余弦定理课件高一下学期数学人教A版

第六章平面向量及其应用6.4.3.1余弦定理学习任务01掌握余弦定理及其推论（重点）02掌握余弦定理的综合应用（难点）03能应用余弦定理判断三角形的形状（易混点）01探索新知探索新知我们知道，两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（SAS）.这说明，给定两边及其夹角的三角形是唯一确定的.也就是说，三角形的其他边、角都可以用这两边及其夹角来表示.那么，表示的公式是什么？探究：在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，怎样用a，b和C表示c？bca探索新知在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，怎样用a，b和C表示c？

探究

？bca设那么所以①把几何元素用向量表示：②进行恰当的向量运算：③向量式化成几何式：同理可得

探索新知定义余弦定理：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.即思考：还有其他方法证明余弦定理吗？探索新知利用几何法证明：在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c（1）当△ABC为锐角三角形时，如图所示，过顶点C作CD⊥AB于点D，则CD＝bsinA，AD＝bcosA，BD＝AB－AD＝c－bcosA.在Rt△BCD中，由勾股定理得BD²＝CD²＋BD²，即a²＝b²sin²A＋（c－bcosA）²＝b²sin²A＋c²＋b²cos²A－2bccosA，所以a²＝b²＋c²－2bccosA.同理可证b²＝a²＋c²－2accosB，c²＝a²＋b²－2abcosC（2）当△ABC为直角三角形时，同理可证.CADB探索新知利用几何法证明：在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c（3）当△ABC为钝角三角形时，如图所示，过顶点C作AB延长线的垂线CD，垂足为D，则CD＝bsinA，BD＝bcosA－c.在Rt△BCD中，由勾股定理得BC²＝CD²＋BD²，即a²＝b²sin²A＋（bcosA－c）²，即a²＝b²＋c²－2bccosA.同理可证b²＝a²＋c²－2accosB，c²＝a²＋b²－2abcosC同学们也可以尝试用坐标方法证明CDBA探索新知利用坐标法证明：在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c如图，以A为原点，边AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系.则A(0,0)，B(c,0)，C(bcosA，bsinA)，∴BC2＝b2cos2A－2bccosA＋c2＋b2sin2A，即a2＝b2＋c2－2bccosA.同理可证b2＝c2＋a2－2cacosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.探索新知余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系.应用余弦定理，我们可以解决已知三角形的三边确定三角形的角的问题，怎么确定呢？

思考

？

余弦定理的推论已知三条边求任意角（SSS）已知两边及其夹角求第三边（SAS、SSA）探索新知利用余弦定理判断三角形的形状

探索新知利用余弦定理判断三角形的形状

探索新知利用余弦定理判断三角形的形状

探索新知勾股定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系.应用余弦定理，我们可以解决已知三角形的三边确定三角形的角的问题，怎么确定呢？

思考

？

余弦定理是勾股定理的推广，而勾股定理是余弦定理的特例．在△ABC中，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC，若角C＝90°，则cosC＝0，于是c2＝a2＋b2，即勾股定理.一般地，三角形的三个角ABC和它们的对边abc叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫解三角形.探索新知例1在△ABC中，已知b=60cm，c=34cm，A=41°，解这个三角形(角度精确到1°，边长精确到1cm).解：由余弦定理，得由余弦定理的推论，得利用计算器，可得B≈106°.探索新知例2

在△ABC中，a=7，b=8，锐角C满足

求B(精确到1°).解：且C为锐角，由余弦定理，得利用计算器，可得B≈98°.02题型突破题型突破题型一已知两边及一角解三角形

题型突破

由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA得

题型突破

BC＝4或BC＝5余弦定理

AB2＝AC2＋BC2－2·AC·BCcosA

BC2－9BC＋20＝04或5题型突破方法总结已知两边及一角解三角形的两种情况(1)若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第三边的一元二次方程求解．(2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，再用余弦定理和三角形内角和定理求其它角．题型突破题型二

已知三边解三角形

题型突破方法总结先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理的推论(或由求得的第一个角利用正弦定理)求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角．已知三角形三边解三角形的方法题型突破题型三

判断三角形的形状[例3]在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccosB·cosC，试判断△ABC的形状．

题型突破方法总结(1)利用