2024年高考数学高频考点题型总结一轮复习讲义 第22讲 平面向量的概念及其线性运算

2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结

第22讲平面向量的概念及其线性运算(精讲)

题型目录一览

①平面向量的概念

②平面向量的线性运

③共线向量定理的应

用

、知识点梳理

一、向量的有关概念

(1)定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模).

(2)向量的模：向量的大小，也就是向量的长度，记作|AB|.

(3)特殊向量：①零向量：长度为。的向量，其方向是任意的.

②单位向量：长度等于1个单位的向量.

③平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共线向量.规定：。与任一向量平行.

④相等向量：长度相等且方向相同的向量.

⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量.

二'向量的线性运算和向量共线定理

(1)向量的线性运算

、-A->r-

四舁定义法则(或几何意义)运算律

①交换律

求两个向量和的a+b=b+a

加法

、—A-A-②结合律

百舁aa

三角形法则平行四边形法则(a+b)+c=a+(b+c)

求〃与匕的相反

减法向量-B的和的ci—b=Q+(—Z?)

运算叫做。与ba

的差三角形法则

(1)\AdHA\\a\

=(，/)Q

求实数4与向量(2)当4>0时，4。与〃的方向相同；当

数乘(A+4)a=+jua

a的积的运算几<0时，4a与a的方向相反；

2(a+b)=Aa+Ab

当4=0时，Xa—0

注：①向量表达式中的零向量写成0,而不能写成0.

②两个向量共线要区别与两条直线共线，两个向量共线满足的条件是：两个向量所在直线平行或重合，而在直线中，

两条直线重合与平行是两种不同的关系.

三'平面向量基本定理和性质

(1)共线向量定理

如果”劝(2eR),贝反之，如果。//6且6片0,则一定存在唯一的实数2,使人(口诀：数乘即得

平行，平行必有数乘).

(2)三点共线定理

平面内三点A,B,C共线的充要条件是：存在实数人〃，使0C=X0A+〃08,其中彳+〃=1,。为平面内一点.

若A,B、C三点共线o存在唯一的实数力，使得AC=2ABo存在唯一的实数力，使得OC=04+448

O存在唯一的实数力，使得6^=(1-团04+203=存在；1+〃=1,使得OC=404+“08.

(3)中线向量定理

如图所示，在△ABC中，若点。是边BC的中点，则中线向量AD=g(AB+AC),反之亦正确.

①向量的三角形法则适用于任意两个向量的加法，并且可以推广到两个以上的非零向量相加，称为多边形法则.一

般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量.

即44+4A++4-4=44.

②特别地：||。|-|匕|区|〃±。|或|〃±b区|〃|+|匕|当且仅当a,b至少有一个为0时或者两向量共线时，向量不等式的等

号成立.

③A、P、3三点共线o。尸=（1-。。4+/。8QeR）,这是直线的向量式方程.

二、题型分类精讲

题型一平面向量的概念

畲策略方法解答与向量有关概念的四个关注点

⑴平行向量就是共线向量，二者是等价的.

⑵向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，可以比较大小.

⑶向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混为一

谈.

（4）非零向量a与曲的关系：曲是与a同方向的单位向量.

【典例1】（多选题）下列说法正确的是（）

A.向量的长度与向量A。的长度相等B.零向量与任意非零向量平行

C.长度相等方向相反的向量共线D,方向相反的向量可能相等

【答案】ABC

【分析】根据向量的有关概念进行判定即可.

【详解】A.向量OA与向量A。的方向相反，长度相等，故A正确；

B.规定零向量与任意非零向量平行，故B正确；

C.能平移到同一条直线的向量是共线向量，所以长度相等，方向相反的向量是共线向量，故C正确；

D.长度相等，方向相同的向量才是相等向量，所以方向相反的向量不可能相等，故D不正确.

故选：ABC.

【题型训练】

一、单选题

1.（2023•全国•高三专题练习）如图，点。为正六边形ABCOE尸的中心，下列向量中，与。4相等的是（）

E

A.DOB.EOC.FOD.CO

【答案】A

【分析】根据相等向量的定义即可得答案.

【详解】解：因为相等向量是指长度相等且方向相同的向量Q为正六边形ABCDEF的中心,

所以。。与。4模相等求且方向相同，所以是相等向量，故A正确；

E0与。4只是模相等的向量，故B错误；

尸。与。4只是模相等的向量，故C错误；

C。与04只是模相等的向量，故D错误.

故选：A.

2.（2023•全国•高三专题练习）下列命题正确的是（）

A.向量AB与BA是相等向量

B.共线的单位向量是相等向量

C.零向量与任一向量共线

D.两平行向量所在直线平行

【答案】C

【分析】根据向量相等和平行的定义逐项分析可以求解.

【详解】对于A,AB=-BA，故A错误；

对于B,两个单位向量虽然共线，但方向可能相反，故B错误；

对于C,因为零向量没有方向，所以与任何向量都是共线的，故C正确；

对于D,两个平行向量所在的直线可能重合，故D错误；故选：C.

3.（2023・全国•高三专题练习）给出如下命题：

①向量AB的长度与向量BA的长度相等；

②向量d与6平行，则&与方的方向相同或相反；

③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；

④两个公共终点的向量，一定是共线向量；

⑤向量与向量CO是共线向量，则点A,B,C,。必在同一条直线上.

其中正确的命题个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】根据向量的基本概念，对每一个命题进行分析与判断，找出正确的命题即可.

【详解】对于①，向量AB与向量54,长度相等，方向相反，故①正确；

对于②，向量。与b平行时，〃或b为零向量时，不满足条件，故②错误；

对于③，两个有共同起点且相等的向量，其终点也相同，故③正确；

对于④，两个有公共终点的向量，不一定是共线向量，故④错误；

对于⑤，向量AB与是共线向量，点A,B,C,。不一定在同一条直线上，故⑤错误.

综上，正确的命题是①③.

故选:B.

4.（2023・全国•高三专题练习）下列说法中正确的是（）

A.单位向量都相等

B.平行向量不一定是共线向量

C.对于任意向量6,必有|a+b|ga]+闻

D.若a,。满足|°|>|加且°与）同向，贝b>6

【答案】C

【分析】对于A：根据单位向量的概念即可判断；对于B：根据共线向量的定义即可判断；对于C分类讨论向量

的方向，根据三角形法则即可判断；对于D：根据向量不能比较大小即可判断.

【详解】依题意，

对于A,单位向量模都相等，方向不一定相同，故错误；

对于B,平行向量就是共线向量，故错误；

对于C,若a,5同向共线，\a+b\4a\+\b\,

若3）反向共线，|a+b|<|a|+|6|,

若“涉不共线，根据向量加法的三角形法则及

两边之和大于第三边知I:+笳<13+山.

综上可知对于任意向量a,6,必有|a+b|M|a|+|b|,故正确；

对于D,两个向量不能比较大小，故错误.

故选：C.

5.（2023•广东揭阳•校考二模）设e是单位向量，AB=3e，CD=-3e，|AD|=3,则四边形ABCD是（）

A.梯形B.菱形C.矩形D.正方形

【答案】B

【分析】由题知岌=3）=-苍，进而得|A目=,4，AB//CD,再根据菱形的定义即可得答案.

【详解】解：因为罚=30，CD=-3e，

uuu!uuu,|UUB||UUU|II||!|

所以AB=3e=-CZ>，即AB//C。，网=皿=恸=3付=3,

所以四边形ABCD是平行四边形，

因为网=3,即网=网，

所以四边形ABCD是菱形.

故选：B

ab

6.（2023•北京大兴•校考三模）设“，方是非零向量，“口=愀”是“〃=方”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据向量相等、单位向量判断条件间的推出关系，结合充分、必要性定义即知答案.

ab

【详解】由R=W表示单位向量相等，贝D同向，但不能确定它们模是否相等，即不能推出

ab

由a=b表示同向且模相等，则同=恸，

ab

所以“口=w”是“。=A”的必要而不充分条件.

故选：B

二、填空题

7.（2023•全国•高三专题练习）如图所示，已知正六边形ABCQEF,。是它的中心.（1）与低相等的向量有

;（2）与&相等的向量有；（3）与）"共线的向量有■

【答案】ED，FO'OCOA,EF,DOCB,OA,AO,OD,DO,AD,DA,EF,FE

【分析】利用相等向量和共线向量的定义解答即可.

【详解】（1）与几相等的向量有访，FO,QC>

（2）与&相等的向量有61,办,而；

⑶与应;共线的向量有昂,也公,向左，血国,京昆.

故答案为：访，PQ,OC'OA,EF,DO<CB,OA,AO,OD,DO,AD,DA,EF,FE-

8.（2023・全国•高三专题练习）有下列命题：

①单位向量一定相等；

②起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；

③相等的非零向量，若起点不同，则终点一定不同；

④方向相反的两个单位向量互为相反向量；

⑤起点相同且模相等的向量的终点的轨迹是圆.

其中正确的命题的个数为.

【答案】3

【分析】由相等向量、相反向量的知识依次判断各个选项即可得到结果.

【详解】对于①，两个单位向量方向不同时不相等，①错误；

对于②，方向相同且模长相等的向量为相等向量，与起点无关，②正确；

对于③，相等的非零向量方向相同且模长相等，若起点不同，则终点不同，③正确；

对于④，单位向量模长相等，又方向相反，则这两个向量为相反向量，④正确；

对于⑤，若两个向量起点相同，且模长相等且不为零，则终点的轨迹为球面，⑤错误;

则正确的命题个数为3个.故答案为：3.

题型二3面向量的线性运算

畲策略方法平面向量的线性运算技巧

⑴不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解.

⑵含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的

中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解.

【典例1】（多选题）已知M为AA8C的重心，。为边8c的中点，则（）

A.MB+MC=2MDB.MA+MB+MC^O

C.BM=^BA+^BDD.AB+AC=+MC^

【答案】ABC

【分析】根据三角形重心的性质及向量的线性运算、基本定理一一判定即可.

【详解】如图，根据向量加法的平行四边形法则，易得MB+MC=2MD,故A正确；

由题意得M为线段AD的靠近D点的三等分点，所以=

又MB+MC=2MD,所以MA+M3+MC=0,故B正确；

BM=BA+^AD=BA+^BD-BA）=^BA+^BD,故C正确；

AB+AC=2AD，MB+MC=2MD,又AD=3Affl,所以A8+AC=3（MB+MC）,故D错误.

故选：ABC

【题型训练】

一、单选题

1.（2023•山东枣庄.统考模拟预测）如图，在长方体中，化简AB-AT>+CCj=（）

UUUL

A.BD}B.DBtC.AC]D.C\

【答案】B

【分析】由空间向量的线性运算结合长方体的结构特征进行运算.

【详解】由长方体的结构特征，有CG=BB、,

贝!）AB-AD+CQ=DB+CC；=DB+BB,=DB1.

故选：B

2.（2023・安徽铜陵•统考三模）在平行四边形ABCD中，M是8边上中点，则240=（）

A.AC-2ABB.AC+2ABC.2AC-ABD.2AC+AB

【答案】C

【分析】利用平面向量的线性运算进行求解.

【详解】因为M是平行四边形ABCD的CO边上中点，所以=

所以AM=AC+CM=AC--AB,

所以2AM=2AC-A3.

故选：C.

3.（2023春・湖南•高三校联考阶段练习）在ABC中，BD=DC，则A£>=（）

1111

A.-AB——ACB.-AB+-AC

2222

C.2AB+2ACD.2AB-AC

【答案】B

【分析】根据平面向量的线性运算可得答案.

【详解】由BO=OC可得。为BC边中点，如图所示:

22、722

故选:B.

4.(2023•河北•统考模拟预测)已知。为一ABC所在平面内一点，且满足贝|()

3121

A.AD=-AB——ACB.AD=-AB+-AC

2233

C.AB=AAD-3ACD.AB=3AD-4AC

【答案】C

【分析】根据向量的线性表示和加减法运算即可求解.

【详解】如图，

所以AO=A8+BD=AB+±BC=++

-44'>44

故A,B错误；

13

由AD=：AB+：AC,可得AB=4AD-3AC,故C正确，D错误，

故选:C.

5.(2023春・重庆万州•高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习)在.ABC中，8。=,E为AD中点，则EB=

()

41215171

A.-AB+-ACB.-AB——ACC.-AB——ACD.-AB+-AC

36366363

【答案】B

【分析】根据向量的减法法则和平行四边形法则对向量进行分解转化即可.

【详解】因为=E为AD中点,

119121

所以EBuAB—AEuA3——AD=AB——(-AB+-AC)=-AB——AC.

223336

故选：B.

6.（2023•山东泰安・统考模拟预测）在,ABC中，点。为AC中点，点E在8C上且破=2EC.记AB=a,AC=b，则

ED=（）

1-1『11,11,11

A.——a+—bB.——a——bC.——a——bD.-a——7b

36366336

【答案】B

【分析】利用向量加法、减法法则线性表示即可.

【详解】如图所示：

所以8C=AC-A8=8-a,

又BE=2EC,

:.EC=-BC=-（b-a\,

33、>

又因为D为AC中点，

■,CD=--b,

2

贝!|ED=EC+CD=--a--b,

36

故选:B.

7.（2023・湖南长沙•长沙市实验中学校考三模）如图，在ABC中，M为线段8C的中点，G为线段AM上一点，

41

AG=2GM，过点G的直线分别交直线A3,AC于尸，。两点，AB=xAP（x>0）,AC=yAQ（y>0）,则Q

的最小值为（）.

A

C.3D.9

【答案】B

【分析】先利用向量的线性运算得到AG=mAP+gAQ,再利用三点共线的充要条件，得至|jN+y=3,再利用基本

不等式即可求出结果.

121

【详解】因为M为线段8C的中点，所以A〃=5（4B+AC）,又因为AG=2GM,所以AG=§AM=§（43+AC）,

又AB=xAP（x>0）,AC=yAQ（y>0）,所以AG=qAP+gAQ,

又P,G,。三点共线，所以3+]=1,即x+y=3,

^±1)1

所以45=黑+AT）H）]=2+M++>-(5+2

X4

当且仅当黄7=也二，即x=|,y4时取等号.

二、多选题

8.（2023春•云南昆明•高三校考阶段练习）下列能化简为PQ的是（）

A.QC-QP+CQB.AB+^PA+BQj

C.（AB+PC）+（BA-QC）D.PA+AB-BQ

【答案】ABC

【分析】根据向量的线性运算分别判断即可.

ULUUULIUUUUUL1UUUU

【详解】解：对于A,QC-QP+CQ^-QP=PQ，故A正确；

ULUUUULIULILUULIUULHL

对于B,AB+PA+BQ=AQ+PA=PQ,故B正确；

/uimuim、/Uiruum、uimumnuum

对于c,[AB+PC）+（BA-QC）=PC+CQ=PQ,故C正确；

对于D,PA+AB-BQ=PB-BQ,故D不合题意；

故选：ABC.

9.（2023•全国•高三专题练习）如图，在，ABC中，若点。，E,P分别是BC,AC,A3的中点，设A。，BE,

C尸交于一点。，则下列结论中成立的是（）

A.BC^AC-ABB.AD=-AC+-AB

22

2222

C.AO=-AC+-ABD.OC^-AC——AB

3333

【答案】AB

【分析】利用向量的加减法则进行判断.

【详解】根据向量减法可得=AC-A3,故A正确；

因为。是8C的中点，所以+故B正确；

22

由题意知。是.ABC的重心，

Q0111

贝（jAO=1AO=§*5（AC+AB）=§AC+mA2,故C错误；

221111121

OC=——CF=——x-（CB+CA）=一CB——CA=一（CA+AB）——CA=-AC——AB,故D错误.

332333333

故选：AB.

三、填空题

10.（2023•全国•高三专题练习）化简：AB-CB+CD=.

【答案】AD

【分析】由向量的加减法法则计算.

ULULULIUUUIULUUUUIUUUUUU

【详解】AB-CB+CD=AB+BC+CD=AD-

故答案为:AD-

11.（2023・河南商丘・商丘市实验中学校联考模拟预测）已知在平行四边形A3CD中，点石满足登=彳品,

13

DE=-AB——AD,则实数4=______.

44

【答案】；

【分析】利用向量的四则运算化简求值.

【详解】如图所示:

平行四边形ABCD中，点E满足蓝=丸品，

13

DE=DA+AE=DA+^AC=-AD+^AB+AD^=^AB+^-1)AD=-AB——AD

44

解得：2

4

故答案为：；

4

12.（2023春・贵州黔东南•高三校考阶段练习）在一ABC中，若点P满足=2PC,设AB=XAP+〃AC,贝|勿=

【答案】-6

【分析】根据向量的线性运算可用ABAC表示A5,求出的值后可求M的值.

【详解】

因为而=2无,^AP-AB=2（AC-AP\

整理得至！J：AB=3AP-2.AC，故XAP+〃AC=3AP-2AC,

而8P=2PC,故尸为线段8C靠近C的三等分点，故AP,AC不共线,

故;1=3,〃=-2即=一6故答案为：-6.

题型三共线向量定理的应用

多策略方法共线向量定理的三个应用

1证明向;对于向量明力,若存在实数入，使a=Xb{b\

量共线1-W0),则a与方共线：

证明三若存在实数A,使启=AAC,^A,B,CB\

—

点共线点共线1

求参数利用共线向量定理及向量相等的条件列：

—

的值方程(组)求参数的值：

【典例1](单选题)已知4,6是不共线的向量，S.AB=3a+4b,BC=-2a-6b,CD=2a-4b,贝!!()

A.A、B、。三点共线B.A、B、C三点共线

C.B、C、。三点共线D.A、C、。三点共线

【答案】D

【分析】利用平面向量共线向量定理求解.

【详解】因为AB=3a+4b,BC=-2a-6b,CD=2a-4b，

所以AD=3a—6b9

(3=34

若A、B、D三点共线，贝!lAB=2AO,而/"无解，故A错误；

[4=—OX

因为AB=3Q+4Z?,BC=—2a—6b,CD=2a—4b9

所以AC二a—2人，

f3=A

若A、B、C三点共线，贝！|A3=XAC,而/”无解，故B错误；

14=—ZZ

因为=3。+4"=-2。-6"CD=2a-4Z?,

所以3D=3C+CD=—10b，

—2=0

若B、C、D三点共线，贝!=而(无解，故C错误;

—o=-10Z

因为AB=3a+4b,5C=-2a-6b,CD=2〃-4b,

所以AC=a-26,AZ>=3a-6b,

即AC=(AD,所以A、C、D三点共线，故D正确.

故选：D

【典例2]如图，在11ABe中，点。，E是线段BC上两个动点，S.AD+AE=xAB+yAC,则％+V=

14

一+一的最小值为.

%y

A

【分析】设AD=mAB+〃AC,AE=AAB+JuAC,由8,D,E,C共线及已知可得x+y=2,从而有

14114

—+—=—(%+y)•(一+—),然后利用基本不等式即可求解；

xy2xy

【详解】解：AZ)=mAB+nAC,AE=AAB+JLLAC9

BfD,E,。共线，

:.m+n=\,4+4=1,

AD+AE=xAB+yAC,

又AO+A石=(加+A)AB+(n+〃)AC

n

:.x=m+X9y=+M,

.•.X+y=M+几+X+〃=2,显然％>0,y>0,

当且仅当上y=一4x且x+y=2即X=2J,y=4=时取等号，故答案为：2；Q

尤y332

【题型训练】

一、单选题

1.（2023・全国•高三专题练习）已知g=4令+24，p。=26+，4，若M、P、。三点共线，贝卜=（）

A.1B.2C.4D.-1

【答案】A

【分析】根据平面向量共线定理，列方程组即可求解.

【详解】解：•••M、P、。三点共线，则与尸。共线，

AMP=A,PQ,即46I+2«2=/1（24+加2）,得］：］?，解得f=L

故选：A.

2.（2023•全国•高三专题练习）若平面四边形A8CO满足：AB+CD=0,（42-AD）-AC=0,则该四边形一定是（）

A.平行四边形B,菱形C.矩形D.正方形

【答案】B

【分析】根据向量相等可证明四边形为平行四边形，再由向量数量积为0知对角线互相垂直可知为菱形.

【详解】AB+CD=O,:.AB=DC,

所以四边形ABCD为平行四边形，

（AB-AD）-AC=O,:.DBAC=O,

所以BD垂直AC,所以四边形ABCD为菱形.

故选：B

_4

3.（2023•全国•局三专题练习）已知向量万不共线，若向量力=。+丁油与向量q=共线，则机的值为（）

A.±-B.0或；C.0或1D.0或3

22

【答案】A

【分析】根据向量共线的条件p=2q,代入化简,对应系数相等

【详解】因为0.与q=b+3n?a共线，可设P=Xq,即。+=彳（6+3〃也），因为.，万不共线，所以

3mA=1,

1

,4,所以加=土＞

—m=z,2

13

故选:A.

4.（2023春・湖北•高三统考阶段练习）已知向量a,b,贝广。与6共线”是“存在唯一实数2使得a=助”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】充分性根据6=0,。*0验证；必要性直接证明即可.

【详解】当人=0,aw0时，满足。与）共线，

但是不存在实数4使得a=助，

故充分性不成立；

存在唯一实数2使得°=劝则。与，共线成立，

即必要性成立.

故“。与b共线”是“存在唯一实数2使得a=劝”的必要不充分条件.

故选：B.

5.（2023・全国•高三专题练习）设0,6是不共线的两个平面向量，已知A3=a-2b,BC=3a+kb（keR）,若A,

B,C三点共线，则后=（）

A.2B.-2C.6D.-6

【答案】D

【分析】根据向量数乘及向量共线条件，即可求得左的值.

【详解】若A、B、。三点共线，则A3//3C，

即满足系数成比例，则々=

一21

解得上=-6.

故选：D.

【点睛】本题考查了平面向量数乘的意义，平面向量共线求参数，属于基础题.

6.(2023・全国•高三专题练习)已知P是△ABC所在平面内的一点，若CB-PB=2PA，其中届R,则点尸一定在

()

A.AC边所在的直线上B.边所在的直线上

C.A8边所在的直线上D.△ABC的内部

【答案】A

【分析】根据向量的线性运算整理可得，再结合向量共线分析即可.

【详解】=PB=PC+CB

：.CB-(PC+CB)=2PA,贝！|-PC=；IPA，则CP=2PA

ACP//PA

AP点在AC边所在直线上.

故选：A.

7.(2023・全国•高三专题练习)在ABC中，点尸是边8C上一点，若=+则实数九=()

4

A.-B.1C.-D.-

3234

【答案】D

【分析】利用向量共线定理设=〃>0,通过线性运算得AP=(1-〃)AB+〃AC,结合题目条件得到方程

组，解出即可.

【详解】作出如图所示图形:

8,P,C三点共线，故可设=〃>0,

贝！JAP=A5+5P=A5+〃5C=A5+〃（AC-AB）=（1-〃）A5+〃AC,

（

i1-"二一13

AP=-AB+A.AC,:.\"4,解得2=-.

44

[〃=22

故选：D.

8.（2023•全国•高三专题练习）己知点O,P在ABC所在平面内，满OA+OB+OC=0,|尸$=|尸目=,。|，则点。，2

依次是_ABC的（）

A.重心，外心B.内心，外心C.重心，内心D.垂心，外心

【答案】A

【分析】设A3中点为D,进而结合向量加法法则与共线定理得C三点共线，。在ABC的中线CZ）,进而得。

为一ABC的重心，根据题意得点P为ABC的外接圆圆心，进而可得答案.

【详解】解：设A3中点为D,因为04+08+00=0，

所以OA+O8+OC=2OO+OC=0,BP-2OD=OC,

因为。D,0C有公共点。，

所以，O,n,C三点共线，即。在ABC的中线8,

同理可得。在.ABC的三条中线上，即为ABC的重心；

因为网=P8=PC,

所以，点?为.MC的外接圆圆心，即为一ABC的外心

综上，点。尸依次是ABC的重心，外心.

故选：A

A\

ADB

9.（2023•全国•高三专题练习）在一ABC中，点E为AC的中点，AF=2FB>BE与CF交于点P,且满足BP=ABE，

则2的值为（）

A.-B.1C.|D.-

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【答案】B

【分析】根据平面向量基本定理，用AfAC表示人尸即可得答案.

【详解】解：如图，因为点E为AC的中点，AF=2FB，

所以，AP=AF+FP=AF+xFC=AF+x^AC-AF^=(l-x)AF+xAC,

AP=AB+BP=AB+ABE=AB+^AE-AB^=(l-A)AB+AAE=-^-^-AF+^AC,

’3。叫

所以，2即2二国+&=±坦=],解得彳=L

z2222

—=X

所以，入的值为g

故选：B

二、多选题

10.（2023春•辽宁•高三朝阳市第一高级中学校联考阶段练习）在ABC所在的平面上存在一点尸，

AP=XAB+〃AC（X,〃eR）,则下列说法错误的是（）

A.若2+〃=1,则点尸的轨迹不可能经过"1BC的外心

B.若4+〃=1,则点。的轨迹不可能经过的垂心

C.若2+〃=；,则点P的轨迹不可能经过jABC的重心

D.若X«0,l],//G[0,1],则点尸的轨迹一定过ABC的外心

【答案】ABD

【分析】由彳+〃=1,结合向量共线的推论判断尸的轨迹，讨论A