2023届安徽省蒙城县第二中学高三年级下册第二次月考数学试题

2023届安徽省蒙城县第二中学高三下学期第二次月考数学试题

一、单选题

1.设集合4=[现2(》+2)<2},集合2={x|142"8},则A-8=()

A.(0,2)B.(0,2]C.[0,2)D.[0,2]

【答案】C

【分析】根据题意利用指、对数函数的单调性求集合A8,进而可求交集.

【详解】由题意可得：A={x|0<x+2<4}-{x|-2<x<2},B={x|0<x<3},

则AB=[0,2).

故选：C.

2.已知z=”(weR),同=行，则实数小的值为()

1—1

A.±3B.3C.±GD.6

【答案】C

【分析】根据复数与共胸复数的模的关系，化简复数z,即可列方程求解实数的值.

【详解】解：因为忖..=.|司.=0f-，且2=m=+i=比+招+=(-机-41)+(机-+l)i-=m—-\+m—+l

所以《用+”[=应,解得机=±6.

故选：C.

3.已知命题“现T；+3X°+“>0”为真命题，则实数。的取值范围是()

A.(-co,-2)B.(-co,4)C.(-2,+oo)D.(4,+oo)

【答案】C

【分析】由题知事1』时，a>(x；-3x0%n，再根据二次函数求最值即可得答案.

【详解】解：因为命题“玉0G[—1,1],-尤：+3x0+a>0”为真命题，

所以，命题“玉；>,“>x；-3xo”为真命题，

所以,〃以一1,1]时,4>(¥-3%)一，

因为，y=-3x=(x-'|),

所以，当时，ymin=-2,当且仅当X=1时取得等号.

所以，/时，“>（片-3%）而=-2,即实数。的取值范围是（-2,内）

故选：C

4.已知平面向量a,6的夹角为牛，且小口*3,则4+2击（）

A.372B.2GC.而D.572

【答案】C

【分析】根据k+28|=44+2〃）2,展开计算即可.

【详解】•+留=J（a+2/?）~=，/+4G6+4/?2=J|a产+4同|。-cos当+4b『

二/一4><也x3x^-+36=y/26.

故选：C.

5.高三（2）班某天安排6节课，其中语文、数学、英语、物理、生物、地理各一节，若要求物理

课比生物课先上，语文课与数学课相邻，则编排方案共有（）

A.42种B.96种C.120种D.144种

【答案】C

【分析】根据语文课与数学课相邻，则利用捆绑法，物理课比生物课先上则利用对称法求解.

【详解】因为耍求物理课比生物课先上，语文课与数学课相邻，

所以课程编排方案共有gA；A”120种，

故选：C.

6.已知定义在R上的函数/（x）满足〃x+2）=〃x+4）,且/（x+1）是偶函数，则（）

A.J。）是偶函数B.“X）的图象关于直线x对称

C.〃x）是奇函数D.〃x）的图象关于点对称

【答案】A

【分析】利用〃x+2）=〃x+4）得到/（X）的周期是2,利用〃尤+1）是偶函数可得的对称轴,

两者结合即可得到/（力于■（-》），即可得到A正确，通过举反例可得到BD错误，即可求解

【详解】由/（x+2）=〃x+4）可得f（x）=〃x+2）,所以函数〃x）的周期是2,

因为/(X+1)是偶函数，所以/(x+l)=/(—x+l)即函数/(x)的图象关于X=1对称，

所以f(x)=f(2-x)=F(-x),

所以f(x)是偶函数，故A正确，C错误，

当f(x)=-x+l,04x41时，通过上述的周期为2,且关于x=l对称得到以下图象，

通过图象可发现/(x)不关于直线x=g对称，也不关于点(g,。)对称，故BD错误，

故选：A

7.己知a=ea9+l/=^|,c=ln(0.9e3),则a,4c的大小关系为()

A.a>c>bB.c>h>a

C.b>a>cD.a>b>c

【答案】D

9A

【分析】a=e°+1,i=0.94-2,c=ln0.94-3,构造函数弘=e+l,y2=x+2,y3=lrtv+3,

利用作差法比较函数的大小确定函数值的大小.

【详解】a=e°9+l,b=0.9+2,c=ln0.9+3

构造函数y=e"+l,%=x+2,%=lnx+3,

令/("=乂一%=6"-尢一1,XG(0,1),

则r(x)=e，—l>0,所以在(0,1)单增，

所以“0.9)>八0)=0,所以e°9>1.9,所以e°s+i>0.9+2,所以。>从

令8(同=%-%=x-3-l,xe(0,l),g<x)=]_5<(),

所以g(x)在xe(0,l)为减函数，所以g(x)>g⑴=0,

所以0.9-ln0.9-l>0,所以0.9+2>ln0.9+3,所以<>c,

所以

故选：D.

【点睛】方法点睛：比较几个数值的大小可以将这些数值看作几个函数的函数值，通过比较函数在

某个区间内的大小确定函数值的大小.函数比较大小可以用导数研究单调性来确定，还可以借助于函

数不等式、切线不等式放缩等手段比大小.

8.已知定义在R上的函数〃(x)满足2〃(x)+/z'(x)>0且〃⑴=[,则不等式〃")>上的解集为().

ee

A.(-<»,e2)B.(e2,+oo)C.(-00/)D.(l,+oo)

【答案】D

【分析】构造函数H(x)=/7(x>e2"利用导数判断函数的单调性，再根据函数的单调性解不等式即

可.

【详解】解：构造函数”(x)=%(x>e2%

则H'(x)=h'(x)-e2x+2h(x)-e2x=e2'[/?,(x)+2/z(x)],

因为定义在R上的函数Kx)满足2人义)+〃(x)>0,所以H\x)>0,

所以H(x)在R上单调递增，且H⑴=人⑴e?=l,

所以不等式〃(x)>±可化为力(力/>1,即"(x)>H⑴，所以x>l,

即不等式〃(x)>5的解集为(1,+«).

故选：D.

【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于构造函数H(x)=/!(x>e",再利用导数判断函数的单调

性即可.

二、多选题

9.已知P是边长为2的正六边形ABCDE尸内的一点，则AP.A8的可能取值是()

A.-2B.2

C.4D.8

【答案】BC

【分析】建立如图平面直角坐标系，设P(x,y)(T<x<3),利用平面向量数量积的坐标表示计算，

即可求解.

【详解】如图，取A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，

易知正六边形的每个内角为120,所以NCBx=60°,

则A(0,0),5(2,0),C(3,>/3),F(-1,V3).

设尸(x,y),则4P=(x,y),A8=(2,0),且一l<x<3.

所以AP•A8=(x,y)♦(2,0)=2xe(-2,6).

故选：BC.

10.已知函数/(x)=cos,则下列说法不正确的是。

%oj是曲线y=/(x)的对称中心

是曲线y=/(x)的对称中心

5

C.直线X=?7r是曲线y=/(x)的对称轴

O

D.直线户即是曲线y=/(x)的对称轴

8

【答案】ABD

【分析】根据三角恒等变换求出函数f(x)的解析式，结合选项，利用代入法验证函数Ax)的对称轴

和对称中心，即可求解.

72.V2

【详解】/(x)=-——sinx)=---sinxcosx+——

；222

兀)yfl

——sin2x+2XH—-十—

4)4

A：当》=-三，则2x+：=0,此时sin2x+?=0,则函数/(x)关于点-三半对称，故A错误;

84I4；184)

B：当》=]，则2X+；=5,此时sin[2x+：)=l,则函数/(x)关于x=]对称，故B错误；

C：当x=|，则2x+j=¥，1b匕时sin(2x+：)=-l,则函数/(为关于x=1对称，故C正确；

D：当％==,则2x+2=7t,此时sin(2x+：)=0,则函数/*)关于点仔，坐]对称，故D错误.

84I4；(84)

故选：ABD.

11.设等差数列｛%｝的前〃项和为S.，若S”<S9<S“),则下列结论正确的是()

A.数列｛。,,｝是递减数列B.%>+%<0

C.当〃>19时，Sn<0D.S16-S4>0

【答案】ABC

【分析】由S“<S9Vsm得品-59=卬+4。<0,5。-59=4。>0，即可判断AB；结合等差数列前〃

项求和公式与等差数列的性质即可判断CD.

【详解】A：由Su<S9<S]o,得L—S9=a”+〃]()<0,百0—S9=4o>。，

.・.八0,则数列｛4｝为递减数列，故A正确;

B：由选项A的分析可知，Su-S9=a”+qo<O,故B正确;

C：因为a“>+4i<0,所以$20=4+%++&+

因为4。>0,所以孔=笑以xl9=磬xl9=19q°>0,

因为数列｛%｝是递减数列，所以当”>19时，S“<0,故C正确；

D：Sl6-S4-a5+a6++«,（,=6（al0+«ll）＜0,故D错误;

故选：ABC.

12.在棱长为2的正方体AB8-48/GD中，E,尸分别为棱BC,CG的中点，P为线段EF上的动

点，则()

A.线段QP长度的最小值为2

B.三棱锥O-A泊尸的体积为定值

C.平面4EF截正方体所得截面为梯形

D,直线。「与44所成角的大小可能为三

【答案】BC

【分析】对于A：根据等腰三角形的性质可判断DP的最小值位置，求得即可判断；对于B：线面平

行时，线上的点到面的距离相等，再根据三棱锥D-A.AP的体积等于三棱锥P-A：AD的体积可判断；

对于C：作出平面4EF截正方体所得截面即可判断；对于D：作出直线OP与44/所成的角，并求

出对应的正切的最小值即可判断.

对于A：£>E=£>尸=石,£：/=起,.,.当点尸为E尸的中点时，此时。P长度的最小，最小值为

图考,A错；

对于B：Q跖〃平面A4.RD,.••点P到平面照口。的距离等于E到平面他2。的距离,

故三棱锥。-A/AP的体积等于三棱锥P-A,AD的体积也等于三棱锥E-A/AD的体积，

114

为§*5、2乂2*2=§,B正确；

对于C：如图平面AEF截正方体所得截面为四边形AEED,

因为EF//BC\"AD\,且所=：BG=gAA，所以四边形AEFD为梯形，C正确;

对于D：过点P作PN_L8C于点N,连接。N,则PN人平面ABCQ,

所以PNHAA、，则直线DP与AA/所成角的大小为NDPN或其补角，

令EN=a,则PN=a,CN="a,DN=74+(1-a)2,

OWaWl,当a=O时，DPJ.AA,,

当0<a41,，21,而/=之一工+1=5(1-1)2+已在[1,+8)上单调递增，

aaaa55

所以fN5(l-/2+[=4,即tan/OPN22>W，

jr

故直线0P与AA,所成角的大小不可能为W，D错.

故选：BC

三、填空题

13.已知函数/(x)=x3-x(xeR),则/(x)的极大值点为：.

【答案】一昱

3

【分析】对函数求导，然后令尸(为=。，求出方程的根，再列表判断极值，从而可求出函数的极大

值点.

【详解】由“力=丁一工，得:(%)=3/-1,

令尸(x)=0,则(&+1)(耳-1)=0,

解得x=_且或》=且，

33

x,f\x),f(x)的变化情况如下表：

旦g,+8)

X(-00,一多

3

f'M+0—0+

f(x)递增极大值递减极小值递增

由上表可知，/(x)的极大值点为一#.

故答案为：-克

3

14.在(X+1)Y2X+1)6展开式中，f的系数是.(用数字作答)

【答案】85

【分析】根据题意可得(X+1)2(2X+1)6=X2(2X+1『+2X(2X+1)6+(2X+1)6,然后由(2x+l『的展开

式通项即可得到结果.

【详解】因为(x+1)-(2x+l)“=仁+2X+1)(2X+1)'=X2(2X+1)(，+2X(2X+1)6+(2X+1)'',

且(2x+l『的展开式通项为G=C；26T产，，

所以小的系数是d,2x,l与(2x+l『展开式中的项的乘积的和，

所以有C：+2C：>2+C"22=85,

故答案为：85

15.己知圆C：(x-3)2+r=25,直线/：(根+l)x+(〃?-l)y-2=0(m是参数)，当直线/被圆C截

得的弦长最小时机的值为：.

【答案】3

【分析】由圆的方程求出圆心坐标与半径，由直线方程可得直线恒过定点尸由垂径定理知当

直线/与线段PC垂直时，直线/被圆C截得的弦长的最小值.由勺即可求解.

【详解】圆C：(x-3>+y2=25的圆心坐标为C(3,0),半径为5.

由直线/：(m+l)x+(m-l)y-2=0,得帆(x+y)+x-y—2=0,

联立kry=20W解得f［x尸=一1厂

直线/恒过定点P(l-l),又(1-3>+产=5<25,

・・•点P(L-l)在圆内部，则当直线/与线段PC垂直时，直线,被圆C截得的弦长最小.

易知直线尸C的斜率为原c=1，由&/”=一"2■二=一1，解得机=3,

22

所以此时机=3.

故答案为：3.

16.函数有两个零点，则k的取值范围是

x2

【答案】[。,|)

【分析】函数八幻=皿-。有两个零点，即方程皿有两个根，构造函数g(x)=g(x>0),利用

x2x2x

导数求出函数的单调区间，从而可画出函数g(x)的大致图像，根据图象即可得解.

【详解】函数有两个零点，方程2-。=0有两个根，

x2x2

即方程处有两个根，

x2

设g(x)=^(x>0),则函数g(x)与y=：的图像有两个交点，

x2

,,、\-\nx

g(x)=，

当xe(0,e)时，g，(x)>0,g(x)单调递增；

当xe(e,^K»)时，g，(x)<0,g(x)单调递减，

，函数g(x)在x=e时，取得最大值g(e)=L

e

又「当X-0时，g(x)fy>；当Xf+oo时，g(x)>()且g(x)f0,

・•・函数g(x)的大致图像，如图所示，

由图像可知，0<!<L

2e

.乂的取值范围是(0彳).

故答案为：(0，|).

四、解答题

17.在二ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，二:+/4-=1.

a+bb+c

⑴求8的大小；

(2)若b=2,求一/WC的周长L的取值范围.

JT

【答案】⑴m

(2)(4,6]

【分析】(1)由已知等式化简可得‘2+〃2-从=今，结合余弦定理即可求得B的大小；

(2)由正弦定理及三角恒等变换即可得周长乙=2+4sin(A+^｝再根据正弦型函数的性质即可得L

的取值范围.

【详解】(1)由----------=1得：be+c2+a2+ab=ab+ac4-Z?2+be

b+c

整理得/=ac,由余弦定理得cosB=.上'=，=&=1,

2ac2ac2

又8«0,兀)，所以8=方；

c1cb_2_4Gwr-

(2)由正弦定理得sinAsinCsinBg3,所以。sinA,c=—sinC,

~2、

贝I」的周长L=〃+b+c=2+^^(sinA+sinC)=2+~~~卜inA+sin(专一A)1

=2+^^卜inA+等cosA+；sinA=2+4sin（A+季），

因为4€（0,与｝所以A+[e1高，所以sin（A+酢（g,l,

所以周长乙的取值范围为（4,61

18.已知在递增数列｛叫中，4，%为函数〃力=/-1氏+24的两个零点，数列｛。向i｝是公差为2

的等差数列.

（1）求数列｛为｝的通项公式；

,113

⑵设数歹U-的前”项和为s“，证明：5„<-.

4

【答案】（1）%="（"+2）；

（2）证明见解析.

【分析】（1）求出函数/（X）的零点，并求出数列｛。向-4,｝的通项，再利用累加法求出卜,J的通项；

（2）由（1）的结论，利用裂项相消法求和作答.

【详解】（1）函数〃"=/-1民+24的零点为3,8,而数列｛叫递增，则4=3,%=8,a2-ax=S,

因此数列｛。向-%｝是以5为首项,2为公差的等差数列，则。用-。,,=2"+3,

当“22时，氏=4+（。2-q）+（“3-%）++（凡-〃“_1）=3+5+7++（2n+l）

=社等?2.〃=〃（〃+2）,而q=3也满足上式，

所以数列的通项公式是凡=〃（〃+2）.

（2）证明：由（1）W—=—=-二],

ann（n+2）2\n几十2J

3

所以

19.某著名小吃店高峰时段面临用餐排队问题，店主打算扩充店面，为了确定扩充的位置大小，店

主随机抽查了过去若干天内高峰时段的用餐人数，所得数据统计如下图所示.

(1)求高峰时段用餐人数的平均数万以及方差S2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);

(2)以频率估计概率，从餐厅以往的所有营业时间中随机抽取4天，记高峰时段用餐人数在［25,30)的

天数为X,求X的分布列以及数学期望E(X).

【答案】⑴30.5；21

Q

(2)分布列见解析，|

【分析】(1)由频率分布直方图计算平均数及方差公式可得答案；

2

(2)由题可得用餐人数在［25,30)的频率为不，又X的可能值为0,1,2,3,4,据此可得分布列

及期望.

【详解】(1)依题意，x=22.5x0.1+27.5x0.4+32.5x0.3+37.5x0.2=30.5；

52=(22.5-30.5)2x0.1+(27.5-30.5)2x0.4+(32.5-30.5)2x0.3+(37.5-30.5)2x0.2=6.4+3.6+

1.2+9.8=21；

（2）由题，用餐人数在［25,30）的频率为0.08x5=0.4=1.

X的可能值为0,1,2,3,4.

则P(X=0)

P（X=3）=C：（|）396

P（X=2）=C；x—=

眇©嚏5625

故X的分布列为

X01234

812162169616

p

625625625625625

7Q

i^E(X)=4x-=-.

20.如图，在四棱锥P-A8CD中，弘，平面/^8,24=3,">〃3(7,

ZABC=90,AB=BC=2,AD=3,点M在棱尸£>上，PM=2MD,点N为BC中点.

⑴求证：MC，平面PL6；

(2)求二面角N-PM—C的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵述.

9

2

【分析】(1)通过线线平行证线面平行，即在承上取一点£,使得PE=(PA,得四边形BCME为

平行四边形，从而得证；

(2)建立以A为中心的空间坐标系，利用二个面的法向量夹角求得二面角N-PM-C的余弦值.

2

【详解】(1)如图，在帖上取一点E,使得=

四边形3CME为平行四边形，

:.MC//BE,

又MC<Z平面PA民BEu平面

，直线MC平面aw.

(2)由条件可以A为坐标原点，48,AD,AP正方向为羽％z轴，建立如图所示的空间直角坐标系

A—xyz,

则8(2,0,0),0(220),0(0,3,0)P(0,0,3),。(0,3,0),N(2,1,0),

/.DC-n,=0[2x,-y.=0

设平面CPM的法向量4=a，X，zJ,则AL/n

[PO-n,=0|3%-34=0

令4=2,解得：X[=1,乂=2,，〃[=(1,2,2)；

PD.&=。3y2-3z2=0

设平面PNM的法向量为％=(々,丫2,22),贝卜•二

2X+y-3Z=0

PNn2=0222

令Z2=l,解得：=y2=1,.,.^=(1,1,1)

,囱55K

设二面角N—PM-C为a,:.\cosa\=卜os(M

〃i，43-y/3~9

w,㈣

由图象可知，二面角N-PM-C为锐角,

故二面角N-PM-C的余弦值为：迹.

9

22

21.已知椭圆C:方+方=1(。>b>0)的长轴长是短轴长的近倍，且右焦点为尸(1,0).

(1)求椭圆C的标准方程；

⑵直线/：y=*(x+2)交椭圆C于A,8两点，若线段A3中点的横坐标为求直线/的方程.

【答案】(1)《+V=1

2

⑵),=±*+2)

【分析】(1)根据焦点坐标求得C,根据长轴和短轴的对应关系，以及列方程组，可求得

“泊的值，进而求得椭圆的标准方程.

(2)联立直线的方程和椭圆的方程，消去V并化简，写出韦达定理，根据A3中点的横坐标求得k的

值，进而求解.

【详解】(1)由椭圆C的长轴长是短