浙江省宁波市六校联盟2023-2024学年高一年级上册11月期中数学试题

浙江省宁波市六校联盟2023-2024学年高一上学期11月期中

数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.函数y=¥-的定义域是（）

X2-4

A.[0,2）B.[0,2）U（2，M）C.（-2,0]

D.(YO,—2)D(—2,0]

二、多选题

2.已知集合人={小"1=0},则下列说法正确的是（）

A.1eAB.{-1}eAC.Au{-1,1}D.0eA

三、单选题

3.下列各组函数表示同一函数的是（）

A.〃x）=G',g（x）=（AyB./(x)=l,5(x)=x°

,、,x2-l

C./（x）=x,g（x）=V?D./(x)=x+l,g(x)=------

x—1

4.已知机，HGR,则“加>0且〃>0”是-+->2^J()条件

nm

A.充分不必要B.必要不充分

C.充分必要D.既不充分也不必要

5.已知无理数e=2.71828…，若b=06,c=e0-5,则它们的大小关系是()

A.c>a>hB.c>b>a

C.a>c>bD.b>a>c

6.函数〃月=1§的大致图象为（

A.B.

7.已知实数〃为常数，且函数〃x）=（ax-l）（x—“），甲同学：〃x）>0的解集

为（-co,a）（5+8）：乙同学：〃可<0的解集为（-8,。）\，田）；丙同学：〃x）存

在最小值.在这三个同学中，只有一个同学的论述是错误的，则。的范围为（）

A.av—1B.-l<a<0

C.0<67<1

8.已知函数/（x）的定义域为（0,+8）,对任意正实数x,y

都成立，则下列结论一定成立的是（

A-〃小,I占卜1

B./(x)>0

C./（x+y）>/（x）+/（y）D.f(x+y)<y]x+y

四、多选题

9.集合X={x|-2Vx<2},集合y={y|yV2}则集合Z={z||z|22}可表示为（）

A.（疫x）u（J）B.«xc.4（x丫）D.a（xi；y）

10.下列函数中，属于偶函数并且值域为[0,+8）的有（）

A.y=gB.y=\x2-2\

C.y=x2+-y-2D.y=y]x2-2\x\

11.某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：℃）满足函数关系y=

（e=2.71828…，k,6为常数）.若该食品在0℃的保鲜时间是120小时，在20℃的保

鲜时间是30小时，则（）

A.k<0且b>0

B.在10℃的保鲜时间是60小时

C.要使得保鲜时间不少于15小时，则储存温度不低于30℃

D.在零下2℃的保鲜时间将超过150小时

12.已知函数=,,则下列说法正确的是（）

[-X-+4x-3,x>2

试卷第2页，共4页

A.若y=/(x)的图象与直线y=f有三个交点，则实数fe(o,l)

B.若〃x)=%有三个不同实数根西,々，鼻，则4cxl+%+彳3<5

C.不等式OW/(/(x))Wl的解集是［0,3］

D.若/(x+a)>/(x)对任意实数x恒成立，则实数。的取值范围是(-8,-(

五、填空题

13.实数a>0且a#l,则函数>="-'+3的图象恒过定点.

1\-2.5

14.化简求值:0.064'

15.写出一个同时具有下列性质①②③的函数，则/(x)=.

①定义域为R，值域为11,”)

②y=/(x)在定义域内是偶函数

③y=〃x)的图象与x轴有三个公共点

16.若正数a,满足a+b=l,则a+的最大值是.

六、解答题

17.已知集合A={x|0<x<2},B-^x\l-m<x<m-\^.

(1)若=求AuB；

(2)若一，求实数，”的取值范围.

请从条件①A8=3,条件②8c&A)=0,这两个条件中选一个填入(2)中横线处，

并完成第(2)问的解答.

18.已知命题p：“WxeR,x'+ar+aNO''是真命题，

(1)求实数。的取值所构成的集合4：

(2)在(1)的条件下，设不等式［1-1<人的解集为B,若xeA是xeB的必要条件，求

实数人的取值范围.

19.已知暴函数f(x)="(a为常数)的图象经过点"(2,4).

⑴求“X)的解析式；

⑵设g(x)=/y,

(i)判断g(x)在区间［l,y)上的单调性，并用单调性定义证明你的结论；

(ii)若&(x)wr在［1,包)上恒成立，求实数，的取值范围.

20.已知“X)是定义在R上的奇函数，且x<0时，〃x)=2\

⑴求〃0);

⑵当x>0时，求函数的解析式；

⑶若/(。―1)+/(")<0,求实数。的取值范围.

21.某公司决定对旗下的某商品进行一次评估，该商品原来每件售价为25元，年销售

8万件.

(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不

低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？

(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量.公司决定立即对该商品进行全面技术革新

和销售策略调整，并提高定价到x元.公司拟投入-600)万元.作为技改费用，投入

50万元作为固定宣传费用，投入|■万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销

售量〃至少达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？

并求出此时每件商品的定价.

22.已知函数〃x)=J'-"+2k(keR).

(1)若2=9,求函数的定义域，并指出其单调区间(不需要证明)：

⑵若/(x)在区间(0,3)单调递减，求实数k的取值范围；

(3)若方程/(尤2)=3^+*3+：在［2,6］上有两个不相等的实根，求k的取值范围.

试卷第4页，共4页

参考答案：

1.B

【分析】根据函数特征得到不等式，求出定义域.

【详解】依题意JX2_4/0，解得XNO且XH2,所以〃x)的定义域为［0,2)(2,+co).

故选：B

2.AC

【分析】解方程化简集合，然后利用元素和集合、集合和集合的关系逐项判断即可.

【详解】集合4=卜,-1=()}={_1,1},所以［《A,{T}cA,Aq{-1,1},0aA.

故选：AC.

3.C

【分析】判断函数的定义域是否相同，再在定义域基础上，化解解析式是否一致即可.

【详解】对于A,/(x)=G*=W(xeR),g(x)=(4J=x(x20),定义域和对应法则不一

样，故不为同一函数；

对于B,〃x)=l(xwR),g(x)=x°=l(xHO),定义域不同，故不为同一函数；

对于C,/(x)=x(xeR),g(x)=#7=x(xeR),定义域和对应法则均相同，故为同一函数：

对于D,/(X)=X+1(A-GR),g(x)=--=X+1(AI),定义域不同，故不为同一函数.

故选：C.

4.D

【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可得解.

【详解】当加=〃=1时，-+-=2,

nm

,根〃-en5

由一+—>2,取机=-2,〃=一1,止匕时一+—=一>2,

nmnm2

mn

所以“>0且"0”是“一+—>2”的既不充分也不必要条件.

nm

故选：D.

5.A

【分析】根据指数函数、基函数的单调性即可比较大小.

【详解】因为函数y=2*为增函数，所以〃=2:<2心，

答案第1页，共13页

又函数y=x°s在(0,+8)上单调递增，所以2°5<ea5=c,所以c>。，

又2=06<0.6°=1=2°<2,=a'所以c>a>6,

故选：A

6.A

【分析】根据函数是偶函数可判断B,D错误，根据/⑴>0,可排除C.

【详解】依题可知：函数/(x)=i装的定义域为(9,0)一(0，”°),

定义域关于原点对称，又/(_刈==^1=也1=/*),

e-ee-e

故函数为偶函数，故B，D错误；

又当x=i时，/(i)=—^>0,故c错误，

e-e

故选：A.

7.C

【分析】利用二次函数的性质分别分析甲乙丙三位同学的论述，从而得解.

【详解】若甲正确，则a>0且，>a,即a?<1，贝

a

若乙正确，则。<0且a<L,即。2>1,则。<_1；

a

若丙正确，则二次函数开口向上即a>0；

因为只有一个同学的论述为假命题，所以只能乙的论述错误，故

故选：C

8.B

【分析】对于ACD：举反例分析判断；对于B：利用反证法，假设存在/=(0,+8),使得

/(%0)<0,令》="大-l>0,y=泡石(河石-1),结合题意分析证明.

【详解】对于选项A：例如函数〃x)=0符合题意，则+占)=0<1,故A错误;

对于选项CD：例如〃x)=l符合题意，则/(x+y)=l<2=〃x)+/(y),故C错误；

令x=y=则x+y=J,可知==,故D错误；

对于选项B：反证：假设存在为e(O,+e),使得/(与)<0,

答案第2页，共13页

令x=+-1>0,y=Jl+x0“l+/—1)=+1)-Jl+x0>0,

则x+y=—=厚巧T=际7，

x+1J1+$—1+1

可得严>川，0,这与假设相矛盾，故假设不成立,

所以对任意x«0,+8),/(x)>0,故B正确;

故选：B.

9.ABC

【分析】化简集合Z,结合集合的运算判断各选项的对错.

【详解】不等式同N2的解集为{z|x22或2},所以Z={z||z|N2}={z|xN2或X4—2},

因为X={x|-2<x<2},所以々X={x|x4—2或xN2},B正确，4丫={用》>2},则

。数)U(RK)={X|XV—2或xN2},A正确，XnF={x|-2<x<2},

又々(X,y)={z|xN2或xV—2},C正确，XuY={x\x<2},

4(X=y)={xk>2},故D错误.

故选：ABC

10.BCD

【分析】根据偶函数的定义即函数的值域，逐项判断即可.

【详解】对于函数y=[,定义域为{xlxwO},且值域(0,”)，故A错误；

X

对于函数y=,-2],定义域为R,

且〃一%)=|(一幻2-2卜丫-2|=/(幻，故为偶函数，且值域为[0,+8),故B正确；

对于函数y=f+-l-2,定义域为{x|xw。},

X

11

K/(-x)=(-X)92+--5--2=x92+—-2=f(x),故函数为偶函数，

又丫=炉+二一242、"^-2=(),当且仅当d=i时，等号成立，

xVx

故函数的值域为[0,+8),故C正确；

对于函数了=小7-2国,令犬-2,隹0得，x=0或者xN2或者xM—2,

答案第3页，共13页

故函数的定义域{x|x=O或xN2或x?2},关于原点对称，

f(-x)=yfx2-2\x\=J(-x)2_2卜乂=次-2国=f(x),

故函数为偶函数，且函数的值域为［0,+"),故D正确，

故选：BCD.

11.AB

【分析】本题首先可根据题意得出是减函数，且120=e">l,可判断出A正确；根

据120=e〃>l及3O=e2°F可得9伙=［,则可求得建*"的值，判断出B正确；解不等式

ef15得X430,则C错误；当x=—2时，可求得e-"”<150,则D错误.

［详解】因为该食品在0℃的保鲜时间是120小时，在20℃的保鲜时间是30小时，

易得y=是减函数，结合复合函数的单调性可知％<0,

又120=e">l,可知力>0,所以A正确；

又3o=e20"+J即30=e2°-e",故e?“：!，e'M=-,

42

则el0t+i=即*120=60,故B正确；

2

若*+,215,则*2结合e皿=:，

不等式化为e30*,即履2303又％<(),所以x430,

故C错误；

当x=-2时，e-2«+〃=(e。-2K=@必尸/20=⑵1120<150，故D错误；

故选：AB.

12.ABD

【分析】对于AB,作出函数的图象即可判断；对于C,先根据图象求出/(x)的范围，再分

情况讨论即可；对于D,根据图象结合图象平移分析运算即可判断.

【详解】对于A,如图，作出函数y=的图象，

由图可知，若y=/(x)的图象与直线y=f有三个交点，则实数fe(O,l),故A正确；

答案第4页，共13页

对于B,如图1,作出函数y=/(x),y=A的图象，

由题意得两函数交点得横坐标为x”x”X3,不妨设

则4,电关于x=l对称，故占+迎=2,

由图可知2</<3,所以4<占+々+匕<5,故B正确；

图1

对于C,由函数y=/(x)的图象可知，当O(f(x)Wl时，04x43,

则由04/(7(x))Wl,可得0443,

\x<2、|x>2

K'J[0<|X-1|<3^'[0<-X2+4X-3<3，

解得-2WxW2或2</«3,

所以不等式04/(/(x))41的解集是[-2,3],故C错误；

对于D,当”=0时，/(x)>f(x)显然不成立，故。=0舍去，

答案第5页，共13页

当a>0时，/(x+a)可以通过，(x)向左平移。个单位得到,

图2

当心0时，/(x+a)可以通过/⑺向右平移同个单位得到，如图3,

以射线y=-x+l—4与y=-/+4x-3相切为临界，

BP-x+\-a=-xi+4x-3>贝!]x?-5x+4-a=0,

QQ

所以4=25—4(4-a)=0,解得〃=_：,所以

图3

故选：ABD.

【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：

(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画

出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

13.(1,4)

答案第6页，共13页

【分析】令X-1=0,结合指数函数的性质即可得解.

【详解】令*一1=0,则x=Ly=4,

所以函数y=a'T+3的图象恒过定点(1,4).

故答案为：(1,4).

14.3

【分析】根据指数幕运算公式计算.

【详解】原式=-1

5315.

-----1--1---1

2222

故答案为：3.

15.9一2凶(答案不唯一)

【分析】由题意结合二次函数的性质可取〃耳=』-2国，再证明即可.

【详解】根据题意可取〃力=便-2国,

函数/(x)=d-2国=(卜卜1)2-1的定义域为区，值域为［-1,”)，故①符合,

因为/(-6=1-2凶=/(耳，所以函数/(x)为偶函数，故②符合，

4>/(X)=X2-2|X|=0,解得x=0或±2,

所以丫=/(力的图象与x轴有三个公共点，故③符合，

所以函数/(©=/-2凶符合题意.

故答案为：x2—2凶.

।A1+&

1O.--------

2

【分析】引入待定系数几>0,结合基本不等式求出答案.

【详解】正数〃，b满足。+匕=1,引入待定系数4>0,得到

rvr,~b1(2+2b

a+7cib=a+JA,ci,一〈an—ActH—=------ciH------,

V22^Aj222

答案第7页，共13页

9_i_2i

令彳=士，解得分+22-1=0,

22Z

解得2=应-1,负值舍去，则24=-L=21,

2222

故〃+而匕斗+3=匕变，

2v72

当且仅当“=纪史力=生变时，等号成立，

44

故答案为：上史

2

17.(1)%-1<%<2；

(2)答案见解析.

【分析】(1)根据集合的并运算，直接求解即可;

(2)选择不同的条件，根据集合之间的关系，分别讨论参数的范围即可.

【详解】⑴•••当m=|时，集合A={x|0<x<2},B=L-1<X<|

/.A\JB=1x|—<x<2).

(2)选择①若AB=B,：.BGA,

2-/n>0

・••当8.0时、m-\<2,解得:<m42；

2-m<m-\

3

当8=0时，2—机》机—1,解得mV—,满足题意;

2

综上所述：实数机的取值范围是{租|加42}.

选择②若8c(a4)=0,•.他A={x|x40或x±2},

2—//?>0

.♦.3W0时,m-\<2,解得;<〃？«2；

3

当8=0时，2—mEn—l,解得〃叱一满足题意;

2

综上所述：实数，〃的取值范围是{机I，”42}.

答案第8页，共13页

18.(l)A={40<a<4}

⑵"4

【分析】(l)由题意方程/+6+〃=0无解，利用判别式法求解即可；

(2)先求出集合B,由题意8=4,分类讨论，列不等式组求解即可.

【详解】(1)因为命题f+奴+。HO”是真命题，所以方程X?+OY+Q=0无解,

所以△=/-4”<0，解得0<”4,所以实数。的取值所构成的集合&={同0<。<4}.

(2)因为1-］<匕，所以解得3—3b<x<3+3b,

所以8={x|3-36<x<3+3。},又xeA是xeB的必要条件，所以3=

当8=0时，3-3623+36即640,满足题意；

'3-3)<3+3b

当3x0时，，3+3644,解得综上，

3-3h>0''

19.(l)/(x)=x2

(2)(i)g(x)在区间［1,物)上单调递增，证明见解析；

(ii)t<2

【分析】(1)根据基函数的图象所过点，列出方程求解即可.

(2)(i)判断函数的单调性并用单调性的定义证明即可；

(ii)利用g")在［1,+8)上单调性可得g(xL=g(l),即可得解.

【详解】(1)因为基函数/(x)=x&(a为常数)的图象经过点M(2,4),

则4=2。，所以a=2,故/(0=以

⑵g(x)="^Lx+L

XX

(i)g(x)在区间口,e)上单调递增，证明如下：

XXX

设%>电*1，所以g(%)-g(七)=玉+!-X?—-=(x,-x2}'\,

答案第9页，共13页

因为所以玉々>1,所以8(为)-8(々)=(%-/)匕*」>0,

所以ga)>g(G，可得函数g(x)在区间口，+<»)上单调递增：

(ii)因为g(x"f在［1,+00)上恒成立，所以Yg(x)而「

又函数g(x)在区间［1,+00)上单调递增,所以g(x)1nllt=g(l)=2,所以f42.

20.(1)0

⑵〃司=-2-

⑶(。，［［L+8)

【分析】(1)根据奇函数的性质〃T)=-/(X),再令X=0,即可得解；

(2)设x<0求出/(-X),再根据奇函数的性质计算可得；

(3)判断函数的单调性，再根据奇偶性及单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解

得即可.

【详解】(1)解：因为/(X)是定义在R上的奇函数，

所以〃—x)=-/(x),令x=0,贝iJ〃0)=—”0),所以"0)=0；

(2)解：因为“X)是定义在R上的奇函数，且x<0时，/(x)=2\

设x>0,则—x<0,则/(一力=2-又f(-x)=-f(x),

x

所以/(力=一2一，即当x>0时,f(x)=-2~;

2*,尤<0

(3)解：由(1)(2)可得〃x)=<0,x=0,

H,x>0

所以函数图象如下所示：

答案第10页，共13页

即f(x)在(-8,0),(0,+8)上单调递增,

贝怀等式“4-1)+〃。)<0等价于/(«-1)</(-«),

所以。一1＜一。＜0或0＜。一1〈一。或，1c

［a-l＞0

国军得0＜。＜,或QG0或Q21,

2

所以实数4的取值范围为(o，£|［1，+8).

21.(1)40元

(2)102万件,30元

【分析】(1)设每件定价为r元，求出原销售收入和新销售收入后列不等式求解；

(2)歹ij出不等关系依225X8+50+,X+』(X2-600),分离参数得+,从而利

56x65

用基本不等式即可得解.

【详解】⑴依题意，设每件定价为,(d25)元，得［8-(f-25)x0.2］此25x8,

整理得产-65/+100040,解得254f440.

所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元.

(2)依题意知当x＞25时，不等式ax225x8+50+Lx+L(x2-600)有解，

56

等价于x＞25时，a＞—+^x+^»,

x65

由于当+1x22、哽［二=10,当且仅当空=9x,即x=30时等号成立，

x6Vx6x6

所以aN10.2,

答案第11页，共13页

当该商品改革后销售量。至