2024届吉林省长春农安县联考九年级上册数学期末统考试题含解析

2024届吉林省长春农安县联考九上数学期末统考试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"O

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题3分,共30分）

1.如图，正方形ABCQ的顶点C、。在X轴上，A、8恰好在二次函数y=2∕-4的图象上，则图中阴影部分的面积

之和为（）

C.10D.12

2.如图是一个几何体的三视图，这个几何体是（）.

E视图左视图

m

他视图

A.三棱锥B.三棱柱C.长方体D.圆柱体

3.将抛物线y=2χ2向左平移1个单位,再向上平移3个单位得到的抛物线,其解析式是（）

A.y=2（x+l）2+3B.y=2（χ-1）2—3

C.y=2（x+l）2-3D.y=2（χ-1）2+3

4.如图，在正方形ABC。中，点E为A3边的中点，点尸在OE上，C产=CD,过点尸作尸尸。交AO于点G.下

列结论：（DGF=GA②AG>AE;③AF上DE;④DF=4EF∙正确的是（）.

A.①②B.®®C.①③④D.③④

5.如图，圆桌面正上方的灯泡发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）.已知灯泡距离地面2.4m,桌面距

离地面0.8m（桌面厚度忽略不计），若桌面的面积是L2m2,则地面上的阴影面积是（）

A.0.9m2B.1.8m2C.2.7m2D.3.6m2

6.关于抛物线y=3（x-1）2+2,下列说法错误的是（）

A.开口方向向上B.对称轴是直线x=l

C.顶点坐标为（1,2）D.当x>l时，y随X的增大而减小

7.若反比例函数y=A的图象经过点（2,-1）,则该反比例函数的图象在（）

X

A.第一、二象限B.第一、三象限C.第二、三象限D.第二、四象限

8.如图，在。ABCQ中，尸为BC的中点，延长Ao至£,使OE：AD=It3,连接FF交OC于点G,贝IJOG：CG=

（）

B.2；3C.3：4D.2：5

9.关于龙的一元二次方程/一21+A=O有两个相等的实数根，则人的值为（）

A.1B.-1C.2

10.在下列函数图象上任取不同两点P（x∣,Jl）,Q（X2»J2）»一定能使（X2-X1）（J2-Jl）>0成立的是（）

A.j=-2x+l(x<0)B.j=-X2-2x+8(x<0)

C.J=—(x>0)D.y=2xl+x-6(x>0)

X

二、填空题（每小题3分,共24分）

11.如图，在直角坐标系中，正方形ABCD的边BC在X轴上，其中点A的坐标为（1,2）,正方形EFGH的边FG

在X轴上，且H的坐标为（9,4）,则正方形ABCD与正方形EFGH的位似中心的坐标是.

Vi

EH

A.——D

―OBCFGX

JClbC八r、b+c上一、,

12.已知—•=—=—∙HO,则---的值为.

234a

-B,2er。C2,.2a+3c

13.如果线段a、b>c、d满足一=—r则-----=.

hd52b+3d

k

14.如图，已知直线y=mx与双曲线y=—一个交点坐标为（3,4）,则它们的另一个交点坐标是.

X

15.已知二次函数y=aχ2+bx+c中，函数y与自变量X的部分对应值如表,

X6.176.186.196.20

y-0.03-0.010.020.04

则方程ax2+bx+c=（）的一个解的范围是

5B

16.如图，在AABC中NACB=45,AC=—,BC=12,以AB为直角边、A为直角顶点作等腰直角三角形4®,

2

则Co=.

n

17.已知。的半径为IOCm，AB,Co是）。的两条弦，ABHCD,AB=I6m,Cr>=12m,则弦AB和Co

之间的距离是Cm.

18.m、n分别为的一元二次方程/一4犬一ι=o的两个不同实数根，则代数式加2一4机+机〃的值为

三、解答题(共66分)

19.(10分)某校举行田径运动会，学校准备了某种气球，这些全球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球

内气体的气压P(kPa)是气体体积V(∏√)的反比例函数，其图象如图所示：

(1)求这个函数的表达式；

(2)当气球内的气压大于150kPa时，气球将会爆炸，为了安全起见，气体的体积应至少是多少？

20.(6分)在AABe中，P为边AB上一点.

2

(1)如图1,若NACP=NB,求证：AC=APAB5

(2)若M为CP的中点，AC=2,

①如图2,若NPBM=NACP,AB=3,求BP的长；

②如图3,若NABC=45。，NA=NBMP=60。，直接写出BP的长.

21.(6分)如图，四边形ABeQ是正方形，连接AC,将AABC绕点A逆时针旋转α得24£尸，连接C尸，O为CF

的中点，连接OE,OD.

(1)如图1,当α=45°时，求证：OE=OD;

(2)如图2,当45°<α<90°时，(1)OE=O。还成立吗？请说明理由.

图1图2

22.(8分)如图1,Z∖ABC中，AB=AC=4,ZBAC=IOO,D是BC的中点.

小明对图1进行了如下探究：在线段AD上任取一点E,连接EB.将线段EB绕点E逆时针旋转80。，点B的对应点

是点F,连接BF,小明发现：随着点E在线段AD上位置的变化，点F的位置也在变化，点F可能在直线AD的左侧,

也可能在直线AD上，还可能在直线AD的右侧.请你帮助小明继续探究，并解答下列问题：

(1)如图2,当点F在直线AD上时，连接CF,猜想直线CF与直线AB的位置关系，并说明理由.

(2)若点F落在直线AD的右侧，请在备用图中画出相应的图形，此时(1)中的结论是否仍然成立，为什么？

(3)当点E在线段AD上运动时，直接写出AF的最小值.

23.(8分)如图，抛物线M="∕+c的顶点为M，且抛物线与直线%=依+1相交于A,3两点，且点A在X轴上,

点8的坐标为(2,3),连接AM,.

(1)a=,C=,k=(直接写出结果)；

(2)当y<%时，则X的取值范围为(直接写出结果)；

(3)在直线AB下方的抛物线上是否存在一点P,使得AABP的面积最大？若存在，求出ΔABP的最大面积及点P坐

标.

24.(8分)已知关于X的方程小一2亿+2卜+左一2=0有两个不相等的实数根玉，Λ2.

(1)求Z的取值范围；

(2)若x；+考-XlX2=4，求攵的值.

25.(10分)某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%,

经试销发现，销售量.v（件）与销售单价X（元）符合一次函数y=依+。，且χ=65时，y=55;x=75时，y=45.

（1）求一次函数y=履+。的表达式；

（2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价X之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最

大利润，最大利润是多少元？

（3）若该商场获得利润不低于5（）（）元，试确定销售单价X的范围.

26.（10分）（1）计算：∣√2-l∣+2sin45o-+tan260o;

八、r-∣a5a+b

（2）已知：——,求・

b3b

参考答案

一、选择题（每小题3分,共30分）

1、B

【分析】根据抛物线和正方形的对称性求出0。=OG并判断出S阴影=S矩形"COE,设点B的坐标为（〃，2«）（«>0）,

把点B的坐标代入抛物线解析式求出n的值得到点B的坐标，然后求解即可.

【详解】解：T四边形ABCo为正方形，抛物线y=2x2-4和正方形都是轴对称图形，且y轴为它们的公共对称轴，

∙*∙OD-OC=-BC,S用影=S矩形BCO£,

2

设点8的坐标为（〃，2π）（n>0）,

T点8在二次函数y=2∕-4的图象上，

.,.2n=2n2-4,

解得，«1=2,112=-1（舍负），

.∙.点B的坐标为（2,4）,

'∙S阴影=S矩形BcoE=2X4=1.

故选：B.

【点睛】

此题考查的是抛物线和正方形的对称性的应用、求二次函数上点的坐标和矩形的面积，掌握抛物线和正方形的对称性、

求二次函数上点的坐标和矩形的面积公式是解决此题的关键.

2、B

【解析】试题解析：根据三视图的知识，主视图为三角形，左视图为一个矩形，俯视图为两个矩形，故这个几何体为

三棱柱.故选B.

3、A

【分析】抛物线平移不改变a的值.

【详解】原抛物线的顶点为(0,0),向左平移1个单位，再向上平移1个单位，那么新抛物线的顶点为(-1,1).可

2

设新抛物线的解析式为y=2(x-h)+k,代入得：y=2(x+l)2+1.

故选：A.

4、C

【分析】连接CG.根据“HL”可证RfAC?GgRrA8G,利用全等三角形的对应边相等，可得GF=GD,据此判

断①；根据“AS4”可证ΔAβEgΔDCG,可得AE=QG,从而可得AG=AE,据此判断②；由(2)知

GF=GD=GA,可证NAFI)=90,据此判断③；根据两角分别相等的两个三角形相似，可证

EFAFEA1

ΛAEF(^ΔDAF(^ΔE>E4,可得一=—=——=二，从而可得。尸=2AF=4EE,据此判断④.

AFDFDA2

【详解】解：(1)连接CG.如图所示：

∙.∙四边形ABCD是正方形，

ΛZADC=90o,

∙.∙FGJLFC,

ΛZGFC=90o,

CG=CG

在RtACFG与RtACDG中，｛^r,CC

.∙.RtACFG学RtACDG(HL).

：.GF=GD...①正确.

(2)由(1),CG垂直平分。尸..∙.NEDC+/2=90。,

VZl+ZEDC=90o,

；•Z1=Z2.

T四边形ABCD是正方形,

AAD=DC=AB,NDAE=NCDG=90°,

ΛΔADE∆L>CG(ΛSA).

：.AE=DG.

VE为AB边的中点，

.∙∙G为Ao边的中点.

二AG=AE.②错误.

(3)由(2),得G∕7=G0=G4.AZAFD=90.③正确.

EFAFEA1

由可得..一=一=一=-

(4)(3),AAEFSAZM/SAJQE4.∙

AFDFDA2

二DF=2AF=4EF.：.④正确.

故答案为：C.

【点睛】

本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理、线段的垂直平分

线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.

5,C

【分析】根据桌面与地面阴影是相似图形，再根据相似图形的性质即可得到结论.

【详解】解：如图设C,D分别是桌面和其地面影子的圆心，CB√AD,

OBCs.OAD,

λ⅛reg?fɑɑv

S阴影IDA)〔ODJ

≡OD=2.4,CD=0.8,/.OC=OD-CD=1.6,

∙,∙S阴影—2.7//?.

这样地面上阴影部分的面积为2.7m2.

故选C.

O

【点睛】

本题考查了相似三角形的应用，根据相似图形的面积比等于相似比的平方，同时考查相似图形的对应高之比等于相似

比，掌握以上知识是解题的关键.

6、D

【分析】开口方向由a决定，看a是否大于0,由于抛物线为顶点式，可直接确定对称轴与顶点对照即可，由于抛物

线开口向上，在对称轴左侧函数值随X的增大而减小，在对称轴右侧y随X的增大而增大即可.

【详解】关于抛物线y=3(χ-l)2+2,

a=3>0,抛物线开口向上，A正确，

x=l是对称轴，B正确，

抛物线的顶点坐标是(L2),C正确，

由于抛物线开口向上，x<h函数值随X的增大而减小，x>l时，y随X的增大而增大，D不正确.

故选：D.

【点睛】

本题考查抛物线的性质问题，由具体抛物线的顶点式抓住有用信息，会用二次项系数确定开口方向与大小，会求对称

轴，会写顶点坐标，会利用对称轴把函数的增减性一分为二，还要结合a确定增减问题.

7、D

【解析】试题分析：反比例函数y=人的图象经过点(2,—1),求出κ=-2,当κ>o时反比例函数的图象在第一、三象

X

限，当K〈0时反比例函数的图象在第二、四象限，因为-2<0,D正确.

故选D

考点：反比例函数的图象的性质.

8、B

J~∖λ~~1rʌr~,ɔ

【分析】由平行四边形的性质可得4O=5C,AD//BC,可证AOEGS^CFG,可得一上=——=一.

CGCF3

【详解】•••四边形ABC。是平行四边形，

IAD=BC,AD//BC,

T尸为BC的中点，

11

：.CF=BF=-BC=-AD,

22

•；DE：AD=I:3,

：.DE：CF=2:3,

'：AD//BC,

Λ∆DEG^∆CFG,

.DGDE_2

"CG^CF^3*

故选：B.

【点睛】

此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知平行四边形的性质及相似三角形的判定与性质.

9、A

【分析】根据方程有两个相等的实数根列方程求解即可.

【详解】由题意得A=O,

.∙.4-4k=0,

解得k=l,

故选：A.

【点睛】

此题考查了一元二次方程的根的情况求未知数的值，正确掌握一元二次方程的根的三种情况：方程有两个不相等的实

数根时A>0,方程有两个相等的实数根时A=O,方程没有实数根时A<（）∙

10、D

【分析】据各函数的增减性依次进行判断即可.

【详解】解：4、VΛ=-2<0

∙,∙y随X的增大而减小，即当χι>χ2时，必有yι<72

...当XVo时，（X2-Xl）（J2-Jl）<0,

故A选项不符合；

5、'Ja=-1<0,对称轴为直线X=-1,

.∙.当-IVXV（）时，y随X的增大而减小，当XV-I时y随X的增大而增大，

.∙.当XVT时:能使（X2-X1）（J2-Jl）>0成立，

故B选项不符合；

C、V√5>0,

.∙.当x>0时，y随X的增大而减小,

当X>0时,（X2-X1）（J2-jɪ）<0,

故C选项不符合；

D,Vα=2>0,对称轴为直线X=-L,

4

.∙.当x>-L时y随X的增大而增大，

4

...当X>0时，（X2-X1）（J2-Jl）>0,

故。选项符合；

故选：D.

【点睛】

本题考查的知识点是一次函数、反比例函数图象的性质以及二次函数图象的性质，掌握二次函数及反比例函数的图象

性质是解此题的关键.

二、填空题（每小题3分,共24分）

114

11、（-3»0）或（—>一）

33

【分析】连接HD并延长交X轴于点P,根据正方形的性质求出点D的坐标为（3,2）,证明aPCDs^PGH,根据

相似三角形的性质求出OP,另一种情况，连接CE、DF交于点P,根据待定系数法分别求出直线DF解析式和直线

CE解析式，求出两直线交点，得到答案.

【详解】解：连接HD并延长交X轴于点P,则点P为位似中心，

VH

E1_______H

IllI

POBCFGX

四边形ABCD为正方形，点A的坐标为（1,2）,

.∙.点D的坐标为（3,2）,

VDC//HG,

Λ∆PCD^>∆PGH,

PCCD,OP+32

'•----------，即ar-------=一,

PGHG0P+94

解得，OP=3,

二正方形ABCD与正方形EFGH的位似中心的坐标是（-3,0）,

连接CE、DF交于点P,

由题意得C(3,O),E(5,4),D(3,2),F(5,0),

求出直线DF解析式为：y=-x+5,直线CE解析式为：y=2x-6,

∖y=-χ+5,

y=2x-6,

'11

解得χ^^:],

4

.>=了

114

直线DF,CE的交点P为（一，一），

33

114

所以正方形ABCD与正方形EFGH的位似中心的坐标是（一，一），

33

114

故答案为：（-3,0）或（一，一）.

33

【点睛】

本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的判定和性质，位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形,

而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心.

7

12、一

2

abcb+c

【分析】设三=;=一=k，分别表示出a,b,c,即可求出——的值.

234a

【详解】没：2=§=卜

234

a=2k,b=3k,c=4k

•b+c_3k+4k__7

2k-2

7

故答案为5

【点睛】

本题考查了比例的性质，利用参数分别把a,b,c表示出来是解题的关键.

2

13、一

5

【分析】设0=2m,c=2n,则人=5m,d=5n,代入计算即可求得答案.

【详解】•••线段。、b、c、△满足a^=2C=一2，

ba5

二设α=2m,c=-1n,则h=5m,d-5n,

.2a+3c_4m+6n_2(2根+3〃)_2

∙∙2b+3d10∕n+15n5(2m+3n)5，

2

故答案为：］.

【点睛】

本题考查了比例线段以及比例的性质，设出适当的未知数可使解题简便.

14、(-3,-4)

【分析】根据反比例函数与正比例函数的中心对称性解答即可.

【详解】解：因为直线y=mx过原点，双曲线y=8的两个分支关于原点对称，

X

所以其交点坐标关于原点对称，一个交点坐标为(3,4),则另一个交点的坐标为(-3,-4).

故答案是:(^3,-4).

【点睛】

本题考查了反比例函数和正比例函数的性质，通过数形结合和中心对称的定义很容易解决.反比例函数的图象是中心

对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称.

15、6.18<x<6.1

【分析】根据表格中自变量、函数的值的变化情况，得出当y=()时，相应的自变量的取值范围即可.

【详解】由表格数据可得，当x=6.18时，y=-0.01,当x=6.1时，y=0.02,

.∙.当y=0时，相应的自变量X的取值范围为6,18<x<6,1,

故答案为：6.18<x<6.1.

【点睛】

本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y由正变为负时，自变量的取值即可.

16、1

【分析】由于AD=AB,NCAD=90。，则可将△ABD绕点A逆时针旋转90。得△ABE,如图，根据旋转的性质得

NCAE=90。,AC=AE,BE=CD,于是可判断△ACE为等腰直角三角形,贝UZACE=45o,CE=√2AC=5,易得NBCE=90。,

然后在Rt∆CAE中利用勾股定理计算出BE=L从而得到CD=I.

【详解】解：∙.∙AADB为等腰直角三角形,

ΛAD=AB,ZBAD=90o,

将4ACD绕点A顺时针旋转90。得AAEB,如图,

ΛZCAE=90o,AC=AE,CD=BE,

.∙.aACE为等腰直角三角形，

5/?

.∙.NACE=45°,CE=CAC=6■义出一=5,

2

VZACB=45o,

ΛZBCE=45o+45o=90o,

在RtABCE中，CE=√52+122=13»

ΛCD=1.

故答案为L

【点睛】

本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识.旋转的性质：对应点到旋转中心的距离

相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等.解决本题的关键的利用旋转得到直角

三角形CBE.

17、2或1

【解析】分析：分两种情况进行讨论：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，

利用勾股定理和垂径定理求解即可.

详解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图，

•：AB=16cm,CD=12cm,

:∙AE=8cm,CF=6cm，

•：OA=OC=IOcm9

；・EO=6cm,OF=8cm,

.∖EF=OF-OE=2cm;

②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图,

:∙AF=8cm,CE=6cm,

VOA=OC=IOcm,

:∙OF=6cm,OE=8cm,

：.EF=OF+OE=lcm.

.∙.AB与CD之间的距离为ICm或2cm.

故答案为2或L

点睛：本题考查了勾股定理和垂径定理的应用.此题难度适中，解题的关键是注意掌握数形结合思想与分类讨论思想

的应用，小心别漏解.

18、1

【分析】由一元二次方程的解的定义可得mZ4m-l=l,则m2-4m=l,再由根于系数的关系可得mn=-l,最后整体代入即

可解答.

【详解】解：Tm、n分别为的一元二次方程4x-l=()

.*.m+n=4,mn="l,m2-4m-l=l,

m2-4m=l

∙,∙m2—4m+mn=I-I=I

故答案为1.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的解和根与系数的关系，其中正确运用根与系数的关系是解答本题的关键.

三、解答题(共66分)

19、(1)y=-；(2)至少是0.4

X

【分析】(1)设表达式为y=K,取点A(0.5,120)代入解得k值即可.

X

(2)令y=150,代入表达式解得X的值，则由图可知，小于该X的值时是安全的.

【详解】(D设表达式为＞=V,代入点A(0.5,120),解得：k=60.

X

则表达式为：y=-

X

(2)把y=150代入y=9,解得x=0.4

X

则当气体至少为0∙4∏√时才是安全的.

【点睛】

本题考查了反比例函数的实际应用，解题关键在于理解体积和气压的关系，气压越大体积越小.

20、(1)证明见解析；(2)①BP=石；②BP="-1.

【解析】试题分析：(1)根据已知条件易证AACPsaABC,由相似三角形的性质即可证得结论；(2)①如图，作

CQ〃BM交AB延长线于Q,设BP=x,则PQ=2x,易证△APCs/iACQ,AC2=AP-AQ,由此列方程，解方

程即可求得BP的长；②如图：作CQ_LAB于点Q,作CPO=CP交AB于点Po,再证△APoCs^MPB,(2)的方法

求得APo的长，即可得BP的长.

试题解析：(1)证明：VZACP=ZB,ZBAC=ZCAP,

Λ∆ACP^∆ABC,

ΛAC:AB=APsAC,

/.AC2=APAB;

(2)①如图，作CQ〃BM交AB延长线于Q,设BP=x,则PQ=2x

TNPBM=NACP,NPAC=NCAQ,

Λ∆APC^∆ACQ,

由AC2=AP∙AQ得：22=(3—x)(3+x),Λx=√5

即BP=√5;

②如图：作CQ_LAB于点Q,作CPo=CP交AB于点Po,

VAC=2,.∙.AQ=I,CQ=BQ=√3，

设APo=x,PoQ=PQ=I-X,BP=G-I+x,

VZBPM=ZCPOA,ZBMP=ZCAPO,

・A^^C

Λ∆APoC^∆MPB,L

∙∙Mp-BP'

J扬2

ΛMP∙POC=1∕>C2=十(Ir)I=APoBP=X(√3-l+x)>

2

解得χ=√7-百

ΛBP=√3-l+√7-√3=√7-l.

考点：三角形综合题.

21、（1）详见解析；（2）当45°<α<90°时，OE=OD成立,理由详见解析.

【分析】（1）由旋转的性质得：AF=AC,ZAEF^ZB=9θ∖AE=AB,根据直角三角形斜边中线的性质可得

OD=ɪCF,OE=ɪCF,进而可得OD=OE；

22

（2）连接CE、DF,根据等腰三角形的性质可得NACF=NAFC,利用角的和差关系可得NE4C=ND4E,利用

SAS可证明4ACEgZ∖AFD,可得CE=DF,NECA=NDFA,利用角的和差关系可得NECO=Nz）R9,利用SAS

可证明AEOCgZkDOF,即可证明OD=OE,可得（1）结论成立.

【详解】（1）Y四边形ABCD是正方形，AC为对角线，

ΛZBAC=45o,

T将ΔABC绕点A逆时针旋转α得AM/,α=45。，

.∙.点E在AC上，AF=AC,ZAEF=NB=90°,AE=AB

：•NFEC=90"，。为CF的中点，

：.OE=-CF

2

同理：OD=LCF

2

：.OE=OD.

(2)当45°<α<90'时，OE=OD成立,理由如下:

连接CE,。/，如图所示：

：在正方形ABCo中，AB=AD,AB=AE,

：.AD=AE,

V。为CF的中点，

.,.OC=OF,

'：AF=AC,

：.ZACF=ZAFC,

VNzMC=NE4E=45。，

：.ADAC-/DAE=ZEAF-NDAE,

：./EAC=/DAF,

AF=AC

在ΔACE和AAFD中，<NEAC=ZDAF,

AD=AE

：./^ACE=/^AFD(SAS),

：.CE=DF/ECA=ZDFA,

∙.∙ZACF=ZAFC,

ΛZACF-NECA=ZAFC-NDFA,

ΛZECOZDFO,

EC=DF

在∖EOC和^DOF中，<ZECO=ZDOF,

CO=FO

：.^EOC≡ADOF(SAS),

ΛEO=DO.

【点睛】

本题考查正方形的性质、旋转的性质及全等三角形的判定与性质，正确得出对应边和对应角，熟练掌握全等三角形的

判定定理是解题关键.

22、（1）CFHAB,证明见解析；（2）成立，证明见解析；（3）AF的最小值为1

【分析】（D结合题意，根据旋转的知识，得BE=EF，NBEF=80，再根据三角形内角和性质，得NBED=50;

结合AB=AC=1,D是BC的中点，推导得NCFD=NBAD,即可完成解题；

（2）由（1）可知：EB=EF=EC,得到B,F,C三点共圆，点E为圆心，得NBCF=TNBEF=I0。，从而计算得

ZABC=ZBC/7,完成求解；

（3）由（1）和（2）知，CF〃AB,因此得点F的运动路径在CF上；故当点E与点A重合时，AF最小，从而完成

求解.

【详解】（1）T将线段EB绕点E逆时针旋转80。，点B的对应点是点F

:∙BE=EF,ZBEF=80

18()-/BEF

：.ZEBF=ZBFE=—.........=50,BPZBFD=50

2

VAB=AC=I,D是BC的中点

：.BD=DC,ADVBC

BF=CF,ΛABD^Z∖ACD

Zg

4FBD9XFCD,NBAD=ZCAD=Ae==50

22

ʌNBFD=NCFD=5。

ʌNCFD=NBAD=50

ΛCFHAB

(2)如图，连接BE、EC,BF、EF

⅛(1)可知：EB=EF=EC

ΛB,F,C三点共圆，点E为圆心

ΛZBCF=ɪZBEF=IOo

2

∙∙∙ZBAO=50,ADLBC

ʌZABC=90-NBAD=40

；.ZABC=/BCF

：.CFHAB,(1)中的结论仍然成立

(3)由(1)和(2)知，CFHAB

.∙.点F的运动路径在CF±

如图，作AM_LCF于点M

Λ(E)

VNBEF=80<90

.∙.点E在线段AD上运动时，点B旋转不到点M的位置

二故当点E与点A重合时，AF最小

此时AF1=AB=AC=I,即AF的最小值为1.

【点睛】

本题考查了旋转、等腰三角形及底边中线、垂直平分线、全等三角形、三角形内角和、平行线、圆心角、圆周角的知

识；解题的关键是熟练掌握等腰三角形、旋转、垂直平分线、平行线、圆心角和圆周角的知识，从而完成求解.

2713

23、(1)1,-1,1；(2)—1<X<2；(3)S最大值为—，点P(—，—).

824

【分析】⑴将8(2,3)代入％=丘+1求得k值，求得点A的坐标，再将A、B的坐标代入％=α∕+c即可求得答

案；

(2)在图象上找出抛物线在直线下方自变量X的取值范围即可；

(3)设点P的坐标为(X,X2-1)(-l<x<2),则点Q的坐标为(x,X+1),求得PQ的长，利用三角形面积公式

3127

得到S.ABP=--U+-)2+—，然后根据二次函数的性质即可解决问题∙

22o

【详解】⑴•••直线上=丘+1经过点B(2,3),

二3=2左+1,

解得：k=∖,

•••直线>2=x+l与X轴交于点A,

令y=O,则X=-1,

点A的坐标为(—1,0),

∙.∙抛物线y=以2+C与直线%=X+1相交于A8两点，

α+c=0

.∙.VC,

4〃+c=3

a=l

解得：∖1,

C=-I

故答案为：1f—191；

(2)∙.∙抛物线M=X2—1与直线％=X+1相交于A(—1,0),8(2,3)两点,

观察图象，抛物线在直线下方时，-l<x<2,

二当χ<为时，则X的取值范围为：-l<x<2,

故答案为：—1<%<2；

(3)过点P作y轴的平行线交直线为=x+1于点Q,

设点P的坐标为(x，χ2-l)(-1<%<2),则点Q的坐标为(x,X+1),

.*.PQ=X+1-(x?-1)=—+X+2,

—33

S.ABP=2^β*(⅞-^)=-×(一/+χ+2)x3=—X2+—x÷3,

φu+2+,

∙S-ABP^l^τ

127

当尤=一时，♦ABP的面积有最大值为一，此时P点坐标为

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