上海七年级数学下期末（压轴60题16个考点）

上海七年级下期末精选（压轴60题16个考点专练）

一.平行线的性质（共3小题）

1.（2023春•闵行区期中）（1）如图1,E是直线AB,内部一点，AB//CD,连接EA,ED.

A\EB

/a\b

DFC

探究猜想.

①当/A=60。，/D=32°,则°；

②猜想图1中/AE。，ZA,的关系并验证；

（2）如图2,AB//CD,已知/E+/G=a,ZB=p,求//的度数.（用含有a,0代数式表示）

（3）如图3,射线正与平行四边形ABC。的边A8交于点E,与边CD交于点F,图3中a,b分别是

被射线EE隔开的2个区域（不含边界），P是位于以上两个区域内的一点，猜想/PEB,ZPFC,ZEPF

的关系.（不要求说明理由）

2.（2018春•金山区期中）问题情境：如图1,AB//CD,ZPAB=13Q°,ZPCD=nO°.求/APC度数.

小明的思路是：如图2,过P作PE〃AB,通过平行线性质，可得.

问题迁移：如图3,AD//BC,点尸在射线0M上运动，ZADP=Za,ZBCP=Zp.

（1）当点尸在A、8两点之间运动时，/CPD、/a、之间有何数量关系？请说明理由.

（2）如果点P在A、B两点外侧运动时（点尸与点A、2、。三点不重合），请你直接写出NCPD、Na、

N0之间的数量关系.

3.（2018春•奉贤区期中）已知：AB//DE.

图3

C1）如图1,点C是夹在A2和。E之间的一点，当ACLCD时，垂足为点C,你知道NA+/。是多少

吗？这一题的解决方法有很多，

例如（力过点C作AB的平行线；

（拓）过点C作。E的平行线；

（位）连接A。；

（zv）延长AC、Z5E相交于一点.

请你选择一种方法（可以不选上述四种），并说明理由.

（2）如图2,点。、C2是夹在AB和。E之间的两点，请想一想：ZA+ZCI+ZC2+ZD=度，

并说明理由.

（3）如图3,随着AB与CD之间点增加，那么NA+NCi+/C2+……+ZCn+1+ZD=

度.（不必说明理由）

二.平行线的判定（共2小题）

4.（2018春•浦东新区期末）如图，是一个由4条线段构成的“鱼”形图案，已知：Zl=50°,Z2=50°,

/3=130。.找出图中所有的平行线，并说明理由.

5.（2018春•闵行区期末）如图，已知/ABE+/CEB=180°,Z1Z2,请说明8/〃EG的理由.

（请写出每一步的依据）

三.平行线的判定与性质（共2小题）

6.（2021春•思明区校级期中）已知4M〃CN,点8为平面内一点，ABLBC于8.

（1）如图1,直接写出/A和/C之间的数量关系；

（2）如图2,过点B作BO_LAM于点。，求证：/ABD=NC；

（3）如图3,在（2）问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF,BF平分/DBC,8E平分/

ABD,ZFCB+ZNCF=180°,NBFC=3NDBE,求NEBC的度数.

7.（2021春•徐汇区校级期中）已知AE〃GF,BC//GF,EF//DC,EF//AB,猜想NA与NC的关系如何？

并说明理由.

解：因为AE〃GR8C〃GF（已知）

所以AE〃BC（）；

所以/A+N=180°（）；

同理，ZC+Z=180°；

所以（）.

四.三角形的面积（共1小题）

8.（2023春•松江区期中）如图，已知3c的面积是60,请完成下列问题：

（1）如图1,ZiABC中，若AD是边上的中线，则△A3。的面积△AC。的面积（填“>”、

“V”或“=”）；

（2）如图2,若CD、BE分别是△ABC的A5、AC边上的中线，求四边形AOOE的面积可以用如下方

法：

连接AO,由AD=DB得S4ADO=SABDO,

同理，可得Sz\CEO=Sz\AEO.

设S^ADO=X,S^AEO=y9则SABDO=X,S^CEO=y.

由题意得SAABE=—=30»S/^ADC=-S/\ABC=30.

22

可列方程组Fx'nSO,解得,

x+2y=30

通过解这个方程组可得四边形ADOE的面积为；

（3）如图3,AD：DB=1：3,CE：AE=2：3,请直接写出四边形AOOE的面积.

（不用书写过程）

图1图2图3

五.坐标与图形性质（共1小题）

9.（2017春•杨浦区校级期末）如图，以直角三角形AOC的直角顶点。为原点，以OC、OA所在直线为x

轴和y轴建立平面直角坐标系，点A（0,a）,C（b,0）满足｛a-2b+/-2|=0.

（1）则C点的坐标为；A点的坐标为.

（2）己知坐标轴上有两动点尸、。同时出发，P点从C点出发沿x轴负方向以1个单位长度每秒的速度

匀速移动，。点从。点出发以2个单位长度每秒的速度沿y轴正方向移动，点。到达A点整个运动随之

结束.AC的中点。的坐标是（1,2）,设运动时间为t（f>0）秒.问：是否存在这样的3使S^ODP=S

△ODQ?若存在，请求出，的值；若不存在，请说明理由

（3）点尸是线段AC上一点，满足/尸。C=/FC。，点G是第二象限中一点，连OG,使得/AOG=/

A。足点E是线段。4上一动点，连CE交OF于点H,当点石在线段。4上运动的过程中，/°HC+/ACE

Z0EC

的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由.

图1图2

六.三角形三边关系（共1小题）

10.（2022春•徐汇区校级期末）周长为30,各边互不相等且都是整数的三角形共有个.

七.三角形内角和定理（共4小题）

11.（2017春•浦东新区期末）（1）已知：如图1,P是直角三角板ABC斜边上的一个动点，CD、CE分

别是/AC尸和/BCP的平分线，试探究：当点P在斜边上移动时，NQCE的大小是否会发生变化,

请说明你的理由.

（2）把直角三角板的直角顶点C放在直尺的一边上，点A和点8在直线的上方（如图2）,此

时NACM与/BCN的数量关系是NACM+/8CN=；当把这把直角三角板绕顶点C旋转到点

A在直线MN的下方，点B仍然在直线MN的上方时（如图3）,ZACM与NBCN的数量关系

是;当把这把直角三角板绕顶点C旋转到点A和点B都在直线MN的下方时（如

图4）,ZACM与NBCN的数量关系是.

12.（2019春•金山区期中）已知：如图，AABC

求证：ZA+ZB+ZC=180°.

证明：如图，作BC的延长线CO,过点C作CE〃A8,

'：CE//AB,

N1=ZB,

Z2=ZA,

VZ1+Z2+ZACB=18O°,

/.ZA+ZB+ZACB=180°.

13.（2019春•徐汇区校级期中）如图，已知NA=/C,BE平分N4B。，DF平分NBDC.说明N1=N2的

理由.

解：因为NA=/C（已知），

所以A8〃OC（）.

所以（）.

因为BE平分/AB。（已知），

所以NI-|NABD（--------------）•

同理

所以/1=/2（）.

14.（2017春•普陀区期中）如图1,ZAiBC,NA1CM的角平分线氏的、C42相交于点A2,

（1）如果/4=68°,那么/A2的度数是多少，试说明理由;

（2）如图2,如果NA2BC、NA2cM的角平分线朋3、相交于点小，请直接写出N43的度数；

（3）如图2,重复上述过程，ZAn-iBC,N4-1CM的角平分线24、C4”相交于点4得到设/

Ai=0,请用。表示NA”（直接写出答案）

解：（1）结论：ZA2=度.说理如下：因为542、CA2平分/A1BC和N4CM（已知），

所以/A18C=2/1,ZAiCM=2Z2（）.

因为N4CM=NA1BC+/,Z2=Z1+Z（）,

（完成以下说理过程）

44

八.三角形的外角性质（共3小题）

15.（2021春•徐汇区校级期末）将一副三角尺叠放在一起:

（1）如图①，若Nl=4/2,请计算出NCAE的度数;

（2）如图②，若NACE=2/BCD,请求出NACD的度数.

16.（2018春•浦东新区期末）阅读、填空并将说理过程补充完整：如图，已知点。、E分别在△A8C的边

AB、AC上，且延长DE与BC的延长线交于点F,ZBAC和的角平分线交于点

G.那么AG与尸G的位置关系如何？为什么？

解：AGLFG.将AG、。尸的交点记为点P,延长AG交2c于点Q.

因为AG、BG分别平分N8AC和（已知）

所以/BAG=,（角平分线定义）

又因为/FPQ=+ZAED,=+ZB

（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）

ZAED=ZB（已知）

所以NFPQ=（等式性质）

（请完成以下说理过程）

17.（2018春•普陀区期中）如图，已知△A8C中，ZBAC=70°,/8=30°,点尸是AB上一点，且/BCF

=25°,点£＞在边C4的延长线上，AE平分NBA。，说明C尸〃AE的理由.

解：因为点。在边CA的延长线上（已知），

所以/BAC+/BAO=180°（）.

因为/BAC=70°（已知），

所以/BAD=180°-ZBAC=110°（等式性质）.

因为AE平分（已知），

所以/EAB=L/&1D=55°（）.

2

因为/AFC=+=55°（）,

所以=（等量代换）.

所以CP〃AE（）.

九.全等三角形的判定（共2小题）

18.（2022春•徐汇区校级期末）已知△ABC中，AB=BC^AC,作与△ABC只有一条公共边，且与△ABC

全等的三角形，这样的三角形一共能作出个.

19.（2019春•浦东新区期末）公园里有一条“Z"字形道路A3C。，如图所示，其中AB〃CD,在AB,CD,

BC三段路旁各有一只小石凳E,F,M,且BE=CF,M是8c的中点，试说明三只石凳E,F,加恰好

在一条直线上.（提示：可通过证明/6四/=180°）

一十.全等三角形的判定与性质（共26小题）

20.（2021秋•奉贤区校级期末）已知，点尸是直角三角形A3C斜边AB上一动点（不与A,B重合），分别

过A,8向直线”作垂线，垂足分别为E,F,。为斜边A8的中点.

（1）如图1,当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是,QE与QF的数量关系

式;

（2）如图2,当点P在线段A8上不与点。重合时，试判断与QE的数量关系，并给予证明；

（3）如图3,当点P在线段（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给

予证明.

21.（2021春•浦东新区期末）如图，在△ABC和中，AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=90°.

Cl）当点。在AC上时，如图①，线段2。，CE有怎样的数量关系和位置关系？请证明你的猜想；

（2）将图①中的△ADE绕点A顺时针旋转a（0。<a<90°）,如图②，线段B。，CE有怎样的数量关

系和位置关系？请说明理由.

E

22.(2021秋•奉贤区校级期末)如图，在△ABC中，。为的中点，F1为8C上一点，DF//AC,延长ED

至E,且DE=DF,联结AE、AF.

(1)求证：/E=NC；

(2)如果。P平分NAF2,求证：AC±AB.

23.(2021春•静安区期末)如图，在△A8C中，BD=DC,Z1=Z2,

求证：是/BAC的平分线.

D

12

24.（2021春•奉贤区期末）如图，在△ABC中，已知点。、E、尸分别在边8C、AC、AB上，且FD=ED,

BF=CD,/FDE=/B,那么和NC的大小关系如何？为什么？

解:因为//DFB,

即ZFDE+ZEDC=ZB+ZDFB.

又因为NFDE=/B（已知），

所以Z=Z.

'（已知）

<

（已知）

在△QF8和△EDC中，

所以△DFB之△EDC.

因此NB=NC.

25.（2020春•浦东新区期末）阅读并填空:

如图：根据六年级第二学期学过的用直尺、圆规作线段中点的方法，画出了线段AB的中点C,请说明这

种方法正确的理由.

解:连接AE、BE、AF.BF.

在和△BEF中，

EF=EF（）,

=（画弧时所取的半径相等）,

=（画弧时所取的半径相等）.

所以AAEF出ABEF（）.

所以/AEF=NBEF（）.

又AE=BE,

所以AC=BC（）.

即点C是线段AB的中点.

26.（2021春•静安区校级期末）阅读并填空：如图，已知在△ABC中，A8=AC,点。、E在边8c上，且

AD=AE,试说明B£）=CE的理由.

解：因为AB=AC,

所以（等边对等角）.

因为,

所以（等边对等角）.

在△ABE■与△AC£）中，

ZAED=ZADE,

AB^AC

所以△ABEg/XAC。（）

所以（全等三角形对应边相等）,

所以8D=CE（等式性质）.

即BD=CE.

27.（2019春•嘉定区期末）如图，已知AB=A。，NAOC.试判断AC与8。的位置关系，并说明

理由.

28.（2017春•杨浦区校级期末）在等边△ABC的两边A3、AC所在直线上分别有两点M、N,D为AABC

外一点，且/MZ）N=60°,ZBDC=120°,BD=DC.探究：当M、N分别在直线48、AC上移动时，

BM、NC、之间的数量关系及△AMN的周长。与等边△ABC的周长L的关系.

（1）如图1,△ABC是周长为9的等边三角形，则△AMN的周长Q=；

(2)如图2,当点M、N边A8、AC上，且。M=Z)N时,8加、"仁阿之间的数量关系是；

此时旦=；

L

(3)点、M、N在边A8、AC上，且当。WWDN时，猜想(2)问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并

加以证明.

图1图2

29.(2021春•静安区校级期末)如图，AC与8。相交于E,且

(1)请添加一个条件能说明BC=AO,这个条件可以是：或

(2)请你选择(1)中你所添加的一个条件，说明8C=AD的理由.

30.(2021春•静安区校级期末)已知△ABC、△CO。均为等边三角形，点。是△ABC内的一点，且/A08

=110°,ZBOC^a.

(1)如图(1),说明△BOC经△AZJC的理由；

(2)如图(2),当a=150°时，试判断△A。。的形状，并说明理由;

（3）如图（1）,填空：当△A。。为等腰三角形时，a的度数为.（请直接写出答

31.（2021春•浦东新区校级期末）如图，ZDCE=90°,CD=CE,DALAC,EB1AC,垂足分别为点A、

B.

试说明AD+AB=BE.

解：因为DALAC,EB±AC（已知），

所以/A=NEBC=90°（垂直的意义）.

又因为NA+/O+NACZ）=180°（）,

得ND+NAC£）=90°.

因为/Z）CE=90°（已知），

得NBCE+NAC£）=90°,

/.（同角的余角相等）.

（完成以下说理过程）

32.（2020秋•浦东新区校级期末）如图，ABLBC,DCLBC,垂足分别是点8、C,点E是线段8C上一点,

5.AELDE,AE=ED,如果BE=3,AB+BC^11,求48的长.

33.（2021春•静安区校级期末）如图，点8、F、C、E在同一条直线上，BF=EC,AB=DE,AC=DF,说

明的理由.

34.（2021秋•青浦区校级期末）已知：如图，A、E、F、。四点在一直线上，AE=FD,AB//CD,且A8=

CD.

求证：BF//CE.

35.（2022春•徐汇区校级期末）（1）观察理解：如图1,△ABC中，ZACB=90°,AC=BC,直线/过点

C,点A,B在直线/同侧，BD±l,AELI,垂足分别为DE,由此可得：ZAEC^ZCDB=90°,所以

ZCAE+ZACE=90°,又因为NACB=90°,所以/BCZ）+/ACE=90°,所以又因为

AC=BC,所以△AEC04C£)8()；(请填写全等判定的方法)

(2)理解应用：如图2,AE1AB,且AE=4B,BCLCD,且BC=CD,利用(1)中的结论，请按照图

中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积S=；

(3)类比探究：如图3,RtAABC中，ZACB=90°,AC=4,将斜边AB绕点A逆时针旋转90°至

AB',连接8,C,求△AB'C的面积.

(4)拓展提升：如图4,等边△EBC中，EC=BC=3cm,点。在BC上，且0c=2"1,动点尸从点E

沿射线EC以Icmls速度运动，连接OP,将线段OP绕点。逆时针旋转120°得到线段OF.设点P运

动的时间为t秒.

①当f=秒时，OF//ED；

②当片秒时，OELBC；

③当t=秒时，点F恰好落在射线EB上.

36.(2021秋•普陀区期末)已知：如图，在△ABC中,ZC=90°,AC=BC=4,点M是边AC上一动点

(与点A、C不重合)，点N在边的延长线上，且连接MN交边AB于点尸.

(1)求证：MP=NP；

(2)若设AM=x,BP=y,求y与x之间的函数关系式，并写出它的定义域;

(3)当△8PN是等腰三角形时，求AM的长.

37.(2021秋•沙依巴克区校级期末)如图，在△ABC中，为BC边上的中线，E为AC上的一点，BE交

于点R已知AE=EF.求证：AC=BF.

38.(2022秋•奉贤区校级期中)△ABC为等边三角形，。为边上的任意一点.连接CD

(1)在8。的左侧，以8。为一边作等边三角形(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法);

(2)连接AE,试说明：CD=AE.

39.(2022秋•静安区校级期中)如图①，点M为锐角三角形ABC内任意一点，连接AM、BM、CM.以AB

为一边向外作等边三角形△ABE,将绕点8逆时针旋转60°得到BN,连接EN.

(1)求证：AAMB咨AENB；

（2）若AM+BM+CM的值最小，则称点M为△ABC的费马点.若点M为△ABC的费马点，试求此时/

AMB,/BMC、/CMA的度数；

（3）小翔受以上启发，得到一个作锐角三角形费马点的简便方法：如图②，分别以AABC的A3、AC为

一边向外作等边AABE和等边△ACF,连接CE、BF,设交点为则点M即为AABC的费马点.试说

明这种作法的依据.

40.（2022秋•奉贤区校级期中）（1）已知：如图①，△ABC是等边三角形，AD.CE分别平分/BAC、Z

ACB,AD.CE相交于点R猜想：线段所、。尸之间有怎样的数量关系？并证明你的猜想.

（2）已知：如图②，在△ABC中，ZB=60°,AD,CE分别平分NBAC、ZACB,AD、CE1相交于点R

猜想：上述（1）的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.

41.（2021秋•浦东新区期中）如图1,在△ABC中，ZA=120°,NC=20°,8。平分/ABC,交AC于

点D.

A

(1)求证：BD=CD.

(2)如图2,若/54C的角平分线AE交BC于点E,求证：AB+BE^AC.

(3)如图3,若NBAC的外角平分线AE交C8的延长线于点E,则(2)中的结论是否成立？若成立,

给出证明，若不成立，写出正确的结论.

42.(2021秋•台江区期中)如图，在△ABE中，AB=AE,AD=AC,ZBAD^ZEAC,BC、DE交于点O.求

证：

(1)AABC^AAED；

(2)OB=OE.

43.(2017秋•黄浦区期中)已知：如图，在AABC中，若A8=AC,点D是BC上一动点，点E,尸分别在

AC.A3上，且CD=BRBD=CE,则NEL不与/A在数量上有什么关系？请证明你的猜想.

A

44.（2017秋•浦东新区期中）如图点。、£分别在等边△ABC边BC、CA上，且O）=AE,联结A。、BE.

（1）求证：BE=AD；

（2）延长交BE于凡求/8tz）的度数.

45.（2017秋•普陀区期中）如图，在四边形中，AB//CD,/B=/ADC,点£是8c边上的一点,

5.AE^DC.

（1）求证：AABC咨AEAD；

(2)如果A8_LAC,求证：NBAE=2NACB.

一十一.等腰三角形的性质（共7小题）

46.（2019春•浦东新区期末）如图在△ABC中，AB=AC,点。在AC上，＞BD^BC=AD,求NA的度

数.

A

47.（2017秋•浦东新区校级期末）如图所示，已知△ABC中，AB=AC,/54。=30°,AD=AE,求

的度数.

48.（2017春•浦东新区期末）如图，已知。是△ABC的边上一点，AB^AC^BD,AD^CD,求的

度数.

49.（2021春•杨浦区期末）已知在△ABC与△<?£）£1中，AB=CD,ZB=ZD,ZACE=ZB,点、B、C、D

在同一直线上，射线AH、£/分别平分NBAC、ZCED.

(1)如图1,试说明AC=CE的理由;

(2)如图2,当4H、E/交于点G时，设N8=a,ZAGE=^,求0与a的数量关系，并说明理由;

(3)当A”〃E/时，求的度数.

图2

备用图

50.（2021春•青浦区校级期末）如图，在△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,AE是过A的一条直线，且

B,C在AE的两侧，。在A,£之间，BZ）_LAE于。，CE±AEE,求证：BD=DE+CE.

A

51.(2018秋•静安区期中)求证：等腰三角形底边中线上任意一点到两腰的距离相等.

(1)在所给图形的基础上，根据题意画出图形.

(2)根据所画图形写出已知、求证.

(3)写出证明过程.

52.(2022秋•奉贤区校级期中)已知：如图，ZA£)C=90°,DC//AB,BA=BC,AELBC,垂足为点E,

点/为AC的中点.

(1)求证：ZAFB=90°；

(2)求证：△ADBAAEC；

(3)连接。E,试判断DE与BP的位置关系，并证明.

一十二.等腰三角形的判定与性质(共4小题)

53.(2019春•浦东新区期末)已知△ABC中，/A=70°,8尸是NABC的平分线，CP是NACD的平分线.

(1)如图1,求/尸的度数；

(2)过点P作E/〃8c与边45、AC分别交于点E、点/(如图2),判断线段8£、EF、CF之间的数

量关系，并说明理由.

54.(2021春•浦东新区校级期末)如图，在△ABE中，NE4C=NB,点C在8E上，平分NBAC,交

BC于点。，点尸是线段的中点，联结ERNAEF与/。斯相等吗？请说明理