2023届山东青岛城阳区高三第二次质量检测试题数学试题

2023届山东青岛城阳区高三第二次质量检测试题数学试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.某程序框图如图所示，若输出的S=120,则判断框内为（）

A.k>7?B.左>6?C.k>5?D.%>4?

2.复数的2=-1-2«，为虚数单位）在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的2018年10月份至2019年9月份共12个月的中国制造

业采购经理指数（PMI）如下图所示.则下列结论中错误的是（）

A.12个月的PMI值不低于50%的频率为g

B.12个月的PMI值的平均值低于50%

C.12个月的PMI值的众数为49.4%

D.12个月的PMI值的中位数为50.3%

4.近年来，随着4G网络的普及和智能手机的更新换代，各种方便的。加相继出世，其功能也是五花八门.某大学为

了调查在校大学生使用“加的主要用途，随机抽取了5629()名大学生进行调查，各主要用途与对应人数的结果统计如

图所示，现有如下说法：

①可以估计使用勾斗主要听音乐的大学生人数多于主要看社区、新闻、资讯的大学生人数；

②可以估计不足10%的大学生使用。印主要玩游戏；

③可以估计使用力不主要找人聊天的大学生超过总数的

4

其中正确的个数为()

fS«4O2人裨天

[44<o—新闻、资讯

r-XIX)1]玩游戊

「270.I价视狼、国片

[4胴：听音乐

|7小)1找附近的人

I，珈二]找共同兴趣的人

A.0B.1C.2D.3

5.蒙特卡洛算法是以概率和统计的理论、方法为基础的一种计算方法，将所求解的问题同一定的概率模型相联系；用

均匀投点实现统计模拟和抽样，以获得问题的近似解，故又称统计模拟法或统计实验法.现向一边长为2a的正方形模

型内均匀投点，落入阴影部分的概率为〃，则圆周率,”()

A.4p+2B.4〃+l

C.6-4pD.4p+3

6.已知F,是椭圆C：W+g=l（a＞人＞0）的左、右焦点，过工的直线交椭圆于P,。两点.若

ab

|。入I,IPEI,|3I,|。月|依次构成等差数列，且|P0=|P用,则椭圆C的离心率为

2「V157105

3515

7.阅读下面的程序框图，运行相应的程序，程序运行输出的结果是（）

|〃=0,S=l|

S=SM«+1)

/输出〃e/

A.1.1B.1C.2.9D.2.8

8.已知△ABC的面积是5，AB=1,8C=&，则AC=()

A.5B.逐或1C.5或1D.V5

9.已知集合M={yIy=尸，x>0),N={xIy=lg(2x->)},则MCN为()

A.(1,4-oo)B.(1,2)C.[2,+oo)D.[1,+s)

10.函数/(x)=Asin(a*+0)(其中A>0,o>0,|同〈5)的图象如图，则此函数表达式为()

n(2%+^1K

A./(x)=3si:B./(x)=3sin-X-\——

24

/(九)=3sin(2九一?1n

D./(x)=3sin—x——

24

已知无穷等比数列口｝的公比为2,且四片+看+…+展1、2111、

11.)=-,贝!|hm(——+——+…+——)=()

2n-l3i%%a2n

24

A.B.-C.1D.-

333

12.已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在球0的球面上,PA，平面ABC,AA5C是边长为2道的等边三角形，若球O

的表面积为20〃，则直线PC与平面Q钻所成角的正切值为()

A3y/103万

A.-B.-----C・—y/D.立

4374

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.甲、乙、丙、丁4名大学生参加两个企业的实习，每个企业两人，贝।卜甲、乙两人恰好在同一企业”的概率为.

14.圆心在曲线y=；(x>0,%>0)上的圆中，存在与直线2x+y+1=()相切且面积为5兀的圆，则当A取最大值时，

该圆的标准方程为.

15.在正奇数非减数列｛1,3,3,3,5,5,5,5,5,…｝中，每个正奇数A出现人次.已知存在整数b、c、d,对所有的整数"

满足a,=可077]+d,其中国表示不超过x的最大整数.则b+c+d等于.

15

16.若[(4一¥)公=二，则。=.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知函数=

(1)求函数/(x)在(1J⑴)处的切线方程

(2)设函数g(x)=/(x)-21nx,对于任意xe(0,+8),g(x)>a恒成立，求。的取值范围.

tzsinA-csinC

18.(12分)已知在ABC中，。、从c分别为角4、B、C的对边，且人=

sinsinC

(1)求角A的值；

(2)若。=道，设角3=凡A6C周长为y,求y=73)的最大值.

19.(12分)以平面直角坐标系X。)，的原点。为极点，x轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，

(八lfx=cos2.0

建立极坐标系，已知曲线C1/sin：卜-应，曲线G：.八(。为参数)，求曲线G，G交点的直角坐标・

I[y=s\n0

20.(12分)已知函数/(x)=婷一xlnx+依，/(x)为/*)的导数，函数/'(x)在x=x0处取得最小值.

(1)求证：Inx0+x0=0；

(2)若工.不时，/(X).」恒成立，求。的取值范围.

21.(12分)已知A是抛物线E：V=2px(p>())上的一点，以点A和点8(2,0)为直径两端点的圆C交直线x=l于

N两点.

(1)若|MN|=2,求抛物线E的方程；

(2)若0<pVl,抛物线E与圆(x-5)2+V=9在x轴上方的交点为尸，Q,点G为尸。的中点，O为坐标原点，求直

线OG斜率的取值范围.

„2

22.(10分)设点耳(-G0),6(c,0)分别是椭圆C：T+y2=i(a>i)的左、右焦点，p为椭圆C上任意一点，且

PF}*PF2的最小值为1.

(1)求椭圆。的方程；

(2)如图，动直线/：y=h+〃?与椭圆C有且仅有一个公共点，点N是直线/上的两点，且F2N±l,

求四边形F\MN区面积S的最大值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】

程序在运行过程中各变量值变化如下表：

KS是否继续循环

循环前11

第一圈24是

第二圈311是

第三圈426是

第四圈557是

第五圈6120否

故退出循环的条件应为k>5?

本题选择C选项.

点睛：使用循环结构寻数时，要明确数字的结构特征，决定循环的终止条件与数的结构特征的关系及循

环次数.尤其是统计数时，注意要统计的数的出现次数与循环次数的区别.

2、C

【解析】

所对应的点为(-1,-2)位于第三象限.

【考点定位】本题只考查了复平面的概念，属于简单题.

3、D

【解析】

根据图形中的信息，可得频率、平均值的估计、众数、中位数，从而得到答案.

【详解】

41

对A,从图中数据变化看，尸值不低于50%的月份有4个，所以12个月的尸M/值不低于50%的频率为二=；,

123

故A正确;

对3,由图可以看出，值的平均值低于50%,故8正确；

对C,12个月的PM/值的众数为49.4%,故C正确，；

对。，12个月的PM/值的中位数为49.6%,故。错误

故选：D.

【点睛】

本题考查频率、平均值的估计、众数、中位数计算，考查数据处理能力，属于基础题.

4、C

【解析】

根据利用主要听音乐的人数和使用。勿主要看社区、新闻、资讯的人数作大小比较，可判断①的正误；计算使用

主要玩游戏的大学生所占的比例，可判断②的正误；计算使用。印主要找人聊天的大学生所占的比例，可判断③

的正误.综合得出结论.

【详解】

使用主要听音乐的人数为5380,使用勾不主要看社区、新闻、资讯的人数为4450,所以①正确；

Q13()

使用a印主要玩游戏的人数为8130,而调查的总人数为5629(),——«0.14,故超过10%的大学生使用。印主

56290

要玩游戏，所以②错误；

使用a印主要找人聊天的大学生人数为16540,因为蛇"〉,，所以③正确.

562904

故选：C.

【点睛】

本题考查统计中相关命题真假的判断，计算出相应的频数与频率是关键，考查数据处理能力，属于基础题.

5、A

【解析】

计算出黑色部分的面积与总面积的比，即可得解.

【详解】

,S阴乃〃一2a2zr-2.n

由———=——,.•.乃=4p+2.

S正4a-4

故选：A

【点睛】

本题考查了面积型几何概型的概率的计算，属于基础题.

6、D

【解析】

如图所示，设1。尼1，1段1，12大1，1。片1依次构成等差数列｛q｝，其公差为Q.

4+(4+d)+(4+2d)+(4+3d)=4〃?

根据椭圆定义得4+。2+4+4=4“，又4+电=4，贝小[q+(q+d)=4+2d‘解得"丁’

q=|〃•所以IQ耳l=|〃，IP耳l=ga，|Pg|=1a,|PQI=[a.

(ga)2+(""-(2cf+

在△PK6和明。中，由余弦定理得COSN4「巴=,整理解得

24£2&£

5555

CyJ105|/yt,

e=-=-——•故选D.

a15

7,C

【解析】

根据程序框图的模拟过程，写出每执行一次的运行结果，属于基础题.

【详解】

初始值〃=0,S=1

C11

第一次循环：〃=1,S=1X—=；

22

c12

第二次循环：n=2,S——x一二；

23-3

。13

第三次循环：〃=3,S——x——；

34-4

014

第四次循环：〃=4,S——x--；

45-5

。15}_

第五次循环：〃=5,3——x——

566，

c16j_

第六次循环：〃=6,-：

677

017

第七次循环：“=7,u——X一二=8；

78

。18

第九次循环：〃=8,S=-x—=；

899

c19

第十次循环：〃=9,O——X--=—<0,1；

91010

所以输出S=9xm=0.9.

故选：C

【点睛】

本题考查了循环结构的程序框图的读取以及运行结果，属于基础题.

8、B

【解析】

,**^AABC—-BC-sinB=—,AB=1,BC=夜

..1_V2

••sinB="——

722

①若3为钝角，贝！lcosB=-J,由余弦定理得472=452+5C2—2cos5•43・8C，

2

解得4。=石；

②若8为锐角，贝!|cosB=在，同理得AC=1.

2

故选B.

9,B

【解析】

二=｛二口=二二,二，0｝=｛二|二>5),

二=｛二|二=lg(2Zl-二；)｝=｛二二-二，〉0)

=[~\~:<0].=(~\0<~<：)，

二二。一=C：.

故选B.

10、B

【解析】

由图象的顶点坐标求出A，由周期求出。，通过图象经过点(芳,0),求出9,从而得出函数解析式.

【详解】

5乃3万2TI1

解：由图象知A=3,7=44ATT,则co=—=一

224兀2

图中的点应对应正弦曲线中的点（匹0）,

1]31.〜7T

所以二x二-+0=乃，解得e

224

故函数表达式为/（X）=3sin.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查三角函数图象及性质，三角函数的解析式等基础知识；考查考生的化归与转化思想，数形结合思想，属

于基础题.

11、A

【解析】

依据无穷等比数列求和公式，先求出首项外,再求出的，利用无穷等比数列求和公式即可求出结果。

【详解】

,1,1

因为无穷等比数列伍"的公比为2,则无穷等比数列｛丁｝的公比为/。

1、2

.+----)=三有,冬=2,解得4=2,所以a,=4,

“f②ax%_13

-4

1

lim(—+—+…+——)=J-=-故选A。

«2«4«2„1-13

4

【点睛】

本题主要考查无穷等比数列求和公式的应用。

12、C

【解析】

设。为中点,先证明8平面PAB,得出NCPD为所求角，利用勾股定理计算PA,BD,CQ,得出结论.

【详解】

B

设。E分别是AB,BC的中点AE|CD=F

24,平面ABC:.PA±CD

MBC是等边三角形:.CDA.AB

又P4AB^A

\CC>A平面Q43；.NCPr>为PC与平面Q45所成的角

AABC是边长为26的等边三角形

2

:.CD=AE=3,AF=—AE=2且尸为八钻C所在截面圆的圆心

3

球。的表面积为207，球。的半径。4=石

：.0F=yl0^-AF2=1

24,平面ABC:.PA=2OF=2

PD=yjPA'+AD2=S

本题正确选项：C

【点睛】

本题考查了棱锥与外接球的位置关系问题，关键是能够通过垂直关系得到直线与平面所求角，再利用球心位置来求解

出线段长，属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

1

13、—

3

【解析】

求出所有可能，找出符合可能的情况，代入概率计算公式.

【详解】

解：甲、乙、丙、丁4名大学生参加两个企业的实习，每个企业两人，共有缶=6种，甲乙在同一个公司有两种可能,

21

故概率为P=：=W，

63

故答案为彳.

【点睛】

本题考查古典概型及其概率计算公式，属于基础题

14、(x-l)2+(y-2)2=5

【解析】

由题意可得圆的面积求出圆的半径，由圆心在曲线上，设圆的圆心坐标，到直线的距离等于半径，再由均值不等式可

得k的最大值时圆心的坐标，进而求出圆的标准方程.

【详解】

设圆的半径为「，由题意可得万/=5万，所以r=逐，

k

由题意设圆心c(d—),由题意可得。>0,

a

k

由直线与圆相切可得12"+"+氏,所以|2。+&+1|=5,

忑*a

kIr.—

而左>0,a>0,所以5=2a+—+122/2a-勺+1,即22疡，解得Z<2,

ava

k

所以左的最大值为2,当且仅当2。=—时取等号，可得a=l,

a

所以圆心坐标为：(1,2),半径为逐，

所以圆的标准方程为：Q—Ip+(y—2)2=5.

故答案为：(x—l)2+(y—2)2=5.

【点睛】

本题考查直线与圆的位置关系及均值不等式的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运

算求解能力，求解时注意验正等号成立的条件.

15、2

【解析】

将已知数列分组为(1),(3,3,3),(5,5,5,5,5),…，,

共2k-1个组.

设明在第Z组，a“=2k—l,

则有1+3+5H---b2"3+lW”<l+3+5+…+2Z—1+1,

即(左一1)2+1<“<F+1.

注意到攵〉0,解得册=T<zwJF+i.

所以，z==

因此，a”=21J”-1]+1.

故Z?+c+d=2+(-l)+l=2.

16、2

【解析】

直接利用关系式求出函数的被积函数的原函数，进一步求出。的值.

【详解】

解：若，(。一/心,贝！]

即〃一!=：，所以a=2.

33

故答案为：2.

【点睛】

本题考查的知识要点：定积分的应用，被积函数的原函数的求法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,

属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)y=(2e-2)x-e；(2)a<2-21n2

【解析】

(1)求出了‘(x),r⑴,/⑴，即可求出切线的点斜式方程，整理即可；

(2)。的取值范围满足a<g(x)mm，xe(0,+8),求出g'(x),当xe(0,+8)时求出g'(x)>0,g'(x)<0的解，

得到单调区间，极小值最小值即可.

【详解】

(1)由于1(x)=(1+x)ex-2,/'⑴=2e—2,

此时切点坐标为(l,e-2)

所以切线方程为y=(2e—2)x-e.

(2)由已知g(x)=xe"-2x-21nx,

故g'(x)=(x+l)e*-2(1+-)=(%+l)(e*--).

XX

由于X£(0,+8),故％+1>0,

22

设h(x)=ex—由于/i(x)=炉一一在(0,+8)单调递增

XX

同时X.0时，/l(x)->-OO,x.+oo时，〃(x)->+CQ,

故存在%>0使得。(无o)=O

且当xw(O,Xo)时7?(x)<0,当xe(x(),+8)时/?(x)>0,

所以当犬€(0,朝)时g'(x)<0,当xe(无o，+8)时g'(x)>0,

所以当x=/时，g(x)取得极小值，也是最小值，

故g(X)min=g(X0)=-2(X<)+皿/)

2

x

由于h(x0)=e0---=0=>垢8"=2=>Inx0+x0=In2,

所以g(x)mm=2-21n2,

.,.a<2—21n2.

【点睛】

本题考查导数的几何意义、不等式恒成立问题，应用导数求最值是解题的关键，考查逻辑推理、数学计算能力，属于

中档题.

18、(1)y?(2)=3>/3.

【解析】

7T

(1)利用正弦定理，结合题中条件，可以得到6+。2=/+秘，之后应用余弦定理即可求得4=一；

3

(2)利用正弦定理求得匕=2sin6,求出三角形的周长，利用三角函数的最值求解即可.

【详解】

(1)由已知b="siM_迎C可得/7sii1g-Ainc=asinA—csinC,

sinB-sinC

»222i

结合正弦定理可得h2+c2=a2+bc,AcosA=+'、-。=

2hc2

jr

又Ae(0,;r),：.A

(2)由4=百，A=f及正弦定理得二=—匚=号=2,

3sinnsinCsinA

由0＜e咛,得看＜6+看哼，.•.当6+菅=1,即6=5时，=36.

【点睛】

该题主要考查的是有关解三角形的问题，解题的关键是掌握正余弦定理，属于简单题目.

19、(-1,-1)

【解析】

利用极坐标方程与普通方程、参数方程间的互化公式化简即可.

【详解】

因为夕sin[e+()=—\/2,所以/7sin6+pcose=-2,

所以曲线G的直角坐标方程为x+y+2=0.

x=cos23x=l-2sin20

由＜[y^e，得]

y=sin。

所以曲线G的普通方程为X=l-2y2,ye[_i.l].

x+y+2=0

由，得2y2-y-3=0,

x=\-2y~

3

所以y=-l,%=3(舍)，

所以％=T,

所以曲线C，G的交点坐标为(T，T)・

【点睛】

本题考查极坐标方程与普通方程，参数方程与普通方程间的互化，考查学生的计算能力,是一道容易题.

20、(1)见解析；(2)[l-e,+oo).

【解析】

(1)对/(幻求导，令g(x)="-lnx+a-l,求导研究单调性，分析可得存在1使得g'&)=0,即

e^--=Q9即得证；

(2)分，+x()+。-L.O,'+Xo+〃—l<°两种情况讨论，当，+XO+Q-L0时，转化

玉)王)玉)

/OOmin=/(%)=,+/2+/。利用均值不等式即得证；当J-+与+a—l<0,/(X)有两个不同的零点玉，%2,

*0*0

分析可得/(X)的最小值为/(&)，分。一e,a<l—e讨论即得解.

【详解】

(1)由题意f'(x)=e'-lnx+a-1,

令g(x)=e*-lnx+a-1,贝！|g'(x)=e'，知g'(x)为(0,+s)的增函数，

x

因为g«)=eT>0,g［；)=〃-2<0,

所以，存在使得g'&)=0,即点一；=0.

2

所以，当xw(O"o)时g'(x)<g'&)=0,g(x)为减函数，

当X€&，+00)时g'(X)>g'(「o)=0，g(X)为增函数，

故当x=:，时，g(x)取得最小值，也就是/'(X)取得最小值.

工1八A1

故为=%,于是有e*——=o,即，。=一

X。%

所以有lnXo+x0=O,证毕.

1,

<

（2）由（1）知，1/'。）=6'-111%+。一1的最小值为一+x0+a-1,

X。

1<iA

①当一+/+。-1..0,即〃..1一一十/时，/（X）为［%,+8）的增函数,

“0\xoJ

2

所以/（x）min="/）=e®-/Inxn+xoa^—+x0+xoa,

xo

（II

1211

--+x。+玉）1---FXQ=------FXQ-1,

X。\*0）\X。

11

由(1)中一</<1,得一+%-1>1,即

2\xo>

(1>

故a..1----1-x0满足题意.

、*0>

1f1A

②当一+x0+a-1<0,即a<l——+/时，/(x)有两个不同的零点为，x,,

%(%)

且玉</<々，即/'(w)=e*2—In4+a—1=0=>a=lnw—e*+1,

若%€(%,%2)时/'(%)</'(%2)=0，/(X)为减函数，(*)

若xe(毛,+»)时O)>/'(々)=0,f(x)为增函数，

所以/(幻的最小值为/(9).

注意到/(D=e+a=l时，a=\-e,且此时/'(l)=e+a—l=O,

/

(i)当ail-e时,/(l)=e+a-1..0=f'(x2),

所以0<々„1,BP1-X2>0,

-x11xt2X2

又f(/)=e*2212+刈2=e&-々In/+(lnx2-e+l)x2=(l-x2)e+x2

=(1-X?乂e*-1)+1，

而e&-l>0,所以(1一々乂e*-l)+l〉l，即/(三)>】•

1_(1](1)

由于在一<x()<1下，恒有---Hx0<e,所以1—e<l^玉)1

2r)口)

(五)当a<l-e时，_f(l)=e+a-l<0=/'(/)，

所以々>1>%,

所以由(*)知xe。,9)时，/(x)为减函数，

所以/(x)</(D=e+a<I,不满足"/时，，(尤)..1恒成立,故舍去.

(11

故1—G,。<1------FX0满足条件.

、“0>

综上所述：。的取值范围是口-4+8).

【点睛】

本题考查了函数与导数综合，考查了利用导数研究函数的最值和不等式的恒成立问题，考查了学生综合分析，转化划

归，分类讨论，数学运算能力，属于较难题.

(向

2

21、(1)y=4x.(2)I0,--2-J

【解析】

(1)设A的坐标为A(xo,如)，由题意可得圆心C的坐标，求出C到直线x=l的距离.由半个弦长，圆心到直线的

距离及半径构成直角三角形可得p的值，进而求出抛物线的方程；

(2)将抛物线的方程与圆的方程联立可得韦达定理，进而求出中点G的坐标，再求出直线OG的斜率的表达式，换

元可得斜率的取值范围.

【详解】

%+2%)

(1)设A(%o,jo)且城=2户0,则圆心C(

2，2，

圆C的直径|A8|=J(Xo-2)2+yo2，

圆心C到直线的距离d=|也出—1|=,

x=l尹

2

因为|MN|=2,所以(&»)W=(网)

2,即1+丘=(._2)2+尢2,yoZ=2pXO,

2244

整理可得(2。-4)xo=O,所以p=2,

所以抛物线的方程为：产=44