立体几何（文科）（含解析）2023年高考数学大一轮单元复习

考点08立体几何(文科)【亮点讲】-2023年高

考数学大一轮单元复习课件与检测

知识回顾

一、旋转体和多面体

1.旋转体的形成

几何体旋转图形旋转轴

圆柱矩形任一边所在的直线

圆锥直角三角形任一直角边所在的直线

圆台直角梯形垂直于底边的腰所在的直线

球半圆直径所在的直线

2.多面体的结构特征

恻棱都是平行且相等

上下底面是空的多边形,并且相互平行

高rsy底面站任意空

面是有一个公共点的三角形

山平行于底面的平面截棱锥得到

'人上下底面是幽多边形

3.直观图

(1)画法：常用斜二测画法.

(2)规则：

①在已知图形中建立直角坐标系xOy,画直观图时，它们分别对应乂轴和轴，两轴交于点

0',

使zvoy=45。，它们确定的平面表示水平平面；

②已知图形中平行于X轴或)，轴的线段，在直观图中分别画成平行于乂轴和y轴的线段；

③已知图形中平行于X轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于)，轴的线段，长度为

原来的去

4.三视图

(1)三视图的画法规则：

主、俯视图长对正，主、左视图高平齐；俯、左视图宽相等，前后对应.

(2)画简单组合体的三视图应注意的两个问题：

①首先，确定主视、俯视、左视的方向，同一物体放置的位置不同，所画的三视图可能不

同.

②其次，简单组合体是由哪几个基本几何体组成的，并注意它们的组成方式，特别是它们的

交线位置.

典例1、如图，某几何体的主视图与左视图都是边长为1的正方形，且体积为最则该几

D

解析：C[由该几何体的主视图和左视图可知该几何体是柱体，且其高为1,由其体积是

可知该几何体的底面积是去由选项图知A的面积是I,B的面积是力C的面积是:，D的

面积是全故选C.]

二、空间图形的基本关系与公理

1.空间图形的公理

(1)公理1：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面).

(2)公理2：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内(即直线在平

面内).

(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共

直线.

(4)公理4：平行于同一条直线的两条直线平行.

2.空间中两直线的位置关系

(1)空间中两直线的位置关系

相交直线

共面直线

平行直线

I异面直线：不同在任何一个平面内

(2)异面直线所成的角

①定义：过空间任意一点P分别引两条异面直线a,h的平行线/”l^a//l\,b//li),这

两条相交直线所成的锐角（或直角）就是异面直线a,b所成的角.

②范围：（0,寻.

（3）定理（等角定理）

空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

3.空间中直线与平面、平面与平面的位置关系

（1）空间中直线与平面的位置关系

位置关系图形表示符号表示公共点

有无数个公共

直线a在平面a内za/

点

___a

直线a与平面a平

a//a没有公共点

行

直线在直线a与平面a斜

aC\a=A

平面外交有且只有一个

直线a与平面a垂1°___公共点

_ya.La

直

（2）空间中两个平面的位置关系

位置关系图形表示符号表示公共点

两平面平行a//p没有公共点

3/

斜交aC\6=l

两平面

有一条公共直线

相交

aa工B且

垂直L___«___7

%/a(yp=a

典例2、如图是正方体或四面体，P,Q,R,S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一

个图是（）

ss

ABCD

D1根据异面直线的判定定理，选项D中PS与。氏是异面直线，则四点P,Q,R,S不共

面.故选D.]

三、线面平行

1.线面平行的判定定理和性质定理

文字语言图形语言符号语言

平面外一条直线与此平面内的一条直线

L

r・1//Cl,。呈

判定定理平行，则该直线与此平面平行（简记为“线

4Q,/.///a

线平行=线面平行”）/__7

一条直线与一个平面平行，则过这条直

,,：l//a,身B，

性质定理线的任一平面与此平面的交线与该直线平

aC\B=b,：.l//b

行（简记为“线面平行=线线平行”）

2.面面平行的判定定理和性质定理

文字语言图形语言符号语言

一个平面内的两条相交直线与•:a〃B,b///i,

判定定另一个平面平行，则这两个平面aC\b=P,

理平行（简记为“线面平行=面面平%@正4

行”）：.a//p

如果两个平行平面同时和第三

性质定aDy=a

个平面相交，那么它们的交线平f

理

行

：.a//h

典例3、在正方体ABCD-AIBIGG中，下列结论正确的是（填序号）.

①AOi〃BG;②平面ABIDI〃平面BDG；③AD/OG；④AA〃平面8DG.

答案：①②④

解析：[如图，因为所以四边形AAG5为平行四边形.故Ad〃BG,从而①正

确；易证8£)〃8Qi,AB\//DC\,

又48m8。|=历，BDCDG=D,故平面48。〃平面8DG,从而②正确;

由图易知ADi与DCi异面，故③错误；

因为AOi〃BG,49C平面BOG,8G窄平面BDG,所以AOi〃平面BQG，故④正确.]

四、线面垂直

1.直线与平面垂直

(1)定义：如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂

直.

(2)定理

文字语言图形语言符号语言

a'=p-a

如果一条直线和一个平1

判定定面内的两条相交直线都垂祢力干〃

理直，那么该直线与此平面l-La

l-Lb

乖宜

aC\b=A>

如果两条直线同垂直于ab

性质a.La]

一个平面，那么这两条直\^a//b

定理b-La)

线平行7

2.二面角

(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角.这条直线叫作二面角

的棱，这两个半平面叫作二面角的面.

(2)二面角的度量——二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内

分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角.平面角是直角的二面

角叫作直二面角.

3.平面与平面垂直

(1)定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.

(2)定理

文字语言图形语言符号语言

如果一个平面经过另一

判定定l-La

个平面的一条垂线，那么ID

理/笔4

这两个平面互相垂直

a邛、

两个平面垂直，则一个

性质鬲

平面内垂直于交线的直线1_La

定理aC\p=a

与另一个平面垂直ZE7

l-La>

典例4、下列命题中错误的是（）

A.如果平面a，平面成，那么平面a内所有直线都垂直于平面夕

B.如果平面a,平面夕，那么平面a内一定存在直线平行于平面£

C.如果平面a不垂直于平面£,那么平面a内一定不存在直线垂直于平面夕

D.如果平面a_L平面y,平面夕_1_平面y,aC\p=l,那么/_Ly

答案：A解析：［两个平面垂直，一个平面内只有垂直于交线的直线才垂直于另一个平

面，故A错误.选A」

五、空间几何体的表面积与体积

1.多面体的表（侧）面积

因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积

是侧面积与底面面积之和.

2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

圆柱圆锥圆台

二、

\

云/②rn；；

侧面展开图

k二3”

侧面积公式S殖偏=2加7S同推恻=兀〃S阳台侧=兀（力+冷）/

P=r，=0

三者关系

S回柱侧2nrl------->S网台恻兀（r+/）/------>S削推网nrl

3.柱、锥、台和球的表面积和体积

名称

表面积体积

几何

柱体（棱柱和圆柱）S表面枳=S储+2s底V=Sh

V^Sh

锥体（棱锥和圆锥）S表面枳=Sfti+S底

；（上卜下）

台体(棱台和圆台)S表面积=S例+S匕+S下V=S+S+V5rS/?

4

球S=4nR2

［常用结论］

1.正四面体的表面积与体积

棱长为a的正四面体，其表面积为体积为哈加

2.几个与球有关的切、接常用结论

(1)正方体的棱长为“，球的半径为R,

①若球为正方体的外接球，则2R=ga；

②若球为正方体的内切球，则2R=a；

③若球与正方体的各棱相切，则2R=Sa.

(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a,h,c,外接球的半径为R,则2R=

、行+加+/

(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3：1,棱长为a的正四面体，其内切球半径

Rm=^a,外接球半径R外=苗&

典例5、如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积

与剩下的几何体体积的比为.

答案：1：47［设长方体的相邻三条棱长分别为a,b,c,它截出棱锥的体积为Vi=1xV

ax、bxgc=±abc,剩下的几何体的体积Vi=abc—^-abc=~~abc,所以VI:V?=I:47.］

22484848

强化训练

一、单选题

1.正四棱台的上、下底面边长分别为1cm,女m,侧棱长为&cm，则棱台的侧面积为()

A.4cm2B.8cm2C.46cm之D.SA/SCITI2

2.设a,b是两条不同的直线，夕是两个不同的平面，给出下列命题:

①若a1b,aua,bu0,则a_L£

②若。〃民aua力u£,贝ija〃占

③若a〃/yMuo,/?JL£,则。

④若a〃b,a±a,b1.B,则a//P

其中为真命题的是（）

A.①②B.②③C.③④D.①④

3.正方体A6C£>-ABCa中，点”在棱QR上，过点C作平面8MG的平行平面a,记平面

。与平面8CGS的交线为/,则AC与/所成角的大小为（）

TCn

A.Bc.-D.

6'77

4.如图，正方体A8CQ-45G"中，若E,F,G分别是棱A£>,GC,的中点，则

下列结论中正确的是（）

A.BE_L平面。FGB.4卢〃平面£>FG

C.CE//平面。尸GD.平面AEB〃平面/»G

5.以下结论中错误的是（）

A.经过不共面的四点的球有且仅有一个B.平行六面体的每个面都是平行四边形

C.正棱柱的每条侧棱均与上下底面垂直D.棱台的每条侧棱均与上下底面不垂直

6.已知四棱锥的底面是边长为血的正方形，侧棱长均为6.若圆柱的一个底面的圆周经过

四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为（）

7171

7B.7C忖D.兀

7.如图是一个长方体的展开图，如果将它还原为长方体，那么线段A8与线段CD所在的直线

A.平行B.相交C.是异面直线D.可能相交，也可能是

异面直线

8.如图为一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（）

1214

A.§B.-C.-D.]

9.如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体

1（）.“圆柱容球”是指圆柱形容器里放了一个球，且球与圆柱的侧面及上、下底面均相切，则该

圆柱的体积与球的体积之比为（）

-3n

A.2B.-C.Vr3D.―

二、填空题

11.如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的外

接球的表面积为.

3

12.已知圆锥的顶点为P,母线B4,依所成角的余弦值为:，以与圆锥底面所成角为60。，

4

若△P43的面积为近，则该圆锥的体积为.

13.某圆柱的侧面展开图是面积为8的正方形，则该圆柱一个底面的面积为.

14.如图，在棱长为2的正方体A8CD-A4Gq中，E是侧面88CC内的一个动点，则三棱锥

D-AEDt的体积为.

三、解答题

15.如图，在三棱锥P-ABC中，底面A8C是直角三角形，AC=BC=2,PB=PC,D为AB

的中点.

(1)证明：BCYPD-.(2)若%=3,PB=&求点A到平面POC的距离.

16.如图1,菱形A8CQ中，NA=60。，48=4,于E,将../1ED沿OE翻折到

_AED,使AE_LBE,如图2.

图2

(1)求三棱锥C-48。的体积;

DF

(2)在线段川。上是否存在一点尸,使EF〃平面ABC?若存在,求百的值；若不存在,说明

理由.

B

17.如图，在三棱锥P-ABC中，底面A8C是直角三角形，AC=BC=2,PB=PC,。为AB的中点.

(1)证明：BCYPD-.

(2)若ACLPB,PA=3,求直线PA与平面PBC所成的角的正弦值.

参考答案：

1.B

【解析】

【分析】

先求棱台的斜高，然后利用侧面积公式进行求解.

【详解】

由题意，正四棱台的侧面是等腰梯形，且其上、卜底面边长分别为1cm,3cm,腰长为JEcm，

所以斜高为〃

所以侧面积为S=—(1+3)x1x4=8(cm2).

故选：B.

2.C

【解析】

【分析】

根据空间直线与直线、直线与平面、平而与平而的位置关系及判定定理依次判断各项正误.

【详解】

解：①中，a1b,aua,bu/3,则平面a与平面夕可能平行，可能相交也可能垂直，故①错

误；

②中，a〃⑶aua/u/7,直线。与直.线b可能平行，异面或者垂宜，故②错误；

③中，a"B，aua,b，p,则8_La,故。_1,力，故③正确；

④中，a〃b,a1a,b，。，则a〃/,故④正确.

故选：C.

3.D

【解析】

【分析】

根据题意可知平面a与平面BCGA的交线为,，与平面BMG与平面BCGBI的交线平行，即求

解平面8MG与平面8CG4的交线与所成角的大小即可.

【详解】

因为平面BMCJ/平面a,平面BMGc平面BCGS=BG，平面a平面BCC国=/,则

BC,//I.

在正方体中，易证BC,J.平面A4C。，故BC/AC,所以AC，/,即A。与/所成角的大小

故选:D.

【解析】

【分析】

根据线面位置关系分别判断.

【详解】

由ABCD-A4GA为正方体，且尸，G分别是棱CC，4G的中点，则尸G〃A。，则平面

ZJFG即为平面AOFG,

A选项，如图连接RG,由正方体可知RG//BE,又Z)Q_LAG不成立，所以不成

立，即A选项错误：

B选项，由AEI平面=故AE与平面AQFG不平行，B选项错误：

C选项，连接CE,则CE〃A£,又AGu平面AQFG,CE^^DFG,所以CE〃平面

\DFG,C选项正确；

D选项，平面AEB与平面ADFG有公共点A，故D选项错误；

故选：C.

5.D

【解析】

【分析】

由空间几何体的概念对选项逐一判断

【详解】

对于A,经过不共面的四点的球，即为该四面体的外接球，有且仅有一个，故A正确，

对于B,平行六面体的每个面都是平行四边形，故B正确，

对于C,正棱柱的每条侧棱均与上下底面垂直，故C正确，

对于D,棱台的每条侧棱延长线交于一点，侧棱中有可能与底面垂直，故D错误，

故选:D

6.A

【解析】

【分析】

求出圆柱的底而半径和高即得解.

【详解】

解：由题意四棱锥的底面是边长为夜的正方形，侧棱长均为石，所以四棱锥的高为

若圆柱的一个底面的周圆经过四棱锥四条侧棱的中点，圆柱的底面半径为一个底面的圆心

为四棱锥底面的中心，故圆柱的高为1,

故圆柱的体积为万xgjxj".

故选：A.

7.C

【解析】

【分析】

将展开图还原成长方体，即可判断

【详解】

如图，将展开图还原成长方体，易得线段AB与线段C。是异面直线，

.zDS7

故选：c

8.B

【解析】

【分析】

根据三视图可得几何体是有一条侧棱垂直底而的三棱锥，计算体积即可得到答案;

【详解】

*B

根据三视图可得几何体是有一条侧棱垂直底面的三棱锥，

1112

所以K=qS械」g=,'（5乂以2），2=彳,

故选：B

9.B

【解析】

【分析】

先依据三视图得到该几何体的直观图，再去求其体积即可

【详解】

根据题意，几何体是一个如图所示的三棱锥，

且三棱锥的高〃=2,底面积S=^x4x3=6,

故该三棱锥的体积为V=-Sh=-x6x2=4.

33

故选：B

10.B

【解析】

【分析】

由题意得：圆柱的高及底面圆的直径为球的直径，设出球的半径，求出圆柱的体积与球的体

积，进而求出圆柱的体积与球的体积之比.

【详解】

由题意得：圆柱的高及底面圆的直径为球的直径，

设球的半径为R,

4a

则圆柱的体积为：-2R=2R、,球的体积为§兀R,

2R—_3

所以圆柱的体积与球的体积之比为［£=5故选：B

—7TA

3

11.48乃

【解析】

【分析】

该几何体的直观图是四面体ABCQ,将其放入正方体，其外接球即为该正方体的外接球，求出

正方体外接球的半径即可求出外接球的表面积.

【详解】

该几何体的直观图是下图中的四面体ABCD,AB=AD=4.BD=BC=CD=4啦,AC=，

其外接球即为该正方体的外接球，直径为2R=4B，即R=20

故外接球表面积为S=4万玄=48万.

B

故答案为：48%.

□276

12.----71

3

【解析】

【分析】

可设底面半径为小作出示意图，根据已知关系求出圆锥的底面半径『和高，求得圆锥的体积.

【详解】

作示意图如图所示，设底面半径为厂，P4与圆锥底面所成角为60。，则N%0=60。，

则2。=百匕尸4=/>8=2/，乂小，产8所成角的余弦值为(，则sinNAPB=Jl-(|)2=2^

则Sz^8=1P4PB-sinNAPB='.2L2r•且=近，解得r=夜，

224

故圆锥的体积为，半》.故答案为：乎万

【点睛】

本题线面角的概念，三角形的面积公式和圆锥的体公式，属于容易题.

2

13.一

不

【解析】

【分析】

根据圆柱的侧面展开图可知底面圆的周长等于正方形的边长，即可求出底面圆的半径，进而可

求面积.

【详解】

因为圆柱的侧面展开图是面积为8的正方形，所以该圆柱的底面圆的周长为其侧面展开图正方

形的边长2日，该圆柱底面圆半径为立，故该圆柱一个底面的而枳S==兀、［变］=-.

兀I7T)71

2

故答案为：一

兀

4

，4,3

【解析】

【分析】

根据三棱锥的体积公式可求出结果.

【详解】

1114

点E到平面ADD的距离为2,所以％一回="3=-SA4DM-2=-X-X2X2X2--.

4

故答案为：y.

4

5(1)证明见解析⑵§

【解析】

【分析】

(1)取BC中点E,连接PE,DE,由直角三角形和中位线的性质可得DEJ_8C,利用等腰

三角形的性质可得正，BC,即可证明；

(2)利用等体积法求点到平面距离，连接A£,CD,先求得二棱锥P-ABC的体积，再由。

为AB中点，可得匕-ACD=g彩-ABC，根据％求出APCD的面积后，即可求解.

(1)证明：取BC中点E,连接产£,DE,

因为底面ABC是直角三角形，AC=BC,所以4CB=90。，

因为。为A8的中点，所以。E//AC,所以。EJ_BC,

又PB=PC,所以PELBC,

因为PE,DEu平面PDE,PE[}DE=E,所以BC_L平面P£)E,

因为PQu平面？£>E,所以BC_LPO.

(2)连接AE,CD,

由(1),因为PE_LBC,CE=^BC=\,PC=PB=5所以PE=《PC。-CE?=2,

因为AC_LBC,所以AE=jAC2+C£：2=石,

又E4=3,所以PE2+AE2=PA2,即AE_LPE,

因为PE_LBC,BCAE=E,BC,AEu平面ABC,

所以依_1_平面43。，

]114

所以/-，必=15.12£=5,5,2*2><2=5，

12

因为。是AB的中点，所以匕fCP=/匕>-ABC=§，

因为直角三角形ABC,所以CQ=；AB=1x20=J^,

因为庄JL平面ABC,OEu平面ABC,所以PE_LOE,

又£>E=gAc=i,所以