天津市河北区2023-2024学年度高三年级上册期中数学试题【解析版】

天津市河北区2023-2024学年度高三上学期期中数学试题

【解析版】

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试

用时120分钟.第I卷1至3页，第n卷4至8页.

第I卷（选择题共45分）

注意事项：

1.答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并

在规定位置粘贴考试用条形码.

2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试卷上的无效.

3.本卷共9小题，每小题5分，共45分.

参考公式：

如果事件A,B互斥，那么P（A8）=P（A）+P（8）

如果事件A,B相互独立，那么P（4?）=P（4）P（8）

球的表面积公式S=4;rR2

球的体积公式丫=。"K

其中R表示球的半径

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知全集〃={—1,0,1,2,3},集合A={0,l,2},B={-1,0,1},则（电4卜8=

A.{-1}B.{0,1}

C.{-1,2,3}D.{-1,0,1,3）

2.设xeR,则“x2-5x<0”是的

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

3.函数/（x）=|x|+g的图象大致是（）

A.B.

4.某班的全体学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为

[20,40）,[40,60）,[60,80）,[80,100].若低于60分的人数是15,则该班的学生人数是

()

5.若Q=log3（）.8,b=3°s,c=0.321,则。，b,c的大小关系为（）

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

6.已知圆锥的高为3,底面半径长为4,若一球的表面积与此圆锥侧面积相等，则该球

的半径长为

A.5B.75C.9D.3

7.设等差数列｛为｝的前〃项和为5.，若%=4,5.=72,则《°=()

A.20B.23C.24D.28

v-2v2

8.已知双曲线C：=-二二1的焦距为10,点P(2,1)在C的渐近线上，则C的

ab

方程为

222，27X2y2

A.------------1B.工-21=1C.—-^-=1D.—-^-=1

20552080202080

9.已知函数/（x）=Asin（0x+e）+M0>O，e>O）的最大值是4,最小值是0,最小正周

期是直线x是其图象的一条对称轴，则下列各式中符合条件的解析式是（）

A.y=4sin^4x+-^JB.y=2sin^2x+^J+2

C.y=2sin14x+.)+2D.y=2sin4x+^+2

第II卷

注意事项：

1.答卷前将密封线内的项目填写清楚.

2.用黑色墨水的钢笔或签字笔答在答题纸上.

3.本卷共11小题，共105分.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案写在答题纸

上.

I-i

10.i是虚数单位，则复数《4=_____.

3+41

11.二项式卜+:)的展开式中，x的系数为.

12.在平面直角坐标系中，直线3x+4y+3=0被圆(x-2)2+(y+l>=4截得的弦长

为.

13.甲乙两人射击，每人射击一次.已知甲命中的概率是0.8,乙命中的概率是0.7,两

人每次射击是否命中互不影响.设事件A为“两人至少命中一次”，事件8为“甲命中”，则

条件概率P(必A)的值为.

.、21-x-2,x<l.、

14.已知函数।(八，则满足的x的取值范围是.

15.设04=(—2,4),08=(—4,2),OC=(b,0),其中a>0,b>0,。为坐标原点，若

A,B,C三点共线，则为+匕=_____,：的最小值为____.

ab

三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或

演算步骤.

兀

16.己知函数/(x)=sin(2x——)-cos2x,xeR.

6

⑴求函数f(x)的最小正周期；

(2)求函数f(x)的对称轴方程；

⑶求函数〃x)在［0,会上的单调区间.

17.在锐角.ABC中，内角A,B,C的对边分别为。，b,c,且csin智2=asinC.

(1)求角A的大小;

⑵若力=1,sinB=,求边c；

7

⑶在(2)的条件下，求cos(23+A)的值.

18.如图，在四棱锥中，H4_L底面ABC。，ADJ.AB,ABDC,

AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点.

(1)求证：BE〃平面PAD；

(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；

(3)求点C到平面PBD的距离.

19.已知函数〃x)=2d-2/+1.

⑴求曲线y=/(x)在点(1J0))处的切线方程；

⑵求函数y="X)的单调区间和极值；

(3)若函数g(x)=/(x)-8在区间上有一个零点，求实数人的取值范围.

22

20.设椭圆E：。+==1(〃>6>0)的左顶点为A,左焦点为F.己知椭圆的离心率为g

过点A的直线/与椭圆交于另一点8,且点C与点8关于4轴对称(C与8不重合).若

1no

直线CF与直线/垂直，垂足为。，且的面积S=万.

(1)求直线/的斜率；

(2)求椭圆E的方程.

1.A

【解析】本题根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查.

【详解】G，A={-1,3},则(QA)B={-1}

故选：A

【点睛】易于理解集补集的概念、交集概念有误.

2.B

【解析】分别求出两不等式的解集，根据两解集的包含关系确定.

【详解】化简不等式，可知0<x<5推不出

由归一<1能推出0<x<5,

故"V—5x<0”是"IxTKl”的必要不充分条件，

故选B.

【点睛】本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件.

3.B

【分析】先判断x>0时函数“X)的单调性，即可判断选项C,D；再判断当x<0时函数"X)

即可判断A,B,即可得答案.

【详解】当0<x<l时，f(x)=x+J,此时在(0,1)上单调递减，

当x>l时，/(x)=x+J,此时在―)上单调递增，

且x>0时，/(X)1nhi=/(1)=2,

由此可知C,D选项中图象错误；

当x<0时，〃x)=-x+g,此时在(-8,0)上单调递减，

故选项A中图象不合题意，

又/(-1)=0,故B中图象符合题意，

故选：B

4.C

【分析】由频率分布直方图可得低于60分的人的频率，结合低于60分的人数即可求得答案.

【详解】由频率分布直方图可得低于60分的人的频率为20(0.005+0.010)=0.300,

由于低于60分的人数是15,则该班的学生人数是=50,

故选：C

5.D

【分析】分别根据对数函数以及指数函数的单调性判断出4b，c三数的取值范围，即可得答

案.

【详解】由题意得a=log30-8<log31=0,。=3。8>3。=1,

0<c=0.321<0.3°=1.

故

故选：D

6.B

【分析】由已知中圆锥的底面半径和高，求出圆锥的母线长，代入圆锥侧面积公式，求出圆

锥侧面积，利用球的表面积与此圆锥侧面积相等，可得答案.

【详解】•••圆锥的底面半径/'=4,高仁3,

，圆锥的母线1=5,

圆锥侧面积5=兀〃=20兀，

设球的半径为r,则4兀/二？。?!，r=y/5

故选B.

【点睛】本题考查了圆锥侧面积公式的应用，熟练掌握各种旋转体的几何特征，是解答的关

键.

7.D

【分析】由Sg=72得到％=8,代入公式求解即可.

【详解】因为｛«„）是等差数列，Sg=9"⑹=9织=72

所以为=8,又4=4,所以公差为4=4-%=4,

Go=c%+6d=28,

故选：D.

8.A

【详解】由题意得，双曲线的焦距为10,即/+从=°2=25,

又双曲线的渐近线方程为y=2xnbx-ay=0,点尸(2,1)在C的渐近线上,

a

所以a="，联立方程组可得需=:铲=与

22

所以双曲线的方程为二一匕二1.

205

考点：双曲线的标准方程及简单的几何性质.

9.C

[A=25兀

【分析】根据最值求得,…根据周期求得口=4,根据对称轴可求得e=+

[k=26

从而可求解.

{A+k=4[A=2

【详解】因为最大值是4,最小值是0,所以，,八，解得，.，

[-A+k=0[k=2

因为最小正周期是所以生=三，解得0=4,

2co2

因为直线x=g是其图象的一条对称轴，所以4x/+e=5+E,k€Z,

所以。=-5r冗+E«eZ,又因为。＞0,所以当&=1,9=73T，

66

所以所求解析式可能为＞=2sin(4x+2J+2.

故选：C

17

10.i

2525

【分析】根据复数的除法运算，即可求得答案.

【详解】由题意得帝r就号=丁=一彳士

-17

故答案为：一三一石i

11.10

【分析】由二项式定理求解即可.

【详解】要卜+1)中含有X的项，则需要在5项中选取2个公与3个;相乘,故含有X的项

为

C；(x2)2p)3=10x,故X的系数为10

X

故答案为10.

【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用与其中某项的系数问题，属于基础题型.

12.2G

【分析】根据圆的垂径定理，结合点到直线距离公式、勾股定理进行求解即可；

【详解】设圆(x—2『+(y+l>=4的圆心为A,它的坐标为(2,-1),该圆的半径为，=2,

圆心A到直线3x+4y+3=0的距离为：d=卬2之(-1)+3|=(,

V32+42

所以弦长为：2>/尸_/=2"Ti=2百,

故答案为：2小

13.竺

47

【分析】根据对立事件的关系和独立性可求得P(A)、尸(AB),再根据条件概率的计算公式

即可求解.

【详解】P⑷=1-尸(可=1-0.2x0.3=0.94,

P(A5)=0.8x0.7+0.8x0.3=0.8,

,.、P(AB)0.840

所以尸(3A)=--——=------

、7P(A)0.9447,

故答案为：—.

14.[-1,1]

2

【分析】根据分段函数的解析式，结合指数函数以及对数函数性质，分段解不等式，即可得

答案.

【详解】当X41时，/(x)42即21-242,则-14x41；

当x>l时，/(x)42即1—log2(x—l)42,解得xNj,即xN：,

故满足/(x)W2的x的取值范围是[-1,1][1,钟)，

故答案为：[-1,1][-»+°°)

15.2V2+-

2

【分析】由题意求得A8=(-a+2,-2),AC=(》+2,T),根据三点共线可得向量共线，利用

向量共线的条件可得加+力的值，将2+，化为(d+：)(2a+6)，展开后利用基本不等式即

ab2ab

可求得答案.

【详解】由OA=(-2,4),。3=(-42),OC=(6,0)可得A8=(-a+2,-2),AC=S+2,-4),

由于A,B,C三点共线，故A3=(-4+2,-2),AC=(6+2,T)共线，

所以(一。+2)x(-4)-(-2)(：+2)=0,gp2a+b=2,

.111.11、/c,、1力2ar、、1\b2a/r-3

则mi一+：=(一+:)(2。+Z?)=-(—+—+3)>-(2J----+3)=V2+-,

ab2ab2ab2\ab2

当且仅当2=学，结合2a+6=2,即。=2-a为=2&-2时取等号，

ab

故答案为：2；血+|

16.⑴式；

(2)x=y-^(Z:eZ)；

(3)单调增区间是单调递减区间是^|尚］.

【分析】(1)(2)(3)利用差角的正弦公式及辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质

求解即得.

【详解】(1)依题意，/(x)=^^sin2x--cos2x-cos2x=^^sin2x--cos2.r=\Z3sin(2x--),

22223

所以函数/(x)的最小正周期为T彗r

(2)由(1)知,f(x)=gsin(2x-1),由2x-g=eZ,得/=杵-唳，左eZ,

所以函数的对称轴方程是》=日-已(02).

(3)由(1)知，/(x)=V3sin(2x-^),当xe［0,口时,

32333

,兀，-兀/兀口c,,5兀,兀/­兀/2兀5兀,/兀

由一§42工一§45，^1#0<x<—,由可，解得五

所以函数〃x)在［0,卞上的单调增区间是［0,额单调递减区间是店，卞.

兀

17.(1)A=-

3

(2)c=-

⑶cos(2B+A)=-《

【分析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换化简已知等式可求sing=；,根据角的范围即

可求解A的值；

（2）由已知利用正弦定理可得。的值，由余弦定理可得4c2-4C-3=0,解方程可求。的值;

（3）利用同角三角函数基本关系式可求cos8的值，利用二倍角公式可求sin28,cos28的

值，利用两角和的余弦公式即可求解cos（23+4）的值.

【详解】（1）因为csin史£=asinC,可得。$皿（三$]=理0$:=。5析（7,

2k2；2

A

所以由正弦定理可得sinCcos-=sinAsinC,

2

又C为三角形内角，sinCVO,

所以cos4=sinA=2sindcos4,

222

因为Ae（O,兀），cosy>0,

所以sin<=:，可得9=9

ZZ2o

所以A=*

（2）因为A=3，b=l,sinB=^^~»

37

1x3厂

rr,.,abZ?"sinA?v7

所以由正弦定理一；二—^,可得”.口=FT="T，

sinAsin6smB@2

7i

由余弦定理4=。2+02一2）ccosA，可得W=l+c2-2xlxcx5，

31

整理可得4c2-4C-3=0,解得c=9或（舍去），

22

3

所以c=；；

2

（3）由（2）可知。=也>"所以3为锐角，则cosB=，l-sin25="^

27

所以sin2B=2sinBcosB=,cos2B=2cos:/?-1=—,

77

所以cos（2B+A）=cos2BcosA-sin2Bsin4=；x；-x曰=-巳.

18.（1）证明见解析

⑵3

3

⑶迎

3

【分析】（1）以A为原点建立空间直角坐标系，利用向量法证明线面平行；

（2）求出平面PB£＞的一个法向量，再由向量法求解；

（3）求出向量BC=（l,2,0）,再由向量法求解.

【详解】（1）以点A为原点，AB,AD,AP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标

系.

可得A(0,0,0),5(1,0,0),C(2,2,0),£>(0,2,0),P(0,0,2),

由E为棱PC的中点，得矶1,1,1),

向量BE=(0,1,1),AB=(1,0,0),

故BEA8=0，

因为PA_L底面ABC。，底面A8C£>,所以

又因为A£>2A3,AE>AP=A,A£>,APu平面PAD,

所以ABI平面PA。，即AB为平面PA。的一个法向量，

又面R4O,所以BE〃平面840：

(2)向量8。=(—1,2,0),P8=(l,0,—2),BE-(0,1,1).

n-BD=0一x+2y=0

设〃=(x,y,z)为平面尸比)的法向量，则，,即

n-PB=0x-2z=0

令y=l,则x=2,z=l,得"=(2,1,1)为平面PBD的一个法向量,

所以cos(",BE)=n-BE2B

所以直线既与平面pm所成角的正弦值为立;

3

(3)向量BC=(l,2,0),

则点C到平面PBD的距离〃=笔岂=^=3-

19.(l)2x-y-l=O

(2)单调递增为(-8,0),(|，+8)，单调递减区间为(oq)，极大值1,极小值，

【分析】(1)先对函数求导，然后结合导数的几何意义可求曲线的切线斜率，进而可求切线

方程；

(2)结合导数与单调性及极值关系可求；

(3)结合(2)的单调性结合图象即可求解.

【详解】(1)r(x)=6x2-4x,所以广⑴=2J(1)=1,

故曲线y=/(x)在点(1J⑴)处的切线方程y-1=2(x-l),即2x-y-l=0；

(2)由(1)可知，f,(x)=6x2-4x=2x(3x-2),

所以当或x<0时，r(x)>0,当0<x<；时，r(x)<0,

所以函数的单调递增为(-8,0),(|，+8)，单调递减区间为(0，g)，

2(2、10

当x=0时函数取得极大值"0)=1,当x时，函数取得极小值/匕卜药；

(3)令函数g(x)=/(x)-6=0,即/(x)=6,

所以函数g(x)=/(x)-b在区间上有一个零点，

等价于图象/(x)与直线y=〃在区间上有一个交点.

由(2)可知，函数y=/(x)在[-1,0),(|,1上递增，在(。,|)上递减,

且1)=-3,/(1)=1,

画出图象y=f(x),xe[-1,1],如下图所示，

由图可知，当-34%〈，时•，图象/(X)与直线y=6在区间[-1,1]上有一个交点.

故实数6的取值范围为-3,义).

3

20.⑴％=±-；

【分析】(1)由离心率得a