2023-2024学年江苏省徐州市高一年级上册期末抽测数学试题（含答案）

2023-2024学年江苏省徐州市高一上册期末抽测数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的.

1.命题“7%>°，/>0”的否定是()

A.Vx<0,x2>0B.玉o><0

2

C.3xo<O,Xp<0D.Vx>0,x<0

【正确答案】B

【分析】根据全称命题的否定形式书写即可判断.

【详解】利用全称量词命题的否定是存在量词命题，

所以命题"Vx〉。1〉0”的否定为：“切>0,君<0"，

故选.B

2.己知集合/={x|x2+2x-3<0},8=1x|2、>g},则工0(a8)=()

A.(fl)B.(-8,3)

C.(-3,1)D.(-oo,-l]u(l,+oo)

【正确答案】A

【分析】利用一元二次不等式的解法和指数函数的单调性求出集合48,然后利用集合的

运算即可求解.

【详解】集合Z={x|X2+2X-3<0}={X|(X+3)(X-1)<0}={X|-3<X<1},

集合8={x|x|2x>||={x\2x>2''}={x|x>-l),

则48={x|x«-l},由并集的运算可知：JU(^5)=(-a),l),

故选：A

3.己知函数/•(x)=，,g(x)=xT，角。终边经过/(x)与g(x)图象的交点，则tan8=

()

A.1B.±1C.—D.--

22

【正确答案】A

【分析】根据幕函数的性质求出两函数图象的交点坐标，结合任意角的三角函数的定义即可

求解.

【详解】因为幕函数/3=丫；和83='一'图象的交点为(1，1)，

所以角。的终边经过交点(1,1),

所以tan。=1=1.

1

故选：A.

1Ji

4.“sina=—”是“a=—■1"2左肛左€2”的()

26

A.充分必要条件B.充分条件

C.必要条件D.既不充分又不必要条件

【正确答案】C

iTT5兀

【分析】根据sina=-可得到a=—+2kn,k0Z或。=丁+2尿点wZ,进而利用充分条

266

件和必要条件的判断即可求解.

【详解】由sina=丄可得a=^+2E,左eZ或&=空+2也,左eZ,所以充分性不成立;

266

JI1

由a=—+2E,%eZ可推出sina=-成立，所以必要性成立，

62

,171

结合选项可知：“sina=—”是“a=-+2E,4eZ”的必要条件，

26

故选.C

5.设a=0.5Z5,b=；log25,c=2H,则a也c的大小关系为()

A.c<a<bB.b<a<c

C.a<h<cD.a<c<b

【正确答案】D

【分析】根据指数函数的单调性可得0<a<c<l，根据对数运算性质和对数函数的单调性

可得6>1,即可求解.

【详解】由题意知，

2.5

a=0.5"=2*25e(O,l)，

c=2-2,e(0,l),所以0<a<c<l,

2

b=alog25=log25=log45>1,

所以a<c<b.

故选：D.

6.拱券是教堂建筑的主要素材之一，常见的拱券包括半圆拱、等边哥特拱、弓形拱、马蹄拱、

二心内心拱、四心拱、土耳其拱、波斯拱等.如图，分别以点4和8为圆心，以线段为半径

作圆弧，交于点C,等边哥特拱是由线段AC，部所围成的图形.若N8=2,则该

c4万畐

C.-----卜y/3

3

【正确答案】D

【分析】求出扇形/C8的面积和三角形力8C的面积即得解.

/JT2

【详解】解：设就的长为/,;.一=一,.•./=一葭

233

122

所以扇形4C3的面积为一乂一兀乂2=一兀.

233

“8C的面积为丄x2xJJ=G.

2

所以该拱券的面积为2兀+2无一丄*2*百=+兀—JL

3323

故选：D

7.已知关于x的不等式泼+区+'<0的解集是(-8,-1)U(2,+OO),则不等式

bx?+ax-c«O的解集是()

A.[-1,2]B.(-oo,-l]u[2,+oo)

C.[-2,1]D.(-co,-2]u[l,+oo)

【正确答案】A

【分析】首先根据不等式的解集，利用韦达定理得到4,仇。的关系，再代入求解不等式的解

集.

【详解】由条件可知，qf+bx+c=O的两个实数根是-1和2,且。<0,

--=-1+2

则va，得b=，c=-2a，

纟=-2

所以bx~+cix—c<0—cix~+Q+2a<0,即x2—x—2<0，

解得：-l«xW2,

所以不等式的解集为[7,2].

故选：A

jr3冗

8.若函数/(X)=2•的(。〉0)在区间内仅有1个零点，则口的取值范围是

()

'4八(4.1「481

A.1,4B.—,4C.一,一D.

1_3丿13,」[33)

(i8'

[3'3

【正确答案】C

【分析】求出函数的零点，即对称点的横坐标，列出3个相邻的对称点，由/(X)在

_44

k—1TTk37r“]

内仅有一个零点可得—7l<-<-7T<—<-—兀，解之即可.

69469469

【详解】由题意知I,

令/(x)=2sind9x=0,解得％=—(k£Z),

co

得函数/(x)的3个相邻的对称点分别为17兀,0),(K兀,0),(纟担兀,01,%€2,

兀3兀

因为函数/(X)在内仅有一个零点,

44

…一左一1兀，k,3兀女+1,r

所以----兀<一«—兀W—<-----兀，左£Z,

co4co4co

4左一4<g0<69

co<4ka)<4

4k448

解得《——<CDkeZ,当女=1时，〈一<(X)f得一<3<一.

33-33

4人+4

a)<-------

I3

故选：C.

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有

多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知a,仇c,d都是正数，且a<b,c〉d,则()

A.a-c<b-dB.a+c>b-^-d

a+ca+d

C.ad<beD.------>-------

b+cb+d

【正确答案】ACD

【分析】根据不等式的性质判断选项C,利用作差法判断选项4民。.

【详解】对于A，a-c-(b-d)=a-h+{d-c),因为。<b,c>d,

所以4-6<0,1—<:<0,则〃一。一(6—1)=4一匕+(6/—0<0,所以Q-c<b-d,故选

项A正确；

对于B,a+c-(b+d)=a-b+(c-d)9因为avb,c>d,所以<O,c-d>0,

则无法判断。-6+(c-d)的符号，故选项B错误；

对于C,因为c,d都是正数，且。<b,c>d,所以ad<bc,故选项C正确；

Q+Ca+d(a+c)(Z?+d)-(Q+d)(b+c)(a-b)(d-c)

HC--------------------：--------------------二------------

b+cb+d(6+c地+d)(b+c)(b+d)'

因为a,b,c,d都是正数,且a<b,c>d,所以a-b<0,d-c<0,贝ij(〃一/7)•(d-c)>0

(a-b)(d-c)八a+ca+d丄心3H-n

所以1——----->0,则---->-----,故选项D正确，

(h+c)(b+d)b+cb+d

故选.ACD

10.若函数/(x)=4sin(0x+8)(Z>0,69>0,0<e<兀)在一个周期内的图象如图所示，

则()

A./(x)的最小正周期为3兀

57r7T

B./(x)的增区间是3^71--,3Z：7T+—(%eZ)

C./(—x)+/(x—5兀)=0

D.将卜=2sin[x+g)的图象上所有点的横坐标变为原来的g倍(纵坐标不变)得到/(x)

的图象

【正确答案】ABD

【分析】结合图象根据正弦函数的图象和性质逐项进行分析即可求解.

1TI32兀2

【详解】由图象可知：4=2,-T=n一一二—兀，所以7=3兀，则G=——二—,

4443兀3

又因为函数图象过点G，2),所以/(二)=2sin(2x^+e)=2,则sin(2+e)=l,所以

44346

717C_..

—(P——F2kn,kwN,

62

又因为0＜。＜兀，所以9=三，则函数解析式为./(x)=2singx+m)

对于A,函数/(x)的最小正周期7=3兀，故选项A正确；

对于B,因为/(x)=2sin(―xH—),令2kli4—xH—42E-I—,kGZ,

332332

5兀7E

解得：3kji-----WxW3/CJIH—,kwZ,

44

57r7T

所以函数/(X)的增区间是3lai--,3kTi+-(左eZ),故选项B正确；

2

对于C,因为函数/J)的最小正周期7=3兀，则/(x—5兀)=/(x+兀)=2sin(§x+7c),

27r27r2

/(-x)=2sin(-yx+y),所以f(x—5兀)=2sin(_]X+5)+2sin(§x+7i)

27i2

=2sin(--x+y)-2sin(-x)w0,故选项C错误；

对于D，将丁=2sin(x+q)的图象上所有点的横坐标变为原来的|倍(纵坐标不变)得

271

到2sin(yx+y)=/(x)，故选项D正确，

故选.ABD

11.已知函数/(x)=2x+sinx-1,则下列命题正确的是()

A.函数/(x)是奇函数

jr

B.函数/(x)在区间0,-上存在零点

6

C.当xe时，/(x)＞0

21

D.若g(x)=—+-7—,贝Ij/(x)+g(x)25

xsinx

【正确答案】BC

【分析】根据函数的奇偶性判断A；根据零点的存在性定理判断B；结合图形，根据函数的

单调性判断C；根据赋值法判断D.

【详解】A：函数“X)的定义域为R,关于原点对称，

/(—x)=-2x-sinx—1,/(-x)关f(x),f(-x)-f(x),

所以函数/(x)为非奇非偶函数，故A错误;

1271-3

B：/(0)=-1<0,/>0,

2-6

7T

有/(0)/(一)<0,又函数“X)是连续的，

6

兀

由零点的存在性定理，得函数/*)在0,-上存在零点，故B正确；

_6

兀1

C：如图，当了=一时，y=sinx=—,

62

TT3兀37r

函数y=1-2'=1一§<0,且在R上单调递减，且1一2*万=1-3兀<sin~y=-l,

兀

当x>—时，l-2x<sinx,即/(x)=2x+sinx-l>0,故C正确；

6

D：f(x)+g(x)=2x+sinx-1+—+———=2x+—+sinx+-------1,

xsinxxsinx

、[/兀2Z*/\/\27161cl2兀67cI,A44-'o

当了二——时，/(x)+g(x)=-----------------2—1=---------------<0,故D错庆

33兀23兀2

故选：BC.

12.悬链线是平面曲线，是柔性链条或缆索两端固定在两根支柱顶部，中间自然下垂所形成

的外形.在工程中有广泛的应用，例如县索桥、双曲拱桥、架空电缆都用到了悬链线的原理.当

微积分尚末出现的伽利略时期，伽利略猜测这种形状是抛物线.直到1691年莱布尼兹和伯努

(Xx\

利利用微积分推导出悬链线的方程是歹=]e<：+e>，其中。为有关参数.这样，数学上又

7

多了一对与e有关的著名函数——双曲函数：双曲正弦函数sinh(x)=*^—和双曲余弦

函数cosh(x)=e'；e’则()

A.[sinh(x)『-[cosh(x)f=1

B.sinh(2x)=2sinh(x)cosh(x)

C.coshIn—>sinh(lnx)

\x丿

D.sinh(e")cosh(lnx)>cosh(e，)sinh(Inx)

【正确答案】BCD

【分析】根据新定义，直接运算e')2-(止匚了即可判断A,根据

22

e-<e八=e、-e[巴之:二即可判断B,结合同底数塞的乘法法则，利用作差法即可

222

判断CD.

【详解】A：[sinh(x)]2-[cosh(x)]2=>-(^―)2

=；(e2jt+e-2*_2—e2,——2)=—1,故A错误；

2x_-2xx_-xx+r

B：sinh(2x)=----------=——----------------2=2sinh(x)cosh(x),故B正确；

]e-lnx_|_eln.r^nx

C：cosh(ln—)=cosh(-lnx)=-----------,sinh(lnx)=-------------,

x22

-InxIInxInx_-Inx

cosh(-Inx)-sinh(lnx)=-------------------------

=-(e-|nx+elnr-eln'+e-lnx)=e』">0,即cosh(ln-)>sinh(lnx),故C正确；

2x

D：sinh(ex)cosh(lnx)-cosh(ev)sinh(lnx)

=-[(ee，-e^)(elnA+e-,n'c)-(ee，+e-e，)(elnv-e-lnv)]

4

=—(e°”nx+—e"'。一ce—ee+lnx_e+e,i+宀吟

4

e，-lnjtlnx-e，e，-lnx

=l(e-e)=-(e——--),

cr_|nv

22e

由e*-Inx>0得e。—>0,即sinh(ex)cosh(lnx)>cosh(e')sinh(lnx),故D

正确.

故选：BCD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

3

13.函数/(x)=ln(x-l)--.的定义域为__________.

72—x

【正确答案】(1,2)

【分析】根据对数函数与分式、根式的定义域求解即可.

x-1>0

【详解】由题意，<八，解得l<x<2,

2-x>0

故函数的定义域为（1,2）.

故答案为.（1,2）

14.已知sin（x+专）=；,则sin（葛一xj+cos（x—。）的值为.

【正确答案】|2

jTTTTTTTT

【分析】根据角多一X与x+=互补，角x+=与x-彳的关系，再结合诱导公式即可求解.

6663

JI1

【详解】由题意可知：sin(x+-)=-,

63

57rTt7TI

则sin(-----x)-sin[兀-(x+—)]=sin(x+—)=—,

6663

mAL'/兀、兀Z兀/兀、UL/兀、1

又因为sin(x+—)=sin[—+(x——)]=cos(x——),所以cos(x——)=-,

623333

所以sin(看一x)+COS(X-y)=-+-=y,

、2

故答案为.I

15.已知正数加,〃满足3根+〃一2加〃=0,则加+〃的最小值为.

【正确答案】2+JJ##JJ+2

13

【分析】首先将条件变形为一+—=2,再利用力”的妙用，结合基本不等式求用+〃的最小

mn

13

【详解】因为3m+〃一2加〃=0,所以一+—=2,TH>0,>0,

mn

n5m

>—

mnmn2nn

当2=3"，即〃=百加，即〃?=上芭，〃=也8时等号成立，

tnn22

所以加+〃的最小值是2+6

故2+0

16.己知函数/(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，/(x)=log2x,则/(x)2-2的

解集是.

【正确答案】-4,0］u［；,+oo］

-log2(-x),x<0

［分析］利用奇偶性求出函数/(X)的解析式/(%)=«0,x=0，分类讨论即可求解.

log2>0

【详解】当x<0时，-x>0,所以/(—x)=log2(-x),

因为函数“X)是定义在R上的奇函数，所以/(X)=—/•(—无)=-log2(―X),

所以当无<0时，/(x)=-k)g2(-x),

-log2(-x),x<0

所以/(x)=,0,x=0，

log2x9x>0

x>0

要解不等式/(x)2-2,只需，或4或《

log2x>—2-log2(-x)>—20>—2

解得xN丄或-4Wx<0或x=0,

4

综上，不等式的解集为-4,0]u[；,+s]

故答案为.—4,0]口[；,+8)

四、解答题：本题6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知集合A-{x|2tz-l<x<tz+l},B=|x|-l<x<2}.

(1)若a=-l,求

(2)若/口8=/，求实数。的取值范围.

【正确答案】(1)Nu8=(-3,2]；

(2)[0,l]u[2,+oo).

【分析】(1)先化简集合A,再利用集合的并集运算即可得解；

(2)先由条件得到Z©8,再对/=0与分两种情况讨论得解.

【小问1详解】

因为当a=-l时，，^={x|-3<x<0},5=|x|-l<x<2|,

所以/。8=(-3,2].

【小问2详解】

因为=所以

当/=0时，2a—l»a+l,a>2,满足Z©8；

当/K0时，a<2,

a<2

因为力《8,所以

2>a+l

综上，实数〃的取值范围为［0,1］。［2,+8）.

18.已知sin9=—且6£［-5,。］.求下列各式的值:

/、2sin6+3cos6

（1）-------------------：

3sin6-2cose

（2）sin（6_m}cos［g+e）tan（兀-6）

tan（-0一兀）•sin（-0一兀）

4

【正确答案】（1）一一

7

（2）--

5

【分析】（1）根据角的范围和同角三角函数的基本关系得出cos0=2®，进一步得到

5

tan。=-丄，将式子弦化切即可求解；

2

（2）利用诱导公式将式子化简为-cos。，结合（1）即可求解.

【小问1详解】

且夕£［一5'°）'所以cos。=J1-sin2e275

因为sin。=

5

八sin。1

则nltan0—-----二—,

cos。2

2sin6+3cos。2x（-；）+34

2sin6+3cos62tan。+3

所以cos。__________义____________

17

3sin。一2cos。3sin6-2cos63tan0-23、（-2）-2/

cosA

【小问2详解】

371

sinf1-cos+6•tan（兀-9）

2一cos。•sin夕•（一tan6）2^5

-----------------------------=-COSu----------

tan（-8-7i）-sin（-8_兀）一tan。•sin05

19.已知函数/(x)=2"-3x2”+2,xe[0,2],

(1)求函数/(x)的值域；

(2)若关于x的不等式〃k)g2x)»ax恒成立，求实数。的取值范围.

【正确答案】(1)一1,6

_4_

(2)(―oo,2->/2-3^

【分析】(1)利用换元法注意新元的范围及二次函数的性质即可求解；

(2)根据对数的运算性质及对数不等式的解法，将不等式恒成立的问题转化为求函数的最

值问题，结合基本不等式即可求解.

【小问1详解】

令2』，因为x«0,2],所以

2、C(3丫1

从而y—t—3/+2=t——，

\2丿4

由二次函数的性质知，对称轴为/=：3,开口向上，

2

31(3

所以函数歹=/一3/+2在1,-上单调递减，在]，4上单调递增，

当£=3时，函数y=*—3f+2取得最小值为—

2(22丿44

当f=4时，函数歹=/一37+2取得最大值为(4一|)—；=6，

所以函数/(x)的值域为_；,6.

【小问2详解】

因为函数/(x)的定义域为[0,2],所以0«log2xW2,解得1W4.

因为/(log2X)=22i°g"—3*2唾2*+2=%2-3%+2,

2

所以当Xe[1,4]时，/(log2x)=V_3x+22or恒成立等价于a<x+--3®[l,4]上恒成

<2A

立，即----3,xw[1,4]即可.

丨“丿min

因为％+2-322厶.2一3=2竝一3,

XVX

2

当且仅当x=K,即工=/时取等号，

X

2

所以当x=时，x+——3的最小值为2、/5—3,即Q<2J5—3，

x

故实数。的取值范围为卜8,2近一3].

2（）.“硬科技”是以人工智能、航空航天、生物技术、光电芯片、信息技术、新材料、新能源、智能制

造等为代表的高精尖科技，属于由科技创新构成的物理世界，是需要长期研发投入、持续积

累才能形成的原创技术，具有极高技术门槛和技术壁垒，难以被复制和模仿、最近十年，我

国的一大批自主创新的企业都在打造自己的科技品牌，某高科技企业自主研发了一款具有自

主知识产权的高级设备，并从2023年起全面发售.经测算，生产该高级设备每年需投入固定

成本1000万元，每生产x百台高级设备需要另投成本y万元，且

2x2+40x,0<x<40,100xeN,

165x+@W-2250,40<x<l00,100%eN.每百台高级设备售价为160万元，假设

x

每年生产的高级设备能够全部售出，且高级设备年产展最大为10000台.

（1）求企业获得年利润尸（万元）关于年产量x（百台）的函数关系式;

（2）当年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润.

-2X2+120X-1000,0<X<40

【正确答案】（1）尸=〈

-5X-1§222+1250,40<X<100

x

（2）当年产量为30百台时公司获利最大，且最大利润为800万元.

【分析】（1）根据利润、成本、收入之间的关系分类讨论即可；

（2）当0«x<40时，结合二次函数的性质求出函数的最大值；当404x4100时，利用基本

不等式求出函数的最大值，再比大小，即可求解.

【小问1详解】

当04x<40时，

P=160x-（2公+40x）-1000=-2x2+120x-l000.

当404x4100时，

P=160x-165x-^^+2250-1000=-5x-^^+1250,

XX

—2r+120x—1000,0<x<40

一£§222+1250,404x«100；

x

【小问2详解】

当0Wx<40时，

P=-2x2+120x-1000=-2（x-30）2+800,

所以当x=30时，Rax=800（万元）.

当404x4100时，

P=-5x-1^222+1250=1250-5（x+<1250-5x2L^22_=650（万元），

xxVx

当且仅当》=迎2即x=60时，等号成立.

x

因为800〉650,

所以当年产量为30百台时，公司获利最大，且最大利润为800万元.

21.已知函数"X）=sin（<yx+夕）（0>0,|<p|<?的图象与x轴的两个相邻交点之间的距离为

IT7T

直线X是/（X）的图象的一条对称轴.

26

（1）求函数/（x）的解析式；

⑵若函数g（x）=2/（2x）-a在区间一扌,野上恰有3个零点芭户2/3（事<》2<巧），

请直接写出4的取值范围，并求sin（4/-4》2-8%）的值.

【正确答案】（1）/（x）=sin（2x+1）

（2）—73<a<0；sin（4x3-4x2-8xt）=-

【分析】（1）根据函数的图象性质，求解函数的解析式；

（2）首先求函数g（x）=2sin（4x+E]-。，将函数的零点转化为函数图象的交点问题,

利用数形结合求参数的取值范围，得到零点的关系，即可求解.

【小问1详解】

2兀

由条件可知，周期7=兀，所以言=兀，又@〉0,得①=2,

2x—=—+kn.k€Z,因为|同〈巴，所以*=二，

6226

即函数/（x）=sin（2x+t）；

【小问2详解】

g（x）=2sin（4x+£）-q,

7111兀]…兀「兀-

当XG----,-----，设/=4x44------G-----,2兀，

L824J6L3J

7T

由条件转化为V=〃与y=2sin/,在ZE-§,2兀上的图象恰有3个不同的交点，

作出y=2sin,与丿的图象，如图所示，

由图可知，一GwaWO，且厶一£1=2万，/2+4=无，

/4c兀

4Xj—4^2-oX]=G-------2

6

/、兀〜兀4兀

=，3_'1_(，1+/2)+§=2兀_兀+§=h，

所以sin(4鼻-4X2-8xJ=sinq=--

22.对于两个定义域相同的函数/(x)和g(x),若存在实数用,〃，使

Mx)=W(x)+“g(x),则称函数〃(x)是由“基函数/(x)和g(x)”生成的.

4114

(1)若〃(x)=9x+—是由“基函数f(x)=2x——+a和g(x)=—x+——2”生成的，求

x'x2x

实数。的值；

(2)试利用“基函数/(x)=log2(4'+1)和g(x)=；x+l”生成一个函数力⑺,使之满足

〃(x)为偶函数,且力(。)=-1.

①求函数"(X)的解析式；

②己知”之？,〃6"*,/：=-1,》“=1,对于区间(一1,1)上的任意值…，

%_1(石</<…<%-1)，若£/(七)一力(玉_|)怕加恒成立，求实数A/的最小值.

/=!

(注.+■­•+%„)

/=1

【正确答案】(1)1:

(2)①Z/(x)=log2(4'+l)—x—2；②210g2*

41|4

【分析】(1)根据题意，可得〃(x)=9x+—=〃z(2x--+Q)+〃(-x+—―2),化简，利用

xx2x

对应项的系数相等即可求解；

①设//(x)=〃?10g2(4'+l)+〃(；x+l),根据函数［7(x)为偶函数得出〃=-2m,再结合

人(0)=-1,即可求出加，”的值，进而求出函数的解析式；

②利用定义证明函数的单调将式子化简为

X,(七)一人(巧_])|=h{-1)+/?(1)-h{xk)-h(xk+i)+\h(xk+i)-h(xk)\,然后根据条件求解

/=1

即可.

【小问1详解】

4Ji4

由己知，可得〃(x)=9x+—=m(2x——+a)+〃(一x+——2),

xx2x

2w4--=9