2023-2024学年陕西省西安高一年级上册期中数学试题

2023-2024学年陕西省西安高一上册期中数学试题

第I卷(选择题共42分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题3.5分，在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的.

1.集合Z={L3},B={x∣2≤x≤5,xeZ},则ZnB=()

A.{1}B.{3}C.{1,3}D.

{2,3,4,5}

【正确答案】B

【分析】由已知写出集合8,应用集合的交运算求4c8即可.

【详解】由题意,得5={2,3,4,5},而Z={1,3},

：.4cB={3}.

故选：B

2.下列函数与/(X)=X是同一函数的是()

ʌ-f(x)=-b∙f(X)=EC∙/(x)=10gj'D.

X

/(x)=2嘀

【正确答案】C

【分析】判断两个函数是否为同一个函数，从定义域和解析式一一验证即可.

【详解】由题意得，/(x)=X的定义域为R，

v2

A：∕∙(x)=土的定义域为(-8,0)U(O,+8),与/(x)=X的定义域不一样，排除A；

X

B：f(χ)=庠定义域为R,但是/(x)=G^=∣x∣,排除B；

C:f(χ)=Iogf=Xl0g2=1»定义域也相同,故C正确;

D：/(》)=2"境的定义域为(0，+8),排除D,所以正确答案选C.

故选：C

判断两个函数相同的方法：

(1)看定义域是否相同，如果定义域不同，就算解析式相同，也不是相同的函数;

(2)定义域相同的情况下，看解析式是否相同.

3.设α∈J-1,1,3,3卜则使函数y=χ“的定义域为R且为奇函数的所有ɑ值为

A.1,3B.-1,1C.-1,3D.-1,1,3

【正确答案】A

【详解】a=—La='时，函数定义域不是R,不合题意；

2

a=l,α=3时，函数夕=x"的定义域为R且为奇函数，合题意，

故选A.

4.已知函数y=.∕^(χ)的定义域为口,+8),则函数g(x)=∕(2x-3)+-j工的定义域为

√4-x

()

A.[-1,4]B.[-1,4)C.[2,4]D.[2,4)

【正确答案】D

【分析】由抽象函数的定义域及二次根式的意义可得答案.

[2x-3>l

【详解】由题意得c,解得2≤x<4;

4-x>0

故选：D.

34

5.设α=lθgo,34，b=279c=3一§，则()

A.b<a<cB.c<b<aC.c<a<bD.

a<c<b

【正确答案】D

【分析】根据指数函数和对数函数的单调性求出α,b,c的范围即可判断.

【详解】由题意α=logιu4<IogfuI=O，

6=2?>2∣=2'则"2,

4

c=3^i<30=l,则°<c<1，

则有a<0<c<l<2<b.

故选：D.

6.设函数/(χ)=χ3-1g)的零点为X。，则XI)所在的区间是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【正确答案】A

【分析】判断各端点函数值的正负，根据零点存在性定理即可判断.

【详解1/(x)=x3-(∣Γ单调递增，且/(0)=0-(∣)0=-l<0,/(l)=l-∣=∣>0,

由零点存在性定理可得函数/(χ)=χ3的零点在区间(0,1)内，

即与所在的区间是(0,1).

故选：A.

7.函数y=优一(b+l)(α>0且α≠l)的图象单调递增、且过第四象限，则必有()

A.0<«<1,h>0B.0<^<l,b<0

C.a>∖,b<∖D.a>∖,b>0

【正确答案】D

【分析】根据指数函数的性质计算可得;

【详解】解：因为函数V=优一优+1)(。〉0且α≠l)的图象单调递增、且过第四象限,

a>1

所以《即Q>1,h>0

0o-(6+l)<O

故选：D

x+2-eλ(x≤2∖

8.已知函数/(x)=/e,一二，那么∕0n3)的值是()

31nx+3(x>2)

A.0B.1C.2e2D.3β2

【正确答案】C

【分析】利用解析式直接计算即可.

【详解】由题意，In3<lne2=2,∙∙∙∕(ln3)=e2+M3-e2=e2∙*3-e2=2∕.

故选：C.

9,设函数/(x)=IOg3(x—l),若/(α+l)2∕(2α-1),则实数0的取值范围是()

A.(l,+∞)B.(1,2]C.(-∞,2]D.

【正确答案】B

【分析】由题意知函数/(x)在其定义域上单调递增，将函数不等式转化为自变量的不等式.

【详解】

函数[(X)=Iog3(x—l)是定义在(L+s)上的增函数，∙.∙/(α+l)>f(2a-1),

a+1>2a-1

.∙.∖2a-l>∖,解得l<α≤2,即ae(l,2]

tz+l>l

故选B

本题考查函数单调性的应用，属于基础题.

10.中国北斗导航系统是继美国GPS等系统后另一个能为全球提供高质量导航定位的系统.

北斗卫星由长征三号乙运载火箭送入太空，长征三号乙运载火箭在发射时会产生巨大的噪音,

声音的等级d(x)(单位：dB)与声音的强度X(单位：W∕π√)满足d(x)=91g屋产，

火箭发射时的声音等级约为153dB,两人交谈时的声音等级大约为54dB,那么火箭发射时

的声音强度大约是两人交谈时声音强度的()

口倍

A.1()9倍B.10∣°倍C.10"倍D.10

【正确答案】C

【分析】结合对数运算求得X,进而求得声音强度的倍数.

【详解】由d=91g∙rWπτ,得Ig—J=M—J=IO*X=IxlOTXlO5=10/3,

IXlOT36Ixio-'39IxlO-13

IT-

所以火箭发射时的声音强度大约是两人交谈时声音强度的0'L=IOU倍.

色-13

IO9

故选：C

11.函数y=∕.(x)在(0,2)上是增函数，函数y=∕(x+2)是偶函数，则下列结论正确的

是()

ʌ.∕W<∕g)<∕g)B.∕g)<∕(l)<∕(∣)

c./(i)<∕β]<∕(∣]Ð./«)</(')</(1)

【正确答案】B

(IMI)

【分析】分析可知函数/(x)的图象关于直线x=2对称，可得出/

ʃ[ɪL利用函数/(x)在(0,2)上的单调性可得出/(1)、的大

小关系，即可得出结果.

【详解】因为函数y=∕(x+2)是偶函数，则/(2—x)=∕(2+x),

所以，函数/(x)的图象关于直线χ=2对称，

因为/[(Ml)，/(ɪM9且o<κ<Q,

因为函数/(x)在(0,2)上为增函数，所以,∕⅛]<∕(i)<∕[l｝即

故选：B.

12.已知α>0且α≠l,f(x)^x2-ax,当xe(T,l)时均有/(x)<g,则实数。的取值

范围是()

A.(θ,gU[2，+8)B∙%)U(1,4]

C∙D.(Oqu[4,+∞)

【正确答案】C

x

【分析】由题意只需——∙1<a对一切Xe(—11)恒成立,作出N=X2与y=优的图象,

22

数形结合即可求解.

【详解】只需χ2-]<优对一切xe(—1,1)恒成立，作出歹=》2一万与夕=优的图象如下:

当0<α<l时，Cf1≥1"—,解得一≤α<l

22

故选：C

第∏卷(非选择题共58分)

二、填空题(本题共4小题，每小题3.5分，共14分)

13.函数/(x)=lOga(X+3)-2(a>0Ra≠∖)恒过定点的坐标为.

【正确答案】(一2,-2)

【分析】令χ+3=l,求出X的值，代入函数/(x)的解析式可得出函数/(x)的图象所过的

定点坐标.

【详解】对于函数/(x)=IOga(X+3)-2(α>0且α≠l),

令x+3=l可得X=-2,所以，/(-2)=logul-2=-2.

因此，函数/(x)的图象恒过定点(一2,-2).

故答案为.(-2,-2)

14.若函数/(x)是定义在(—1,1)上的奇函数，且当x∈(0,l)时，Ax)=(；］-1,则

x∈(-l,0)时，/(X)=.

【正确答案】1-2"

【分析】当一l<x<O时，O<-x<l,可求出/(一X)的表达式，利用奇函数的性质求出

/(x)的表达式.

【详解】由题意知，当O<x<l时，/(x)=[g)-1,

当-l<x<O时，O<-x<l,贝∣J∕(r)=(;)-1,而/(x)在(Tl)上为奇函数,

(1「

Λ∕(x)=-/(-%)=--+1=1-23故当一1<X<O时,/(x)=l-2x.

∖2√

故答案为：1-2、

15.不等式2,⑶>('J*的解集为.

【正确答案】(V,2]U[3,+oo).

【分析】先把原不等式化为同底的结构，利用函数的单调性解不等式即可.

【详解】不等式2，52(56-2，=2*3222一，再由函数y=2'在定义域内单调递增，从

而可得：

f-3x≥2x-6=>χ2-5X+6≥0=>(%-2)(X-3)>0=>X∈(-∞,2]U[3,+∞).

故(-00,2]U[3,+8)

(1)利用单调性解不等式通常用于：(1)分段函数型不等式；(2)复合函数型不等式；(3)抽象

函数型不等式；(4)解析式较复杂的不等式；

(2)解题的一般策略是：利用函数的单调性，将函数值的的大小关系转化为自变量的关系，

解不等式即可.

16.己知函数/W是定义在R上的奇函数，且/(T)=O,若对任意的%,乙€(一8，0)，当

XlKX2时，都有立,/■l匕/(2)<O成立,则不等式/(x)<0的解集为

X1-X2

【正确答案】(-8，-I)D(0,1)；

【详解】令g(χ)=M∖χ),则g(χ)为偶函数,且g(T)=o,当X<O时，g(x)为减函数

所以当-l<x<l时，8(》)<0;当》>1或(;<-1时，g(x)>O;因此当O<x<l时,

/(乃<0；当》<一1时，/(x)<0,即不等式y(x)<O的解集为(-8,-I)D(0,1)

点睛：利用函数性质解抽象函数不等式，实质是利用对应函数单调性，而对应函数需要构造.

三、解答题：共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.计算下列各题：

2

<81V5z-ιCrL2(64P

(In)I-+(-I1)λ÷0.752+—；

I16j')U7j

l0g72

(2)Iog3√27+lg25+lg4+7+(-9.8)°

9

【正确答案】(1)—

4

13

(2)

T

【分析】（1）根据指数基的运算性质即可求解；

（2）根据指数与对数的运算性质即可求解.

【小问1详解】

2

原式=e『_、因+（“丫=2_2+2=2.

116JUJ164J416164

【小问2详解】

ɜ1AAɔ1ɔ

原式=log332+lg"+lg4+2+l=3+2-lg4+lg4+3=里.

18.己知全集U=R,集合力={x∣2x+α>0},集合B是〃X）二秒严而的定义域

（1）当α=2时，求集合ZC8；

（2）若8I（CuA）=B,求实数。的取值范围.

【正确答案】（1）f-ɪ,θ（2）（-∞,0]

【分析】（1）代入。的值,可得集合A,根据对数的图像与性质求得集合B,进而求得集合

ACB.

（2）根据集合关系可知B⊂QN,即B为CUA的子集,根据包含关系即可求得实数。的取值

范围.

【详解】（1）因为。=2

则4={x∣x>-l}

根据对数图像与性质可知/（X）=JIogj2x+l）的定义域为5={x∣-∣<x≤0}

所以/∏6={x∣x>一ι}n[χ∣-g<χ≤o,0

（2）解不等式可得∕={x∣x>m

,5={x∣-∣<x≤0}

所以cf√=

因为8I(CυA)=β

所以BqG7/

所以一320,即a≤O

2

实数”的取值范围为(-8,0]

本题考查了集合与集合的关系,集合的交集与补集运算,属于基础题.

-2x+a

19.已知定义域为R的函数/(χ)=-∣7T是奇函数.

(1)求。的值，并判断函数的单调性(给出单调性即可，不要求证明)；

(2)设关于X的函数E(X)=/(4'-b)+/(—2N)有零点，求实数b的取值范围.

【正确答案】⑴a=∖,函数/(x)是减函数

(2)[-l,+∞)

【分析】(1)由/(O)=O可求得α=l,然后利用函数奇偶性的定义验证即可，判断出函数

/(x)为R上的减函数，然后任取王、作差/(%)一/(X2)，变形后判

断/(%)—/(W)的符号，即可得出结论；

(2)由尸(X)=O可得出b=(2、一I)?—1,由2'>O并结合二次函数的基本性质可求得6的

取值范围，即为所求.

【小问1详解】

解：因为函数/(X)为R上的奇函数，则/(0)=-5—=0,可得α=l,此时/(x)=t7,

21+2

i-2-x2"1—2T)2、一1

对任意的X∈R.f(-x)=—―=―7-----；=-=-/(x).

、,1+2-X2Λ`(1+2^V)2r+lv,

1_2v

所以，当α=l时，函数/(x)=2∕7为奇函数，合乎题意.

因此，a=∖.

因为〃6=2一。+2')=_2——1，故函数/(x)在R上为减函数，证明如下：

')l+2xl+2r

任取A、次eR且玉>，所以，2项〉2迎〉O，

则/(xj_八9)=(———lVf———11=2(2∖,2')<0,

'"'，U+2jt'J(1+2*2)(1+2M)(I+2处)

所以，∕∙(x1)<∕(x2),故函数/(x)为R上的减函数.

【小问2详解】

解:由F(X)=/(4,—b)+/(—2N)=O可得/(4'_4=一/(—2向)=/(2加)，

因为函数/(x)在R上的减函数，则4'-b=2叫所以，6=(2Λ)2-2∙2ΛΓ=(2V-1)2-1,

因为2、>0,所以b=(2、—1)2-12—1,当且仅当X=O时，等号成立，

因此，当b≥T时，函数F(X)有零点.

20.某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商店一种商品销售情况的调查发现：该商

品在过去的一个月内(以30天计)的日销售价格P(X)(元)与时间X(天)的函数关系近

似满足P(X)=I+勺(左为正常数).该商品的日销售量。(X)(个)与时间X(天)部分数

据如下表所示:

X(天)10202530

QM(个)110120125120

已知第10天该商品的日销售收入为121元.

(I)求k的值；

(II)给出以下二种函数模型：

①Q(X)=QX+6,②Q(X)=QIX-25I+6,

请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量。(X)

与时间X的关系，并求出该函数的解析式;

(III)求该商品的日销售收入/⑴(l≤x≤30,x∈N+)(元)的最小值.

(函数/(x)=x+&(x>O,A>O),在区间(0,、伍)上单调递减，在区间(、优,+g)上单调

递增.性质直接应用.)

【正确答案】(1)1,(H)Q(X)=I25—∣x-25∣(l≤x430,x∈N+);(In)121元

【分析】(D利用尸(10)∙Q(IO)=121列方程，解方程求得左的值.

(ID根据题目所给表格的数据，判断出日销售量不单调，由此确定选择模型②.将表格数

据代入O(X)=α∣x-25∣+b,待定系数法求得α,b的值，也即求得Q(X)的解析式.

(in)将。(X)写成分段函数的形式，由/(χ)=P(X)∙Q(χ)计算出日销售收入/(χ)的解

析式，根据函数的单调性求得/(x)的最小值.

【详解】(I)依题意知第10天该商品的日销售收入为

P(IO)∙0(1O)=11+总XllO=⑵，解得左=L

(II)由题中的数据知，当时间变化时，该商品的日销售量有增有减并不单调，故只能选

②Q(X)=α∣x_25∣+6.

从表中任意取两组值代入可求得ρ(x)=125-∣x-25∣(l≤x<30,x∈7V+)

..flOO+x,l≤X<25,X∈N,

(III)由⑵知Q(X)=I25—卜一25=4M

111150—x,25≤x≤30,xeN+,

X+—+101,l≤x<25,x∈7V+,

.∙.∕(x)=P(x)∙0(x)=x

------x+149,25≤x≤30,x∈7V+,

、X

当l≤x<25时，V=X+(在区间［1,10］上是单调递减的，在区间［10,25)上是单调递增,

所以当X=IO时，/(χ)取得最小值，且/(XU”=121；

当25≤x≤30时，y=段—X是单调递减的，所以当X=30时，/(χ)取得最小值，且

/(x)m,n=124.

综上所述，当X=IO时，/(X)取得最小值，且/(x)min=121.

故该商品的日销售收入/(X)的最小值为121元.

本小题主要考查函数模型在实际生活中的运用，考查利用函数的单调性求最值，考查运算求

解能力，属于中档题.

21.对于定义域为O的函数y=∕(x),若同时满足下列条件：①/'(X)在。内单调递增或

单调递减；②存在区间［α,句U。，使/(X)在［α,句上的值域为［凡句；那么把

y=/(x)(XeZ))叫闭函数.

(1)求证：函数/(x)=gχ2是［0,2］的闭函数；

(2)求闭函数y=-Y符合条件②的区间［a,b］.,

(3)判断函数y=左+√ΓΓ5是否为闭函数？若是闭函数，求实数左的取值范围.

【正确答案】(1)证明见解析

(2)［-1,1］

(3)是，(一彳,-2

【分析1(1)根据定义与单调性求出/(0)=