6.2.3组合课件高二下学期数学人教Ａ版(2019)选择性

6.2.3组合第六章计数原理2024/4/13高二数学备课组6.2.3组合引

入1.排列的定义：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列(arrangement).我们把从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示.2.排列数的定义：3.排列数的计算：（1）排列数公式(1)：（2）全排列数:（3）排列数公式(2)：引

入问题1：这两个问题有何不同？甲乙、乙甲、甲丙、丙甲、乙丙、丙乙，共有=6种.甲乙、甲丙、乙丙，共有3种.问题2从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法？问题1从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有几种不同的选法？将具体问题背景舍去，上述问题可以概括为：

从已知的3个不同元素中每次取出2个元素,按照一定的顺序排成一列.从已知的3个不同元素中每次取出2个元素合成一组排列问题组合问题组合与元素顺序无关排列与元素顺序有关这里每一组与顺序无关，我们把这种问题称为组合问题.探究新知一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．1.组合定义:注意：(1)组合的特点：组合要求n个元素是不同的，取出的m个元素也是不同的，即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出.(2)组合的特性：元素的无序性.取出的m个元素不讲究顺序，即元素没有位置的要求.问题2：你能说一说排列与组合之间的联系与区别吗？

一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n

个不同元素中取出m

个元素的一个排列.探究新知组合定义:一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．排列定义:排列、组合的联系与区别：排列组合相同点不同点完成这件事情共分几步从n个不同元素中取出m个元素元素的顺序有关元素的顺序无关第一步、取第二步、排仅一步、取组合

甲乙

甲丙

乙丙

甲乙，乙甲

甲丙，丙甲

乙丙，丙乙排列

问题1和问题2中“排列”和“组合”的对应关系：例题讲解例1

判断下列各事件是排列问题还是组合问题．(1)从1，2，3，…，9这九个数字中任取3个，组成一个三位数，这样的三位数共有多少个？(2)从1，2，3，…，9这九个数字中任取3个,组成一个集合，这样的集合有多少个？(3)10支球队进行单循环赛(每两队比赛一次),共需进行多少场次的比赛？(4)10支球队进行单循环赛，冠、亚军获得情况共有多少种？解：(1)是排列问题，因为取出3个数字后，如果改变这3个数字的顺序，便会得到不同的三位数．(2)是组合问题，因为取出3个数字后，无论怎样改变这3个数字的顺序，其构成的集合都不变．例题讲解例1

判断下列各事件是排列问题还是组合问题．(1)从1，2，3，…，9这九个数字中任取3个，组成一个三位数，这样的三位数共有多少个？(2)从1，2，3，…，9这九个数字中任取3个,组成一个集合，这样的集合有多少个？(3)10支球队进行单循环赛(每两队比赛一次),共需进行多少场次的比赛？(4)10支球队进行单循环赛，冠、亚军获得情况共有多少种？解：(3)是组合问题，因为每两队比赛一次，并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别．(4)是排列问题，因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、乙队得冠军是不一样的，是有顺序区别的．探究新知变式1

判断下列事件是排列问题还是组合问题．(1)从10个人里选3个代表去开会，有多少种选法？(2)从10个人里选出3个做不同学科的课代表，有多少种选法？(3)有10个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票?(4)有10个车站，共需要多少种不同的票价？(5)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的子集中含有3个元素的有多少个？(6)3人去干5种不同的工作，每人干1种，有多少种分工方法？(7)把3本相同的书分给5个学生，每人最多得1本，有几种分配方法？(8)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候,共需握手多少次?(1)组合(2)排列(3)排列(4)组合(5)组合(6)排列(7)组合(8)组合探究新知变式2从5个不同的元素a，b，c，d，e中取出2个，写出所有不同的组合．探究新知问题3：校门口停放着9辆共享自行车，其中黄色、红色和绿色的各有3辆.下面的问题是排列问题，还是组合问题?(1)从中选3辆，有多少种不同的方法?(2)从中选3辆给3位同学，有多少种不同的方法?解：(1)

是组合问题，(2)是排列问题，不同的选法有不同的选法有84种.2.判断一个计数问题是排列问题还是组合问题的方法：排列问题组合问题若交换某两个元素的位置对结果有影响，则是排列问题，即排列问题与选取的顺序有关.若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，即组合问题与选取的顺序无关.探究新知例5平面内有A，B，C，D共4个点.(1)以其中2个点为端点的有向线段共有多少条?(2)以其中2个点为端点的线段共有多少条?分析:(1)确定一条有向线段，不仅要确定两个端点，还要考虑它们的顺序，是排列问题;(2)确定一条线段，只需确定两个端点，而不需考虑它们的顺序，是组合问题.

解：

(1)一条有向线段的端点要分起点和端点，以平面内4个点中的两个点为端点的有向线段的条数，就是从4个元素中取出2个元素的排列数，共有

条.(2)将(1)中端点相同、方向不同的2条有向线段作为1条线段,就是以平面内4个点中的2个点为端点的线段的条数,共有如下6条：AB,AC,AD,BC,BD,CD.这12条有向线段分别为探究新知问题4：利用排列和组合之间的关系，以“元素相同”为标准分类，你能建立起例5(1)中排列和(2)中组合之间的对应关系吗？进一步地，能否从这种对应关系出发，由排列数求出组合的个数?结论：取出2个元素的组合的个数是排列数的一半.课堂练习1.甲、乙、丙、丁4支足球队举行单循环赛.(1)列出所有各场比赛的双方；(2)列出所有冠、亚军的可能情况.

解：(1)甲乙甲丙甲丁乙丙乙丁丙丁.(2)冠军甲甲甲乙乙乙丙丙丙丁丁丁亚军乙丙丁甲丙丁甲乙丁甲乙丙课堂练习

解：△ABC，△ABD，△ACD，△BCD共4个.2.已知平面内A,B,C,D这4个点中任何3个点都不在一条直线上，写出以其中任意3个点为顶点的所有三角形.3.现有1,3,7,13这4个数.

(1)从这4个数中任取2个相加，可以得到多少个不相等的和?

(2)从这4个数中任取2个相减，可以得到多少个不相等的差?

解：(1)不相等的和为4,8,14,10,16,20，共6个.(2)不相等的差为－2,－6,－12,2,－4,－10,6,4,12,10，共10个.课堂小结一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不