专题03 最值问题（解析版）

专题三最值问题一、填空题1．（2022秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）如图，已知的半径是4，点A，B在上，且，动点C在上运动（不与A，B重合），点D为线段的中点，连接，则线段长度的最值是_____．【答案】【分析】取中点E得是的中位线，知，即点D是在以E为圆心，2为半径的圆上，从而知求的最大值就是求点A与上的点的距离的最大值，据此求解可得．【详解】解：如图1，连接，取的中点E，连接．则，又∵点D为线段的中点，在中，是的中位线，∴，∴，即点D是在以E为圆心，2为半径的圆上，∴求的最大值就是求点A与上的点的距离的最大值，如图2，当D在线段延长线上时，取最大值，∵，，，∴，，∴取最大值为，故答案为：．二、解答题2．（2023秋·江苏无锡·九年级统考期末）如图，中，，动点P从点A出发沿边向点B以的速度移动，同时点Q从点B出发，沿边BC向点C以的速度移动，当P运动到B点时P、Q两点同时停止运动，设运动时间为．(1)______；______（用含t的代数式表示）(2)D是的中点，连接，t为何值时，有最值？的面积最值为多少？【答案】(1)；(2)t为3时，的面积有最小值，最小值为9【分析】（1）根据速度乘时间等于路程，列出代数式即可；（2）过点D分别作，分别交于点E，F，可得，四边形是矩形，从而得到，再由的面积等于，即可求解．【详解】（1）解：根据题意得：，∵，∴；故答案为：；（2）解：∵D是的中点，∴，如图，过点D分别作，分别交于点E，F，∴，∵，∴四边形是矩形，∵，∴，∵，∴，，，∴，∵，∴当时，有最值为9答：t为3时，的面积有最小值，最小值为9．3．（2022秋·江苏南京·九年级南京市科利华中学校考期中）一元二次方程中，根的判别式通常用来判断方程实根个数，在实际应用当中，我们亦可用来解决部分函数的最值问题，例如：已知函数，当为何值时，取最小值，最小值是多少？解答：已知函数，，（把当作参数，将函数转化为关于的一元二次方程），即，，（当为何值时，存在相应的与之对应，即方程有根）因此的最小值为，此时，解得，符合题意，所以当时，．应用：(1)已知函数，当__________时，的最大值是___________．(2)已知函数，当为何值时，取最小值，最小值是多少？【答案】(1)，；(2)即x为-1时，y取最小值，最小值是.【分析】（1）仿照题目所给的解题方法解答即可.（2）先将转化成一元二次方程的形式，其中y是参数，然后按照题目所给的方法解答即可.【详解】（1）解：已知函数因此，y的最大值为，此时-解得，符合题意.∴当时，故答案为：（2）已知函数得整理得因此y的最小值为，此时得得符合题意.∴当，即x为-1时，y取最小值，最小值是4．（2022春·江苏淮安·九年级校联考期中）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=−2x−3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，D为抛物线顶点．(1)A点坐标：；顶点D的坐标：；(2)如图1，抛物线的对称轴上是否存在点T，使得线段TA绕点T顺时针旋转90°后，点A的对应点恰好也落在此拋物线上?若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2，连接AD，交y轴于点E，P是抛物线上第四象限的一个动点，连接AP、BE交于点G，设则w有最大值还是最小值？w的最值是多少？(4)点Q是抛物线对称轴上一动点，连接OQ、AQ，设外接圆圆心为H，当的值最大时，变直接写出点H的坐标．【答案】(1)（-1，0），（1，-4）(2)点T的坐标为(1，3)或(1，-2)；(3)w有最小值，最小值为；(4)（-，）或（-，-）【分析】（1）令y=0，解方程可求得A、B两点的坐标，利用配方法配成顶点式，即可求得顶点D的坐标；（2）作出解图的辅助线，利用AAS证明≌△TAV，根据全等三角形的判定和性质以及坐标与图形的性质即可求解；（3）根据已知条件设P（m，-2m-3），其中0＜m＜3，求得直线AP的解析式，直线BE的解析式，联立即可求得点G的坐标，根据三角形的面积公式求得，令z=-3+8m+3，根据二次函数的性质求得z的最大值，即可求得w的最小值；（4）作△AOQ的外心H，作HG⊥x轴，则AG=AO=，进而可得H在AO的垂直平分线上运动，根据题意当sin∠OQA最大转化为求当AH取得最小值时，sin∠OQA最大，进而根据点到直线的距离，垂线段最短，即可求得AH=，运用勾股定理求得HG，即可求得点H的坐标，根据对称性求得另一个坐标．（1）解：∵抛物线y=-2x-3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，D为抛物线顶点．∴令x=0，得：y=-3，则C（0，-3），令y=0，得：-2x-3=0，解得：=-1，=3，则A（-1，0），B（3，0），∵y=-2x-3=（x-1）2-4，∴D（1，-4）；故答案为：（-1，0），（1，-4）；（2）解：由（1）知对称轴为直线x=1，设对称轴直线与x轴交于点V，过点作⊥TV于点U，如图：∵=90°，，∴=90°，∠ATV+∠TAV=90°，∴∠TAV，∴≌△TAV(AAS)，∴=TV，TU=AV=2，设TV=a，则=a，点T的坐标为(1，a)，∴点的坐标为(1-a，a+2)，由题意得a+2=-2()-3，整理得-a-6=0，解得a=3或-2，∴点T的坐标为(1，3)或(1，-2)；（3）解：∵点P在第四象限的抛物线上，AP、BE交于点G，如图，设P（m，-2m-3），其中0＜m＜3，设直线AP的解析式为y=cx+d，∵A（-1，0），P（m，-2m-3），∴，解得：，∴直线AP的解析式为y=（m-3）x+m-3，设直线BE的解析式为y=ex+f，∵B（3，0），E（0，-2），∴，解得：，∴直线BE的解析式为y=x-2，联立方程组，得：，解得：，∴，∵0＜m＜3，∴24-8m＞0，3m-11＜0，∴＜0，∴，令，∵-3＜0，∴当m=时，z取得最大值，w取得最小值为=，∴w有最小值，最小值为；（4）解：如图，作△AOQ的外心H，作HG⊥x轴，则AG=GO=，∵AH=HO，∴H在AO的垂直平分线上运动，依题意，当sin∠OQA最大时，即∠OQA最大时，∵H是△AOQ的外心，∴∠AHO=2∠AHG=2∠OQA，即当sin∠AHG最大时，sin∠OQA最大，∵AG=AO=，∴sin∠OQA=sin∠AHG=，则当AH取得最小值时，sin∠OQA最大，∵AH=HQ，即当HQ⊥直线x=1时，AH取得最小值，此时HQ=1-（-）=，∴AH=，在Rt△AHG中，HG=，∴H（-，），根据对称性，则存在H（-，-），综上所述，H（-，）或H（-，-）．故答案为：（-，）或（-，-）．5．（2023春·江苏南通·九年级专题练习）若函数G在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数G是在上的“最值差函数”．(1)函数①；②；③．其中函数______是在上的“最值差函数”；（填序号）(2)已知函数．①当时，函数G是在上的“最值差函数”，求t的值；②函数G是在（m为整数）上的“最值差函数”，且存在整数k，使得，求a的值．【答案】(1)②(2)①，；②【分析】（1）根据概念分别将①；②；③的最大值，最小值求出，再根据定义进行判断即可得出答案；（2）①分别求出、、时的y值，再分、、、进行讨论，即可得出t的值；②由，可得出，即可知，此时x在抛物线的对称轴右侧，y随x的增大而增大，即可得出的表达式，再根据k为整数，求出m的值，即可求出a的值．【详解】（1）对于①，当时，，当时，，∴，不符合题意；对于②，当时，，当时，，∴，符合题意；对于③，当时，，当时，，∴，不符合题意；故答案为：②（2）①解：当时，二次函数为，对称轴为直线．当时，，当时，，当时，．若，则，∴解得（舍去）；若，则，∴解得（舍去），；若，则，∴解得，（舍去）；若，则，∴解得（舍去）．综上所述，，．②∵，∴，∴，∵二次函数的对称轴为直线∴当时，y随x的增大而增大∴当时取得最大值，时取得最小值，∴，∴m，k为整数，且，∴m的值为3，又∵，∴∴．6．（2022秋·江苏扬州·九年级统考期末）高邮双黄鸭蛋已入选全世界最值得品尝百种味道，某专卖店根据以往销售数据发现：高邮双黄鸭蛋每天销售数量y（盒）与销售单价x（元/盒）的关系满足一次函数，每盒高邮双黄鸭蛋各项成本合计为40元/盒．(1)若该专卖店某天获利800元，求销售单价x（元/盒）的值；(2)当销售单价x定为多少元/盒时，该专卖店每天获利最大？最大利润为多少？(3)若该专卖店决定每销售一盒就捐出元给当地学校作为贫困学生的助学金，当每天的销售量不低于25盒时，为了确保该店每天扣除捐出后的利润随着销售量的减小而增大，则m的取值范围为______．【答案】(1)60或80(2)当销售单价x定70元/盒时，该专卖店每天获利最大，最大利润，900元(3)【分析】（1）利用利润等于每天的销售额减去总成本，列出方程，即可求解；（2）设该专卖店每天获利元，根据题意，列出函数关系式，再根据二次函数的性质，即可求解；（3）设该店每天扣除捐出后的利润为元，每天销售量为盒，则每盒的销售单价为元/盒，每盒的利润为元，根据题意列出关于的函数关系式，再根据二次函数的性质，即可求解．(1)解：根据题意得：，解得：，答：若该专卖店某天获利800元，销售单价为60或80元/盒；(2)解：设该专卖店每天获利元，根据题意得：，∴当销售单价x定70元/盒时，该专卖店每天获利最大，最大利润，900元；(3)解：设该店每天扣除捐出后的利润为元，每天销售量为盒，则每盒的销售单价为元/盒，每盒的利润为元，根据题意得：，∵，∴该图象开口向下，对称轴为：，根据题意得：当时，随的减小而增大，∴，解得：，∵，∴m的取值范围为．7．（2022·江苏·九年级专题练习）我们曾经研究过：如图1，点P在⊙O外或点P在⊙O内，直线PO分别交⊙O于点A、B，则线段PA是点P到⊙O上各点的距离中最短的线段，线段PB是点P到⊙O上各点的距离中最长的线段．【运用】在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点E是AC的中点．（1）如图2，若F是BC边上一动点，将△CEF沿EF所在的直线翻折得到△C′EF，连接C′B，则C′B的最小值是（2）如图3，若取AB的中点D，连接DE，得等腰Rt△ADE，将△ABC绕点A旋转，点P为射线BD，CE的交点，点Q是AE的中点．①BD与CE的位置关系是②连接PQ，求PQ的最大值和最小值．【拓展】（3）喜欢研究的小聪把上述第（2）问图中的△ADE绕点A旋转，而△ABC不动，记点P为射线BD，CE的交点（如图4），他发现在旋转过程中线段PB的长度存在最值，请直接写出PB的最小值【答案】（1）-1；（2）①CE⊥BD；②PQ的最大值为，PQ的最小值为；（3）-1．【分析】（1）连接BE，由△CEF沿EF所在的直线翻折得到△C′EF，可得C'的轨迹是E为圆心，1为半径的半⊙E，在Rt△ABE中，BE=，即可得BC'最小为-1；（2）①证明△DAB≌△EAC（SAS），可得∠DBA=∠ECA，而∠ECA+∠AGC=90°，即得∠DBA+∠BGP=90°，∠P=90°，可得CE⊥BD；②由∠DPE=90°，可得P的轨迹是以DE为直径的圆，设T为DE中点，当PQ最大时，线段PQ过T，而PT=DT=ET=DE=，TQ=AD=，即得PQ最大值为，当PQ最小时，Q在线段PT上，可求PQ最小值为PT-TQ=；（3）由BP=BC•sin∠BCP，知当∠BCP最小时，BP最小，此时AE⊥CP，在Rt△AEC中，EC=，证明△AEC≌△ADB（SAS），可得BD=EC=，∠ADB=∠AEC=90°，即知PD=AE=1，故BP最小值为-1．【详解】解：（1）连接BE，如图：∵△CEF沿EF所在的直线翻折得到△C′EF，∴EC=EC'=AC=1，∴C'的轨迹是E为圆心，1为半径的半⊙E，∴C'在BE上时，BC'最小，此时BC'=BE-C'E，在Rt△ABE中，BE==，∴BC'=-1，故答案为：-1；（2）①如图：∵△ADE是等腰直角三角形，∴AD=AE，∠DAE=90°，∵∠BAC=90°，∴∠DAB=90°-∠BAE=∠EAC，而AB=AC，∴△DAB≌△EAC（SAS），∴∠DBA=∠ECA，∵∠ECA+∠AGC=90°，∠AGC=∠BGP，∴∠DBA+∠BGP=90°，∴∠P=90°，∴CE⊥BD，故答案为：CE⊥BD；②由①知，CE⊥BD，即在△DEP中，∠DPE=90°，∴P的轨迹是以DE为直径的圆，设T为DE中点，当PQ最大时，线段PQ过T，如图：∵△ADE是等腰直角三角形，AE=AD=1，∴DE===，∴PT=DT=ET=DE=，而QT是△ADE中位线，∴TQ=AD=，∴PQ=；当PQ最小时，Q在线段PT上，如图：此时PT=，TQ=，∴PQ最小值为PT-TQ=，故PQ的最大值为，PQ的最小值为；（2）如图：由（2）可知，CE⊥BD，∴∠BPC=90°，∴BP=BC•sin∠BCP，而BC===2，∴BP=2sin∠BCP，当∠BCP最小时，BP最小，而∠ACB=45°，∴当∠ACE最大时，∠BCP最小，此时AE⊥CP，在Rt△AEC中，AE=1，AC=2，∴EC=，∵AE=AD，∠EAC=90°-∠BAE=∠DAB，AC=AB，∴△AEC≌△ADB（SAS），∴BD=EC=，∠ADB=∠AEC=90°，∴四边形ADPE是正方形，∴PD=AE=1，∴BP=BD-PD=-1，故答案为：-1．8．（2021秋·江苏连云港·九年级连云港市新海实验中学校考期中）【发现问题】爱好数学的小明在做作业时碰到这样一道题：如图1，圆O的半径为2，OA＝4，动点B在圆O上，连接AB，作等边三角形ABC（A、B、C为顺时针顺序），求OC的最大值．【解决问题】小明经过多次的尝试和探索，终于得到解题思路：在图1中，连接OB，以OB为边在OB的左侧作等边三角形BOE，连接AE；（1）请你找出图中与OC相等的线段，并说明理由；（2）请直接写出线段OC的最大值【迁移拓展】（3）如图2，BC＝，点D是以BC为直径的半圆上不同于B、C的一个动点，以BD为边作等边△ABD，请求出AC的最值，并说明理由．【答案】（1）OC=AE，证明见解析；（2）6；（3）AC的最大值为，最小值为【分析】（1）结论：OC=AE．只要证明△CBO≌△ABE即可；（2）当E、O、A共线，AE有最大值，此时OC有最大值，据此求解即可；（3）当点A在线段BD的左侧时，以BC为边作等边三角形△BCM，由△ABC≌△DBM，推出AC=MD，所以欲求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可，当点D在BC上方，DM⊥BC时，DM的值最大；当点A在线段BD的左侧时，同理可求AC的最小值．【详解】解：【解决问题】（1）由题意，作图如下：OC＝AE，理由如下：∵△ABC，△BOE都是等边三角形，∴BC＝BA，BO＝BE，∠CBA＝∠OBE＝60°，∴即：∠CBO＝∠ABE，∴△CBO≌△ABE（SAS），∴OC＝AE．（2）在△AOE中，，∴当E、O、A共线时，AE取得最大值，∵,∴AE的最大值为6，∴OC的最大值为6．（3）【迁移拓展】如图2中，当点A在线段BD的左侧时,以BC为边作等边三角形△BCM，∵∠ABD＝∠CBM＝60°，∴∠ABC＝∠DBM，且AB＝DB，BC＝BM，∴△ABC≌△DBM（SAS），∴AC＝DM，∴欲求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可，∵BC＝，为定值，∠BDC＝90°，∴点D在以BC为直径的⊙O上运动，所以当点D在BC上方，DM⊥BC时，DM的值最大，此时，∴AC的最大值为当点A在线段BD的右侧时，同理可得AC的最小值为综上所述AC的最大值为，最小值为．9．（2021秋·江苏淮安·九年级统考期中）我们曾经研究过：如图1，点在外或点在内，直线分别交于点、，则线段是点到上各点的距离中最短的线段，线段是点到上各点的距离中最长的线段．【运用】在中，，，点是的中点．（1）如图2，若是边上一动点，将沿所在的直线翻折得到，连接，则的最小值是__________．（2）如图3，若取的中点，连接，得等腰．将绕点旋转，点为射线，的交点，点是的中点．①与的位置关系是__________．②连接，求的最大值和最小值．【拓展】（3）喜欢研究的小聪把上述第（2）问图中的绕点旋转，而不动，记点为射线，的交点（如图4），他发现在旋转过程中线段的长度存在最值，请直接写出的最小值__________．【答案】（1）；（2）①垂直；②PQ的最大值为，最小值为；（3）【分析】（1）如图，连接BE，根据题意可得的轨迹是以E为圆心，1为半径的圆，在中，由勾股定理得，即可求解；（2）①可先证明△DAB≌△EAC，可得∠DBA=∠ECA，又由∠ECA+∠AGC=90°，可得∠DBA+∠BGP=90°，即可求解；②由①知，CE⊥BD，可得P的轨迹是以DE为直径的圆，设T为DE中点，然后根据当PQ最大时，线段PQ过T；当PQ最小时，Q在线段PT上，即可求解；（3）由【运用】可知，CE⊥BD，可得，又由当∠BCP最小时，BP最小，此时AE⊥CP，再证明△AEC≌△ADB，可得到四边形ADPE是正方形，即可求解．【详解】解：（1）如图，连接BE，∵将沿所在的直线翻折得到，点是的中点，∴，∴的轨迹是以E为圆心，1为半径的圆，∴在BE上时，最小，此时，在中，由勾股定理得：，∴；（2）①如图，∵△ADE是等腰直角三角形，∴AD=AE，∠DAE=90°，∵∠BAC=90°，∴∠DAB=90°-∠BAE=∠EAC，而AB=AC，∴△DAB≌△EAC（SAS），∴∠DBA=∠ECA，∵∠ECA+∠AGC=90°，∠AGC=∠BGP，∴∠DBA+∠BGP=90°，∴∠P=90°，∴CE⊥BD；②由①知，CE⊥BD，即在△DEP中，∠DPE=90°，∴P的轨迹是以DE为直径的圆，设T为DE中点，当PQ最大时，线段PQ过T，如图：∵△ADE是等腰直角三角形，∴AD=AE，∠DAE=90°，∵的中点，∴，∴，∴，∵点是的中点，∴TQ是△ADE的中位线，∴，∴PQ的最大值为；当PQ最小时，Q在线段PT上，如图此时，，，∴PQ的最小值为，综上所述，PQ的最大值为，最小值为；（3）由【运用】可知，CE⊥BD，∴∠BPC=90°，∴，∵，∴，当∠BCP最小时，BP最小，∵，∴当最大时，∠BCP最小，此时AE⊥CP，在中，AE=1，AC=2，∴，∵AE=AD，∠EAC=90°-∠BAE=∠DAB，AC=AB，∴△AEC≌△ADB（SAS），∴BD=EC=，∠ADB=∠AEC=90°，∴四边形ADPE是正方形，∴PD=AE=1，∴BP=BD-PD=-1．10．（2022秋·江苏·九年级专题练习）数学课上,老师展示了这样一段内容．问题求式子的最小值．解:原式:∵,∴,即原式的最小值是2．小丽和小明想,二次多项式都能用类似的方法求出最值（最小值或最大值）吗？（1）小丽写出了一些二次三项式:①;

②;

③;④;

⑤;

⑥．经探索可知,有最值的是__________（只填序号）,任选其中一个求出其最值;（2）小明写出了如下3个二次多项式:①;②;③．请选择其中一个,探索它是否有最值,并说明理由．说明:①②③的满分分值分别为3分､4分､5分;若选多个作答,则以较低分计分．【答案】（1）①②③⑥;（2）①无最值,见解析;②最小值为1,见解析;③最小值为,见解析【分析】（1）可以选择①,运用上面类似的方法——配方法,可得到:,再根据平方具有非负性可得到最小值,其它的也用类似的方法解答即可;（2）①进行探究,配方后得到,无法确定最值,②进行研究,配方后得到即可,③进行研究,配方后得到即可,选择一个作答即可．【详解】（1）①②③⑥①

最小值为0②,∵,∴,即原式最小值5;③,∵,∴,∴,即原式有最大值为4;④,无法确定最值;⑤,无法确定最值;⑥,∵,∴,∴,即原式有最大值为;（2）①

无最值②

∵,∴,即原式有最小值为1③

,∵,,,∴,即原式有最小值为．11．（2022秋·江苏·九年级专题练习）阅读如下材料，完成下列问题：材料一：对于二次三项式求最值问题，有如下示例：．因为，所以，所以，当时，原式的最小值为2．材料二：对于实数a，b，若，则．完成问题：（1）求的最小值；（2）求的最大值；（3）若实数m，n满足．求的最大值．【答案】（1）-5；（2）（3）【分析】（1）按照材料一配方即可求最值；（2）把原式化成，求最小值即可；（3）根据已知得到，即或，代入求最值即可．【详解】解：（1），因为，所以，所以，当时，原式的最小值为-5．（2），当取最小值时，原式最大，由（1）可知，最小值为2，此时的最大值为；（3）∵，∴，，或，或，=，最大值是，的最大值为；或=，最大值是，的最大值为；综上，的最大值为12．（2021秋·江苏扬州·九年级统考期末）如图，将边长为4的正方形纸片ABCD折叠，使点A落在边CD上的点M处（不与点C、D重合），折痕EF分别交AD、BC于点E、F，边AB折叠后交边BC于点G．（1）若点M是边CD的中点，求△CMG的周长；（2）若DM＝CD，求△CMG的周长；（3）若M是边CD上的动点，①你有什么猜想？证明你的猜想；②四边形CDEF的面积S是否存在最值？若存在，求出这个最值；若不存在，说明理由．【答案】（1）8；（2）8；（3）①周长为定值，见解析；②存在，最大值为10【分析】（1）由勾股定理计算DE的长，由此得EM的长，得△DEM的周长为6，证明△EDM∽△MCG，根据相似三角形周长的比等于相似比列式可得结论；（2）由勾股定理计算DE的长，由此得EM的长，证明△EDM∽△MCG，根据相似三角形周长的比等于相似比列式可得结论；（3）①设DE=y，DM=b，则CM=4-b，EM=AE=4-y，由勾股定理计算DE的长，由此得EM的长，证明△EDM∽△MCG，根据相似三角形周长的比等于相似比列式可得结论；②由“AAS”可证△ADM≌△FHE，可得DM=EH，由勾股定理和面积关系可求解．【详解】解：（1）∵正方形ABCD的边长为4，点M为CD边的中点，∴DM=CM=2，设AE=x，则EM=x，DE=4x，由勾股定理得：DM2+DE2=EM2，∴22+（4-x）2=x2，∴x=，∴DE=，由折叠得：∠EMG=∠BAD=90°，∵∠DEM+∠DME=∠DME+∠MGC=90°，∴∠DEM=∠MGC，∵∠D=∠C=90°，∴△EDM∽△MCG，∴，∴△MCG的周长=；（2）∵正方形ABCD的边长为4，DM=CD，∴DM=，CM=，设AE=x，则EM=x，DE=4x，由勾股定理得：DM2+DE2=EM2，∴（）2+（4x）2=x2，∴x=，∴DE=，由折叠得：∠EMG=∠BAD=90°，∵∠DEM+∠DME=∠DME+∠MGC=90°，∴∠DEM=∠MGC，∵∠D=∠C=90°，∴△EDM∽△MCG，∴，∴△MCG的周长=；（3）①△CMG的周长恒等于8，理由如下：设DE=y，DM=b，则CM=4-b，EM=AE=4-y，Rt△DEM中，DE2+DM2=EM2，y2+b2=（4-y）2，16-b2=8y，由（1）得△DEM∽△CMG，∴，∴△CMG的周长=．∴△CMG的周长恒等于8；②如图，连接AM，过点F作FH⊥AD于H，∴∠FHA=∠DAB=∠ABC=90°，∴四边形ABFH是矩形，∴HF=AB=CD=AD，由折叠的性质可得：EF⊥AM，∴∠EAM+∠AMD=90°=∠EAM+∠AEF，∴∠AEF=∠AMD，又∵∠D=∠EHF=90°，∴△ADM≌△FHE（AAS），∴DM=EH，设DM=a=EH，DE=b，∵EM2=DE2+DM2，∴（4b）2=a2+b2，∴4b=，∵S=4×（a+b）×4a=2a+4b=+2=，∴当a=2时，S有最大值为10．13．（2022·江苏南京·模拟预测）已知抛物线y＝x2﹣2ax+m．（1）当a＝2，m＝﹣5时，求抛物线的最值；（2）当a＝2时，若该抛物线与坐标轴有两个交点，把它沿y轴向上平移k个单位长度后，得到新的抛物线与x轴没有交点，请判断k的取值情况，并说明理由；（3）当m＝0时，平行于y轴的直线l分别与直线y＝x﹣（a﹣1）和该抛物线交于P，Q两点．若平移直线l，可以使点P，Q都在x轴的下方，求a的取值范围．【答案】（1）-9；（2）当m=0时，k＞4或当m=4时，k＞0时，得到新的抛物线与x轴没有交点；（3）a＞1或a＜﹣1【分析】(1)把a＝2，m＝﹣5代入抛物线解析式即可求抛物线的最值；(2)把a＝2代入，当该抛物线与坐标轴有两个交点，分抛物线与x轴、y轴分别有一个交点和抛物线与x轴、y轴交于原点，分别求出m的值，把它沿y轴向上平移k个单位长度，得到新的抛物线与x轴没有交点，列出不等式，即可判断k的取值；(3)根据题意，分a大于0和a小于0两种情况讨论即可得a的取值范围．【详解】解：(1)当a＝2，m＝﹣5时，y＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9所以抛物线的最小值为﹣9．(2)当a＝2时，y＝x2﹣4x+m因为该抛物线与坐标轴有两个交点，①该抛物线与x轴、y轴分别有一个交点∴△=16-4m=0，∴m=4，∴y＝x2﹣4x+4=（x-2）2沿y轴向上平移k个单位长度后，得到新的抛物线与x轴没有交点，则k＞0；②该抛物线与x轴、y轴交于原点，即m=0，∴y＝x2﹣4x∵把它沿y轴向上平移k个单位长度后，得到新的抛物线与x轴没有交点，∴y＝x2﹣4x+k此时△＜0，即16﹣4k＜0解得k＞4;综上，当m=0时，k＞4或当m=4时，k＞0时，得到新的抛物线与x轴没有交点；(3)当m＝0时，y＝x2﹣2ax抛物线开口向上，与x轴交点坐标为（0，0）（2a，0），a≠0．直线l分别与直线y＝x﹣（a﹣1）和该抛物线交于P，Q两点，平移直线l，可以使点P，Q都在x轴的下方，①当a＞0时，如图1所示，此时，当x＝0时，0﹣a+1＜0，解得a＞1；②当a＜0时，如图2所示，此时，当x＝2a时，2a﹣a+1＜0，解得a＜﹣1．综上：a＞1或a＜﹣1．14．（2022秋·江苏常州·九年级常州市第二十四中学校考期中）【发现问题】爱好数学的小明在做作业时碰到这样的一道题目：如图1，点O为坐标原点，⊙O的半径为1，点A（2，0）．动点B在⊙O上，连接AB，作等边△ABC（A，B，C为顺时针顺序），求OC的最大值．【解决问题】小明经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图①中，连接OB，以OB为边在OB的左侧作等边三角形BOE，连接AE．（1）请你找出图中与OC相等的线段，并说明理由；（2）请直接写出线段OC的最大值．【迁移拓展】（3）如图2，BC＝4，点D是以BC为直径的半圆上不同于B、C的一个动点，以BD为边作等边△ABD，请求出AC的最值，并说明理由．【答案】[解决问题]（1）OC＝AE，（2）OC的最大值为3．[迁移拓展]（3）AC的最大值为2+2．AC的最小值为2﹣2．【分析】（1）结论：OC=AE．只要证明△CBO≌△ABE即可；（2）当E、O、A共线，AE有最大值，此时OC有最大值，据此求解即可；（3）当点A在线段BD的左侧时，以BC为边作等边三角形△BCM，由△ABC≌△DBM，推出AC=MD，推出欲求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可，当点D在BC上方，DM⊥BC时，DM的值最大；当点A在线段BD的左侧时，同理可求AC的最小值.【详解】解：【解决问题】（1）如图1中，结论：OC＝AE，理由：∵△ABC，△BOE都是等边三角形，∴BC＝BA，BO＝BE，∠CBA＝∠OBE＝60°，∴∠CBO＝∠ABE，∴△CBO≌△ABE（SAS），∴OC＝AE．（2）在△AOE中，AE≤OE+OA，∴当E、O、A共线，∴AE的最大值为3，∴OC的最大值为3．【迁移拓展】（3）如图2中，以BC为边作等边三角形△BCM，∵∠ABD＝∠CBM＝60°，∴∠ABC＝∠DBM，且AB＝DB，BC＝BM，∴△ABC≌△DBM（SAS），∴AC＝MD，∴欲求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可，∵BC＝4＝定值，∠BDC＝90°，∴点D在以BC为直径的⊙O上运动，由图像可知，当点D在BC上方，DM⊥BC时，DM的值最大，最大值＝2+2，∴AC的最大值为2+2．当点A在线段BD的右侧时，同理可得AC的最小值为2-2．综上所述AC的最大值为2+2，最小值为2-2.15．（2018秋·江苏无锡·九年级无锡市南长实验中学阶段练习）已知：二次函数的图像经过点A(-1,0)、B（3,0）、C（0,3）求:（1）求这个函数的关系式；（2）当x取何值时，y有最值；（3）当—3＜x＜2时，求y的取值范围？【答案】（1）；（2）当x=1时，y最大值=4；（3）-12<y<4【分析】（1）由于已知二次函数图形与x轴的两交点坐标，则可设交点式y=a（x+1）（x-3），然后把C点坐标代入求出a的值，从而得到二次函数解析式．在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．（2）将抛物线的一般式化为顶点式，就可以确定顶点坐标，从而求得最值.【详解】解：（1）设二次函数的解析式为y=a（x+1）（x-3），把C（0，3）代入得a•1•（-3）=3，解得a=-1，所以二次函数的解析式为y=-（x+1）（x-3）=-x2+2x+3．（2）：（1））∵y=-x2+2x+3，=-（x-1）2+4，∴顶点（1，4），∵抛物线开口向下，∴当x=1时，y最大值=4；（3）∵-3＜x＜2，顶点（1，4）对称轴是直线x=1∴x=1时，y最大值=4，又∵x=-3时，y=-12当-3＜x＜2时，-12<y<416．（2016秋·江苏盐城·九年级阶段练习）阅读材料：用配方法求最值．已知x，y为非负实数，∵x+y﹣2≥0∴x+y≥2，当且仅当“x=y”时，等号成立．示例：当x＞0时，求y=x++4的最小值．解：+4=6，当x=，即x=1时，y的最小值为6．（1）尝试：当x＞0时，求y=的最小值．（2）问题解决：随着人们生活水平的快速提高，小轿车已成为越来越多家庭的交通工具，假设某种小轿车的购车费用为10万元，每年应缴保险费等各类费用共计0．4万元，n年的保养、维护费用总和为万元．问这种小轿车使用多少年报废最合算（即：使用多少年的年平均费用最少，年平均费用=）？最少年平均费用为多少万元？【答案】（1）x=1时，y的最小值为3．（2）n=10时，最少年平均费用为2．5万元．【详解】试题分析：（1）首先根据y=，可得y=x++1，然后应用配方法，求出当x＞0时，y=的最小值是多少即可．（2）首先根据题意，求出年平均费用=（+0．4n+10）÷n=，然后应用配方法，求出这种小轿车使用多少年报废最合算，以及最少年平均费用为多少万元即可．解：（1）y==x++1+1=3，∴当x=，即x=1时，y的最小值为3．（2）年平均费用=（+0．4n+10）÷n==2+0．5=2．5，∴当，即n=10时，最少年平均费用为2．5万元．17．（2021秋·江苏扬州·九年级统考期中）阅读理解：如果两个正数a，b，即a＞0，b＞0，有下面的不等式：，当且仅当a＝b时取到等号我们把叫做正数a，b的算术平均数，把叫做正数a，b的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最值问题的有力工具．初步探究：（1）已知x＞0，求函数y＝x+的最小值．问题迁移：（2）学校准备以围墙一面为斜边，用栅栏围成一个面积为100m2的直角三角形，作为英语角，直角三角形的两直角边各为多少时，所用栅栏最短？创新应用：（3）如图，在直角坐标系中，直线AB经点P（3，4），与坐标轴正半轴相交于A，B两点，当△AOB的面积最小时，求△AOB的内切圆的半径．【答案】初步探究：（1）4；问题迁移：（2）x＝10m时，y有最小值，即所用栅栏最短；创新应用：（3）R＝2．【分析】（1）根据x＞0，令a=x，b=，利用题中的新定义求出函数的最小值即可；（2）设一直角边为xm，则另一直角边为m，栅栏总长为ym，根据题意表示出y与x的函数关系式，利用题中的新定义求出y取得最小值时x的值即可；（3）设直线AB解析式为y=kx+b，把P坐标代入用k表示出b，进而表示出A与B坐标，确定出OA与OB的长，得出三角形AOB面积，利用题中的新定义求出三角形AOB面积最小时k的值，确定出直角三角形三边，即可求出三角形AOB内切圆半径．【详解】解：（1）令a＝x，b＝（x＞0），由a+b≥2，得y＝x+≥2＝4，当且仅当x＝时，即x＝2时，函数有最小值，最小值为4；（2）设一直角边为xm，则另一直角边为m，栅栏总长为ym，y＝x+，当且仅当x＝时，即x＝10m时，y有最小值，即所用栅栏最短；（3）设直线AB的解析式是y＝kx+b，把P（3，4）代入得：4＝3k+b，整理得：b＝4﹣3k，∴直线AB的解析式是y＝kx+4﹣3k，当x＝0时，y＝4﹣3k；当y＝0时，x＝，即A（0，4﹣3k），B（，0），∴S△AOB＝OB•OA＝（4﹣3k）•＝12﹣（），∵要使△AOB的面积最小，∴必须最大，∵k＜0，∴﹣k＞0，∵=2×6＝12，当且仅当时，取等号，解得：k＝±，∵k＜0，∴k＝﹣，即OA＝4﹣3k＝8，OB＝6，根据勾股定理得：AB＝10，设三角形AOB的内切圆的半径是R，由三角形面积公式得：×6×8＝×6R+×8R+×10R，解得：R＝2．18．（2021·江苏·九年级专题练习）某学校要在围墙旁建一个长方形的中药材种植实习苗圃，苗圃的一边靠围墙（墙的长度不限），另三边用木栏围成，建成的苗圃为如图所示的长方形ABCD．已知木栏总长为120米，设AB边的长为x米，长方形ABCD的面积为S平方米．（1）求S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）．当x为何值时，S取得最值（请指出是最大值还是最小值）？并求出这个最值；（2）学校计划将苗圃内