2023-2024学年浙江省杭州市一年级上册期末数学模拟试题

2023-2024学年浙江省杭州市一上册期末数学模拟试题

一、单选题

1.对于全集U的子集N,若M是N的真子集，则下列集合中必为空集的是（）.

A.（QJW）cNB.M（«N）C.（胭）c（MD.MCN

【正确答案】B

【分析】根据题目给出的全集是U,M,N是全集的子集，M是N的真子集画出集合图

形，由图形表示出三个集合间的关系，从而看出是空集的选项.

【详解】解：集合U,M,N的关系如图，

_________U

\CM）

由图形看出，只有是空集.

故选：B.

本题考查了交、并、补集的混合运算，是基础题.本题解题的关键在于根据题意，给出集合

的图形表示法，数形结合解.

2.下列命题为真命题的是（）

A.VxeR,x2+3<0B.VxeN,x2>1

C.3xeZ,x5<1D.3X€Q,X2=5

【正确答案】C

【分析】根据全称量词命题和特称量词命题的定义判断.

【详解】对于A,因为YwO,所以VxeR,x2+3W3,A错误；

对于B,当x=0时，，x2<1,B错误；

对于C,当x=0时，x5<l,C正确；

由好=5可得x=土百均为无理数，故D错误，

故选:c.

x2-2x,%,0,

3.若函数/(x)=则孔/(-2)]=()

log2HX>0,

A.-2B.2C.-3D.3

【正确答案】D

【分析】首先计算/(-2),再计算/[/(-2)]的值.

2

【详解】/(-2)=(-2)-2X(-2)=8,,/[/(-2)]=/(8)=log28=3.

故选：D.

4.若函数/(X)为奇函数，且当x>O0寸，/(x)=log2x-x,则/(-8)=()

A.-5B.-6C.5D.6

【正确答案】C

【分析】根据奇函数的定义和对数运算求解.

【详解】因为函数Ax)为奇函数，所以〃-8)=-反(8)=-(1呜8-8)=5,

故选:C.

【分析】由函数的奇偶性，可排除B；由/(2)>1时，可排除选项CD,可得出正确答案

【详解】/(-x)=^p=-/(%),所以函数y=f(x)是奇函数，排除选项B,

■>-2

又〃2）=襄二>1,排除选项CD,

故选：A

6.双碳，即碳达峰与碳中和的简称，2020年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，2060

年实现“碳中和”.为了实现这一目标，中国加大了电动汽车的研究与推广，到2060年，纯电

动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%,新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机

遇.Peukert于1898年提出蓄电池的容量C（单位：Ah）,放电时间，（单位：h）与放电

电流/（单位：A）之间关系的经验公式C=其中”二”名士2为Peukert常数.在电池容

2

量不变的条件下，当放电电流/=10A时，放电时间f=56h,则当放电电流/=15A时，放电

时间为（）

A.28hB.28.5hC.29hD.29.5h

【正确答案】A

【分析】根据题意求出蓄电池的容量C,再把/=15A代入，结合指数与对数的运算性质即

可得解.

【详解】由c=/%），得/=10时，"56,即io片156=C；

JIt-L2log?2log,2

1C5

/=]｝时，c=15i.,；..JO5.56-15-t

吗2CY吗21

2562

I-I-=111-56=2-'-56=-X56=28.

故选：A.

二、多选题

7.已知函数〃x）=cos（x+（）,若〃x）在[0,。]上的值域是,则实数。的可能取值

为（）

A.2B.2C.网D.史

3333

【正确答案】BC

【分析】根据已知求出〃的范围即可.

【详解】〃x）=cos（x+。），因为xe[0,a],所以x++y

1jrSjT

又因为〃x)的值域是-1，5,所以q+乃，7

可知。的取值范围是.

故选：BC.

三、单选题

8.已知定义在R上的函数/(x),g(x),其中函数满足x)=〃x)且在［0,+8)上单

调递减，函数g(x)满足g(l-x)=g(l+x)且在(1.+8)上单调递减，设函数

尸(x)=g［f(x)+g(x)+|/(x)-g(x)|］，则对任意xeR,均有()

A.F(l-x)>F(l+x)B.F(l-x)<F(l+x)

C.F(1-X2)>F(14-X2)D.F(1-X2)<F(1+X2)

【正确答案】c

【分析】根据已知关系式和单调性可知〃X)为偶函数且在(Y>,0］上单调递增，g(x)关于

x=l对称且在(FU)上单调递增；分段讨论可得尸(x)解析式；分别在〃x)4g(x)恒成立、

/(x)2g(x)恒成立和二者均存在的情况下，根据函数图象可确定函数值的大小关系，从而

得到结果.

【详解】/(-x)=/(x)\/(x)为偶函数

又“X)在［0,+⑹上单调递减\/(x)在(3,0］上单调递增

g(l-x)=g(l+x)，g(x)关于X=1对称

又g(X)在(1，+8)上单调递减g(x)在(ro,l)上单调递增

当/(x)2g(x)时,F(x)=；［/(x)+g(x)+/(x)-g(x)］=f(x)

当了(X)4g(x)时，F(x)=(x)+g(x)+g(x)-./(x)］=g(x)

①若〃x)4g(x)恒成立,则尸(x)=g(x),可知尸(x)关于x=l对称

又1一工与1+X关于X=1对称；1--与1+工2关于x=l对称

...尸(1—x)=F(l+x),F(1-X2)=F(1+X2)

②若/(x)2g(x)恒成立,则尸(r)=/(x),可知尸(x)关于y轴对称

当卜司理+可时，F(l-x)<F(l+x)；当|1-洞1+司时,F(l-x)>F(l+x)

可排除AB

当1一/20,即时，0<l-x2<l+x2/.F(1-X2)>F(1+X2)

当1-^40,即炉时，/1-巧=尸任一1)2*1+/)

.・.若*x)=/(x),则尸(1—》2)2网］+》2),可排除O

③若“X)2g(x)与/(x)<g(x)均存在，则可得尸(x)示意图如下：

「1一万2与1+/关于》=1对称且1一/<1+/，F(1—/)2尸0+/)

综上所述：F(1-X2)>F(1+X2)

故选C

本题考查函数性质的综合应用，涉及到函数奇偶性和单调性的关系、函数对称性的应用、分

段函数图象的应用等知识；关键是能够通过分类讨论得到不同情况下函数的解析式，进而确

定函数的大致图象，根据单调性和对称性得到函数值的大小关系.

四、多选题

9.下面命题正确的是()

A.若。力eR,则是"lna>lnb”的充要条件

B.“a<0”是“一元二次方程以2+公+0=()有一正一负两个实数根''的充要条件

C.设x,yeR,则“x+y>4”是“xN2且>22”的充分不必要条件

D."0<e<是"0<Sine<3”的充分不必要条件

32

【正确答案】BD

【分析】AC选项，可举出反例；B选项，根据根的判别式及韦达定理得到ac<0,B正确;

D选项，先得到充分性成立，再举出反例得到必要性不成立，D正确.

【详解】A选项，若。=1,。=0,满足2">2,，但Inb无意义，故A错误；

A=/?2-4ac>0

B选项，当,c时，即acvO时，一元二次方程ox?+云+c=。有一正一负两个

-<0

a

实数根，

故“acvO”是“一元二次方程/+bx+c=O有一正一负两个实数根”的充要条件，B正确;

C选项，若x=l,y=5,满足x+)>4,但不满足xN2且>22,故充分性不成立，C错误;

D选项，0<。<三时，因为丫=$皿*在„上单调递增，故0<sin，〈乎，充分性成立，

当§<兀时，也满足0<sin0<3,故必要性不成立，D正确.

32

故选：BD

10.已知tana=3,则()

A3710._3

A.sinoc=-------DB.sin02a——

105

c4(n\1

C.cos2a=——D.tan—+a=——

512)3

【正确答案】BC

【分析】A选项，利用同角三角函数关系，求出正弦值；BC选项，利用倍角公式，化弦为

切，代入求值；D选项，利用诱导公式计算即可.

【详解】A选项，因为tana=3,所以2吧=3,即cosa=半，

cosa3

因为sin2a+cos2a=l,所以""由.,解得sina=±±叵^A错误;

910

c3y•cc•2sin(2cosa2tana63c十5

B选项，sin2a=2sin«cosa=——z--------------=——-------==-,B正确；

sin"a+cosatana+19+15

cos2a-sin2a1-tan2a1-94

c选项，cos2a=cos2a-sin2a=c正确;

sin2a+cos2atan2a+19+15

sin[四+a]

(n)(2)cosa_1=；,D错误.

D选项,tan—+a=

【2J3(5+力\sinatana

故选：BC

11.己知函数/(X)=Asin((yx+e)(A>O,(y>OJsl<1^的部分图象如图所示，贝ij()

A.f(x)的最小正周期为万

B.小+看)为偶函数

C./(x)在区间0,--内的最小值为1

_4_

2乃

D./(x)的图象关于直线》=-『对称

【正确答案】AC

【分析】由图知，F(x)的最小正周期为7=不，结论A正确；

求出f(x)=2sin(2x+3从而小+T=2sin(2x+葡不是偶函数，结论B错误；

因为/(0)=百，/fl，则/(X)在区间°，(内的最小值为1，结论C正确；

因为x=-言为f(x)的零点，不是最值点，结论D错误.

【详解】解：由图知，f(x)的最小正周期为7=4*(得-5)=万，结论A正确；

因为。=半=2,A=2,则/(x)=2sin(2x+s).因为x=。为f(x)在(0,+oo)内的最小零点,

则2xg+e=7,得夕=2,所以/(x)=2sin12x+q)从而

小+5)=2sin2(x+£j+g=2sin(2x+芝|不是偶函数，结论B错误；

因为,f(0)=2si吟=5/^=2sin^+^=2cos|=l,结合图像可得/(x)在区间

TT

0,内的最小值为1,结论C正确；

74

因为/(-K)=2sin(-9+?)=2sin(-%)=0,贝陵=-与为/㈤的零点，不是最值点，结

论D错误.

故选：AC.

12.已知函数若关于x的方程［f(x)＞(2_间〃力+1_/0恰有

I乙I人,人1

5个不同的实数解，则下列说法正确的是()

A.机=0时方程有两个不相等的实数解

B.相＞0时方程至少有3个不相等的实数解

C.机＜0时方程至少有3个不相等的实数解

D.若方程恰有5个不相等的实数解，则实数加的取值集合为(-3,-1)

【正确答案】ACD

【分析】根据函数解析式，作出函数图象，利用函数与方程的关系，将问题转化为两个函数

求交点问题，结合数形结合的思想，可得答案.

【详解】作出函数f(x)的大致图象，如图所示，

令f=/(x)，则［/(同了一(2-加)/(力+1-加=0可化为

t2-(2-m)r+l-7?2=(z-l+7??)(r-l)=O,

则4=1或则关于X的方程［〃X)T-(2-，/)〃X)+1-"0的实数解等价于

，=/(力的图象与直线，=*的交点个数，

对于A,当加=0时，则乙=4=1,此时卜(X)丁-2/(x)+l=0有两个不相等的实数解，故A

正确;

对于B,机＞0时，取加=2,则匕=1或，2=-1，因为f(x)的值域为［0,+8),故方程只有2

个不相等的实数解，故B错误；

对于c,〃?＜0时，，2=1-机＞1，丁=与与函数图象至少有1个交点，故c正确；

对于D,若关于x的方程［/(》)］2-(27")〃切+1-%=0恰有5个不同的实数解等价于

f=〃x)的图象与直线,r=G的交点个数之和为5个，由图可得函数f=〃x)的图象与

直线，=4的交点个数为2,所以，=/(x)的图象与直线r=4的交点个数为3个，即此时

2＜1-zn＜4,解得-3＜加＜-1,故D正确，

故选：ACD.

对于根据方程解的个数求参数的题目，常常利用函数与方程的关系，结合数形结合的思想,

解决问题.

五、填空题

13.已知函数/(x)=£尹+sinx是定义域上的奇函数，则a=.

2—1

【正确答案】I

【分析】根据奇函数的定义运算求解.

【详解】,函数/(x)=—~^+sinx,x#0是定义域上的奇函数,

贝/(X)+/(T)=0，即+sinx++sin(—x)=0,

T+al+a-2,2'+。

则+sinx+-sinx=0,即=1-a=0，

2X-11-2X2r-l2x-\

a=\.

故1.

14.已知sin(a-t)=；,则cos(2a-；

【正确答案】I##0.5

【分析】利用二倍角的余弦公式计算可得结果.

故答案为匚

15.已知a>0,6>0,且必=1,则上的最小值为_______.

a2b

【正确答案】6

【分析】由基本不等式即可求解.

【详解】由必=1得工=6,所以2+'=8+」-22、鼠5=&,当且仅当6=，7,即。=变

aa2b2b\2b2b2

时取等号，所以,+上的最小值为近，

a2b

故也

16.己知函数/*)=,_3/+以_〃+2|有三个零点，且y=〃x)的图像关于直线x=b对称,

则a+b的取值范围为.

【正确答案】(—,4)

【分析】/(x)=|x3-3x2+ax-a+2|=|(x-l),+(a-3)(x-1)|,则有/(-x+1)=/(x+1),即可求得

b=\,再由f(x)=|(x-l)3+(a-3)(x-l)H(xT)(f-2》-2+“)|,可得万2-2x-2+a=0有2

个根且都不等于1,利用判别式可得。<3,即可求解.

【详解】./'(X)=I%3-3x2+ax-a+2|=|(x-1)5+(a-3)(x-1)|,

则/(x+l)=W+(a-3)x|,定义域为R,

f(.-x+1)=|(-X)3+(a-3)-(-x)IHX3+(a-3)x|=/(x+1),

所以y=〃力的图像关于直线x=l对称，所以6=1,

/(x)=|(x—I)，+(a-3)(x-l)|=IU-D(x2-2x-2+a)l,

显然X=1为函数/(x)的一个零点，

故£-2x-2+a=0有2个不相等的根，且都不等于1,

A=4-4(a-2)>0

所以解得a<3,

-3+。工0

所以a+6<4,

故答案为：(9,4).

六、解答题

17.(1)VxeR,x2+ar+2a-3>0,求实数a的取值范围；

(2)3xeR,x2+ar+2«-3<0,求实数a的取值范围.

【正确答案】(1)2<a<6;(2)a<2或a>6.

【分析】根据二次函数和一元二次不等式的关系结合全称量词命题、特称量词命题的定义求

解.

【详解】(1)因为WxeR,x?+ar+2a-3>0,

所以A=a2-4(2a-3)<0,BPa2-8a+12<0.

解得2<a<6.

(2)B^l3xGR,x2+ax+2a-3<0,

所以△=-4(2〃-3)>0,BPa2-Sa+12>0,

解得a<2或a>6.

18.已知函数+且。21).

(1)讨论函数F(x)的奇偶性；

⑵当0<a<1时，判断了(X)在(0,+8)的单调性并加以证明；

(3)解关于x的不等式/(%)>/(2x).

【正确答案】(1)奇函数

(2)增函数，证明见解析

⑶当0<"1时，解集为(-8,0),当”>1时，解集为(0,+8).

【分析】(1)根据奇函数的定义证明；

(2)根基单调性的定义证明；

(3)利用单调性和奇偶性解不等式.

【详解】(1)由优一1/0可得xxO,所以，(x)的定义域为(-e,0)U(0,E),

、11ax+\j_ax+\

又因为/(、)=/口+5=酒二7'i'ax-\

所以•定H•普T・沼=-g

所以函数/(X)为奇函数.

(2)判断：/5)在(0,+8)的单调递增，证明如下,

Vxpx26(0,+8),当<x2,

/(x,)-/(x)=/(%)=

2ax'-\a口一(。”_])("金_])'

因为玉<々，所以小<优1,

且.a"<1,优,<1,。*一1<0,。七_]<o,

所以(优二精二1)<°,所以八为)<)，

所以fW在(0,+OO)的单调递增.

(3)由(2)可知，当0<。<1时，/(x)在(0,”)的单调递增，

且函数f(x)为奇函数，所以f3在(-8,0)的单调递增，

又因为x,2x同号，所以由/(x)>f(2x)可得x>2x解得x<0,

当a>l时，以下先证明f(x)在(0,+oo)的单调递减，

,X2G(0,+00),Xj<x2,

11ah-ax'

/⑻7⑷=/8=2一目=.1":1),

Xi

因为a>l,玉<W，所以优2>a，

且a">l,a*〉l,a*-1>0,

所以⑷二稿W)>°,所以/a)>，

所以/(A)在(0,+O0)的单调递减.

且函数/(A)为奇函数，所以fM在(-8,0)的单调递减，

又因为X,2x同号，所以由/(x)>f(2x)可得X<2x解得x>0,

综上，当0<〃<1时，解集为(Y,0),当a>l时，解集为(0,+e).

19.已知函数/(x)=3sin(<wx+e)[lel<|J,f(x)的图象关于x对称，且/(0)=—|.

(1)求满足条件的最小正数。及此时f(x)的解析式;

⑵若将问题(1)中的〃x)的图象向右平移2个单位得到函数g(x)的图象，求g(x)在[冷

上的值域.

【正确答案】(1)最小正数。为2,此时f(x)=3sin(2x-t

3

(2)--,3

【分析】⑴根据"))=—=3得9=IT由尤=冷7E为对称轴可得切=2+3匕让Z,即可求解,

263

(2)根据平移可得g(x)=/(x-》7T=-3cos2x,由余弦函数的性质即可求解值域.

【详解】(1)由/(())=-：得/(x)=3sine=—]nsine=-!，由|*|〈=得夕=-=,又/(力

22226

的图象关于X=g对称，所以/(g)=3sin(等一2]=土3=等_£=5+"兀，&€2,解得

313)\3oy3b2

G=2+3&,keZ,

当％=0时，。取到最小的正数2,此时"x)=3sin(2x-e)

⑵〃x)的图象向右平移个单位得到函数g(x)"(x-J)=3sinhx-mY]=-3cos2x,

,7127c..714兀—.1_3c

当时，2XG,COS2XG-1,-,所以一3cos2xc--,3,

63J[_33J|_2J|_2_

故g(x)在C上的值域为-1,3

20.某小区要建一座八边形的休闲公园，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABC。

和女'GH构成的面积为200疗的十字型地狱，计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为

4200元/a?,在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为210元/m2,再在

四个角上铺草坪，造价为80元/m2.设总造价为S元，4。的长为

(1)试建立S关于X的函数；

(2)当x取何值时，S最小，并求出这个最小值.

400000

【正确答案】(1)5=38000+4000x2+——,o<x<io72.

X

(2)当X=Ji6m时，S最小，最小值为118000元

【分析】(1)设根据面积得到y=变二匚，再计算总造价得到解析式.

4%

(2)利用均值不等式计算得到最值.

【详解】(1)设DQ=y,贝IJ/+4孙=200,所以y=200-『,

4x

所以5=4200/+210・4孙+80+2/=38000+4000f+—,0<x<10>/2.

x

(2)S=38000+4000x2+400000>38000+2.4000x2-400000=n8000,

xVx

当且仅当4000/=雪四，即^时，上式等号成立.

x

所以当x=时，s最小，最小值为118000元.

21.如图，已知直线412，A是《，4之间的一定点，并且点A到4，4的距离分别为九，

h，8是直线4上的一动点，作AC_LM,且使AC与直线4交于点C.设AABD=B.

(1)写出一4?c面积S关于角尸的函数解析式s(〃)；

(2)求S(夕)的最小值.

【正确答案】(1)S(0=-^]o</<3),(2)我

(1)在直角三角形AD3中运用三角函数求出AB的表达式，同理求出AC的表达式，运用直角

三角形面积公式求出面积S关于角夕的函数解析式S(/7).

(2)结合(1)中的面积S关于角夕的函数解析式S(£),运用求出三角函数最值，就可以求出

面积的最小值.

【详解】(1)根据题可得,在直角三角形AD8中，sin〃=&，则48=今,同理，在直角三角

ABsin0

形AEC中可得AC=4厕在直角三角形ABC中5(0=〈4^4。=丁邑3，

cosp22sinpcosp

即S(4——区一=心也一(o〈万〈生]

2sinpcosJ3sin2/3y2J

⑵由⑴得S配品总=焉力要求S⑻的最小直即求Sin2£的

最大值，即当月=£时,sin2〃的最大值为1

4

因此5(叽=5图=她

本题考查了运用三角函数模型来解决问题在解决问题中能熟练运用三角函数关系进行求值

和化简，并能求出三角函数最值问题.熟练掌握各公式并灵活运用.

22.已知函数/(x)=x?eR),g(x)=-lnx.

⑴当m=l时,解方程/(x)=g(x);

(2)若对任意的不都有|/。)-/(々)归2恒成立，试求机的取值范围；

(3)用min｛，〃，〃｝表示根，〃中的最小者，设函数〃(x)=min]/(x)+；,g(x)卜x>0),讨论关

于x的方程/?。)=0的实数解的个数.

【正确答案】(l)x=l

⑵[2-2点2+2&]

(3)相<1或时，/?(x)=0有1个实数解，

4

m=1或加=3时，〃(无)=。有2个实数解；

1〈机<3时，Mx)=0有3个实数解.

4

【分析】(1)根据函数的单调性解方程；

(2)讨论二次函数在给定区间的最值求解；

(3)分类讨论，利用数形结合的思想，转化为讨论函数图象的交点个数.

【详解】(1)当加=1时，函数〃x)=x2-x,g(x)=-lnx,

当0<xv1时，/(x)=x2-%=x(x-l)<O,g(x)=-lnx>0,

此时方程/(x)=g(x)无解，

当时，f(x)=x2-x单调递增，g(x)=-lnx单调递减，

且/⑴=0单调递增，g⑴=0,

所以此时方程fW=g(x)有唯一的解为x=1,

综上，方程/(x)=g(x)的解为x=l.

(2)|〃王)-“动归2等价于/