江西省赣州市南康区唐西片区2023-2024学年数学九年级上册期末监测试题含解析

江西省赣州市南康区唐西片区2023-2024学年数学九上期末监测试题

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.计算的结果是（）

44

A.0B.2a2C.flD.-a

2.袋子中装有4个黑球和2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋子中

摸出三个球.下列事件是必然事件的是（）

A.摸出的三个球中至少有一个球是黑球

B.摸出的三个球中至少有一个球是白球

C.摸出的三个球中至少有两个球是黑球

D.摸出的三个球中至少有两个球是白球

3.如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y产kx+b（k、b是常数，且k/））与反比例函数y2=£（c是常数，且

X

W0）的图象相交于A（-3,-2）,B（2,3）两点，则不等式yi>y2的解集是（）

A.-3<x<2B.xV-3或x>2C.-3VxV0或x>2D.0VxV2

4.如图所示，抛物线y=ax2-x+c（a>0）的对称轴是直线x=l,且图像经过点P（3,0）,则a+c的值为（）

A.0CD.2

5.用配方法解一元二次方程f一4x=5时，此方程可变形为（）

A.(X+2)2=1B.(x-2)2=1C.(X+2)2=9D.(x-2)』

6.下列方程是一元二次方程的是()

,3

A.x+2y=lB.x2+5=0C.x2+—=8D.x(x+3)=x2-1

x

7.抛物线y=（x+2）2-2的顶点坐标是（)

A.（2,-2）B.（2,2）C.(-2,2)D.(-2,-2)

8,若反比例函数y=二二（左为常数）的图象在第二、四象限，则％的取值范围是（)

x

A.k<—2B.k.>—2且左HO

C.k>2D.左<2且攵HO

9.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°,得到△AZJE.若点。在线段BC的延长线上，则的大小为（）

C.50°D.60°

10.抛物线y=（x-庁+2的对称轴是)

A.直线工=-1B.直线x=lC.直线》=-2D.直线x=2

二、填空题（每小题3分，共24分）

11.如图，已知函数y=ax2+bx+c（a>l）的图象的对称轴经过点（2,1）,且与x轴的一个交点坐标为（4,1）.下列

结论：①b?-4ac>l；②当x<2时，y随x增大而增大；③a-b+c<1；④抛物线过原点；⑤当1<x<4时，y<1.其

中结论正确的是.（填序号）

12.如图，在扇形AOB中，ZAOB=90°,点C为OA的中点，CE丄OA交厶台于点E,以点O为圆心，OC的长为

半径作CO交OB于点D,若OA=2,则阴影部分的面积为.

AO

13.已知两个相似三角形对应中线的比为1:3,它们的周长之差为10,则较大的三角形的周长为.

14.如图，扇形A8C的圆心角为90。，半径为6,将扇形A8C绕A点逆时针旋转得到扇形AOE,点8、C的对应点分

别为点。、E,若点。刚好落在AC上，则阴影部分的面积为

3

15.如图，矩形ABCD中，AB=2,BC=-,F是AB中点，以点A为圆心，AD为半径作弧交AB于点E,以点B

2

为圆心，BF为半径作弧交BC于点G,则图中阴影部分面积的差S1-S2为.

16.某计算机程序第一次算得m个数据的平均数为x,第二次算得另外n个数据的平均数为y,则这（〃?+〃）个数据的

平均数等于.

17.已知△ABCSAOEF,其中顶点4、B、C分别对应顶点E、F,如果/4=40。，Z£=60°,那么NO

度.

4x+l5

18.分式方程一:一工~~K=1的解为___

X'2（x-1）

三、解答题（共66分）

19.（10分）如图，抛物线y=a（x—2）2-1过点C（4,3）,交x轴于A,B两点（点A在点B的左侧）.

（1）求抛物线的解析式，并写出顶点M的坐标；

⑵连接OC,CM,求tan/OCM的值；

（3）若点P在抛物线的对称轴上，连接BP,CP,BM,当/CPB=/PMB时，求点P的坐标.

20.（6分）某苗圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现，每盆植人3株时，平均每株盈利3元.在同样的栽培条件下，

若每盆增加1株，平均每株盈利就减少0.5元，要使每盆的盈利为10元，且每盆植入株数尽可能少，每盆应植入多少

株？

21.（6分）如图，二次函数y=gx4bx+c的图象过点B（0,1）和C（4,3）两点，与x轴交于点D、点E,过点B和

点C的直线与x轴交于点A.

⑴求二次函数的解析式；

（2）在x轴上有一动点P,随着点P的移动，存在点P使APBC是直角三角形，请你求出点P的坐标；

⑶若动点P从A点出发，在x轴上沿x轴正方向以每秒2个单位的速度运动，同时动点Q也从A点出发，以每秒a个

单位的速度沿射线AC运动，是否存在以A、P、Q为顶点的三角形与^ABD相似？若存在，直接写出a的值；若不存在，

说明理由.

22.（8分）知识改变世界，科技改变生活.导航装备的不断更新极大地方便了人们的出行.中国北斗导航已经全球组

网，它已经走进了人们的日常生活.如图，某校周末组织学生利用导航到某地（用A表示）开展社会实践活动，车辆到

达3地后，发现A地恰好在3地的正北方向，且距离3地8千米.导航显示车辆应沿北偏东60。方向行驶至。地，再

沿北偏西45。方向行驶一段距离才能到达A地.求A、C两地间的距离（结果精确到0.1千米）.（参考数据：

夜。1.414,6。1.732)

B

23.（8分）有一枚均匀的正四面体，四个面上分别标有数字1,2,3,4,小红随机地抛掷一次，把着地一面的数字记

为x；另有三张背面完全相同，正面上分别写有数字一2,一1,1的卡片，小亮将其混合后，正面朝下放置在桌面上，

并从中随机地抽取一张，把卡片正面上的数字记为人然后他们计算出5=*+了的值.

（1）用树状图或列表法表示出S的所有可能情况；

（2）分别求出当5=0和S<2时的概率.

24.（8分）在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax-a为抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a声0）的“衍生直线”;

有一个顶点在抛物线上,另有一个顶点在y轴上的三角形为其“衍生三角形”.已知抛物线y=-2叵/一生叵％+

与其“衍生直线”交于A、B两点（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C.

（D填空：该抛物线的“衍生直线”的解析式为,点A的坐标为,点B的坐标为；

（2）如图，点M为线段CB上一动点，将AACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N,若AAMN为

该抛物线的“衍生三角形”，求点N的坐标；

（3）当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“衍生直线”上，是否存在点F,使得以点A、C、E、F为顶

点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E、F的坐标；若不存在，请说明理由.

25.（10分）如图，40、4。分别是AA5c和的中线，且乌=丁判断A/IBC和是否相

A'B'B'D'A'D'

似，并说明理由.

(1)(x-2)(x-3)=12

(2)3y?+l=2屆

参考答案

一、选择题(每小题3分，共30分)

1,C

【分析】根据二次根式的性质先化简J(-a『,再根据幕运算的公式计算即可得出结果.

【详解】解：。力(-a))=1./=、,

故选C.

【点睛】

本题考査了二次根式的性质和同底数塞的乘方，熟练掌握二次根式的性质和同底数幕的乘方进行化简是解题的关键.

2、A

【分析】根据必然事件的概念：在一定条件下，必然发生的事件叫做必然事件分析判断即可.

【详解】A、是必然事件；

B、是随机事件，选项错误；

C、是随机事件，选项错误；

D、是随机事件，选项错误.

故选A.

3、C

【解析】一次函数yi=kx+b落在与反比例函数yz=£图象上方的部分对应的自变量的取值范围即为所求.

【详解】•：一次函数yi=kx+b(k、b是常数，且导0)与反比例函数yz=—(c是常数，且/0)的图象相交于

x

A(-3,-2),B(2,3)两点，

，不等式yi>yz的解集是-3VxV0或x>2,

故选C.

【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合是解题的关键.

4、B

【解析】〈抛物线>=。/一%+。(。>0)的对称轴是直线％=1,且图像经过点P(3,0),

r1

9Q-3+C=0a-—

・・・-i,解得：:2,

------=1J

[2ac=_q

故选B.

5,D

【解析】试题解析：

x2-4%=5,

x2-4x+4=5+4,

(x-2)2=9.

故选D.

6、B

【分析】根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可.

【详解】A、方程x+2y=l是二元一次方程，故本选项错误；

B、方程x2+5=0是一元二次方程，故本选项正确；

3

C、方程x2+-=8是分式方程，故本选项错误；

X

D、方程x(x+3)=x2-l是一元一次方程，故本选项错误.

故选B.

【点睛】

本题考査的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程

是解答此题的关键.

7、D

【分析】根据二次函数的顶点式方程可以直接写出其顶点坐标.

【详解】•••抛物线为尸(x+2)2-2,.♦.顶点坐标为(-2,-2).

故选D.

【点睛】

本题考查了二次函数的顶点坐标的求法，掌握二次函数的顶点式片a(x-h)2+4是解题的关键.

8、C

【分析】根据反比例函数的性质得LkVO,然后解不等式即可.

【详解】根据题意得LkVO,

解得k>l.

故选：C.

【点睛】

此题考査反比例函数的性质，解题关键在于掌握反比例函数y=&(k邦)的图象是双曲线；当k>0,双曲线的两支

x

分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当kVO,双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在

每一象限内y随x的增大而增大.

9、B

【解析】•.'△ADE是由aABC绕点A旋转100。得到的，

ZBAD=100°,AD=AB,

,点D在BC的延长线上，

故选B.

点睛：本题主要考察了旋转的性质和等腰三角形的性质，解题中只要抓住旋转角NBAD=100。，对应边AB=AD及点D

在BC的延长线上这些条件，就可利用等腰三角形中：两底角相等求得NB的度数了.

10、B

【分析】根据题目所给的二次函数的顶点式直接得到函数图象的对称轴.

【详解】解：•••解析式为y=(x-l『+2,

二对称轴是直线x=l.

故选：B.

【点睛】

本题考査二次函数的顶点式，解题的关键是根据二次函数的顶点式得到函数图象的性质.

二、填空题(每小题3分，共24分)

11、@@@

【分析】根据函数图象和二次函数的性质可以判断题目中的各个小题是否正确，从而可以解答本题.

【详解】解：由函数图象可知，

抛物线与X轴两个交点，则从-4ac>0,故①正确，

当x<2时，y随犬的增大而减小，故②错误，

当尤=一1时，y^a-b+c>0,故③错误，

由函数丫=⑪2+瓜+c(a>0)的图象的对称轴经过点(2,0),且与x轴的一个交点坐标为(4,0),则另一个交点为

(0,0),故④正确,

当0<x<4时，y<0,故⑤正确,

故答案为：①④⑤.

【点睛】

本题考査二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数

形结合的思想解答.

12、立+工.

212

【解析】试题解析：连接OE、AE,

•・,点C为OA的中点，

AZCEO=30°,NEOC=60°,

/.△AEO为等边三角形，

…60^-x222

・・b扇形AOE=---------=一兀,

3603

：・S阴影=S扇形AOB-S扇形COD-(S扇形AOE-SACOE)

2

90万x2?907Z-X1

xlx-s/3)

36036032

=­V3

43T

13、15

【分析】利用相似三角形对应中线的比可得出对应周长的比，根据周长之差为1()即可得答案.

【详解】设较小的三角形的周长为x,

••,两个相似三角形对应中线的比为1：3,

两个相似三角形对应周长的比为1：3,

...较大的三角形的周长为3x,

•.•它们的周长之差为10,

**.3x-x=10,

解得：x=5,

/.3x=15,

故答案为：15

【点睛】

本题考查相似三角形的性质，相似三角形对应中线、高、周长的边都等于相似比；面积比等于相似比的平方.

14、3?r+9G.

【分析】直接利用旋转的性质结合扇形面积求法以及等边三角形的判定与性质得出Sm=S^ADE-S^AD=S^ABC

-S弓形AO,进而得出答案.

解：连接8D,过点5作BN丄于点N,

,••将半径为4,圆心角为90°的扇形84c绕A点逆时针旋转60°,

：.ZBAD=f>(i°,AB=AD,

...△A8O是等边三角形，

：.ZABD=60°,

则NABN=30°,

故AN=3,BN=3g，

S阴影=SStKADE-S弓彩A"=SrnABC~S弓彩4。

90••62/60•万•6?

---------------_(------------------yX6X3V3)

360360

=3n+9也.

故答案为3n+90.

【点睛】

本题主要考査了扇形的面积求法以及等边三角形的判定与性质.正确得出AABD是等边三角形是关键.

134

15、3--------

16

【分析】根据图形可以求得BF的长，然后根据图形即可求得Si-S2的值.

3

【详解】解：•••在矩形ABCD中，AB=2,BC=-,F是AB中点,

2

：•SI=S矩形ABCD_S扇形ADE-S扇形BGF+Sz,

、"・"图

.•5&=2RO•乃xf13乃

=3-——

2---------36016

360

故答案为：3——•.

16

【点睛】

此题考查的是求不规则图形的面积，掌握矩形的性质和扇形的面积公式是解决此题的关键.

mx+ny

16、•

m+n

【分析】根据加权平均数的基本求法，平均数等于总和除以个数，即可得到答案.

【详解】平均数等于总和除以个数，所以平均数

m+n

【点睛】

本题考查求加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的基本求法.

17、80

【解析】因为△48CS2\OE尸，所以NA=/O,NB=NE,NC=Nf，因为NA=4(T,NE=60。,

所以NS=60。,所以NC=180。-40。-60。=80。,故答案为：80.

18、x=0.1

【解析】分析：方程两边都乘以最简公分母，化为整式方程，然后解方程，再进行检验.

详解：方程两边都乘以2（x2-l）得，

8x+2-lx-l=2x2-2,

解得Xl=l,X2=0.1,

检验：当x=0.1时,x-1=0.1-1=-0.1^0,

当x=l时，x-1=0,

所以x=0.1是方程的解，

故原分式方程的解是x=0.1.

故答案为：x=0.1

点睛：本题考查了解分式方程，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解.（2）解

分式方程一定注意要验根.

三、解答题（共66分）

19、（1）抛物线的解析式为y=（x-2>-1,顶点M的坐标为（2,-1）；（2）tan/OCM=；；⑶P点坐标为（2,2+75）

或（2,2-冋.

【解析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；根据顶点式解析式，可得顶点坐标；

（2）根据勾股定理及逆定理，可得，OMC=90,根据正切函数，可得答案；

（3）根据相似三角形的判定与性质，可得PM的值，可得M点坐标.

【详解】（1）由抛物线y=a（x—2>-1过点C（4,3）,

得3=a（4—2）2-1,解得a=l,

抛物线的解析式为y=（x-2）2-1,顶点M的坐标为（2,-1）；

（2）如图1,连接0M,

OC2=32+42=25»OM2=22+12=5.CM2=22+42=20>

CM2+OM2=oc2»

.../OMC=90，

OM=yf5.CM=25

OM_V5_1

tan/OCM

CM-275-2

（3）如图2,过C作CN丄对称轴，垂足N在对称轴上，取一点E,使EN=CN=2,连接CE,EM=6.

当y=0时，（x—2）2-1=0,解得的\=1,X2=3,A（l,0）,B（3,0）.

CN=EN,/CEP=NPMB=/CPB=45，

“PB=^EPC+/CPB=4MB+4BM,

..4PC=/BM,

...CEP-PMB,

EPCE

•=,易知MB=0，CE=25/2»

MBPM

=—>解得PM=3土石，

拒PM

P点坐标为（2,2+逐）或（2,2-石卜

【点睛】

本题考査了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式，勾股定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数等

知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线面构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题.

20、4株

【分析】根据已知假设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有（x+3）株，得出平均单株盈利为（3-0.5x）元，由题意得

(x+3)(3-0.5x)=10求出即可。

【详解】解：设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有(x+3)株，

平均单株盈利为：(3-0.5x)元，

由题意得：(x+3)(3-0.5x)=10.

化简，整理，X2_3X+2=0.

解这个方程，得％=1,々=2,

则3+1=4,2+3=5,

每盆植入株数尽可能少，

盆应植4株.

答：每盆应植4株.

【点睛】

此题考査了一元二次方程的应用，根据每盆花苗株数x平均单株盈利=总盈利得出方程是解题关键.

21、⑴抛物线解析式y=；x2-gx+l；(2)点P坐标为(1,0),(3,0),(；，0)，(y,0)；(3)a=半或

6百

------•

5

【分析】(1)将B、C两点坐标代入二次函数解析式，通过联立方程组可求得b、c的值，进而求出函数解析式；

⑵设P(x,0),由△PBC是直角三角形，分NCBP=90。与NBPC=90。两种情况讨论，运用勾股定理可得x的值，进而

得到P点坐标；

(3)假设成立有△APQs^ADB或△APQsZkABD,则对应边成比例，可求出a的值.

【详解】⑴；二次函数y=0.5x2+bx+c的图象过点B(0,1)和C(4,3)两点，

।[,3

1=cb=

0.9解得〈2,

3=8+4b+c1

[c=1

13

・•・抛物线解析式y=yx2--x+l.

⑵设点P坐标为(x,0).

•・•点P(x,0),点B(0,1),点C(4,3),

PB=+(0-1)~=J%2+1，

CP二+（3-0）~-Jd-8x+25，

BC=J(4-0)+(3-1)=25/5>

若NBCP=90°,贝ljBP2=BC2+CP2.

,,11

..X2+1=20+X2-8X+25,..X=—.

2

若NCBP=90。，贝ljCP2=BC2+BP2.

x2+l+20=x2-8x+25,x=—.

2

若NBPC=90。，贝||BC2=BP2+CP2.

X2+1+X2-8X+25=20,

.*.XI=LX2=3,

综上所述：点P坐标为(1,0),(3,0),(-,0),(―,0).

22

⑶a=^或述.

35

13

•・•抛物线解析式y=-x2--x+1与x轴交于点D,点E,

13

0=—X2-—x+LX2=2,•••点D(1,0).

22

・・,点B(0,1),C(4,3),

二直线BC解析式y=；x+l.

当y=0时，x=-2,.•.点A(-2,0).

•.,点A(-2,0),点B(0,1),点D(1,0),

，AD=3,AB=V5.

设经过t秒，：.AP=2t,AQ=at,

若△APQsaADB,

,.,”而=一丝祈加即丄丁=方a‘宀.a2亍也’

APAB2fx/56X/5

若△APQS/^ABD,---=~,即一=——,Aa=-----.

AQAOat35

综上所述：a=垣或延.

35

【点睛】

此题考查了二次函数解析式的确定、直角三角形的判定以及相似三角形的性质等，难度适中.

22、7.2千米

【解析】设AC=x千米，过点。作CD丄可得厶。=。。=注尤,BD=-^―=-^=-«0.408x根据

2tan6Q0百

AB=AD+BD,列方程求解即可.

【详解】解：设AC=x千米，过点。作。丄43,交.AB于点D

在RfACZM中，NC4Q=45。，AD=CD=—x^0.707x

2

---X

在姉CDB中，"皿=60°,亜=q_=早。0.408》

tan60°V3

VAB=AD+BD=S

二0.707%+0.408%=8

x«7.2

答：A、。两地间的距离约为7.2千米.

【点睛】

本题主要考査解直角三角形应用和特殊三角函数..熟练掌握特殊三角函数值是解决问题的关键.

23、(1)答案见解析；(2)—,一

612

【解析】试题分析：列举出符合题意的各种情况的个数，再根据概率公式解答即可.

解：(1)画树状图，

5-102013124235

⑵由图可知，所有可能出现的结果有12种，其中S=0的有2种，S<2的有5种,

21

.*.P(s=o)=—

12。

5

Pg)=立。

24、(1)y=-^x+—;(-2,26);(1,0)；

33

（2）N点的坐标为（0,273-3）.（0,2y[3+3）;

（3）E（-1,-拽）、F（0,空）或E（-1,-連），F（-4,12^）

3333

【分析】（D由抛物线的“衍生直线”知道二次函数解析式的a即可；（2）过A作AD丄y轴于点D,则可知AN=AC,结合

A点坐标，则可求出0N的长，可求出N点的坐标；（3）分别讨论当AC为平行四边形的边时，当AC为平行四边形的

对角线时，求出满足条件的E、F坐标即可

【详解】（1）•“一空x?一巫x+26a=一正,则抛物线的“衍生直线，，的解析式为丫=一厶巨x+厶巨；

33333

46一®

x=-2fx=l

联立两解析式求交点「二，解得y=2百或§=0，

2V32V3

AA(-2,26)，B(1,0)；

(2)如图1,过A作AD丄y轴于点D,

在y=-2叵x?一生叵x+26中，令y=0可求得x=-3或x=l,

33

AC(-3,0),且A(-2,26),

AC=V(-2+3)2+(2V3)2=V13

由翻折的性质可知AN=AC=V13,

VAAMN为该抛物线的“衍生三角形”，

...N在y轴上，且AD=2,

在RtAAND中，由勾股定理可得

DN=VAN2-AD2=713^4=3，

VOD=2>/3>

:.ON=25/3-3或ON=2>/3+3，

；.N点的坐标为(0,26-3)，(0,28+3);

(3)①当AC为平行四边形的边时，如图2,过F作对称轴的垂线FH,过A作AK丄x轴于点K,贝!J有AC〃EF且

AC=EF,

:.ZACK=ZEFH,

在AACK^DAEFH中

ZACK=ZEFH

<ZAKC=ZEHF

AC=EF

:ACK也△EFH,

.*.FH=CK=1,HE=AK=2>/3>

•••抛物线的对称轴为x=-l,

二F点的横坐标为0或-2,

•.•点F在直线AB±,

...当F点的横坐标为()时，则F((),空)，此时点E在直线AB下方，

3

...E到y轴的距离为EH-OF=2