关键.

26.在平面直角坐标系xOy中，将点加(x,y)到x轴和y轴的距离的较大值定义为点M的“相对轴距”，记为

d(M\即：如果国23，那么。(加)=国；如果凶＜例，那么4(M)=|y|.例如：点拉(1,2)的“相对轴

距“J(M)=2.

(1