江苏省南京天印高级中学2023届高三年级下册一模数学试题含解析

2022〜2023学年南京天印高级中学

高三第二学期一模考试试卷

一、选择题(共8小题)

1."％w{x|log3(2-是的()条件.

A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要出D.既不充分也不必要

2.已知复数z在复平面内对应的点都在射线y=3x(x>0)上，且|z|=丽，则z的虚部为()

A.3B.3iC.±3D.±3i

3.在五边形ABCDE中EB=a,AD=b，M,N分别为AE,3。的中点，则MN=O

31f21

A.—n+—PB.—。+一匕z

2233

-1「31,

C.—a^—bD.—a+—b

2244

4.衡阳创建“全国卫生文明城市”活动中，大力加强垃圾分类投放宣传.某居民小区设有“厨

余垃圾”、“可回收垃圾”、“其它垃圾”三种不同的垃圾桶.一天，居民小贤提着上述分好类的

垃圾各一袋，随机每桶投一袋，则恰好有一袋垃圾投对的概率为()

A.—B.—C.-D.:

9632

5.中学开展劳动实习，学习加工制作食品包装盒.现有一张边长为6的正六边形硬纸片，如

图所示，裁掉阴影部分，然后按虚线处折成高为G的正六棱柱无盖包装盒，则此包装盒的

体积为()

A.144B.72C.36D.24

6.已知函数3(x)=Gsin(s+e),g(x)图像上每一点的横坐标缩短到原来的得至U/(x)的

图像，Ax)的部分图像如图所示，若=则。等于()

兀r兀c71°71

A.—B.—C.—D.一

12642

7.某圆锥母线长为2,底面半径为6,则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最

大值为()

A.2B.V3C.V2D.1

8.已知e=2.71828是自然对数的底数，设a=6-乡的=&-?,c=e&T-ln2,则()

ee

A.a<b<cB.b<a<cC.h<c<aD.c<a<b

二、多选题(共4小题)

9.对于两条不同直线W和两个不同平面名〃，下列选项中正确的为()

A.若加1。,则机_L〃B,若则〃?_L〃或加〃〃

C.若m//a,a/10,则加//4或mu尸D.若机_La,m_L〃，则〃//a或〃ua

尤2-J-1yQ

'…，则下列结论正确的是()

1COSX,X<0,

A./(X)是偶函数B.m,)=l

C.“X)是增函数D./(X)的值域为

11.提丢斯・波得定律是关于太阳系中行星轨道的一个简单的几何学规则，它是在1766年由

德国的一位中学老师戴维斯・提丢斯发现的，后来被柏林天文台的台长波得归纳成一条定律，

即数列｛%｝：0.4,0.7,1,1.6,2.8,5.2,10,19.6,....表示的是太阳系第〃颗行星与太

阳的平均距离(以天文单位A.U.为单位).现将数列｛q｝的各项乘以10后再减4,得到数列｛〃｝,

可以发现数列也J从第3项起，每项是前一项的2倍，则下列说法正确的是()

A.数列低｝的通项公式为“=3X2"T

B.数列｛%｝的第2021项为0.3*2如°+0.4

C.数列｛%｝的前"项和S,,=0.4"+0.3x2"-1-0.3

D.数列卜仇｝的前〃项和<=3("1).T-'

12.定义在(0,+力)上的函数f(x)满足"(x)+W(x)=/⑴=(),则下列说法正确的是

()

A.在》=五处取得极大值，极大值为《

B./(X)有两个零点

C.若f(x)<A—｝在(0,+8)上恒成立，则/

D./(1)</(V2)</(V3)

三、填空题(共4小题)

13.在二项式（l-3x）”的展开式中，若所有项的系数之和等于64,那么在这个展开式中，x2

项的系数是.（用数字作答）

14.抛物线C：?=2叫，其焦点到准线/的距离为4,则准线/被圆9+），2-6x=0截得的弦

长为_______

21

15.若直线y=—2x+§与曲线＞一办相切，则。=

22

16.已知椭圆c：「+马=1的两个焦点为爪-2,0）和鸟（2,0）,直线/过点”，点"关于/

a"b

的对称点A在C上，S.（FtA+4FtF2）-AF2=6,则C的方程为

四、解答题（共6小题）

17.已知等比数列｛”“｝的前〃项和为S,,,4=1,S,,“+2S,i=3S,,(〃*2).

（1）求数列｛4｝的通项公式：

（2）令2=碧」，求数列出｝的前"项和

18.在中，内角A,B,C的对边分别为mb,c,已知tanA=且.

3

（1）若a=S,c=6,求人的值；

（2）若角4的平分线交8c于点。，自巫=:，。=2,求ACD的面积.

19.2020年将全面建成小康社会，是党向人民作出的庄严承诺.目前脱贫攻坚已经进入冲

刺阶段，某贫困县平原地区家庭与山区家庭的户数之比为3:2.用分层抽样的方法，收集了

100户家庭2019年家庭年收入数据（单位：万元），绘制的频率直方图如图所示，样本中家

庭年收入超过1.5万元的有10户居住在山区.

（1）完成2019年家庭年收入与地区的列联表，并判断是否有99.9%的把握认为该县2019年

家庭年收入超过1.5万元与地区有关.

总计

平原地区

山区10

总计

n^ad-bc)'

附：K2=其中〃=a+b+c+d.

(q+Z?)(c+d)(a+c)(O+d)'

P(K2>k)

k

（2）根据这100个样本数据，将频率视为概率.为了更好地落实党中央精准扶贫的决策，从

2020年9月到12月，每月从该县2019年家庭年收入不超过1.5万元的家庭中选取4户作为

“县长联系家庭”，记“县长联系家庭”是山区家庭的户数为X,求X的分布列和数学期望

E（X）.

20.如图，三棱柱ABC-48£中，侧面BCC由为矩形，是边长为2的菱形，BC=\,

AC=-j5.

（1）证明：平面ABC，平面ABAA；

（2）若AC=AC，求三棱柱ABC-446的体积.

22

21.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：^+春■=1（。＞6＞0）的左、右焦点分别"、尸2

焦距为2,且与双曲线,-/=]共顶点.p为椭圆c上一点，直线PE交椭圆c于另一点Q.

（1）求椭圆＜?的方程；

（2）若点P的坐标为（0力），求过P、Q、乙三点的圆的方程；

（3）若£尸=义。1,且；,2,求OP0Q的最大值.

22.已知函数，（》）=。/-/（"/?）（其中“2.71828为自然对数的底数）.

（1）当。=1时，求证：函数f（x）图象上任意一点处的切线斜率均大于g；

（2）若/（x）＞g/〃（x+l）+cosx对于任意的xw[0,+“）恒成立，求实数。的取值范围.

1.D

【分析】

解出相应的x的范围，即可得出答案.

【详解】

log,(2-x)<l=>A=[-l,2),|x-l|<l=>B=[0,2],

因为A,8,没有包含关系，

A是xe8的既不充分也不必要条件，

故选：D.

2.A

【分析】

根据条件设出复数，再根据模为J证即可求得.

【详解】

设z=a+3ai,aeR,a>0,y]a2+(3a)2=VTo»=虚部为3.

故选：A.

3.C

【分析】

由向量的加法运算得到MN=MA+AB+8N，进而利用中点的条件，转化为向量的关系，

化简整理即得.

【详解】

=-EB+-AD=-a+-b,

2222

故选：C

4.D

【分析】

第一步选投对的一袋，剩下两袋投错只有一种方法，得方法数，再求出任意投放的方法数相

除可得概率.

【详解】

3袋垃圾中恰有1袋投放正确的情况有=3种情形，由古典概型计算公式得三袋恰投对

一袋垃圾的概率为「=等=:,

故选：D.

5.B

【分析】

利用正六边形的性质求出正六棱柱的底面边长，再根据棱柱的体积公式求解即可.

【详解】

如图，正六边形的每个内角为120。，

按虚线处折成高为G的正六棱柱，即8尸=道，所以BE=—%=1,

tan60°

可得正六棱柱底边边长A5=6-2xl=4,

则正六棱柱的底面积为S=6x—x4x4x^-=24\/3

22

所以正六棱柱的体积V=24百x百=72.

故选：B

6.A

【分析】

利用向量数量积的定义可得COSNABC=-；,从而可得448c=120,进而得出4)=6,即

—=24,求出。=三.

co12

【详解】

根据AB.8C=|AB『=>kMBqcos(180-ZABC)=|Afi|2

=>—2cosZABC=1n—2cosZABC=1,

可得cos/ABC=-故ZA8C=120,

2

2乃TC

所以AD=6,故g。)的周期为24,所以==24,co=三,

co12

故选：A.

7.A

【分析】

如图截面为SMN,P为MN的中点，设OP=x(0<x《G),SVSMV=""-1)2+4,进而

可得面积最大值.

【详解】

如图所示，截面为..SMN,P为MN的中点，设OP=x(0<x4百)

SB=2,OB=SO=1,SP=Vx2+1,MN=2y13-x2

当X=1时，SVSMN=2,此时截面面积最大.

故选：A

【点睛】

易错点睛：先求出面积的函数表达式进而判断最大值，本题容易误认为垂直于底面的截面面

积最大.

8.A

【分析】

首先设f(x)=«-二，利用导数判断函数的单调性，比较的大小，设利用导数判断

e

e*2x+l,放缩c>0-In2,再设函数g(x)=二-1内，利用导数判断单调性，得g(2)>0,

e

再比较〃,C的大小，即可得到结果.

【详解】

设〃力=必；，小)=合j

当04x4时，函数单调递增，当X吟时，r(x)<0,函数单调递减，

。="3)力=/(2),]<2<3时，/(3)</(2),即a4,

设y=e*7—1,y'=ex-l,(f0)时,y'<0,函数单调递减，(0,+0时，)，>0,函数

单调递增，所以当x=0时，函数取得最小值，/(0)=0,即恒成立，

即

Y11

令g(x)=--lnx,g'(x)=----,xw(O,e)时，g'(x)<0,g(x)单调递减，xw(e,+w)时，

eex

g'(x)>0,g(x)单调递增，x=e时，函数取得最小值g(e)=0,即g⑵>0,

得：->ln2,那么血-2〈点-M2,

ee

BP^-'-ln2>V2-ln2>V2-一，即/?<c,

e

综上可知

故选：A

【点睛】

关键点点睛：本题考查构造函数，利用导数判断函数的单调，比较大小，本题的关键是：根

Y

据e*2x+l,放缩c>夜-ln2，从而构造函数g(x)=——Inx,比较大小.

e

9.ACD

【分析】

根据空间直线、平面间的位置关系判断.

【详解】

若加的方向向量是a的法向量，”的方向向量是尸的法向量，a”,则a,4

的方向向量垂直，所以m的方向向量与"的方向向量垂直，则〃?，〃，A正确；

若机〃a,”//口,加，〃可平行，可相交，可异面，不一定垂直，B错；

若机//a,0///7,则”?〃〃或"u£,加与夕不相交，C正确；

若〃?_La,m_L〃，则n〃a或〃ua,〃与a不相交，D正确.

故选：ACD.

【点睛】

关键点点睛：本题考查空间直线与平面的位置关系，直线与平行的位置关系有三种：直线在

平面内，直线与平面平行，直线与平面相交.直线与平面垂直可利用平面的法向量与直线的

方向向量的关系判断.

10.BD

【分析】

利用反例可判断AC错误，结合函数的解析式可判断BD为正确，从而可得正确的选项.

【详解】

/(1)=2,m/(-l)=cosl</(l),故f(x)不是偶函数，故A错误.

因为了卜⑤…卜母卜8S(£|=(£|，故/(x)不是增函数，故C错误.

==故B正确.

当xvO时，/(x)e[-l,l],当xNO时，/(x)e[l,+oo),

故f(x)的值域为[T,—),故D正确.

故选：BD.

11.CD

【分析】

由题意可得数歹U也｝：o,3,6,12,24,48,96,192,,由此可得数列圾｝从第2项起构成公比为2

的等比数列，从而可求出其通项公式，判断选项A,由于%=■，所以可求出数列｛。,,｝

的通项公式，从而可判断B,对于C,利用分组求和可求出数列｛a,,｝的前八项和，对于D,

利用错位相减法可求出数列｛〃2｝的前”项和

【详解】

数列｛q｝各项乘以10再减4得到数歹式"｝：0,3,6,12,24,48,96,192,,,

[0,72=1,

故该数列从第2项起构成公比为2的等比数列，所以“=°'。故A错误；

13x2，九.2,

从而4=bb+4=储f0.4,—n=1,+四心所以*WoniQ+04故B错误;

当〃=1时,S]=4=0.4；

当”..2时,S“=4+%++«„=0.4+0.3(2°+2'++2n-2)+0.4(n-l)

1_2”T

=0.4n+0.3x------=0.4n+0.3x2,"l-0.3.

1-2

当〃=1时,H=0.4也符合上式，所以S“=0.4n+0.3xT-'-0.3,故C正确;

因为叨,=。所以当〃=1时，z=a=o，

[3/1x2，几.2,

2

当”..2时,(=4+24+3/+=0+3(2x2°+3x2'+4x2++/JX2"-2),

27；=3(2x2'+3X22+4X23++WX2"T),

所以-7；=0+3(2+2i+2?++2"-2-〃X2"T)

(2-2"-'

32+--------nx2'i)=3(l-〃)x2"T,所以Z,=3(〃_l)x2'i.

1-2

又当〃=1时,工也满足上式，所以Z,=3（〃-1）X2"T,故D正确.

故选：CD.

12.ACD

【分析】

根据给定条件，求出函数/(x)的解析式，再逐项分析即可判断作答.

【详解】

xe(0,4oo),由2〃x)+矿(力=[得：2xf(x)+x2f'(x)=^,即

令x2/(x)=lnx+c,而/(1)=0,则c=0,即有/(》)=半，/'(x)=^~

当0<x<五时，/V)>0,当x>五时，尸(幻<0,即函数/(x)在(0,&)上单调递增，在

(A,+8)上单调递减，

于是得/(X)在X=正处取得极大值〃五)=1,A正确：

显然〃1)=0,即函数/(X)在(0,血)上有1个零点，而x>五时，/(x)>0恒成立，

即函数“X)在(五,—)无零点，因此，函数“X)在定义域上只有1个零点，B不正确；

一/八\\,1,1+lnx人,、1+lnx_，/、l+21nx

VXG(0,+OO),f(x)<k一一-<^>k>——,令g(x)=——,x>0,g(x)=-----~，

v7X2rXX、

当0<时，g'(x)>0,当x〉/时，g'(x)<0,即函数g(x)在(0,-y=)上递增，在(丁,+8)

ve，eve\Je

上递减，

因此，当X=9时，g(X)max=g(9)=|，所以k>],C正确；

因函数“X)在(0,/)上单调递增，而0<1<。<加,则/⑴<((&),

”/•/大、//厂、In3In221n3-31n2In9-In8_n.i/./z。广

X/(V3)-/(V2)=---=——-——=--->0,则/(百)>/(&),即nn

O41212

/⑴</(&)</(6),D正确.

故选：ACD

【点睛】

关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数

单调性、最值是解决问题的关键.

13.135

【分析】

根据给定条件，利用赋值法求出〃值，再求出二项式展开式的通项即可求解作答.

【详解】

在(1-30“中,令x=l得所有项的系数之和为(-2)”,依题意，(-2)"=64,解得〃=6,

因此(1-3力6的展开式的通项为心=q(-3x)'=(-3)'C1,rW6,r€N,

令r=2得：/=(-3)2(312=135/,

所以/项的系数是135.

故答案为：135

14.2石

【分析】

求出准线方程y=±2以及圆心、半径，得出圆心到直线的距离，从而求出弦长为

2的-2、=26

【详解】

首先求得准线/的方程为y=±2,

N+y2-6x=0=>(x-3)2+y2=9,

圆心(3,0)到准线y=±2的距离为2

故弦长为259-22=2#)■

故答案为：2行

15.3

【分析】

设切点为1%,；片-以。)，根据导数的几何意义可推导得到”=片+2,根据切点坐标同时满

足直线与曲线方程可构造方程求得％,代入可得结果.

【详解】

设直线y=-2x+1与曲线y=g/-如相切于点1°,g石-%J,

r2

由>=：工3一必得：y=x-a9:.x^-a=-2,.,.〃=x；+2,

।2j2

又3片_%=-2*0+§,•e---^o-xo(xo+2)=-2x0+»解得：/二T，

a=1+2=3.

故答案为：3.

【分析】

根据向量的线性运算和数量积的性质化简(耳A+4耳鸟),由条件结合椭圆的定义可求〃,

由/=从+C2求b,可得椭圆方程.

【详解】

因为A与工关于直线/对称，所以直线/为的垂直平分线，

又6(-2,0),片(2,0)

所以|前|=忻图=4,由椭圆的定义可得|A闾=%-4,

设直线/与AF?交于点M，则M为4鸟的中点，且甲0_LAE，

所以(耳4+4耳鸟)乂❷=(64+月用+36乙)乂"

=|小吟上6,

解得。=3或1(舍去)，所以。=3,Z?2=a2-c2=59

则c的方程为：工+£=1.

95

故答案为：—+—=1.

95

17.⑴(2)1-^y.

【分析】

(1)先由S,H+2S,I=3S"("*2),结合题中条件，求出公比，进而可得通项公式；

(2)根据裂项相消的方法得到空=1--一，再由等比数列的求和公式，即可得出结果.

【详解】

(1)由5„+1+2S“T=3s”(〃>2)可得=2(S„-S„_,)(n>2),则a„+1=2a„(n>2),

因为｛q｝为等比数列，所以其公比为4=2；

又4=1,所以%=2"，

(2)由(1)可得§」x(l-21々J

>2

b=”〃+1_S〃+i-S“_J____1_

S£+iS.S/+1StlSn+i

所以（=&+%+…+2栏1)(11)(11)1111

+l

s2)[s2S3)[SnSn+JS\5„+12«-l

【点睛】

结论点睛：

裂项相消法求数列和的常见类型:

1111

（1）等差型一^二：---,其中｛〃“｝是公差为&3工0）的等差数歹U；

4々用人%4+J

]yjn+k->[n

(2)无理型

y/fi+J〃+?k

（3）指数型（a—l）a〃="用一优;

(4)对数型lOga.nlOgaOe-lOgaa”.

20+88

18.(1)b=4；(2)

39

【分析】

（1）由tan4=且求出A=f,再根据余弦定理可求出匕；

36

S1S1

（2）根据黄处=.得到于迺=5,根据角平分线定理得到6=2c,根据余弦定理求出c",

VABCJZ

根据三角形面积公式求出sABC，从而可得SACD

【详解】

（1）因为tartA=立，且OvAv%,所以4=工，所以cosA二走，

362

由余弦定理得〃=b2+c2-2bccosA,所以7=/+3-2疯?•正，

2

所以〃2一3〃—4=0,

解得解4或匕=-1（舍）,

（2）因为步也=：,所以率皿=:，所以沁所以总=：，

^AABC3VA8CJVAC。LCD2

因为NCAD=N8A£）,所以丁==二—=—»即匕=2c,

bACCD2

又因为用2,由余弦定理得/=C2+4C2-4C2X^-=4,

2

解得

万斤以S八4廿

'”以△由=-2besinA=—22c,c,—2=—2c-=-5---2-7尸3，

所以4.co=S..BC=-x一1_2。+86

加以3we35-2石-39■

【点睛】

关键点点睛：熟练掌握余弦定理、三角形的面积公式是解题关键.

19.(1)列联表见解析，有99.9%的把握认为该县2019年家庭年收入超过1.5万元与地区有

关；

(2)分布列见解析，数学期望E(X)=2.4.

【分析】

(1)由频率分布直方图求样本中收入超过1.5万元的户数，由分层抽样性质确定平原地区家庭

与山区家庭的户数，根据数据关系完成列联表，由公式计算长2,与临界值比较大小，确定

是否接受假设；

(2)确定随机变量X的可能取值，求X取各值的概率，由此可得其分布列，判断X为二项分

布，利用二项分布概率公式求其期望.

【详解】

(0.5+0.4+0.1)x0.5=0.5,

100x0.5=50户,

又因为平原地区家庭与山区家庭的户数之比为3:2,抽取了100户，

故平原地区的共有60户，山区地区的共有40户，

又样本中家庭年收入超过1.5万元的有10户居住在山区，

所以超过1.5万元的有40户居住在平原地区，不超过1.5万元的有20户住在平原地区，有

30户住在山区地区，

故2019年家庭年收入与地区的列联表如下：

总计

平原地区402060

山区103040

总计5050100

nf<acl-bc'Y

则K?=

100x(40x30-10x20)2

—«16.667>10.828,

60x40x50x503

所以有99.9%的把握认为该县2019年家庭年收入超过1.5万元与地区有关.

、23

（2）由（1）可知，选1户家庭在平原的概率为二，山区的概率为g,

X的可能取值为0,1,2,3,4,

所以P（X=0）=C

尸（x=g4凯|）=含

P（X=2）=咱（I）嚏

P"=3)=嘿阊=||

即沪总

所以X的分布列为:

X01234

169621621681

P

625625625625625

因为X服从二项分布X8（4,|）,

所以X的数学期望E（X）=4x3]=?12=2.4.

20.（1）证明见解析;

⑵G

【分析】

（1）根据给定条件，证明BC工平面ABBM，再利用面面垂直的判定推理作答.

(2)由已知及(1)中信息，求出A乃，进而求出三棱锥C-ABA的体积即可计算作答.

【详解】

(1)因为侧面BCC/i是矩形，则又因为BC=1,AB=2,AC=5

即有8c2+A3、AC"则BCLAB,又AB?BB、B,AB,u平面488小，

因此BC_Z■平面AB8|A,而BCu平面ABC,

所以平面ABC，平面ABAA.

(2)由(1)知，8CJ■平面而ABU平面AB81A，则BCLAR,

因为AC=AC=V^,于是得48=*2一比2=2,而ABqA是边长为2的菱形，

因此△ABA是正三角形，5八网=；A8-A8sin60=6

所以三棱柱ABC-ABC的体积匕BJMG—3VA-ABC一3^?-ABA—3x3S网XBC=G.

21.(Dy+/=1

.114

⑵x+y9+-x+-y--=O

⑶3

【分析】

(1)由焦距为2得到c=l,再由双曲线的顶点求出Y=2,得到/,椭圆方程；

(2)求出P”的方程，与椭圆方程联立后得到点。的坐标，待定系数法求出圆的方程；

/、/、1匹=-4—-1

(3)设P(XQJ,。仇,名),由向量共线得到'，2，将尸,。两点坐标代入椭圆

[yt=-Ay2

方程中，求出々=*，从而表达出。尸-。。二了-34+丁，结合基本不等式求出最值.

【详解】

(1)双曲线H-y=l的顶点坐标为(土近,0),故a?=2,

由题意得C=l,故加=/-2=2-1=1,

故椭圆的方程为1+丁=1.

(2)因为尸(0,1),6(一1,0),所以尸6的方程为x—y+i=o,

由｛m解得点。的坐标为

设过P,Q,尸2三点的圆为f+尸+外+&+产=0,

l+E+F=0

114

则1+。+产=0,解得。=Q，E=-9F=--,

1741333

-----D——E+F=0

93---3

所以圆的方程为Y+V+gx+gy-gnO；

(3)设Q(w，%)，

则4尸=(尤i+l，X),2^=(-l-x2,-y2),

因―所以